数学：3.1.1变化率问题课件(新人教A选修1-1)

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14【数学】3.1.1《变化率与导数》课件(新人教A版选修1-1)

s t
150 10
54(km
/
h)
平均速度反映了汽车在前10秒内的快慢程度，为了了解汽车的性
能，还需要知道汽车在某一时刻的速度——瞬时速度．
第8页，共37页。
已知物体作变速直线运动，其运动方程为
s＝s(t)(ｓ表示位移，t
时刻的速度．
表示时间)，求物体在
t0
如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0，在时刻t0 +t
（单位： m），求运动员在
时的瞬时
t 1s
速度，并解释此时的运动状态;在
呢?
t 0.5s
第21页，共37页。
h h(1 t) h(1)
t
t
4.9(t 1)2 6.5(t 1) 10 4.9 12 6.5 1 10
t
4.9t 3.3
h/ 1
lim h
t0 t
（陡峭程度）
大小
画切线（数形结合，以直代曲）
以简单对象刻画复杂的对象
第31页，共37页。
(2) 曲线在 t0时，切线平行于x轴，曲线在
t
附近比较平坦，几乎没有升降．
0
曲线在 t1 , t处2 切线
l1 ,的l 2 斜率
h/
(t1 ), h / (t2
小0 于
)0
大于
在 t1 , t附2 近t3 ,，t曲4 线
-0.00001 -13.099951 0.00001 -13.100049
第14页，共37页。
高台跳水 h(t) 4.9t 2 6.5t 10
v h h(t t) h(t)
t
t
h(2 t) h(2)
v(2) lim
t 0

高中数学选修1-1精品课件2：3.1.1 变化率问题

[点评] 瞬时速度是平均速度在 Δt→0 时的极限值．因此，要求瞬时速度，应先求出平均速度．
(2012～2013 学年度山东潍坊高二期末测试)已知物体的运
动方程是 S＝－4t2＋16t(S 的单位为 m；t 的单位为 s)，则该物
体在 t＝2s 时的瞬时速度为( )
A．3m/s
B．2m/s
C．1m/s
题目类型二、瞬时变化率
[例 2] 以初速度 v0(v0＞0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为 s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻 t0 处的瞬时速度．
[解析] ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－(v0t0－12gt02)＝(v0 －gt0)Δt－12g(Δt)2，
∴ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt，当 Δt→0 时，ΔΔst→v0－gt0. 故物体在时刻 t0 的瞬时速度为 v0－gt0.
题目类型一平均变化率
[例 1] 求函数 y＝x3 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．
[分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．
[解析] 当自变量从 x0 变化到 x0＋Δx 时，函数的平均变化率为fx0Δ＋xΔx＝x0＋ΔΔxx3－x03＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2.
3．瞬时变化率、瞬时速度
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
4．一般地，如果物体的运动规律是 s＝s(t)，那么物体在
时刻 t 的瞬时速度 v，就是物体在 t 到 t＋Δt 这段时间内，当 Δt→0
时平均速度的极限，即 v＝lim Δt→0
ΔΔst为 t 时刻的瞬时速度．
1．在高台跳水运动中，运动员在 t1≤t≤t2 这段时间里的位

人教新课标版数学高二选修1-1课件变化率问题导数的概念

答案
知识点二瞬时速度
思考1 物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2.试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度. 答 Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2， v ＝ΔΔst＝10＋5Δt. 思考2 当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一速度？答当Δt趋近于0时，ΔΔst 趋近于10，这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度.
反思与感悟解析答案
跟踪训练3 已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0.
解
∵f′(x0)＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
3x0＋ΔΔxx2－3x20＝Δlixm→0
(6x0＋3Δx)＝6x0，
又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.
解析答案
返回
课堂检测
解析答案
5.已知函数f(x)＝ 1 ，则f′(1)＝__－__12____. x
f1＋Δx－f1
解析 f′(1)＝lim Δx→0
Δx
＝ lim Δx→0
＝ lim Δx→0
1＋1 Δx－1 Δx
－1 1＋Δx1＋
1＋Δx＝－12.
1 2345
解析答案
小结作业
利用导数定义求导数三步曲：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
即 f′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔyx＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0.
答案
返回
合作探究
类型一求函数的平均变化率
例1 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5. (1)求当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率ΔΔyx ；
(2)求当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率

