画法几何与机械制图点直线平面

以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图
AⅡ F
C
Ⅰ
B E
过EF作正垂面Q
以正垂面为辅助平面求直线EF与ΔABC平面的交点
QV
1
k
步骤：
1．过EF作正 垂平面Q。
2
2．求Q平面与 ΔABC的交线
ⅠⅡ。
3．求交线
2
ⅠⅡ与EF的交
点K。
k
1
示意图
以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图
A
E
K
ⅠE
ⅡF
C
B F
➢作图
2 1
2
1
1 e
PV
e
2 f k
a
2
k
a f
1
空间几何元素度量问题
度量问题—是解决距离和角度的度量问题，主要基础是根据 直角投影定理作平面的垂线或直线的垂面，并求 其实长或实形。
1.距离的度量
•点到点之间的距离.
求二点之间线段的实长（直角三 角形法）。
•点到直线之间的距离. 过点作平面垂直于直线，求出垂 足，再求出点与垂足之间的线段 实长。
f
b
a
a
b f
直线与特殊位置平面平行
CE
A H
D
B
F
a(b) c
G e(f)
d
h(g)
a'
b' X
a(b)
c' e'
h'
d'
f'
g'
O c e(f)
d h(g)
当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直 线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面 必定平行。
⒉ 两平面平行
② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。
1 直线与特殊位置平面相交
直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性 特殊位置直线与一般位置平面相交
1. 直线与特殊位置平面相交
b n
a
k
m
c
n a
k b
m
c
由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。
2. 判断直线的可见性
b n
a
k
m c
d
b
e
a X c
b d e
d
b
ac
e
f g
g f
两一般位置平面平行
两特殊位置平面平行
[例1] 判断平面ABDC与平面EFHM是否平行， 已知AB∥CD∥EF∥MH
a
c
m
e
k
h
X
b
d
f
b
O
由于ek不
d
f
h 平行于ac,
a c
k
故两平面
e
m
不平行。
[例2] 试判断两平面是否平行
n m
s r
n m
s
r
f ( 2 ) 1
4
利
k
用
重
33
影
点
e
判
别
2
可 见
性
k
（(3）)
4
1
e
示意图
4. 两一般位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求 两个共有点的问题, 因而可利用求一般 位置线面交点的方法找出交线上的两个 点，将其连线即为两平面的交线。
•两一般位置平面相交求交线 •判别可见性
两一般位置平面相交求交线的方法 示意图
n a
k b
m
c
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。
例1 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
⑴ 平面为特殊位置
b
n
空间及投影分析: 平面ABC是一铅垂
k
a
1(2) ●
●
m
c
X
m a
2
●
●
●
1
b
k
c n
还可通过重影 点判别可见性。
面，其水平投影积聚成 一条直线，该直线与 mn的交点即为K点的水 平投影。
g
b h
例11 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面
是否垂直。
h
c
g
f
k
X
g
d b
c
a
O
f k
b d
结论：两平面不平行
➢1. 5 点、直线、平面的图解制图
• 1.5.1 距离与角度的度量 • 1.5.2 求解点、直线、平面综合题
平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个 问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合 性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。
•点到平面之间的距离. 过点作平面的垂线，求出垂足， ..再求出点与垂足之间的线段实长。
➢1. 4. 1 平行
• 直线与平面平行 • 两平面平行
⒈ 直线与平面平行
A
B 若：AB∥CD
C
则：AB∥P
D
几何条件：
P
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行， 则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作 图问题的依据。 有关线、面平行的作图问题有：
判别已知线面是否平行； 作直线与已知平面平行； 包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
示意图
两平面相交，判别可见性
3
1 (2 )
利
用
重
4
影
点
判
2
别
可
3 (4 )
见 性
1
综合性问题解法
例5 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与
直线EF相交 。
综合性问题解法
➢分析
