10A-2 高三一轮总复习两条空间直线的位置关系

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高三一轮复习两直线的位置关系

栏目导引
第八章
平面解析几何
3．三种距离公式 (1)点 A(x1， y1)， B(x2， y2)间的距离：
2 2 （ x － x ）＋（ y － y ） 2 1 2 1 |AB|＝ ________________________ ．
(2)点 P(x0， y0)到直线 l： Ax＋ By＋ C＝ 0 的距离：
即 P(0， 2)． 4 4 ∵ l⊥ l3，∴ kl＝－，∴直线 l 的方程为 y－ 2＝－ x， 3 3 即 4x＋ 3y－6＝0. 法二：∵直线 l 过直线 l1 和 l2 的交点，∴可设直线 l 的方程为 x－ 2y＋ 4＋ λ(x＋ y－2)＝ 0，即 (1＋ λ)x＋ (λ－ 2)y＋4－2λ＝ 0. ∵ l 与 l3 垂直，∴ 3(1＋ λ)＋(－4)(λ－2)＝ 0，∴ λ＝ 11，∴直线 l 的方程为 12x＋ 9y－ 18＝0，即 4x＋ 3y－6＝0.
|Ax0＋By0＋C|
d＝____________________________ ． A2＋B2 (3)两平行直线 l1： Ax＋ By＋ C1＝ 0 与 l2： Ax＋ By＋ C2＝
|C1－ C2| A ＋B 0(C1≠C2)间的距离为 d＝_________________________ ．
栏目导引
第八章
平面解析几何
(1)关于中心对称问题的处理方法： ①若点 M(x1， y1)与 N(x， y)关于 P(a，b)对称，则由中点坐
x＝2a－ x1，标公式得 y＝ 2b－ y1.
②直线关于点的对称问题，其主要处理方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用 l1∥ l2，由点斜式得到所求直线方程．

两条直线的位置关系知识点总结

两条直线的位置关系知识点总结在几何学中，直线是最基本的几何元素之一。

考虑两条直线之间的位置关系是几何学的一个基本问题。

在这篇文章中，我们将讨论两条直线的位置关系，并总结一些重要的知识点。

平行线当两条直线在同一平面内，且它们不相交（或在一个点相交）时，这两条直线被称为平行线。

我们常常使用符号“||”来表示平行线。

如果直线l和m平行，则我们可以表示它们为l || m。

平行线有一些重要的性质。

首先，平行线之间的距离始终相等。

其次，平行线之间的夹角始终相等。

因此，如果我们有两条平行线和一条横穿它们的第三条直线，则其中每一组相邻角度都相等。

这被称为平行线的交错内角定理。

垂直线另一种常见的直线位置关系是垂直线。

当两条直线在同一平面内且它们交叉成直角时，这两条直线被称为垂直线。

我们通常使用符号“⊥”来表示垂直。

垂直线也有一些重要的性质。

首先，当两条直线垂直相交时，它们之间的夹角恰好是90度。

其次，如果我们有一条直线和另一条线的垂线交叉，那么其中每一组相邻的角都是补角相等的。

这称为垂线的垂直角定理。

倾斜线倾斜线是指既不是平行线也不是垂直线的直线。

在考虑倾斜线的位置关系时，我们可能需要使用一些比较专业的术语。

首先，我们可以使用夹角的概念来描述两条倾斜线之间的位置关系。

如果两条倾斜线之间的夹角小于90度，则这两条线是锐角。

如果夹角等于90度，则这两条线是垂直线。

如果夹角大于90度，则这两条线是钝角。

其次，我们可以使用距离的概念来描述两条倾斜线之间的位置关系。

两条倾斜线之间的距离是它们之间最短的距离。

如果两条倾斜线从不相交，则它们的距离为零。

如果两条倾斜线相交，它们的距离将大于零。

总结在几何学中，考虑两条直线之间的位置关系是一个基本问题。

平行线的距离相等，夹角相等；而垂直线的夹角为90度，其相邻角度是补角相等的。

倾斜线的位置关系可以用夹角和距离来描述。

对于倾斜线，我们可以使用术语锐角、垂直线和钝角来描述它们之间的夹角。

高中数学一轮复习空间点线面的位置关系：第2节空间两条直线的位置关系

第2节空间两条直线的位置关系【基础知识】直线与直线的位置关系的分类共面直线平行相交异面直线：不同在任何一个平面内直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．[【规律技巧】空间中直线位置关系的判定，主要是异面和垂直的判定．对于异面直线，可采用定理或反证法，对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质说明．【典例讲解】【例1】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．【变式探究】(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行(2)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．答案(1)D(2)②④【针对训练】1、对于直线m、n和平面α，下列命题中的真命题是()A．如果m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m?α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m?α，n∥α，m、n共面，那么m与n相交【答案】C【解析】对于选项A，n可以与平面α相交，对于选项B，n可以与平面α平行，故选项A、B均错；由于m?α，n∥α，则m、n无公共点，又m、n共面，所以m∥n，选项C正确，选项D错．故选C.2、已知a，b，c是直线，α，β是平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，b⊥c，则a⊥c；③a∥α，b?α，则a∥b；④若a，b异面，且a∥β，则b与β相交；⑤若a，b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直．其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】仅②为真命题．3、如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．【答案】②③④[解析]把正四面体的平面展开图还原．如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.4、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线()A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条【答案】D5、如右图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．【解析】(1)不是异面直线．理由：∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点．∴MN∥A1C1. 又∵A1A//D1D，而D1D//C1C，∴A1A//C1C，∴A1ACC1为平行四边形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.∴BC?平面CC1D1，∴B∈面CC1D1D，这与ABCD－A1B1C1D1是正方体相矛盾．∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．6、若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．平行、异面或相交【答案】D【解析】当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D.7、一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()．A．AB∥CD B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°【答案】D8、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．【答案】③④9、在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．【答案】②④【练习巩固】1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c () A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能解析当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．答案 D2．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是 ()A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选 D.答案 D3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1⊥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面4．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分别是对角线AC与BD 的中点，则MN与()A．AC，BD之一垂直B．AC，BD都垂直C．AC，BD都不垂直D．AC，BD不一定垂直解析连接AN，CN，∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB，则AN＝CN，在等腰△ANC中，由M为AC的中点知MN⊥AC.同理可证MN⊥BD.故选B.答案 B5．两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是()A．两条相交直线B．两条平行直线C．两个点D．一条直线和直线外一点答案 C6.一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()A．AB∥CDB．AB与CD相交C．AB⊥CDD．AB与CD所成的角为60°答案 D7．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且CFCB ＝CGCD＝23，则()A．EF与GH平行B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上。

