有限元理论计算实例及其Ansys仿真分析

dξ
计算外界作用矩阵
P
[ ] ∫ P1
=
+11 (1 − ξ )(1 −η )⋅10 ⋅
−1 4
(4 −η )2
+ (2 + 2η )2
1
2 dξ
= 50
[ ] ∫ P2
=
+1 1 (1 + ξ )(1 −η )⋅10 ⋅
−1 4
(4 −η )2
+ (2 + 2η )2
1
2 dξ
= 50
P3 = P4 = 0
∫ ∫ Ke
=
+−11+−11⎜⎜⎝⎛
∂N i ∂ξ
∂N j ∂ξ
+
∂N i ∂η
∂N j ∂η
⎟⎟⎠⎞ J
dξdη
1
∫ Pe
=
+1
N
−1
~
q
⎢⎢⎣⎡⎜⎜⎝⎛
∂x ∂ξ
⎟⎟⎠⎞2
+ ⎜⎜⎝⎛
∂y ∂ξ
⎟⎟⎠⎞
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
2
dξ
边界条件为η = 1或η = −1。
因为各节点的形函数为
N1(ξ ,η )
=
1 4
(1 −
ξ
)(1−η )
N2
(ξ
,η
)
=
1 4
(1 +
ξ
)(1
−η
)
N3
(ξ
,η
)
=
1 4
(1
+
ξ
)(1
+
η
)
N4
(ξ
,η
)
=
1 4
(1 −
ξ
)(1 + η
)
所以
4
yihe2212@
∂N1 = − 1 (1 −η )
∂ξ 4
∂N1 = − 1 (1 − ξ )
∂η 4
∂N2 = 1 (1 −η )
7
yihe2212@
1
∫ Pe
=
+1
N
−1
~
q
⎢⎢⎣⎡⎜⎜⎝⎛
∂x ∂ξ
⎟⎟⎠⎞2
+
⎜⎜⎝⎛
∂y ∂ξ
⎟⎟⎠⎞
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
2
dξ
计算外界作用矩阵
P
P1 = P2 = 0
[ ] ∫ P3
= +1 1 (1 + ξ )(1 +η )⋅10 ⋅
−1 4
(4 −η )2
+ (2 + 2η )2
−
10φ
1 2
+
⎜⎛ ⎝
−
5
−
15 4
⎟⎠⎞φ32
−
15 2
φ42
−
5 2
φ52
+ ⎜⎛ 55 ⎝3
+
55 4
⎟⎠⎞φ62
=
0
8
yihe2212@
并令 φ1
= φ11 ,φ2
= φ21 ,φ3
= φ31
=
φ
2 3
,φ
4
=
φ
2 4
,
φ5
= φ52 ,φ6
=
φ
1 6
= φ62
将上述等式写成矩阵形式，得到整体的求解格式：
其雅克比矩阵为：
3
yihe2212@
J2
=
⎜⎛ ⎜ ⎜
∂x
∂ξ ∂x
⎜⎝ ∂η
∂y
∂ξ ∂y
∂η
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
=
⎜⎛ ⎜ ⎜⎜⎝
3 − 3η 22 − 9 − 3ξ 22
9 + 1η ⎟⎞
2 2⎟
3 2
+
1 2
ξ
⎟⎟⎠
且其行列式
J2
= 15 (3 + ξ ) ≠ 0 ，即
2
J2
重新调整组合方程：
⎜⎛ 455 − 35 −10 − 20 − 5 − 15 ⎟⎞
⎜ 12 4
3
2⎟
⎜ ⎜
−
35 4
⎜
⎜ −10
⎜ ⎜
−
20
⎜3
⎜ −5
⎜ ⎜⎜⎝
−
15 2
385
12 − 10
3
− 10 − 15
2 −5
2
− 10 3
55 3
−5 0 0
−10 − 15 2
−5 0
65
3 0
0 65
φ52
+
⎜⎛ ⎝
