最新计量地理学第三章统计分析方法7趋势面分析
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计量地理学第三章统计分 析方法7趋势面分析
❖ §1 ❖ §2 ❖ §3 ❖ §4 ❖ §5 ❖ §6 ❖ §7
地理要素间的相关分析 地理要素间的回归分析 时间序列分析法 系统聚类分析方法 主成分分析方法 马尔可夫预测方法 地理系统的空间趋势面分析
用来计算趋势面的数学方程式有多项式函数 和傅立叶级数，其中最为常用的是多项式函数形 式。因为任何一个函数都可以在一个适当的范围 内用多项式来逼近，而且调整多项式的次数，可 使所求的回归方程适合实际问题的需要。
R 2 越大，趋势面的拟合度就越高。
（二）趋势面拟合适度的显著性F检验
趋势面适度的F检验，是对趋势面回归模型整体 的显著性检验。
方法：是利用变量z的总离差平方和中剩余平方 和与回归平方和的比值，确定变量z与自变量x、y之 间的回归关系是否显著。即
F SSR / p SSD /np1
（3.6.10）
可求出系数，从而得到趋势面方程
❖ 过程 ① 将多项式回归（非线性模型）模型转化为多
元线性回归模型。
令 x 1 x ,x 2 y ,x 3 x 2 ,x 4 x,x 5 y y 2 ,
则
z ˆ a 0 a 1 x 1 a 2 x 2 a p x p
②其残差平方和为
n
n
Q [z i z ˆi]2[z i ( a 0 a 1 x 1 i a 2 x 2 i a p x p )i 2]
❖ 多项式方程作为趋势面方程
因为任何函数在一定范围内总可以用多项式来逼 近，并可调整多项式的次数来满足趋势面分析的 需要，一般来说，多项式的次数越高则趋势值越 接近于观测值，而剩余值越小
（二）多项式趋势面的数学模型
1 .z b0 b1 x b2 y 2 .z b0 b1 x b2 y b3 x 2 b4 xy b5 y 2 3 .z b0 b1 x b2 y b3 x 2 b4 xy b5 y 2 b6 x 3 b7 x 2 y b8 xy 2 b9 x 3 4 .z b0 b1 x b2 y b3 x 2 b4 xy b5 y 2 b6 x 3 b7 x 2 y b8 xy 2 b9 x 3 b10 x 3 y b11 xy 3 b12 x 2 y 2 b13 x 4 b14 y 4
yn xn2
a2 a3
xy11y21
x2y2 y22
xynyn2n
1
xn
ynHale Waihona Puke Baidu
xn2
xnyn
a4
yn2 a5
1
1 1 z1
x1
x2
xn
z
2
y1 x12
y2
x
2 2
yn
x
2 n
x1 y1 y12
x2 y2
y
2 2
x
n
y
y
2 n
n
z n
由式（3.6.7）求解，可得
SSD
n
(zi
zˆi )2
为剩余平方和，它表示随机因素
i1
对离差的影响，
SSR
n
(zˆi
z)2
为回归平方和，它
i1
表示自变量对因变量的离差的总影响。
SS R 越大（或 SS D 越小）就表示因变量与自变量的
关系越密切，回归的规律性越强、效果越好。
记
R2 SSR 1SSD
（3.6.9）
SST SST
i 1
i 1
（3.6.5）
③求Q对a0，a1，…，ap的偏导数，并
令其等于0，得正规方程组(式中 a0,a1,,ap
为p+1个未知量）
n
n
n
na0 a1 x1i ap xpi zi
i1
i1
i1
a0
n i1
x1i
a1
n i1
x1i x1i
ap
n i1
xpi x1i
n i1
（一）趋势面拟合适度的R2检验
趋势面与实际面的拟合度系数R2是测定回归模
型拟合优度的重要指标。
一般用变量z的总离差平方和中回归平方和所
占的比重表示回归模型的拟合优度。 总离差平方和等于回归平方和与剩余平方和之
和。即
n
n
STS (ziz ˆi)2 (z ˆiz)2SD S SR S
i 1
i 1
结果分析：在显著性水平α下，查F分布表得Fα，
若计算的F值大于临界值Fα，则认为趋势面方程显著；
反之则不显著。
（三）趋势面适度的逐次检验
❖ 方法 (1)求出较高次多项式方程的回归平方和与较低
次多项式方程的回归平方和之差; (2)将此差除以回归平方和的自由度之差，得出
由于多项式次数增高所产生的回归均方差; (3)将此均方差除以较高次多项式的剩余均方差，
（三） 估计趋势面模型的参数
❖ 实质 根据观测值zi，xi，yi（i=1,2,…,n）确
定多项式的系数a0，a1，…，ap，使残差平 方和最小。
趋势面参数的确定（最小二乘法）
使每一个观测值与趋势值的残差平方和为最
小，即
n
2
Q (zi zˆi) min
i1
按建立多元线性方程的方法，使Q对系数b0， b1，…，bn求偏导，并令这些偏导数等于零， 得趋势面的正规方程组，解正规方程组，即
得出相继两个阶次趋势面模型的适度性比较检验值F。 若所得的F值是显著的，则较高次多项式对回
归作出了新贡献，若F值不显著，则较高次多项式对 于回归并无新贡献。相应的方差分析表见表3.6.1。
x1i zi
（3.6.6）
..........
