初等代数研究课后习题答案

初等代数研究课后习题

20071115033 数学院 07（1） 杨明

1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即

（1）对任何N b a ∈,，当且仅当b a <时，a b >.

（2））对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立.

证明：对任何N b a ∈,，设a A ==，b B ==

（1）“⇒” b a <，则B B ⊂∃,,使,~B A ，A B B ~,⊃∴,a b >∴

“⇐” a b >，则B B ⊂∃,,使A B ~,，B B A ⊂∴,~,b a <∴

综上 对任何N b a ∈,，b a <⇔a b >

（2）由（1）b a <⇔a b > b a <∴与b a >不可能同时成立，

假设b a <∴与b a =同时成立，则B B ⊂∃,,使,~B A 且B A ~， ,~B B ∴与B 为有限集矛盾，b a <∴与b a =不可能同时成立，

综上，对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立..

2、证明自然数的加法满足交换律.

证明：对任何N b a ∈,设M 为使等式a b b a +=+成立的所有b 组成的集合

先证 a a +=+11，设满足此式的a 组成集合k ，显然有1+1=1+1成立

φ≠∈∴k 1，设k a ∈，a a +=+11，则

+++++++=+=+==+a a a a a 1)1()1()(1

k a ∈∴+

，N k =∴， 取定a ，则1M φ∈≠，设,b M a b b a ∈+=+，则 ()()a b a b b a b a +++++=+=+=+ ,b M M N +∴∈∴= ∴ 对任何N b a ∈,，a b b a +=+

3、证明自然数的乘法是唯一存在的

证明：唯一性：取定a ，反证：假设至少有两个对应关系,f g ，对b N ∀∈，有 (),()f b g b N ∈，设M 是由使()()f b g b =成立的所有的b 组成的集合， ()()1f b g b a ==⋅ 1M φ∴∈≠ 设b N ∈则()()f b g b =()()f b a g b a ∴+=+ ()()f b g b ++∴=，b M +∴∈，M N ∴= 即b N ∀∈，()()f b g b =

乘法是唯一的

存在性：设乘法存在的所有a 组成集合K 当1a =时，b N ∀∈，

111,1111b b b b ++⋅=⋅==+=⋅+ φ≠∈∴k 1，设a K ∈，b N ∀∈， 有,a b 与它对应，且1a a ⋅=，ab ab a +=+，对b N ∀∈，令a b ab b +

=+ 1111a a a a ++⋅=⋅+=+=

1

()(1)

a b ab b ab a b ab b a a b a ++++++

=+=+++=+++=+

a K +∴∈ K N ∴= 即乘法存在

p24—5、解：满足条件的A 有1{1,2}A =，2{1,2,3}A =，3{1,2,4}A =，4{1,2,5}A = 5{1,2,3,4}A =，6{1,2,3,5}A =，7{1,2,4,5}A =，8{1,2,3,4,5}A = 123456782,3,4,5A A A A A A A A ========∴========基数和为23343528+⨯+⨯+= p24—6、证明：,A a B b ==，A 中的x 与B 中的y 对应 A B ab ∴⨯=，B A ba ab ∴⨯==

A B ab ⨯= A B A B B A ∴⨯=⋅=⨯

p24—8、证明：1）3+4=7

3134++== 3231(31)45+++

+=+=+== 3332(32)56+++

+=+=+==

3433(33)67++++=+=+==

2）3412⋅= 313⋅= 32313136+⋅=⋅=⋅+=

33323239+⋅=⋅=⋅+=

343333312+⋅=⋅=⋅+=

p24—12、证明：1）()m n m n ++++

+=+

()1(1)m n m n m n m n +++++++=++=++=+

2）()mn nm m +++

=+ ()1(1)mn mn mn m nm m ++++=+=++=+

p26—36、已知(,)f m n 对任何,m n N ∈满足

(1,)1(1,1)(,2)(1,1)(,(1,))f n n f m f m f m n f m f m n =+⎧⎪+=⎨⎪++=+⎩

求证：1）(2,)2f n n =+

2）(3,)22f n n =+

3）1(4,)22n f n +=-

证明：1)当1n =时，(2,1)(11,1)(1,2)2112f f f =+==+=+结论成立，

假设n k =时，结论成立，即(2,)2f k k =+，

当1n k =+时，

(2,1)(11,1)(1,(2,))(1,2)(2)1(1)2

f k f k f f k f k k k +=++==+=++=++ 所以对一切自然数结论都成立

2）当1n =时，(3,)(21,)(2,2)22212f n f n f =+==+=⋅+结论成立 假设n k =时，结论成立，即(3,)22f k k =+

当1n k =+时，

(3,1)(21,1)(2,(3,))

(2,22)2222(1)2

f k f k f f k f k k k +=++==+=++=++

所以对一切自然数结论都成立 3）当1n =时，11(4,1)(31,1)(3,2)2222

2f f f +=+==⨯-=-结论成立 假设n k =时，结论成立，即1(4,)2

2k f k +=- 当1n k =+时，

112(4,1)(3,(4,))(3,22)

2(22)222k k k f k f f k f ++++==-=-+=-

所以对一切自然数结论都成立

p62—1、证明定理2.1