高等数学上_复旦大学出版_习题6答案

即 积分得
x
du 1 = , dx u
udu =
dx x
1 2 u = ln x + ln c1 2
y2 = 2 ln x + 2 ln c1 x2
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高等数学上（复大版）习题六
故方程通解为
y 2 = x 2 ln(cx 2 )
(c = c12 )
(4)( x3 + y 3 )dx − 3xy 2 dy = 0 ;
2x − y x − 2y
代入微分方程，等式恒成立 .故是微分方程的解 .
(2)( xy − x ) y′′ + xy′2 + yy′ − 2 y′ = 0, y = ln( xy ).
99
高等数学上（复大版）习题六
证：方程 y = ln( xy ) 两端对 x 求导：
y′ = y . x ( y − 1)
积分得
即
ln
u 2 −1 = ln c u3 x y 2 − x 2 = cy 3
得方程通解为
以 x=0，y=1 代入上式得 c=1. 故所求特解为
y2 − x2 = y3 . y x=1 = 2 .
则
(2) y ′ =
x y + , y x
解：设 y = ux ， 原方程可变为 积分得 得方程通解为
高等数学上（复大版）习题六
习题六
1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： (4)一阶
(1) xy ′ = 2 y , y = 5 x 2 ;
解：由 y = 5 x 得 y ′ = 10 x 代入方程得
2
x ⋅10 x = 2 ⋅ 5x 2 = 10x 2
(3) y ′′ − 2 y ′ + y = 0,
y = x2 ex ; y ′′ = (2 + 4 x + x 2 )e x
解： y ′ = 2 xe x + x 2 e x = (2 x + x 2 )e x , 代入方程得 故不是方程的解 .
2e x ≠ 0 .
(4) y ′′ − (λ1 + λ2 ) y ′ + λ1λ2 y = 0,
积分得 以
y 代替 u，并整理得方程通解为 x
(5) dy x + y ; = dx x − y 1+
y dy x 解： = dx 1 − y x y dy du 令u = ， 则 =u +x x dx dx du 1 + u 原方程变为 u + x = dx 1 − u 1− u 1 分离变量 ,得 du = dx 2 1+ u x 1 积分得 arctan u − ln(1+ u 2 ) = ln x + ln c1 2
(7)4 x 3 + 2 x − 3 y 2 y ′ = 0 ;
解：分离变量，得 积分得 即为通解 .
3 y 2 dy = (4 x 3 + 2 x )dx
y3 = x4 + x2 + c
(8) y ′ = e x + y .
解：分离变量，得 积分得 得通解为：
e− y dy = e x dx
∫e
−y
dy = ∫ e x dx
−e− y = ex + c .
6. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：
(1) y ′ = e 2 x − y ,
解：分离变量，得 积分得
y x =0 = 0 ;
e y dy = e2 x dx ey =
1 2x e +c. 2 1 以 x = 0, y = 0 代入上式得 c = 2 1 故方程特解为 e y = (e 2 x + 1) . 2 (2) y′ sin x = y ln y , y x = π = e .
故是方程的解 .
(2) y ′′ + y = 0, y = 3sin x − 4 cos x ;
解： y ′ = 3cos x + 4 sin x ;
y ′′ = −3sin x + 4 cos x
代入方程得 −3sin x + 4 cos x + 3sin x − 4 cos x = 0 . 故是方程的解 .
(1)(2 x − 5 y + 3)dx − (2 x + 4 y − 6)d y = 0
解：设 x = X + 1, y = Y + 1 ，则原方程化为
令
Y dY 2 X − 5Y X = = dX 2 X + 4Y 2 + 4 Y X Y du 2 − 5u u = ⇒u+ X = X dX 2 + 4u 4u + 2 dX ⇒− 2 du = 4u + 7u − 2 X
(3)(e x + y − e x )dx + (e x + y + e y )d y = 0 ;
解：分离变量，得
ey ey d y = dx 1− ey 1+ ex − ln(e y − 1) = ln(e x + 1) − ln c (e x + 1)(e y − 1) = c .
积分得 得通解为
1 1 + y′ x y
(*)
得 y′ =
(*)式两端对 x 再求导得
y ′′ = −
1 y ⎡1 ⎤ + 2 2 2⎥ ⎢ x ( y − 1) ⎦ y −1 ⎣ x
将 y ′, y ′′ 代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解 . 4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：
当 x=0 时，y=0 故有 C1 = 0 . 又当 x=0 时， y ′ = 1 .故有 C2 = 1 . 故所求曲线为： y = xe .
2x
5. 求下列各微分方程的通解：
(1) xy′ − y ln y = 0 ;
解：分离变量 ,得
dy 1 = dx y ln y x
积分得
∫ ln y d ln y = ∫ xdx
2
y x =0 = 1 ;
解：
dy =− dx ⎛ ⎜ ⎝
y x
2
y⎞ ⎟ −3 x⎠
令 y = ux ，则得
u+ x
du 2u =− 2 dx u −3
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高等数学上（复大版）习题六
分离变量，得
u2 − 3 dx du = 3 u −u x
−3ln u + ln(u − 1) + ln(u + 1) = ln cx
dy du =u +x dx dx dx udu = x
1 2 u = ln x + ln c . 2
y 2 = 2 x 2 (ln x + ln c )
以 x=1，y=2 代入上式得 c=e2 . 故所求特解为
y 2 = 2 x 2 (ln x + 2) .
9. 利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解：
2
y c
⎛y ⎞ 2 ⎜ − v ⎟ = v +1 ⎝c ⎠ 2 y 2 yv − =1 c2 c
以 yv = x 代入上式，得
c⎞ ⎛ y 2 = 2c ⎜ x + ⎟ ⎝ 2⎠
即方程通解为
y 2 = 2cx + c 2 .