高考数学一轮总复习课件：两直线的位置关系

例1 (1)(2021·江西八校联考)已知直线l1：kx＋y＋3＝0， l2：x＋ky＋3＝0，且l1∥l2，则k的值为__－__1____．
【思路】根据两直线平行列关于k的方程，解出k的值，然后代入两直线方程进行验证是否满足l1∥l2，即可得出实数k的值．
【解析】 ∵直线l1：kx＋y＋3＝0，l2：x＋ky＋3＝0，且l1 ∥l2，
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
＝0.若2．l1∥(课l2本，习则题a的改值编为)已_－_知_12_直__线__l，1：若axl1＋⊥yl＋2，5则＝a0的，值l2：为x－2y＋7 _____2___．
3．直线y＝kx－k－2恒过定点__(_1，__－__2)_．
解析 y＝kx－k－2＝k(x－1)－2.当x＝1，y＝－2时恒成立， ∴直线恒过定点(1，－2)．
【解析】要使点P到直线x－y－4＝0有最小距离，只需点P为曲线与直线x－y－4＝0平行的切线的切点，即点P为曲线上斜率为1的切线的切点，设P(x0，y0)，x0>0， y＝x2－lnx，y′|x＝x0＝2x0－x10＝1，解得x0＝1或x0＝－12(舍去)，点P(1，1)到直线x－y－4＝0的距离为|1－12－4|＝2 2，所以曲线y＝x2－lnx上任一点到直线x－y－4＝0的距离的最小值为2 2.
【思路】结合图形，根据点到直线的距离公式求解．
【解析】 (1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，
此时l的斜率不存在，其方程为x＝2. 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0. 由已知得|－k22k＋－11|＝2，解得k＝34. 此时l的方程为3x－4y－10＝0.

高考一轮复习理科数学课件两直线的位置关系

模拟测试
进行模拟测试，模拟真实考试环境，检验自己的备考效果。
针对性训练
根据模拟测试的结果，进行有针对性的训练，提高解题能力和应试技巧。
05
复习建议与备考策略
CHAPTER
重点知识点梳理和巩固
直线方程的形式
一般式、点斜式、斜截式、两点式等，理解各形式的适用条件和相互转化方法。
两直线平行与垂直的条件
当直线垂直于x轴时，斜率不存在。此时可将直线方程化为 x = a 的形式，其中 a 为常数。
直线重合或平行于y轴
当直线与y轴平行或重合时，斜率为0。此时可将直线方程化为 y = b 的形式，其中 b 为常数。
3
直线过原点
当直线过原点时，截距为0。此时可将直线方程化为 y = kx 的形式，其中 k 为斜率。
留出足够的时间进行模拟考试和查漏补缺
在备考后期，要留出足够的时间进行模拟考试和查漏补缺，检验自己的备考效果并及时调整策略。
THANKS
感谢观看
夹角公式及求解方法
夹角公式
两直线$L1:y=k1x+b1$和$L2:y=k2x+b2$之间的夹角$theta$满足$tantheta = |frac{k2 - k1}{1 + k1k2}|$。
求解方法
首先求出两直线的斜率，然后代入夹角公式计算夹角。需要注意的是，当两直线垂直时，夹角为$90^circ$，此时斜率之积为-1。
综合题型训练
题型一
已知两直线的方程，求两直线之间的距离或夹角。
题型三
结合实际问题，如求解两条相交直线的交点坐标、判断两直线是否平行或垂直等。
题型二
已知两直线的倾斜角和截距，求两直线的方程，并进一步求距离或夹角。

