电源输出功率与外电阻的关系

电源输出功率与外电阻的关系
一、电源的最大输出功率
在电源负载为纯电阻时，电源的输出功率与外电阻R的关系是：P出=I2R=
.
r4
R
)r
R(
E
Rr
4
)r
R(
RE
)r
R(
RE
2
2
2
2
2
2
+
-
=
+
-
=
+
由此式可以看出，当外电阻等于内电阻（即R=r）时，电源输出功率最大，最大输出功率为r4
E
P
2
m
=
. 电源的输出功率P出与外电阻R 的关系可以用P出—R图象表示，如图1所示. 由图象可知，对应于电源的非最大输出功率P 可以有不同的外电阻R1和R2，且R1R2=r2（请同学们自己证明）. 由图象还可以看出，当R<r时，若R增大，则P出增大；当R>r时，若R增大，则P出减小.
注意：1. 推导此关系式时，R是可变电阻，r是定值电阻. 当外电阻等于内电阻，即R=r 时，电源输出功率最大，最大输出功率为r4
E
P
2
m
=
；若R与r不相等，则R值越接近r的值，P出越大.
2. 电源的输出功率与电源的效率是完全不同的物理量. 电源的效率
R
r
1
1
r
R
R
)r
R(
I
R
I
2
2
+
=
+
=
+
=
η
，所以当R增大时，效率η提高. 当R=r时，电源有最大输出功率，但效率仅为50％，效率并不高.
二、电源的外特性曲线
如图2所示，在电源的外特性曲线上某点纵坐标和横坐标值的乘积为电源的输出功率，图中阴影矩形的面积表示电源的输出功率，当2
E
U=
时，电源输出功率最大. （请同学们想一想，为什么？）
例1、如图3所示，电源的电动势E=2V ，内阻r=1Ω，定值电阻R 0
=2Ω，变阻器R 的阻值变化范围为0~10Ω，求：
（1）变阻器R 的阻值为多大时，R 0消耗的功率最大？
（2）变阻器R 的阻值为多大时，R 上消耗的功率最大？是多少？ （3）变阻器R 的阻值为多大时，电源的输出功率最大？是多少？
解析（1）R 0消耗的功率
02
0R U P =
，由于R 0是定值电阻，故R 0两端的电压越大，R 0消耗的功率P 0越大. 而路端电压随着外电阻的增大而增大，所以当R=10Ω时，R 0消耗的功率最大.
（2）可以把电源和定值电阻R 0合起来看作一个等效电源，等效电路图如图4所示，等效电源的电动势E ′=V 34V 2122E r
R R 00=⨯+=+，等效内阻r ′=Ω
=Ω+⨯=+321221r R rR 00，当R=r ′时，即32R =
Ω时R 上消耗的功率最大，.
W 32
W 324)34
(r 4E P 2
2
max R =⨯=''=
（3）当外电路电阻与内电路电阻相等时，电源输出功率最大，即
r
R R R
R P 00=+=
外时，
代入数值得：R=2Ω时，电源输出功率最大. 最大输出功率.
W 1W 142r 4E P 2
2max =⨯==
例2、如图5所示的电路中，当电键K 断开和闭合时，电源的输出功率完全相同. 已知R 1=9Ω，R 2=7.2Ω，求当K 断开时R 1上消耗的功率P 和K 闭合时R 1上消耗的功率P 1之比.
解析：K 闭合时，R 1、R 2并联，其并联电阻为
=
+=
212
112R R R R R 4Ω，由于当电键K 断
开和闭合时，电源的输出功率完全相同，据2
121r R R =可得==121R R r 6Ω，所以有：当
K 断开时R 1上消耗的功率
21)r R E
(
P +=·225E 9R 21=；当K 闭合时R 1上消耗的功率
925E 4R )R r
R E
(
P 2
1
2
12121⨯=
⋅+=
，所以有：.49P P 1=
3、（2005江苏物理卷）如图所示，R 为电阻箱，○V 为理想电压表．当电阻箱读数为R 1=2Ω时，电压表读数为U 1=4V ；当电阻箱读数为R 2=5Ω时，电压表读数为U 2=5V ．求：
(1)电源的电动势E 和内阻r 。

(2)当电阻箱R 读数为多少时，电源的输出功率最大?最大值P m 为多少?
解：（1）由闭合电路欧姆定律： 1
11
U E U r R =+
2
22
U E U r R =+
联立上式并代入数据解得：6E V = 1r =Ω
（2）由电功率表达式：2
2
()
E P R R r =+ 将上式变形为：2
2
()4E P R r r R
=-+
由上式可知1R r ==Ω时P 有最大值
2
94m E P W r
==
在电路的学习中，有一类涉及到求解电路中某个用电器消耗功率的最大值问题。