人教版高中数学选修1-1《3.1.1变化率问题》

求平均变化率的步骤
平均变化率的几何意义
表示函数图象上两点A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2))连线（割线）的斜率。
谢谢
高中数学人教A版选修1-1
3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
整体介绍
引言
“人类精神的分
莱布尼茨
微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关： ①已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程。 ②求曲线的切线。
3
情境二高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
思考：如何描述其运动状态呢？
吴敏霞跳水视频
h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运动状态, 那么:
x1
x2
求平均变化率的主要步骤
反思与感悟
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；
y f ( x2 ) f ( x1 ) (3)计算平均变化率 x2 x1 x
小试牛刀
例练求平均变化率 (1)函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上的平均变化率；
平均变化率
理解
用 x
x2 x1 ，则 y f ( x2 ) f ( x1 )
一变
y 可正、
可负、可0
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
x 和 y 的范围有要思考：

人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题》赛课课件_2

x2 x1
平均速度
思考：求t1到t2时的平均速度．
v S (t2 ) S(t1) t2 t1
课时小结
1.理解平均变化率的含义和表示； 2.应用平均变化率解决一些问题的方法； 3.体会由实际生活问题到数学模型的归纳思想。
课后作业
1.习题3.1A组第1题，B组第2题； 2.预习下一节内容。
动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里,
在1≤ t ≤2这段时间里,
探究讨论：
计算运动员在0 t 65 这段时间的平均速度，思考 49
下面的问题：（1）运动员在这段时间里静止吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的
运动状态有什么问题吗？
平均变化率
平均变化率：式子
f
(x2 ) x2
3
由气球体积V(r) 4 r3 r (V) 3V .
3
4
当v由0 1时，气球的平均变化率：r (1) r (0) 0.62(dm/L), 10
当v由1 2时，气球的品均变化率：r (2) r (1) 0.16(dm/L) 2 1
结论：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小.
3.1.1变化率问题
目标分析
[自学目标]: 了解导数概念的实际背景 [重点]:气球膨胀率和高台跳水问题的理解 [难点]:计算平均变化率的方法
平均变化率
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢?

f (x1) x1
称为f
x1 到f
x2
的
平均变化率
令Δ x = x2 – x1 , Δ f = f (x2) – f (x1) ,

高中数学选修1-1第3章3.1.1-3.1.2变化率与导数课件人教A版

到��2 的平均变化率.
习惯上用Δx表示x2-x1,即Δx=x2-x1,可把Δx看作是相对于x1的一个 “增量”,可用x1+Δx代替x2.类似地,Δy=f(x2)-f(x1).于是,平均变化率可 Δ�� 表示为 .
Δ��
名师点拨 1.变化率问题来源于现实生活中的实际问题.平均变化率是一个比值,它是表示一个量随另一个量变化快慢的重要指标, 如物体运动的平均速度、气球的平均膨胀率等.函数的平均变化率就是从这些实际问题中抽象出来的一个重要数学概念. 2.Δx≠0,但可正可负;要注意Δx是一个整体符号,而不是Δ与x相乘. 3.改变量的对应:若Δx=x2-x1,则Δy=f(x2)-f(x1),而不是Δy=f(x1)-f(x2).
2.瞬时变化率
函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是函数 f(x)从 x0 到 x0+Δx 的平均变化率在 Δx→0 时的极限,即 lim
f(x0 +��x)-f(x0 ) ��x Δ�� →0
= �� Δ��. ��x →0
Δ��
名师点拨瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时,平均变化率趋近的值,它刻画了函数在某一点处变化的快慢.瞬时变化率可反映运动物体的瞬时速度、切线的斜率等.
-9-
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
1 2 3
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
-7-
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
1 2 3
M 目标导航
UBIAODAOHANG

人教A版高中数学选修1-1 3.1变化率与导数名师公开课市级获奖课件(27张)

Δ�� →0
4.导数的意义
几何函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,就是曲线 y=f(x)在 x=x0 处的切线 f (x +��x )-f (x 0 ) 意义的斜率,即 k=f'(x0)= �� 0
��x →0 ��x
物理如果物体的运动方程是 s=s(t),那么函数 s=s(t)在 t=t0 处的导意义数,就是物体在 t=t0 时的瞬时速度 v(t0),即 v(t0)=s'(t0)
【做一做1】 (1)下列说法错误的是( ) A.函数的平均变化率可以大于零 B.函数的平均变化率可以小于零 C.函数的平均变化率可以等于零 D.函数的平均变化率不能等于零 1 (2)函数 y=�� 在区间[2,4]上的平均变化率等于
Δ�� 解析: (2)平均变化率 Δ��
.
f (x 2 )-f (x 1 ) x 2 -x 1
位移 s 关于时间 t 的函数 s(t)在时间 s (t )-s (t ) 表达式:v = 2 1 t 2 -t 1 段[t1,t2]上的平均速度
名师点拨Δx是一个整体符号,而不是Δ与x相乘,它表示自变量的改变量,可以为正,也可以为负,但不能等于零;Δy是相应函数值的改变量,它可以为正,可以为负,也可以等于零,若Δx=x1-x2,则Δy=f(x1)f(x2).
思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)平均变化率等于0时,说明函数没有发生变化. ( ) (2)函数f(x)在x0处的导数实质就是函数f(x)在x0处的瞬时变化率. ( ) (3)函数f(x)在x0处的导数与Δx无关,只与x0有关. ( ) (4)曲线的切线与曲线只有一个公共点. ( ) (5)曲线y=f(x)的过点(x1,y1)的切线的斜率为f'(x1). ( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×