新高考数学一轮总复习课件第九章第二节两条直线的位置关系

2．若直线a，b的斜率分别为方程x2－4x－1＝0的两个根，则a与b的位置关系为( ) A．互相平行 B．互相重合 C．互相垂直 D．无法确定
【解析】选C.由题意得kakb＝－1，所以两直线垂直．
3．(教材改编)已知点A1，0 ，B3，4 ，则线段AB的中垂线方程是(
)
A．x＋2y－6＝0 B．x－2y＋2＝0
则2a ＋1b 的最小值为(
)
A．2 B．4 C．8 D．9
【解析】选 C.因为 l1⊥l2，所以a－1 ×1＋1×2b＝0，即 a＋2b＝1，
因为 a＞0，b＞0，所以2a ＋1b ＝2a＋1b a＋2b ＝2＋2＋4ab ＋ba ≥4＋2
4b a a ·b
＝8，当且仅当4ab ＝ba ，即 a＝12 ，b＝41 时等号成立，所以2a ＋1b 的最小值
－－a
×a＝0 且 1×5－3a≠0，则 a＝±2，所
以当 a≠±2 时，直线 l1：x－ay＋3＝0 与 l2：ax－4y＋5＝0 相交，故“a≠2”
是“直线 l1：x－ay＋3＝0 与 l2：ax－4y＋5＝0 相交”的必要不充分条件．
2．(多选题)已知直线 l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是( ) A．若 l1∥l2，则 m＝－1 或 m＝3 B．若 l1∥l2，则 m＝3 C．若 l1⊥l2，则 m＝－12 D．若 l1⊥l2，则 m＝21
第二节两条直线的位置关系
必备知识·自我排查
【基础知识梳理】 1．两条直线平行与垂直的判定
条件
两直线位置关系
平行
两条不重合的直线l1，
l2，斜率分别为k1，
k2
垂直
斜率的关系 _k_1=_k_2_