此类问题可根据功率的计算公式利用数学函数求极值的方法得解，但若能结合图像、数形结合将给此类问题的解决带来很大的方便。

问题的提出：在图1所示的闭合回路中，已知电源电动势为E ，电源内电阻为r ，滑动变阻器的最大阻值为R 且R>r ，问当滑动变阻器阻值取多少时电源的输出功率最大？
分析与解答：此题中求电源的输出功率最大值即滑动变阻器R 消耗的功率最大值，根据功率的计算公式R I P 2=和闭合电路的欧姆定
律r R E I +=可得()2
2
2
r R R
E R r R E P +=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=。

我们对上式作一变换即()()R
Rr
r R E r R R E P 42
2
22+-=+=可见当R=r 时，电源的输出功率即滑动变阻器消耗的功率达最大值r
E P m 42
=。

现在我们对()()R
Rr
r R E r R R E P 42
2
22+-=+=
式子加以讨论分析如下：（1）当R>r 时，由数学知识可知R 增大时P 减小；R 减小时P 增大。

（2）当R<r 时，可把上述表达式变化为
()
()
R
Rr
R r E r R R
E P 42
2
2
2+-=
+=
，由数学知识可知当R 增大时，P 增大；R
减小时，P 减小。

根据上述的讨论结果，我们可大致的作出电源的输出功率P 和外电阻的关系图像，如图2所示。

由图2可知，对同一个电源而言当外电阻取两不同阻值时，电源消
耗的功率却是相同的。

当外电阻分别取R 1和R 2时，据22
2121R I R I =可得
2
2
2121R r R E R r R E ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，可得到21R R r =。

拓展应用1：如图3所示，已知电源电动势E ，内阻r ，R 0为一定值电阻，滑动变阻器最大阻值R ，R>R 0+r 且R 0<r 问当R= 时，电源的输出功率最大；R= 时，滑动变阻器R 消耗的功率
最大；R= 时，定值电阻R 0消耗的功率最大。

分析与解答：由上文讨论可知，电源的输出功率取最大值的条件是
外电阻的阻值和电源内阻相等，因此只要令R+R 0=r 即可，所以R=r-R 0时电源的输出功率最
E r R。

s
图1
P R 1 R 2
r O
P 图2
0R
图3 E r
大；欲求滑动变阻器消耗的功率最大值，因滑动变阻器为可变电阻，R 0为定值电阻，可将R 0等效为电源内阻即可，即令R=R 0+r 即可；因R 0为定值电阻，只要令通过R 0的电流取最大值即可，所以令R=0即可让定值电阻R 0消耗的功率取最大值。

拓展应用2：在闭合电路中，已知外电阻R 大于内电阻r ，则当外电阻增加时，下列判断中正确的是（ ）
（A ）总电流一定减小 （B ）端电压一定增大
（C ）电源内电路电压一定增大 （D ）电源输出功率一定减小
分析与解答：根据闭合电路的欧姆定律r
R E I +=可知，当R 增加时，电
路总电流减小，A 正确。

据端压Ir E U -=可知，当I 减小时，由于电源内阻不变，即内电压减小，端压U 增大，所以B 正确。

至于选项D 电源输出功率的变化趋势，若能结合电源输出功率P 与外电阻R 之间的函数图像来做，则很容易得解，由于外电阻R>r ，如图4所示，当外电阻R 增大时对应图像右半部分输出功率是减小的，所以选项D 很容易判断出是正确的，本题答案ABD 。

4、
如图所示，R 1为滑动变阻器，R 2、R 3为定值电阻，r 为电源内阻，3R r >。

闭合开关S 后，在滑动触头P 由a 端滑向b 端的过程中，下列表述正确的是（ ）
A 、路端电压变小
B 、电流表的示数变大
C 、电源内阻消耗的功率变小
D 、电源输出功率变大
【解题思路】在滑动触头P 由a 端滑向b 端的过程中，R 1阻值减小，回路中总电阻R 变小，干路电流I 增大，内电压U 内增大，路端电压U 变小，故A 对。

通过R 3的电流（即干路电流I ）增大，R 3两端电压U 3增大，并联电路两端电压U //减小，通过R 2电流I 2减小，电流表示数变小，故B 错。

I 增大，内电阻消耗功率P r 增大，故C 错。

由于R 外=R 并+R 3>r ，根据电源输出功率与外电阻的图线变化规律可知，当R 外=r 时，P 外有最大值；R 外＜r 时，P 外随R 外的增大而增大；R 外＞r 时，P 外随R 外的增大而减小。

所以当外电阻减小时，P 外变大，故D 对。

【答案】AD
图4
3。