(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：3-1-1《变化率问题与导数的概念》

对导数的定义要注意两点：第一：Δx是自变量x在x0处
的改变量，所以Δx可正可负，但Δx≠0；第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量改变量之比的极限值．因此它是一个常数而不是变数．
1．平均变化率是本节中的重要概念，求函数平均变化
率的步骤是： (1)求自变量的增量Δx＝x－x0. (2) 函数的增量 Δy ＝ y － y0 ＝ f(x) － f(x0) ＝ f(x ＋ Δx) － f ( x0 ) ．
求导数的步骤是：
由导数的定义知，求函数 y ＝ f(x) 在点 x0 处的导数的步骤： (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
Δy f(x0＋Δx)－f(x0) (2)求平均变化率Δx＝； Δx Δy Δy (3)取极限，得导数 f′(x0)＝Δ lim x→0 Δx(或当 Δx→0 时， Δx →f′(x0))．上述求导方法可简记为：一差、二比、三极限．
区间(a，b)内每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于
是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或yx′，y′)．求函数在某点处的导数时，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．导函数简称导数，不是具体数值，而是一个函数，每一个或几个x对应一个f′(x)值，这二者是一般与个别的关系．
1．在高台跳水运动中，运动员在 t1≤t≤t2 这段时间里 s2－s1 的位置为 s1≤s≤s2，则他的平均速度为 . t2－t1 2．已知函数 y＝f(x)，令 Δx＝x2－x1， Δy＝ f(x2)－f(x1)， f(x2)－f(x1) Δf 则当 Δx≠0 时，比值＝，称作函数 f(x)从 x1 Δx x2－x1 到 x2 的平均变化率．

人教A版高中数学选修1-1第三章3.1.1变化率问题教学课件

我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.
从数学角度，如何描述这种现象呢?
问题一:气球膨胀率气球的体积V(单位：L)与半径r(单
位：dm)之间的函数关系是：
V (r) 4 r3
3
用V 表示r得：
r(V ) 3 3V
4
问题一:气球膨胀率
我们称它为函数 y f (x)在x x0处的导数；
例1将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种
不同产品，需要对原由进行冷却和加热。如
果第 x(h)时，原油的温度（单位：0C）
为 y f (x) x2 7x 15(0 x 8).计算第2(h)和第 6(h)时，原油温度的瞬时变化率，并说明它
们的意义。关键是求出：
则平均变化率为：y 20 5x x
探究
计算：运动员在 0 t 65
49
这段时间内的平均速度，
并思考下面的问题： P73
（1）运动员在这段时间里是静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
平均速度只是粗略地描述这段时间内运动员运动的快慢，不能反应他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。
x1 x2 x
平均变化率表示函数图像上两点连线的斜
率，即割线的斜率。
随堂练习
1.函数 f (x) x2 在区间 1,3上的平均变化率（）
A. 4 B. 2
C. 1
4
D. 3
4
2.求函数y=5x2+6在区间[2，2+△x]内的平均变化
率。
解：y 5(2 x)2 6 (5 22 6) 20x 5x2
它说明在第2(h)附近，原油温度大约以3 0C/H的速度降落；在第6(h)附近，原油温度大约以5 0C/H的

变化率问题课件(新人教A版选修1-1)

现在回答问题“气温陡增” 它的数学意义是什么？（形与数两方面）
定义:
平均变化率:式子
f
(x2 ) x2

f (x1) x1
称为函数
f
(x)从x1到
x2
的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
f (x2 ) f (x1) y
x2 x1
C 3-(Δx)2 D 3-Δx
• 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
3.甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?
4.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.
随着
4 气球体积
当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了
r (1) r (0) 0.62(dm),
逐渐变大,
气球的平均膨胀率为 r (1) r (0) 0.62(dm/L ), 1 0
它的平均膨胀率逐
当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了
渐变小
r (2) r (1) 0.16(dm),
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的
增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何
描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是
V(r) 4 r3.
3Leabharlann 3若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 r (V)
3V .