一轮复习：两条直线的位置关系

授课主题两条直线的位置关系教学目标1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．4．能运用数形结合的思想方法，体会用代数方法研究直线问题的基本思路和方法，将几何问题转化为代数问题来解决；反过来，某些代数问题也可转化为几何问题来解决．教学内容1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系2．三种距离3．常用的直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )．(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.题型一两直线的平行与垂直例1、已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( )A ．－1B ．2C ．0或－2D ．－1或2方法点拨：分类讨论法．答案 D解析若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0；当a ≠0时，两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2.故选D.例2、已知经过点A (－2,0)和点B (1,3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2互相垂直，则实数a 的值为________．方法点拨：分类讨论法．答案 1或0解析 l 1的斜率k 1＝3a －01－(－2)＝a .当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝－2a －(－1)a －0＝1－2aa .因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a ·1－2aa＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0,0)，这时直线l 2为y 轴，A (－2，0)，B (1,0)，直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2. 综上可知，实数a 的值为1或0. 方法技巧研究两直线平行与垂直关系的解题策略1．已知两直线的斜率存在．(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.2．当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．【冲关针对训练】1．(2018·宁夏银川九中模拟)已知b ＞0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0垂直，则ab 的最小值为( )A ．1B ．2C ．2 2D ．2 3答案 B解析由已知两直线垂直，得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1，又b ＞0，∴ab ＝b ＋1b .由基本不等式得b ＋1b ≥2b ·1b＝2，当且仅当b ＝1时等号成立，∴(ab )min ＝2.故选B.2．(2017·西安模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．答案 25解析由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b ＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6ba≥13＋26a b ·6ba＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25. 题型二两条直线相交及距离问题例3、(2018·福建厦门联考)“C ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件方法点拨：直接求满足条件的C 的取值再判定．答案 B解析点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3等价于|3×2＋4×1＋C |32＋42＝3，解得C ＝5或C ＝－25，所以“C ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.例4、已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________．方法点拨：画出直线y ＝－12x ＋2，分析直线系y ＝kx ＋2k ＋1动态思考．答案 ⎝⎛⎭⎫－16，12 解析如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4，0)，B (0,2)．而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ： Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．(2)直线关于直线的对称一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．【冲关针对训练】(2017·石家庄期末)设定点A (3,1)，B 是x 轴上的动点，C 是直线y ＝x 上的动点，则△ABC 周长的最小值是( )A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D.10答案 B解析作出点A (3,1)关于y ＝x 的对称点A ′(1,3)，关于x 轴的对称点A ″(3，－1)，连接A ′A ″，交直线y ＝x 于点C ，交x 轴于点B ，则AC ＝A ′C ，AB ＝A ″B ，∴△ABC 周长的最小值为|A ′A ″|＝(1－3)2＋(3＋1)2＝2 5.故选B.1.(2018·山西长治模拟)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝⎛⎭⎫2019π2－2α的值为( )A.45 B ．－45C ．2D ．－12答案 B解析由题意知tan α＝2，又α∈[0，π)，∴sin α＝255，cos α＝55，则cos ⎝⎛⎭⎫2019π2－2α＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2α＝－sin2α＝－2sin αcos α＝－45，故选B.2．(2017·天山期末)直线a 1x ＋b 1y ＝2和a 2x ＋b 2y ＝2交于点P (2,3)，则过点A (a 1，b 1)、B (a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x ＋3y －2＝0B ．3x ＋2y －2＝0C ．3x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y ＋2＝0答案 A解析 ∵直线a 1x ＋b 1y ＝2和a 2x ＋b 2y ＝2交于点P (2,3)， ∴把P (2,3)代入两直线得2a 1＋3b 1＝2和2a 2＋3b 2＝2，过点A (a 1，b 1)，B (a 2，b 2)的直线方程为2x ＋3y ＝2即2x ＋3y －2＝0，故选A.3．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．答案－3解析 ∵y ＝ax 2＋b x ，∴y ′＝2ax －bx2，由题意可得⎩⎨⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.(经检验满足题意)．∴a ＋b ＝－3.4．(2017·山西太原质检)光线从A (－4，－2)点射出，射到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C . 故BC 所在的直线方程为y ＋46＋4＝x ＋21＋2.即10x －3y ＋8＝0.一、选择题1．(2017·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3答案 C解析直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.故选C.2．(2017·清城一模)已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为P (1，p )，则m －n ＋p 的值是( )A ．24B ．20C ．0D ．－4答案 B解析 ∵直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，∴m －4×25＝－1，∴m ＝10，直线mx ＋4y －2＝0即5x ＋2y －1＝0，垂足(1，p )代入得，5＋2p －1＝0，∴p ＝－2. 把P (1，－2)代入2x －5y ＋n ＝0，可得n ＝－12， ∴m －n ＋p ＝20，故选B.3．过点P (1,2)且与原点O 距离最大的直线方程为( )点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2，3)． (2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|P A ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|P A ||取得最大值，为|AB |，点P 即是直线AB 与直线l 的交点，又直线AB 的方程为y ＝x －2，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝10，故所求的点P 的坐标为(12,10)． 16．(2018·深圳质检)如图所示，函数f (x )＝x ＋2x的定义域为(0，＋∞)．设点P 是函数图象上任一点，过点P 分别作直线y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N .(1)证明：|PM |·|PN |为定值；(2)O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值．解 (1)证明：设P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋2x 0(x 0>0)，则|PN |＝x 0，|PM |＝⎪⎪⎪⎪2x 02＝1x 0，因此|PM |·|PN |＝1，即|PM |·|PN |为定值． (2)直线PM 的方程为y －x 0－2x 0＝－(x －x 0)，即y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，得x ＝y ＝x 0＋12x 0. 所以|OM |＝2⎝⎛⎭⎫x 0＋12x 0. 连接OP ，S 四边形OMPN ＝S △NPO ＋S △OPM ＝12|PN ||ON |＋12|PM ||OM |＝12x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋2x 0＋12·1x 0·2⎝⎛⎭⎫x 0＋12x 0＝2＋12⎝⎛⎭⎫x 20＋1x 20≥1＋2，当且仅当x 0＝1x 0，即x 0＝1时等号成立，因此四边形OMPN 面积的最小值为1＋ 2.17．