8. 求下列各齐次方程满足所给初始条件的解：
(1)( y 2 − 3x2 )dy + 2 xydx = 0,
故是方程的解 . 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：
(1)( x − 2 y ) y ′ = 2 x − y ,
x 2 − xy + y 2 = C;
证：方程 x 2 − xy + y 2 = C 两端对 x 求导：
2 x − y − xy′ + 2 yy′ = 0
得 y′ =
dy = xdx y
积分得 得通解为
ln y =
1 2 x + c1 2
1 2 x 2
y = ce
(c = e c1 )
(6)2 x + 1 + y ′ = 0 ;
解： y ′ = −2 x − 1 积分得 得通解为
y = ∫ (−2 x − 1)dx y = −x2 − x + c .
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高等数学上（复大版）习题六
2
令
x dx dv = v ， 则 x = yv, = v + y , y dy dy
原方程可变为
v+ y
dv = v + v2 + 1 dy
即
y
dv = v2 +1 dy dv = dy y
分离变量，得
v +1
积分得 即
2
ln(v + v 2 + 1) = ln y − ln c .
v + v2 + 1 =
以
y 代替 u，并整理得方程通解为到 x
(6) y′ =
x 2 + y 2 = ce
2arctan
y x
.
(c =
1 ) c12
y x + x2 + y 2
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高等数学上（复大版）习题六
解：
dy = dx
y x
1+ 1+ ⎛ ⎜ ⎝
y⎞ ⎟ x⎠
2
即
dx x ⎛Leabharlann Baidux⎞ = + ⎜ ⎟ +1 dy y ⎝ y⎠
(4) cos x sin ydx + sin x cos ydy = 0 ;
解：分离变量，得
cos x cos y dx + dy = 0 sin x sin y
积分得 得通解为
ln sin y + ln sin x = ln c
sin y ⋅ sin x = c.
(5) y ′ = xy ;
解：分离变量，得
解：
y⎞ 1+ ⎛ 3 3 ⎜ ⎟ dy x + y ⎝x⎠ = = 2 dx 3 xy 2 y⎞ ⎛ 3⎜ ⎟ ⎝ x⎠ y dy du , 则 =u+ x x dx dx u+
du 1 + u3 x= dx 3u 2
3
令u =
原方程变为
即
3u 2 dx du = 3 1 − 2u x 1 − ln(2u 3 − 1) = ln x + ln c1 2 2 y 3 − x 3 = cx .
(1) x 2 − y 2 = C ,
y x = 0 = 5;
解：当 x = 0 时， y=5.故 C=-25 故所求曲线为： y 2 − x 2 = 25
(2) y = (C1 + C2 x )e2 x ,
解：
y x= 0 = 0,
y′ x= 0 = 1.
y ′ = (C2 + 2C1 + 2C2 x)e 2 x
(2) x
解：
dy y = y ln ; dx x
dy y y = ln dx x x y 令u = ， x
原方程变为
则
dy du =u+ x dx dx
du dx = u (ln u − 1) x ln(ln u − 1) = ln x + ln c ln u − 1 = cx y ln − 1 = cx x
ln ln y = ln x + ln c ln y = cx
1
1
得
y = e cx .
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(2) y ′ =
1− y ; 1− x dy dx = 1− y 1− x
解：分离变量，得
积分得
∫
dy dx =∫ 1− y 1− x
得通解：
−2 1 − y = −2 1 − x + c.
2−5
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高等数学上（复大版）习题六
⇒ ln X = −
1 (8u + 7) − 3 du 2 ∫ 4u 2 + 7u − 2 1 3 du = − ln(4u 2 + 7u − 2) + ∫ 2 2 2 4u + 7u − 2 1 1 ⎛ 1 4 ⎞ = − ln(4u 2 + 7u − 2) + ∫ ⎜ − + ⎟ du 2 6 ⎝ u + 2 4u − 1 ⎠ 1 1 4u − 1 = − ln(4u 2 + 7u − 2) − ln + ln c1 2 6 u+2 4u − 1 = ln c2 u+2 (c2 = c16 )
解： y ′ = C1λ1e λ1x + C2 λ2e λ2 x , 代入方程得
y = C1eλ1x + C2 eλ2 x .
y ′′ = C1λ12e λ1x + C2 λ2 2e λ2x
C1λ12 eλ1x + C2 λ2 2 eλ2 x − ( λ1 + λ2 )(C1λ1eλ1x + C2 λ2eλ2 x ) + λ1λ2 (C1eλ1x + C 2eλ2 x ) = 0.
积分得
即方程通解为
y = xe cx +1
(3)( x 2 + y 2 )dx − xy dx = 0
解：
y⎞ 1+ ⎛ ⎜ ⎟ dy x 2 + y 2 ⎝x⎠ = = y dx xy x y dy du ， 则 =u+ x x dx dx
du 1 + u 2 u+x = dx u
2
令u =
原方程变为
2
令
u=
y dy du ⇒ =u+x x dx dx
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高等数学上（复大版）习题六
原方程变为
du
u −1
两端积分得
2
=
dx x
ln(u + u 2 − 1) = ln x + ln c
u + u 2 − 1 = cx y ⎛ y⎞ + ⎜ ⎟ − 1 = cx x ⎝x⎠
即通解为：
2
y + y 2 − x 2 = cx 2
2
解：分离变量，得
dy dx = y ln y sin x
积分得 将x=
y =e
c⋅tan
x 2
π , y = e 代入上式得 c = 1 2
故所求特解为 7. 求下列齐次方程的通解：
y =e
tan
x 2
.
(1) xy ′ − y − y 2 − x2 = 0 ;
解：
dy y y⎞ = + ⎛ ⎜ ⎟ −1 dx x ⎝ x⎠