−
5
−
15 4
⎟⎠⎞φ62
=
0
P4
=
P42
= 0 ⋅φ11
+
0
⋅
φ
1 2
− 5φ32
+
65 4
φ42
−
15 4
φ52
−
15 2
φ62
= 50
P5
=
P52
=
0 ⋅φ11
+
0
⋅
φ
1 2
−
15 2
φ32
−
15 4
φ42
+
55 4
φ52
−
5 2
φ
2 6
=
50
P6
=
P61
+
P62
=
−
10 3
φ11
∂N j ∂η
⎟⎟⎠⎞ J
dξdη 计算刚度矩阵
∫ ∫ K11
=
+−11+−11⎜⎜⎝⎛
∂N1 ∂ξ
∂N1 ∂ξ
+
∂N1 ∂η
∂N1 ∂η
⎟⎟⎠⎞
J
dξdη
=
∫ ∫+1+1⎧⎡
−1−1⎩⎨⎢⎣
1 4
(1
−
η
)
1 4
(1
−
η
)⎥⎦⎤
+
⎡ ⎢⎣
1 4
(1
−
ξ
)
1 4
(1
−
ξ
)⎥⎦⎤
⎬⎫(30
⎭
+
10ξ
)dξdη
∂N 2 ∂η
⎟⎟⎠⎞ J
dξdη
=
65 3
∫ ∫ K34
=
+1 −1
+−11⎜⎜⎝⎛
∂N1 ∂ξ
∂N 2 ∂ξ
+
∂N1 ∂η
∂N 2 ∂η
⎟⎟⎠⎞ J
dξdη
=
−5
∫ ∫ K44
=
+1 −1
+−11⎜⎜⎝⎛
∂N1 ∂ξ
∂N 2 ∂ξ
+
∂N1 ∂η
∂N 2 ∂η
⎟⎟⎠⎞
J
dξdη
=
55 3
因为刚度矩阵 K 为对称阵，故
∂N 2 ∂ξ
∂N 3 ∂ξ
+
∂N 2 ∂η
∂N 3 ∂η
⎟⎟⎠⎞ J
dξdη
=
− 20 3
∫ ∫ K24
=
+1 −1
+−11⎜⎜⎝⎛
∂N 2 ∂ξ
∂N 4 ∂ξ
+
∂N 2 ∂η
∂N 4 ∂η
⎟⎟⎠⎞ J
dξdη
=
−10
∫ ∫ K33
=
+1 −1
+−11⎜⎜⎝⎛
∂N1 ∂ξ
∂N 2 ∂ξ
+
∂N1 ∂η
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
=
⎜⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
50 50 0 0
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
对于单元②，J2来自= 15 (3 + ξ ) =
2
3 4
J1
，根据公式
∫ ∫ Ke
=
+−11+−11⎜⎜⎝⎛
∂N i ∂ξ
∂N j ∂ξ
+
∂N i ∂η
∂N j ∂η
⎟⎟⎠⎞ J
dξdη ，有 K2
=
3 4 K1
故单元②的刚度矩阵为
K 21
=
K12
=
−5, K31
=
K13
=
−10, K32
=
K 23
=
− 20 , 3
K 41
=
K14
=
−
10 3
,
K
42
=
K 24
=
−10, K 43
=
K 34
=
−5
故，对于单元①，刚度矩阵为
⎜⎛ 55 − 5 −10 − 10 ⎟⎞
⎜3
3⎟
K1
⎜
=
⎜ ⎜
−5
⎜ −10
⎜ ⎜⎜⎝
−
10 3
65
3 − 20
∫ ∫ K14
=
+−11+−11⎜⎜⎝⎛
∂N1 ∂ξ
∂N 4 ∂ξ
+
∂N1 ∂η
∂N 4 ∂η
⎟⎟⎠⎞ J
dξdη
=
− 10 3
∫ ∫ K22
=
+1 −1
+−11⎜⎜⎝⎛
∂N 2 ∂ξ
∂N 2 ∂ξ
+
∂N 2 ∂η
∂N 2 ∂η
⎟⎟⎠⎞ J
dξdη
=
65 3
∫ ∫ K23
=