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在．∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即ab(1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在且l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在， k 1＝k 2，即ab＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.18．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P .(1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，解得λ＝2或λ＝12.∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)．如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)． ∴d max ＝|P A |＝10.方法与技巧1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1、l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意． 2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．利用坐标转移法．失误与防范1．在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑． 2．在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中x ，y 的系数化为相同的形式．1． (2012·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0，即a ＝－2或a ＝1，所以“a ＝1”是“直线l 1与直线l 2平行”的充分不必要条件．2．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0 答案 A解析由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确． 3．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋3y －18＝0B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0 答案 D解析设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， ∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.4．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直答案 C解析由a sin A ＝bsin B ，得b sin A －a sin B ＝0.∴两直线垂直．5. 如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5答案 A解析由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD |＝210.6． (2013·天津)已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a 等于 ( )A ．－12B ．1C ．2 D.12答案 C解析圆心为O (1,0)，由于P (2,2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上， ∴P 为切点，OP 与P 点处的切线垂直． ∴k OP ＝2－02－1＝2，又点P 处的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直． ∴a ＝k OP ＝2，选C.7．已知直线l 1：y ＝x sin α和直线l 2：y ＝2x ＋c ，则直线l 1与l 2()A ．通过平移可以重合B ．可能垂直C ．可能与x 轴围成等腰直角三角形D ．通过绕l 1上某一点旋转可以重合答案 D解析 l 1的斜率sin α∈[－1,1]，l 2的斜率为2，积可能为－1，即两直线可能垂直，斜率不可能相等，所以必相交，l 1绕交点旋转可与l 2重合．8．设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且坐标原点O 到直线l 的距离为3，则△AOB 的面积S 的最小值为 ( )A.12 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析原点O 到直线l 的距离d ＝|m ×0＋n ×0－1|m 2＋n 2＝1m 2＋n 2＝3，∴m2＋n 2＝13，在直线l 的方程中，令y ＝0可得x ＝1m，即直线l 与x 轴交于点A (1m ，0)，令x ＝0可得y ＝1n ，即直线l 与y 轴交于点B (0，1n)，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12·1|m |·1|n |＝12|m |·|n |≥1m 2＋n 2＝3，当且仅当|m |＝|n |时上式取等号，由于m 2＋n 2＝13，故当m 2＝n 2＝16时，△AOB 面积取最小值3.9．点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________．答案 2 5解析直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示．由图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值 |PQ |＝2－02＋1＋32＝25，所以点P (2,1)到直线l 的最大距离为2 5.10． (2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案 (2,4)解析设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．又k AC ＝6－23－1＝2，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.① 又k BD ＝5－－11－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M (2,4)．11．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.答案 35解析由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35.12．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° 其中正确答案的序号是________．答案 ①⑤解析两直线x －y ＋1＝0与x －y ＋3＝0之间的距离为|3－1|2＝2，又动直线l 1与l 2所截得的线段长为22，故动直线与两直线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合．13．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.答案345解析由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m 2－3n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35n ＝315，故m ＋n ＝345.14．若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 的方程．解过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0y ＋1＝k x －1，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行)．则B 点坐标为(k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)．由已知(k ＋7k ＋2－1)2＋(4k －2k ＋2＋1)2＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.15．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x－2y －5＝0，求直线BC 的方程．解依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC 、l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4,3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)， ∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.16．如图，函数f (x )＝x ＋2x的定义域为(0，＋∞)．设点P 是函数图象上任一点，过点P 分别作直线y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N .(1)证明：|PM |·|PN |为定值；(2)O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值． (1)证明设P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋2x 0 (x 0>0)．则|PN |＝x 0，|PM |＝⎪⎪⎪⎪2x 02＝1x 0，因此|PM |·|PN |＝1. (2)解直线PM 的方程为y －x 0－2x 0＝－(x －x 0)，即y ＝－x ＋2x 0＋2x 0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，得x ＝y ＝x 0＋22x 0， S 四边形OMPN ＝S △NPO ＋S △OPM ＝12|PN ||ON |＋12|PM ||OM |＝12x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋2x 0＋22x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋12x 0＝2＋12⎝⎛⎭⎫x 20＋1x 20≥1＋2，当且仅当x 0＝1x 0，即x 0＝1时等号成立，因此四边形OMPN 面积的最小值为1＋ 2.。

