数阶幻方的编排方法

数阶幻方的编排方法

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奇数阶幻方的编排方法

简便易学的编排方法。

一、九子排列法

宋朝数学家杨辉在《续古摘奇算法》中，总结“洛书”幻方的编排方法时说：三阶幻方的编排方法是“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”。

这四个句子是什么意思呢我们通过下面的一组图来加以理解。

先画出一个3×3的“九宫格”，并在第二列上、下方和第二行左、右边各添加一个虚线格子，把1～9这九个数字按顺序写在如上图所示的三排斜线上，然后上、下对调，左右交换，（因为我们是在格子上进行排列，就不必再进行“四维挺出”了），最后将虚线格子擦掉就可以了。

利用这种方法我们就很容易得到幻方（一）中例1的图A。但是这种方法有一定的局限性，只能编排三阶幻方，如果要编排5×5，7×7，9×9，……等奇数阶幻方又该怎么办呢我们继续看第二种方法。

二、罗伯法

请大家注意观察幻方（一）中例1的图H，可以总结出下面的编排方法：

1、在第一行正中央的方格子中填上1；

2、按斜上方向在1的右上角填入2，但出上框了，这时要把2改填在2所在这一列的最下边；

3、按斜上方向在2的右上角填入3，又出右框了，把3改填在3所在这一行的最左边；（上图1）

4、按斜上方向在3的右上角填入4，但与先填入的1重合了，这时就把4改填在3的下面，然后把

5、6依次按斜上方向填入方格内；

5、按斜上方向在6的右上角填入7，但出框的右上角，这时就把7改填在6的下面，（与重合相同）。

重复上面的做法，把8、9依次填入方格中，这样就得到了图2，与左边的图H完全相同。

这种编排奇数阶幻方的方法叫“罗伯法”。使用“罗伯法”时总是向右上的斜行方向进行编排。编排过程中会出现五种情况：“第一行正中央排什么数”、“排出上框怎么办”、“排出右框怎么办”、“排重复了怎么办”、“排出右上角怎么办”

为了便于记忆，我们把罗伯法概括成下面的的几句话：

1居上行正中央，依次斜排莫忘记；上出框时往下写，右出框时左边放；重叠就在下格填，右上出框一个样。

罗伯法不仅可以编排三阶幻方，而且可以编排任何奇数阶幻方。下图就是用罗伯法编排的五阶幻方，请大家在方格子中跟着做一、二次，并逐行、逐列及对角线检验幻和是否正确。

三、巴舍法

下面以五阶幻方为例，再介绍一种奇数阶幻方的编排方法。步骤如下：

① 先画出一个5×5（五行五列）的方格，在方格的四周画出凸阶梯式的虚线方格（如下图1）

② 把1～25这二十五个数按斜行方向从左到右依次填入图中（如上图2）；

③ 以3、15、23、11四个数为顶点（实际上就是五阶幻方的四个顶点）画出一个正方形；

④ 把正方形外面凸出的虚线方格中的数按“上移下，下移上；左移右，右移左”的方法，全部平移5格到对应部分的方格中，擦掉虚线格子，就得到一个五阶幻方（见下图）。

这种编排幻方的方法叫“巴舍法”，也叫平移补空法，它和“罗伯法”一样，也适用于一切的奇数阶幻方的编排。

需要提醒大家注意的是，在步骤②中，填写1～25这二十五个数时，可以从左向右上填写，也可以从右向左上填写，或者从上向右下填写，还可以从上向左下填写，其移动后的结果都是一个五阶幻方，同学们可以自己动手试一试。

另外，编排n 阶幻方时，不一定非要从1开始，只要是这些数能构成等差数列就可以了。

练习 （一定要完成的哦）

1、使用“罗伯法”将4～12编排一个三阶幻方。

2、用“罗伯法”将

21、31、32、41、43、61、121、125、127编成一个三阶幻方。

3、使用“巴舍法”将1～49编排一个七阶幻方。

双偶数阶幻方的编排方法

一、中心对称交换法

例1、用1～16这十六个数编排一个四阶幻方（四行四列）。

【分析与解答】用1至16编排一个四阶幻方，就是把1～16这十六个数填入四行四列的方格内，使每行、每列、两条对角线上的四个数的和都相等。

先计算这个相等的和是多少也就是前面学过的幻和：（1＋2＋3＋…＋15＋16）÷4＝34。

再想办法将这十六个数排列成幻和是34的四阶幻方。

①先把1～16按顺序填入4×4的方格中（如下图A）；我们把图A称为四阶自然方阵。

这时可以发现，两条对角线上的四个数的和都恰好是34，其它每行、每列上四个数的和都不是34，因此，这两条对角线上的八个数都不动，作为四阶幻方两条对角线上的数。

②观察自然方阵（图A）中的第一列和第四列。

第一列上四个数的和是1＋5＋9＋13＝28，比34少6；第四列上四个数的和是4＋8＋12＋16＝40，比34多6。为了使第一列和第四列上四个数的和分别是34，只要把这两列中对角线以外的相应的数（即5和8，9与12）相互交换就可以了（图B）。

同样地，为使第二、三列上的四个数的和也是34，只要把这两列中对角线以外的相应的数（即2与3，14与15）相互交换就可以了（图C）。

③再观察上图C的第一、第四行。

第一行上四个数的和是1＋3＋2＋4＝10，比34少24；第四行上四个数的和是13＋15＋14＋16＝58，比34多24。为了使第一行和第四行上四个数的和分别是34，只要把这两行中对角线以外的相应的数（即2和14，3与15）相互交换就可以了。

同样地，为使第二、三行上的四个数的和也是34，只要把这两行中对角线以外的相应的数（即8与12，5与9）相互交换就可以了。交换后的结果见图D，这就是一个四阶幻方。

这样编排太复杂了！能不能由四阶自然方阵直接得到四阶幻方

对比图A与图D可以发现：只要把图A中的2与15，3与14，5与12，8与9互相交换，就可以直接得到图D（见下图）。

那么，2与15，3与14，5与12，8与9是什么关系呢不难看出，它们的位置是“对称”的。例如2在从上往下、从左往右数的第一行第二列，而15在从下往上、从右往左数的第一行第二列。又如，9在从上往下、从左往右数的第三行第一列，而8在从下往上、从右往左数的第三行第一列。我们把这样的两个数叫“中心对称数”，也就是说只要把四阶自然方阵中对角线以外的数作中心对称交换就可以直接得到四阶幻方，把这种编排双偶数阶幻方的办法叫“中心对称交换法”。

由例1可以看到，用“中心对称交换法”编排四阶幻方的主要步骤归纳如下：

①把1～16按顺序排成四阶自然方阵；