数学：3.1.1变化率问题课件(新人教A选修1-1)

3丄1变化率问题

微积分主要与四类问题的处理相关: • 一.已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体

在任意时刻的速度与加速度等；

•二、求曲线的切线；

•三、求已知函数的最大值与最小值；

•

△导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减.变化快慢.最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

问题1气球膨胀率

气球的体积V（单位:L）与半径/（单位:dm）之间的函数关系是若将半径r表示为体积V的函数，那么

气球的平均膨胀率为

当空气容量V从1L增加到2 L,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

思考:

・当空气容量从£增加到V?时，气球的平均膨胀率是多少？

心)—心!)

岭一X

问题2高台跳水

如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态，那么：

^0 < t <0.5这段时间里，

&

探究:

例题:

在考察yc—『B的同时必须考察Xc—X B，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的

改变。

先―力

现在回答问题"气温陡增”

它的数学意义是什么?

定义:

式子称为函数/（兀）从X1到兀

2

的平均变化率.

令△x =工2""兀1，△ y = f（工2）"~f（兀1）'则

理解：

1, 舟子中Ay的值可正、可负，但的△兀值不能为0, 的值可以为0 2, 若函数化兀）为常函数时，\y=0 3, 变式

・观察函数f(x)的图象

思考:

Y=f(x)

B

f(x 2)-f(x 1

1

o

X

1 X 2

平均变化率n 叫

— X x f(x 2) I- 表示什么？

直线AB 的

⑴【-3,"］； (2) [ 0,5 ].

练习

• 1、已知函数f(x)=-x 2

+x 的图象上的一点A(・ 1,・2)及临吋点 B(-1+Ax,-2+Ay),则 3仏)＜二( A 3

B 3Ax-(Ax)2

2X Q +A

X

3 •甲用5年时间挣到10万元乙用5个月时间挣到2

万

元,如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?

4•已知函数/ (x) = 2x+1s g(x)=-2x,分别计算在下列区间上/(工)及g (无)的平均变化率.

小结：

・1 •函数的平均变化率

• 2■求函数的平均变化率的步骤：⑴求函数的增量Ay傀网(冷);

⑴【-3,"］；(2) [ 0,5 ].

(2)计算平均变化率