数学：选修1-1人教版精品课件3.1.1变化率与导数

解析：分别写出 x＝x0 和 x＝x0＋Δx 对应的函数值 f(x0) 和 f(x0＋Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变量 Δy＝f(x0 ＋Δx)－f(x0)，故应选 D.
答案：D
8
2．若一质点按规律 s＝8＋t2 运动，则在时间段 2～2.1 中，平均速度是( ) A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1
答案：3－Δx
12
5．求函数 y＝x2 在点 x＝1 处的导数．
解：Δy＝(1＋Δx) －1＝2Δx＋(Δx) ， Δy ∴ ＝2＋Δx.y′|x＝1＝ lim (2＋Δx)＝2. Δx Δx→0
2
2
13
14
1.函数的平均变化率的理解定义中的 x1，x2 是指其定义域内不同的两个数，记 Δx fx2－fx1 Δy ＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则当 Δx≠0 时，＝ Δx x2－x1 称作函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率，理解平均变化率应注意以下几点：
24
练 1 求函数 y＝2x2＋5 在区间[2,2＋Δx]上的平均变化 1 率；并计算当 Δx＝时，平均变化率的值． 2
[ 解 ] 因为 Δy＝ 2×(2 ＋ Δx) ＋ 5 － (2×2 ＋ 5)＝ 8Δx ＋ Δy 2 2(Δx) ，所以平均变化率为＝8＋2Δx. Δx 1 1 当 Δx＝时，平均变化率的值为 8＋2× ＝9. 2 2
18
注意：令 x＝x0＋Δx，得 Δx＝x－x0， fx－fx0 于是 f′(x0)＝ lim x x0 x－x0 fx0＋Δx－fx0 与定义中的 f′(x0)＝ lim 意义相同. Δx Δx→0
19
函数的平均变化率 2 例 1 已知函数 f(x)＝2x ＋3x－5. Δy (1)求当 x1＝4，且 Δx＝1 时，函数增量 Δy 和平均变化率Δx； Δy (2)求当 x1＝4，且 Δx＝0.1 时，函数增量 Δy 和平均变化率Δx； (3)若设 x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．

人教A版高中数学选修1-1课件：3-1 变化率与导数第2课时

如图,当点 Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0,f(x0))时,割线 PPn 的变化趋势是什么?
预学 1:导数的求法计算函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的步骤 ①求函数的改变量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
②求平均变化率:
Δ�� (�� 0 +Δ�� )-�� (�� 0 ) Δ��
预学 4:曲线上每一点处的切线斜率曲线上每一点处的切线斜率反映的是函数的瞬时变化情况,体现的是数形结合、以曲代直的思想. 直线与曲线有且只有一个公共点时,直线不一定是曲线的切线,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点不止一个.
1.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f'(x0)的几何意义是( A.在点 x0 处的函数值 B.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率 C.曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率
��x →0
=-1,
.
(指定小组回答,其他组补充)
【答案】-1
预学 2:切线的概念和导数的几何意义根据《问题情境》 ,割线 PPn 的变化趋势:当点 Pn 趋近于点 P 时,割线 PPn 趋近于确定的位置 PT,PT 为曲线的切线,导数 f'(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)上的点(x0,f(x0))处切线的斜率.
=
Δ��
;
③求极限:f'(x0)= lim
f (x 0 +��x )-f (x 0 ) . �� x Δ�� →0
练一练:若可导函数 f(x)的图象过原点,且满足 �� 则 f'(0)=