两直线间的位置关系概念

两直线间的位置关系概念在几何学中，直线是无限延伸的一维几何对象，由无数个点组成。

直线与其他直线之间可以有不同的位置关系，例如相交、平行、重合等。

下面将详细介绍直线间的各种位置关系概念。

1. 相交：两条直线有一个交点，即两条直线在空间中的某个点相互重合。

相交的直线既可以是同一平面内的直线，也可以是不同平面的直线。

2. 平行：两条直线在同一平面内且不存在交点，即两条直线之间的距离在无限远。

平行的直线具有相同的斜率，但不一定具有相同的截距。

3. 重合：两条直线完全重合，即每一点都位于两条直线上。

重合的直线具有相同的方程。

此时，两条直线可以看作是同一条直线。

4. 相交于一点：两条不同直线在空间中有一个共同的交点，但除此之外没有其他交点。

相交于一点的直线可以是同一平面内的两条直线，也可以是不同平面的两条直线。

5. 相交于一条直线：两条直线在空间中有一个共同的交点，且还有其他交点。

相交于一条直线的直线可以是同一平面内的两条直线，也可以是不同平面的两条直线。

6. 垂直交叉：两条直线相互垂直地交叉在一起。

垂直交叉的直线具有截距为互为相反数的性质。

在平面几何中，垂直交叉的直线相当于平面中的两个正交坐标轴。

7. 夹角：直线与直线之间的夹角可以描述它们的位置关系。

夹角可以被划分为三类：锐角（小于90度）、钝角（大于90度）和直角（等于90度）。

8. 柱面：两条直线沿着同一方向无限延伸，在空间中绕着一个轴线旋转形成的曲面。

这些直线称为柱面的母线，轴线称为柱面的轴。

9. 平行于同一平面：三条或三条以上的直线在同一个平面内且不存在交点，即它们相互平行。

10. 共面：多条直线在同一个平面内。

共面的直线可能相互交叉、平行或重合。

11. 平行于不同平面：两组或两组以上的直线在空间中平行，并且每组直线都在不同的平面上。

12. 垂直于同一平面：三条或三条以上的直线与同一个平面相交，且相交点与平面上任意一点之间的连线垂直于该平面。

总之，直线间的位置关系概念涉及到相交、平行、重合、垂直交叉、夹角、共面等。

高考一轮复习第8章解析几何第2讲两条直线的位置关系

第二讲两条直线的位置关系知识梳理·双基自测知识梳理知识点一两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0__．知识点二两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．相交⇔方程组有__唯一解__；平行⇔方程组__无解__；重合⇔方程组有__无数个解__．知识点三三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22．特别地，原点O(0,0)与任一点P(x ，y)的距离|OP|＝x 2＋y 2． (2)点P(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2． (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2．重要结论1．求解距离问题的规律运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线间的距离公式时，需先把两平行线方程中x ，y 的系数化为相同的形式．2．对称问题的求解规律(1)中心对称：转化为中点问题处理．(2)轴对称：转化为垂直平分线问题处理．特殊地：点P(a ，b)关于直线x ＋y ＋m ＝0对称的点坐标为(－b －m ，－a －m)，点P(a ，b)关于直线x －y ＋m ＝0对称的点坐标为(b －m ，a ＋m)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然．( × )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1．( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0．( √ )(4)点P(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b|1＋k2．( × ) (5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．( √ )题组二走进教材2．(课本习题改编)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．(必修2P 110B 组T2)已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( C ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1[解析] 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1．解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2． ∵a ＞0，∴a ＝－1＋2．题组三走向高考4．(2020·高考全国Ⅲ)点(0，－1)到直线y ＝k(x ＋1)距离的最大值为( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2 [解析] 解法一：由y ＝k(x ＋1)可知直线过定点P(－1,0)，设A(0，－1)，当直线y ＝k(x ＋1)与AP 垂直时，点A 到直线y ＝k(x ＋1)距离最大，即为|AP|＝2，故选B ．解法二：因为点(0，－1)到直线y ＝k(x ＋1)距离d ＝|1＋k|k 2＋1＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2kk 2＋1；∵要求距离的最大值，故需k ＞0；可得d ＝1＋2k ＋1k≤2，当且仅当k ＝1时取等号，故选B ．5．(2018·全国)坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为__(6，－6)__． [解析] 设坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(a ，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ×1＝－1a 2－b2－6＝0，解得a＝6，b ＝－6，∴坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(6，－6)．考点突破·互动探究考点一两条直线平行、垂直的关系——自主练透例1 (1)(2021·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( A )A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)“m＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2021·青岛调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( C ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3(4)(多选题)等腰直角三角形斜边的中点是M(4,2)，一条直角边所在直线的方程为y ＝2x ，则另外两边所在直线的方程为( CD )A ．3x ＋y －14＝0B ．x ＋2y －2＝0C ．x －3y ＋2＝0D ．x ＋2y －14＝0[解析] (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0．(2)由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0，∴m ＝3或m ＝－2，∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m m ＋1＝6，4m≠－4，解得m ＝2或－3．故选C ．(4)设斜边所在直线的斜率为k ，由题意知tan π4＝2－k 1＋2k ＝1，∴k ＝13，∴斜边所在直线方程为y －2＝13(x －4)，即x －3y ＋2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x x －3y ＋2＝0可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45，∴A 关于M 的对称点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫385，165，∴另一条直角边的方程为y －165＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －385，即x ＋2y －14＝0，故选C 、D ．名师点拨(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．〔变式训练1〕(1)(2021·吉林长春模拟)曲线f(x)＝2sin x 在x ＝π3处的切线与直线ax ＋y －1＝0垂直，则a ＝__1__．(2)(2012·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由题得f′(x)＝2cos x ，∴k ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1．所以1×(－a)＝－1，∴a ＝1． (2)l 1∥l 2⇔a 2＋a －2＝0⇔a ＝1或－2，∴a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．故选A ．考点二两直线的交点、距离问题——师生共研例2 (1)两条垂直直线l 1：2x ＋y ＋1＝0与l 2：ax ＋4y －6＝0的交点到原点的距离为__2__．(2)已知点P(2，－1)．①求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？③是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． (3)(2020·上海)已知直线l 1：x ＋ay ＝1，l 2：ax ＋y ＝1，若l 1∥l 2，则l 1与l 2的距离为__2__． [解析] (1)kl 1＝－2，kl 2＝－a 4，由l 1⊥l 2知－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1，∴a ＝－2，∴l 2：x －2y ＋3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0x －2y ＋3＝0得交点A(－1，1)，∴|AO|＝2．(2)①过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2．若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k(x －2)，即kx －y －2k －1＝0．由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34．此时l 的方程为3x －4y －10＝0．综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0．②作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2．由直线方程的点斜式，得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0．所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝5．③由②可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．(3)直线l 1：x ＋ay ＝1，l 2：ax ＋y ＝1，当l 1∥l 2时，a 2－1＝0，解得a ＝±1；当a ＝1时l 1与l 2重合，不满足题意；当a ＝－1时l 1∥l 2，此时l 1：x －y －1＝0，l 2：x －y ＋1＝0；则l 1与l 2的距离为d ＝|－1－1|12＋－12＝2．名师点拨距离的求法(1)点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离：①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； ②利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x 、y 的系数分别相等．〔变式训练2〕(1)(2021·西南名校联盟联考)设直线l 1：3x －y －1＝0与直线l 2：x ＋2y －5＝0的交点为A ，则A 到直线l ：x ＋by ＋2＋b ＝0的距离的最大值为( C )A ．