过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H； 连接KH，KH即为所求。
K F
H
E
➢作图
PV
1 m
2
n
h
h n2
1．过点K作平面 KMN// ABC平面。
2．求直线EF与平面 KMN的交点H 。
3．连接KH，KH即 为所求。
m1
➢1.4.3 垂直问题
• 直线与平面垂直 • 两平面互相垂直
1 直线与平面垂直
V C
A E B
D
几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面 的一切直线。
n
B M
利用求一般位置 线面交点的方法找出 交线上的两个点，将 其连线即为两平面的 交线。
K A L
F N
C
例4 求两平面的交线 PV n
2
k
1
e
m 2
m
e k
1
n
两一般位置平
面相交，求交
l
QV
线步骤：
1．用求直线 与平面交点的 方法，作出两 平面的两个共 有点K、E。
2．连接两个
l
共有点，画出
交线KE。
几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所 有平面都垂直于该平面。
A
Ⅰ Ⅱ
B
两平面垂直
A
Ⅰ
B
Ⅱ
两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一 点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
例10 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面
h
f
c
g
k
a
b
d
X
a d
f c
O k
要讨论的问题：
(1) 求直线与平面的交点。
●
●
(2) 判别两者之间的相互遮
挡关系，即判别可见性。
我们将分别讨论一般位置的直线与平 面或至少有一个处于特殊位置的情况。
2. 两平面相交
两平面相交其交线 为直线，交线是两平面 的共有线，同时交线上 的点都是两平面的共有 点。
要讨论的问题：
① 求两平面的交线 方法：⑴ 确定两平面的两个共有点。 ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。
求解综合问题主要包括： 空间几何元素的定位问题（交点、交线） 空间几何元素的度量问题（如距离、角度）。
综合问题解题的一般步骤：
1. 分析题意 2. 明确所求结果，找出解题方法 3. 拟定解题步骤
• 1.5.1 距离与角度的度量
例12 已知三条直线CD、EF和GH，求作一直线AB与 CD平行，并且与EF、GH均相交。
➢1.4 直线与平面及两平面的相对位置
➢1. 4. 1 平行 ➢1. 4. 2 相交 ➢1. 4. 3 垂直
➢基本要求
（一）平行问题
1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； 2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
（二）相交问题
1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚 性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。
[例1] 试判断直线AB是否平行于定平面
g f
f g
结论：直线AB不平行于定平面
[例2] 过M点作直线MN平行于平面ABC。
b
d
n
c m
a
●
X
b
d
n
a
●
m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
有无数解
[例3] 过M点作直线MN平行于V面和 平面 ABC。
b
正平线
d
c m
n
a
●
X
c
a
d
m●
n
b
唯一解
[例4] 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面
投影，交线的水平投影垂
e
a
n
●
c
d
●m
b
f
还可通过重影点
直于OX轴。
① 求交线 ② 判别可见性
从正面投影上可看出， 在交线左侧，平面ABC在 上，其水平投影可见。
判别可见性
⑵ d′
a′
h′
b′ n′ ● e′
X
a
bn ● d(e)
m′
●
● 1'(2') c′
f′
2 ● h(f)
m● ● 1
c
空间及投影分析：
K
m C
c PH
F N k
fb n
AL
a l
b
m k
c
f
l
a n
m kb a
f
l
c
n
判断平面的可见性
2. 判断平面的可见性
例3 求两平面的交线
空间及投影分析：
⑴
MN并判别可见性。 平面ABC与DEF都为
a
b
m(n)
● e
f
c
正垂面，它们的交线为一 条正垂线，两平面正面投
影的交点即为交线的正面
d
后，故k1为不可见。
例2 求铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点并判别
其可见性。
k' 1' (2')
2 k1
2. 一般位置平面与特殊位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个 共有点的问题，由于特殊位置平面的某个投 影有积聚性，交线可直接求出。
1.求交线 2.判断平面的可见性
求交线
M
P
B
① 求交点 ② 判别可见性
由水平投影可知， KN段在平面前，故正 面投影上kn为可见。
⑵ 直线为特殊位置
m
b
空间及投影分析: 直线MN为铅垂线，其
k●
水平投影积聚成一个点，
a
c
●
1(2)
故交点K的水平投影也积聚
n
在该点上。
X
b
mk(n● 2) ●
c
a
1
① 求交点 ② 判别可见性
点Ⅰ位于平面上，在