2019-2020学年数学人教A版选修1-1课件：3.1.1变化率问题

速度为( )
A．8＋2Δt
B．8＋Δt
C．6＋2Δt
D．6＋Δt
【答案】A
【解析】由题意 Δs＝2(2＋Δt)2－2－(2×22－2)＝8Δt＋ 2(Δt)2，∴ΔΔst＝8Δt＋Δ2tΔt2＝8＋2Δt.故选 A.
3．已知函数f(x)＝ax＋b在区间[1,8]上的平均变化率为3，则实数a的值为( )
3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题
目标定位
重点难点
1.理解并掌握平均变化率的概念
2．会求函数在指定区间的平均变化率
3．能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题
重点：平均变化率的概念及运用
难点：深刻理解平均变化率的概念，并能应用解决实际问题
1．平均变化率的概念
当空气容量从 V1 增加到 V2 时，气球的平均膨胀率是 rV2－rV1 ___V_2－__V__1 __；在高台跳h水t2－运h动t中1 ，运动员在 t∈[t1，t2]这段时间里的平均速度是 v ＝___t_2_－__t1_.
D．Δx≠0
【答案】D
2．一物体运动方程是s＝2t2，则从2到(2＋Δt)这段时间内
位移的增量Δs为( )
A．8
B．8＋2Δt
C．8Δt＋2(Δt)2
D．4Δt＋2(Δt)2
【答案】C
3．已知函数 f(x)＝2x2－1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1
＋Δx，f(1＋Δx))，则ΔΔxy等于( )
8
求平均变化率的步骤：
(1)计算函数值的改变量 Δy＝f(x1)－f(x0)． (2)计算自变量的改变量 Δx＝x1－x0. (3)求平均变化率ΔΔyx＝fxx11－－xf0x0.
1．求函数y＝x2－2x＋1在x＝2附近的平均变化率．

高二数学人教A版选修1-1课件：3.1 变化率与导数

迁移应用
二、导数概念的理解与运用
(1)函数在某点处的导数即为函数在这点的瞬时变化率.函数在某点处的导数的概念包含两层含义:
①若 lim Δ �� →0
��yx存在,则称
f(x)在
x=x0
处可导并且导数即为极限值;
②若 �� x →0
则 f'(x0)=x0+2.
由已知 x0+2=4,∴x0=2,故选 D.
一二三
知识精要
典题例解
迁移应用
一二三
知识精要
典题例解
迁移应用
质点运动规律s=t2+3t(其中位移单位:m,时间单位:s),那么该物体在2 s时的瞬时速度是( ) A.5 m/s B.6 m/s C.7 m/s D.8 m/s 答案:C
Δ�� Δ��
=
3Δ��+Δ��1��2+ΔΔ��=3+1+2Δ��,
∴ lim Δ �� →0
��y ��x
=
��
��x →0
3
+
2 1+Δ��
=5,
∴f'(1)=5.
一二三
=
(3+Δ��)2-32 Δ��
=
6Δ��+Δ��(��Δ��)2=6+Δx.
∴k1<取k2<kΔ3.∴x函=数13y时 =x2,在k1x==3附2+近13的平=均73变,k化2率=最4大+.13 = 133,k3=6+13 = 139,

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3丄1变化率问题
微积分主要与四类问题的处理相关: • 一.已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体
在任意时刻的速度与加速度等；
•二、求曲线的切线；
•三、求已知函数的最大值与最小值；
•
△导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减.变化快慢.最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

问题1气球膨胀率
气球的体积V（单位:L）与半径/（单位:dm）之间的函数关系是若将半径r表示为体积V的函数，那么
气球的平均膨胀率为
当空气容量V从1L增加到2 L,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
思考:
・当空气容量从£增加到V?时，气球的平均膨胀率是多少？
心)—心!)
岭一X
问题2高台跳水
如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态，那么：
^0 < t <0.5这段时间里，
&<t<2这段时间里,
探究:
例题:
在考察yc—『B的同时必须考察Xc—X B，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的
改变。

先―力
现在回答问题"气温陡增”
它的数学意义是什么?
定义:
式子称为函数/（兀）从X1到兀
2
的平均变化率.
令△x =工2""兀1，△ y = f（工2）"~f（兀1）'则
理解：
1, 舟子中Ay的值可正、可负，但的△兀值不能为0, 的值可以为0 2, 若函数化兀）为常函数时，\y=0 3, 变式
・观察函数f(x)的图象
思考:
Y=f(x)
B
f(x 2)-f(x 1
1
o
X
1 X 2
平均变化率n 叫
— X x f(x 2) I- 表示什么？
直线AB 的
⑴【-3,"］； (2) [ 0,5 ].
练习
• 1、已知函数f(x)=-x 2
+x 的图象上的一点A(・ 1,・2)及临吋点 B(-1+Ax,-2+Ay),则 3仏)＜二( A 3
B 3Ax-(Ax)2
2X Q +A
X
3 •甲用5年时间挣到10万元乙用5个月时间挣到2
万
元,如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?
4•已知函数/ (x) = 2x+1s g(x)=-2x,分别计算在下列区间上/(工)及g (无)的平均变化率.
小结：
・1 •函数的平均变化率
• 2■求函数的平均变化率的步骤：⑴求函数的增量Ay傀网(冷);
⑴【-3,"］；(2) [ 0,5 ].
(2)计算平均变化率。