4B ．10C ．3 2D ．11(2)(多选题)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0距离相等，则m 的值可以为( AC ) A ．－6 B ．－12C ．12D ．1(3)(2021·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( C )A ．95B ．185C ．2910D ．295[解析] (1)解法一：显然l 1与l 2的交点A(1,2)，又直线l 过点B(－2，－1)，∴所求最大距离为|AB|＝32，故选C ．解法二：显然l 1与l 2的交点为A(1,2)，则A 到直线l 的距离d ＝|1＋2b ＋2＋b|1＋b2＝31＋b 2＋2b1＋b2＝31＋2b 1＋b2≤32(当且仅当b ＝1时取等号)，故选C ． (2)直线mx ＋y ＋3＝0与直线AB 平行或过AB 中点，∴－m ＝4－2－1－3＝－12，即m ＝12；AB 中点(1,3)，∴m ＋3＋3＝0即m ＝－6，故选A 、C ．(3)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ|的最小值为2910．考点三对称问题——多维探究角度1 线关于点的对称例3 (2021·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M点对称的直线方程为( D )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0[解析] 由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得y －1＝－a(x ＋3)，所以M(－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c|4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选D ．另解：在直线2x ＋3y －6＝0上取点A(0,2)、B(3,0)，则A 、B 关于M 的对称点分别为A′(－6,0)，B′(－9,2)，又k A′B′＝2－0－9－－6＝－23，故所求直线方程为y ＝－23(x ＋6)，即2x ＋3y ＋12＝0．故选D ．角度2 点关于线的对称例4 (2021·长沙一模)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为__6x －y －6＝0__．[解析] 设点M(－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0．又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0． (代入法)当x ＝－3时，由x －y ＋3＝0得y ＝0，当y ＝4时，由x －y ＋3＝0得x ＝1． ∴M(－3,4)关于直线l 的对称点为M′(1,0)．又k NM′＝6－02－1＝6，∴所求直线方程为y ＝6(x －1)，即6x －y －6＝0．[引申]本例中入射光线所在直线的方程为__x －6y ＋27＝0__．[解析] N(2,6)关于直线l 的对称点N′(3,5)，又k MN′＝5－43－－3＝16，∴所求直线方程为y －4＝16(x ＋3)，即x －6y ＋27＝0．角度3 线关于线的对称例5 (2021·合肥模拟)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0．若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( B )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0[解析] 解法一：因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y－1＝0．解法二：在l 1上取两点A(0，－2)，B(1,0)，则A 、B 关于l 的对称点分别为A′(－1，－1)，B′(1,0)，∴k A′B′＝0－－11－－1＝12．∴l 2的方程为y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0．故选B ．解法三：设P(x ，y)是直线l 2上任一点，则P 关于直线l 的对称点为P′(y＋1，x －1)，又P′∈l 1，∴2(y ＋1)－(x －1)－2＝0，即直线l 2的方程为x －2y －1＝0．故选B ．名师点拨对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有： (1)中心对称①点P(x ，y)关于O(a ，b)的对称点P′(x′，y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y′＝2b －y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A(a ，b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点A′(m ，n)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×－AB＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于y ＝x 的对称问题采用代入法，如(1,3)关于y ＝x ＋1的对称点为(3－1，1＋1)，即(2,2)．〔变式训练3〕已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1)(角度2)点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；(2)(角度3)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； (3)(角度1)直线l 关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程． [解析] (1)设A′(x，y)，由已知条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413．(2)在直线m 上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l 的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013．设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0． (3)设P(x ，y)在l′上任意一点，则P(x ，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x ，－4－y)， ∵点P′在直线l 上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x －3y －9＝0．名师讲坛·素养提升巧用直线系求直线方程例6 (1)求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R)恒过定点，并求出定点坐标；(2)求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．[解析] (1)证明：解法一：令m ＝0，则直线方程为 3x ＋y ＋1＝0．再令m ＝1时，直线方程为6x ＋y ＋4＝0．①和②联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A(－1,2)的坐标代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中，(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0，故动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A ．解法二：将动直线方程按m 降幂排列整理，得m 2(x －y ＋3)＋m(2x ＋y)＋3x ＋y ＋1＝0，① 不论m 为何实数，①式恒为零， ∴有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故动直线恒过点A(－1,2)．(2)解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P(0,2)．因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0．解法二：设所求直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，将解法一中求得的交点P(0,2)代入上式可得m ＝－6，故所求直线方程为4x ＋3y －6＝0．解法三：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x＋y －2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0．又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11．∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0．[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”，则直线l 的方程为__3x －4y ＋8＝0__．名师点拨1．确定方程含参数的直线所过定点的方法：(1)将直线方程写成点斜式y －y 0＝f(λ)(x－x 0)，从而确定定点(x 0，y 0)．(2)将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及常数项为0确定定点．(3)给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而确定定点坐标．2．直线系的主要应用(1)共点直线系方程：经过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中A 1B 2－A 2B 1≠0，待定系数λ∈R ．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2．(2)过定点(x 0，y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．(3)平行直线系方程：与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m(m 为参数且m≠b)；与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C，λ是参数)．(4)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ为参数)．如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，那么可选用直线系方程来求解．〔变式训练4〕(1)(2021·启东模拟)不论m 为何值时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( D )A ．⎝⎛⎭⎪⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3) D ．(9，－4)(2)与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程是__5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0__．[解析] (1)解法一：由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得定点坐标为(9，－4)，故选D ．解法二：令m ＝1，则y ＝－4；令m ＝12，则－12x ＝－92，即x ＝9，∴直线过定点(9，－4)，故选D ．解法三：将直线方程化为(2m －1)(y ＋a)＝(1－m)(x ＋b)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－52a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－9，∴y ＋4＝1－m 2m －1(x －9)，故直线过点(9，－4)，故选D ．(2)设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0，则|c－6|52＋122＝2，解得c＝32或－20，故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．。

