最新[高二数学]数学选修2-2-导数及其应用PPT课件

(4)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在 该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件 (例如，f(x)=x3). (5)如果函数在某个区间内恒有f′(x)=0，则f(x)为常数函数. (6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义 在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思 想. (7)若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有 f′(x)＞0，则f(x)在该区间上仍为增函数.
(8)(lnx)′= 1 .
x
2.导数运算法则 (1)法则: ①［f(x)±g(x)］′=f′(x)±g′(x). ②［f(x)·g(x)］′=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x).
③［ g fx x ］ fx g ［ x g x f ］ 2 x g x g x 0 .
(2)关于导数运算法则的几点认识:
四、函数的极值、最值与导数 1.可导函数的极值 (1)定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有 点x都有f(x0)>f(x)(或f(x0)<f(x))，则称f(x0)为函数的一个 极大(小)值,称x0为极大(小)值点.
(2)极值中的几个注意问题 可导函数的极值点一定是其导数为0的点，反之，导数为0的点 不一定是该函数的极值点，所以导数为0是该点为极值点的必 要条件，其充分条件还需要再添加“该点两侧的导数异号”. 举例如下： ①导数为0的点是极值点：f(x)=x2,f′(0)=0,x=0是极小值点; ②导数为0的点不是极值点：f(x)=x3,f′(0)=0,x=0不是极值 点.
三、函数的单调性与导数 1.导数与函数单调性 函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导，如果f′(x)＞0，则 y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，则y=f(x)在 这个区间内单调递减.
2.讨论函数单调性应注意的问题 (1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的 定义域，解决问题的过程只能在定义域内通过讨论导数的符号 来判断函数的单调区间. (2)一般利用使导数等于零的点来分函数的单调区间. (3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么 这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“，”或“和” 字隔开.
化
x2 x1
率 简记作: y .
x
①平均速度; 刻画函数值在
②曲线割线的 区间［x1,x2］
斜率.
上变化的快慢.
3.函数 y＝f(x) 的导函数
当x=x0时,f′(x0)是一个确定的数,当x变化时,f′(x)是x的一 个函数,我们称它为f(x)的导函数(简称导数).
y=f(x)的导函数有时也记作y′,
2.函数的最大值与最小值
(1)设y＝f(x)是定义在区间［a ,b］上的函数，y＝f(x)在
(a ,b)内可导，则函数y＝f(x)在［a ,b］上一定有最大值
与最小值，但在开区间内不一定有最大值与最小值,如函数 f(x)= 1 在(0,+∞)内连续，但没有最大值与最小值.
x
(2)y=f(x)在区间［a，b］上的最值，会在极值点处或端点处
二、导数的计算
1.基本初等函数的导数公式
(1)(c)′=0，(c为常数).
(2)(xα)′=αxα-1(α∈Q*).
(3)(sinx)′=cosx.
(4)(cosx)′=-sinx.
(5)(ax)′=axlna(a>0且a≠1).
(6)(ex)′=ex.
(7)(logax)′=
x
1 ln
a
(a>0且a≠1).
①牢记公式的形式［f(x)·g(x)］′≠f′(x)g′(x),
［gfxx］ gfxxgx0,
避免与［f(x)+g(x)］′=f′(x)+g′(x)混淆.
②若c为常数，则［c·f(x)］′=c·f′(x).
3.复合函数求导 (1)定义：一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过 变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u) 和u=g(x)的复合函数.记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 由y=f(u)和u=g(x)复合的复合函数y=f(g(x))的导数 y′=f′(u)·g′(x)
[高二数学]数学选修2-2导数及其应用
及时回顾基础有助于提升学科综合素养。本栏目精心梳理 单元主干基础知识，系统全面、层次清晰，便于快速回顾、高 效理解，以达事半功倍之目的。
一、变化率与导数 1.函数的变化率 (1)相关概念:
定义
实例
作用
平 函数y=f(x)从x1到x2的平 均
变 均变化率为 f (x2 ) f (x1) ,
【辨Leabharlann Baidu】 函数的单调性与导数的关系
若函数f(x)可导，其导数与函数的单调性的关系如下，以增函 数为例来说明： (1)f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定,即f′(x)>0 是f(x)为增函数的充分不必要条件. (2)f′(x)≠0时，f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件. (3)f(x)为增函数的充要条件为f′(x)≥0且f′(x)不恒为0.
即f′(x)=y′=
fxxfx
lim
.
x0
x
【辨析】 导数与导函数的关系
(1)函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点附近的函 数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，不是变量. (2)函数的导函数：是针对某一区间内任一点x而言的. (3)函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x=x0处的函数 值.
取得.
【辨析】 函数的极值与最值
(1)极值是一个局部概念：由定义可知，极值只是某个点的函 数值与它附近点的函数值比较是最大还是最小，并不意味着它 在函数的整个定义域内是最大或是最小.最值是一个整体概念， 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的最大值或最小 值.
(2)函数的极值不是惟一的,即一个函数在其定义区间上的极大 值或极小值可以不止一个，函数在其定义区间上的最大值、最 小值均最多各有一个. (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大 值未必大于极小值，函数的最大值一定不小于它的最小值. (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成 为极值点，函数的最值点可能在区间内部，也可能在区间的端 点处.