前，点Ⅱ位于MN上，在
2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、 面相交求交线的作图方法。
3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
（三）垂直问题
掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
（四）点、线、面综合题
1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题 步骤和方法。
e
d
c
X c
g h f
O g
h f
d e
➢分析
C
DE G
A
B F
H
所求得直线AB一定在平行于CD的平面上，并且与 交叉直线EF、GH相交。
➢作图过程
e
d
b
1
c PV k
g a
h
f 2
X
k
O
g
c
1a
h
f2
d
b
e
例13 试过定点A作直线与已知直线EF正交。
➢分析
E
A
K F
过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K， 连接AK，AK即为所求。
e
① 求交线
a
c
N点的水平投影n位于
Δdef 的外面，说明点N位
f
b
于ΔDEF所确定的平面内
m●
e ，但不位于ΔDEF这个图
形内。
a
●
k
n
●
所以ΔABC和ΔDEF的
交线应为MK。
c
d
② 判别可见性
3. 直线与一般位置平面相交
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图 以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图 判别可见性 示意图
结论：两平面平行
[例3] 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过 点K作一平面平行于已知平面 。
s
f
k
e
m
n
r
r n
e k
m
f
s
[例4] 试判断两平面是否平行。
结论：因为PH平行SH，所以两平面平行
➢1. 4. 2 相交问题
• 直线与平面相交 • 两平面相交
1. 直线与平面相交
直线与平面相交，其交点是直线与平面的 共有点。
几何条件： 若一个平面内的相交二直线与另一个
平面内的相交二直线对应平行，则此两平 面平行。这是两平面平行的作图依据。
两平面平行的作图问题有：
判别两已知平面是否相互平行； 过一点作一平面与已知平面平行； 已知两平面平行，完成其中一平面的 所缺投影。
两平面平行
Ⅰ
Ⅲ Ⅱ
AB∥ⅠⅡ；AC∥ⅠⅢ； 则：P∥Q
过EF作铅垂面P
以铅垂面为辅助平面求直线EF与ΔABC平面的交点
2 k 1
PH
1
步骤：
1．过EF作铅 垂平面P。
2．求P平面与 ΔABC的交线
ⅠⅡ。
3．求交线
ⅠⅡ与EF的交
点K。
k
2
示意图
直线EF与平面 ABC相交，判别可见性。
利
1 (2)
用
重
影
点
Ⅱ
判
Ⅰ
别
Ⅲ
可
见
Ⅳ
性
3
示意图
(4)
直线EF与平面 ABC相交，判别可见性。
例6 平面由 BDF给定，试过定点M作平面的垂线。
n
f
c
a
m b
d
a d
f
m
c
b n
例7 试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
PV
SV
h
k
h
k
k
k
h
k
h QH
hk
例8 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN 是否垂直于定平面。
a
c
m
e
f
b
d
X
n
O
b
a
m
e
d
c
n
f
2. 两平面相互垂直
A
P
B
V C
A
k a
e
c b
d
E
X
O
B
D
a
kd
ec
b
n
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属
于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直
于属于该平面的正平线的正面投影。
n
V
f
A
C
E
c
a
k b
B Xd
D
f
a d
c
O k
b
n
定理2：若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平 投影；直线 的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、 则直线必垂直于该平面。
平面DEFH是一铅垂面， 它的水平投影有积聚性，其 与ac、bc的交点m 、n 即为 两个共有点的水平投影，故 mn即为交线MN的水平投影。
作图 ① 求交线 ② 判别可见性
点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在 FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在 后，故mc 可见。
⑶
b
投影分析
ΔDEF的正面投影积聚
f
m ●
d
k n'
作图
●
●
① 若一平面上的两相交直线分别平行于另一 平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。
两特殊位置平面平行
CE
B
H
A
F
a c
G e(f)
b
h(g)
c' e'
h'
a' X
a
c
b'
f'
g'
O e(f)
b h(g)
② 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有 积聚性的那组投影必相互平行。
b
e f
c d
a
X
c
f
a