高三数学(文科)一轮复习《两直线的位置关系》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)

＋5＝0互相平行，则实数m的值为(
)
A．2 B．－1
C．1 D．0
答案：C
解析：两直线平行，其系数满足关系式－3m＝－3(2－m)，解得m＝1.
3．[必修2·P101习题T2改编]已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0
的距离为1，则a的值为(
)
A. 2
B．2－ 2
C． 2－1 D． 2＋1
称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y
＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( × )
公式
( − ) −( − )
|AB|＝___________________
点到直线
的距离
+ 0 +
P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C
＝0的距离为d
d＝________________
2 + 2
两平行线
间的距离
直线Ax＋By＋C1＝0到直线
Ax＋By＋C2＝0的距离为d
3．经过直线2x－y＝0与x＋y－6＝0的交点，且与直线2x＋y－1＝0
件是A1A2＋B1B2＝0.
2．六种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y).
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，
y)．
(3)点 (x，y)关于直线y＝x的对称点为 (y，x)，关于直线y＝－x的对

高考数学第一轮复习第46课时—两条直线的位置关系

课题一：两条直线的位置关系一．复习目标：1．掌握两直线平行与垂直的条件，两直线的夹角和点到直线的距离公式．2．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．二．知识要点：1．已知两条直线1l 与2l ：（1）12//l l ⇔ ．（2）12l l ⊥⇔ ；（3）1l 与2l 重合⇔ ．2．直线1l 到2l 的角公式：；直线1l 与2l 的夹角公式：．3．点到直线的距离公式：；两平行直线间的距离公式：．三．课前预习：1．ABC ∆中，,,a b c 是内角,,A B C 的对边，且lgsin ,lgsin ,lgsin A B C 成等差数列，则直线21:(sin )(sin )0l A x A y a +-=与22:(sin )(sin )0l B x C y c +-=的位置关系（） ()A 重合 ()B 相交不垂直 ()C 垂直 ()D 平行2．点(1,1)到直线cos sin 1x y θθ+=的距离为()f θ的最大值是（）()A 2 ()B 3 ()C 1 ()D 13．设直线1l ：(1)(2)30m x m y ++--=与直线2l ：(2)(51)20m x m y -+-+=. ①若互相垂直，则m 的值为；②若没有公共点，则m 的值为 .4．已知三角形的三个顶点为(3,3)A 、(2,2)B -、(7,1)C -．（1）A ∠= ；（2）A ∠的平分线AD 所在的直线方程为 .5．点(7,1)P -关于直线:250l x y --=的对称点Q 的坐标为．四．例题分析：例1．光线从点(2,4)A -射出，经直线l ：270x y --=反射，反射光线过点(5,8)B ．（1）求入射光线所在直线方程；（2）求光线从A 到B 经过的路程S .例2．已知ABC ∆的顶点(31)A -，过点B 的内角平分线的方程是4100x y -+=，过点C 的中线方程为610590x y +-=，求顶点B 的坐标和直线BC 的方程．例3．求过点(2,3)A 且被两直线1l ：3470x y +-=，2l :3480x y ++=所截得的线段长.五．课后作业：1．过点(1,2)P 引直线，使它与两点(2,3)A 、(4,5)B -距离相等，则此直线方程为（）()A 2370x y +-=或460x y +-= ()B 460x y +-=()C 3270x y +-=或460x y +-= ()D 46x y +=2．把直线y x =绕原点逆时针方向转动，使它与圆22230x y y ++-+=相切，则直线转动的最小正角是（）()A 3π ()B 2π ()C 23π ()D 56π 3．等腰三角形底边所在的直线1l 的方程为10x y +-=,一腰所在的直线2l 的方程为220x y --=,点(2,0)-在另一腰上,则此腰所在的直线3l 的方程为 .4．已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(4,2)，P 为线段OA 垂直平分线上的一点，若OPA ∠为锐角，则点P 的横坐标x 的取值范围是．5．△ABC 中，顶点(9,1)A 、(3,4)B 、内心(4,1)I ，则顶点C 的坐标为．6．已知直线1l ：10x y +-=，2l ：230x y -+=，求直线2l 关于直线1l 对称的直线l 的方程.7．已知三条直线1l ：0mx y m -+=，2l ：(1)0x my m m +-+=，3l ：(1)(1)0m x y m +-++=，它们围成ABC ∆.（1）求证：不论m 取何值时，ABC ∆中总有一个顶点为定点；（2）当m 取何值时，ABC ∆的面积取最大值、最小值？并求出最大值、最小值.8．已知正方形的中心为直线220x y --=和10x y ++=的交点，正方形一边所在直线的方程为350x y +-=，求其它三边所在的直线方程．。

空间直线的位置关系

空间直线的位置关系空间直线的位置关系是几何学中的一个重要概念，它描述了两条直线在空间中的相对位置。

通过理解和掌握空间直线的位置关系，我们可以更好地解决与直线相关的几何问题，推导出更多的几何定理和公式。

本文将从定义、分类及应用等方面进行论述，以帮助读者全面了解并掌握空间直线的位置关系。

一、定义空间直线的位置关系是指两条直线在空间中的相对位置。

简单来说，就是描述了两条直线是相交、平行还是重合这三种情况。

对于空间中的两条直线，它们的位置关系可以通过它们的夹角、交点及方程等来确定。

二、分类根据两条直线的夹角可以将空间直线的位置关系分为以下三种情况：相交、平行和重合。

1. 相交：当两条直线在空间中有且仅有一个交点时，它们被称为相交。

相交的直线可能有不同的夹角，可以是钝角、直角或锐角。

2. 平行：当两条直线在空间中没有任何交点时，它们被称为平行。

平行的直线在平面几何中有一些特殊的性质，比如平行线之间的距离是不变的。

3. 重合：当两条直线在空间中完全重合时，它们被称为重合。

重合的直线具有相同的方向和位置，可以看作是同一条直线。

三、具体应用空间直线的位置关系在几何学的研究和实际应用中都有着广泛的应用。

以下是一些具体的应用举例：1. 平面几何：在平面几何中，通过研究空间直线的位置关系，可以推导出关于平行线和垂直线的性质。

比如，两条平行直线与一条横切线之间的夹角是相等的；垂直直线之间的夹角是90度等。

2. 三维几何：在三维几何中，研究空间直线的位置关系可以帮助我们解决关于直线与平面的交点、直线与平面的夹角等问题。

比如，两条直线在三维空间中的夹角可以通过它们的方程来计算。

3. 工程应用：在工程领域中，研究空间直线的位置关系可以帮助我们确定建筑物的结构、设计物体的形状等。

比如，在设计桥梁或隧道时，需要考虑到直线的平行关系，以保证结构的稳定性和安全性。

四、应用案例为了更好地理解空间直线的位置关系的应用，下面以一个具体案例进行说明。

高三数学一轮复习两条直线的位置关系课件

（2）过 A1x + B1y + C1 = 0 与 A2x + B2y + C2 = 0 的交点的直线方程为：(A1x + B1y + C1) + λ(A2x + B2y + C2) = 0 (λ∈R 且不包含直线 A2x + B2y + C2 = 0).
例1
已知两直线 l1：mx + 8y + n = 0 和 l2：2x + my –1= 0，试确定 m、n 的值，使（1）l1 与 l2 相交于点 P (m，–1)；
（2）l1 与 l2 的夹角是指它们相交所成的锐角或直角θ，θ∈ [0,

2 k 2 k1 tan | | ( k1k 2 1) 1 k 2 k1
].
3．点到直线的距离，两条平行线的距离
3．点到直线的距离，两条平行线的距离
（1）设点 P(x0,,,y0),直线 l : Ax By C 0, 则 P 到 l 的距离：
1．两直线的位置关系的判定
方法二：
若直线 l1 和 l2 存在斜截式方程 l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则
1．两直线的位置关系的判定
方法二：
若直线 l1 和 l2 存在斜截式方程 l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则
（1）直线 l1∥l2 的充要条件是 k1=k2 且 b1≠b2.
特况： l1 l 2 A1 A2 B1 B2 0
1．两直线的位置关系的判定
方法一：
设直线 l1 : A1 x B1 y C1 0, l 2 : A2 x B2 y C 2 0 ( A1、B1不同为0；A2、B2不同为0） .