a0
n i1
xpi
a1
n i1
x1i xpi
ap
n i1
xpi xpi
n i1
xpi zi
④用矩阵形式表示
1 x11
X
1
x12
1 x1n
x21 xp1
x22
xp2
x2n
xpn
z1
Z
z
2
z
n
a0
A
a
1
a
p
则（3.6.6）式变为
A(XTX)1XTZ
（3.6.8）
（三）趋势面拟合程度的检验
❖ 趋势面分析拟合程度与回归模型的效果直接相关， 因此，对趋势面分析进行适度性检验是一个关系到 趋势面能否在实际研究中加以应用的关键问题，也 是趋势面分析中不可缺少的重要环节。
❖ 这可以通过以下检验来完成： ✓ 趋势面拟合适度的R2检验 ✓ 趋势面拟合适度的显著性F检验 ✓ 趋势面适度的逐次检验
XTX AXTZ （3.6.7）
⑤ 对于二元二次多项式有
z a 0 a 1 x a 2 y a 3 x 2 a 4 x a y 5 y 2
其正规方程组为
1
x1
1 x2
1 xn
1
1
x1 x2
y1 y2
x12 x22
x1y1 x2y2
yy1222
a0
a1
y1 x12
y2 x22
❖ §1 ❖ §2 ❖ §3 ❖ §4 ❖ §5 ❖ §6 ❖ §7
地理要素间的相关分析 地理要素间的回归分析 时间序列分析法 系统聚类分析方法 主成分分析方法 马尔可夫预测方法 地理系统的空间趋势面分析
用来计算趋势面的数学方程式有多项式函数 和傅立叶级数，其中最为常用的是多项式函数形 式。因为任何一个函数都可以在一个适当的范围 内用多项式来逼近，而且调整多项式的次数，可 使所求的回归方程适合实际问题的需要。
R 2 越大，趋势面的拟合度就越高。
（二）趋势面拟合适度的显著性F检验
趋势面适度的F检验，是对趋势面回归模型整体 的显著性检验。
方法：是利用变量z的总离差平方和中剩余平方 和与回归平方和的比值，确定变量z与自变量x、y之 间的回归关系是否显著。即
F SSR / p SSD /np1
（3.6.10）
可求出系数，从而得到趋势面方程
❖ 过程 ① 将多项式回归（非线性模型）模型转化为多
元线性回归模型。
令 x 1 x ,x 2 y ,x 3 x 2 ,x 4 x,x 5 y y 2 ,
则
z ˆ a 0 a 1 x 1 a 2 x 2 a p x p
②其残差平方和为
n
n
Q [z i z ˆi]2[z i ( a 0 a 1 x 1 i a 2 x 2 i a p x p )i 2]
❖ 多项式方程作为趋势面方程
因为任何函数在一定范围内总可以用多项式来逼 近，并可调整多项式的次数来满足趋势面分析的 需要，一般来说，多项式的次数越高则趋势值越 接近于观测值，而剩余值越小
（二）多项式趋势面的数学模型
1 .z b0 b1 x b2 y 2 .z b0 b1 x b2 y b3 x 2 b4 xy b5 y 2 3 .z b0 b1 x b2 y b3 x 2 b4 xy b5 y 2 b6 x 3 b7 x 2 y b8 xy 2 b9 x 3 4 .z b0 b1 x b2 y b3 x 2 b4 xy b5 y 2 b6 x 3 b7 x 2 y b8 xy 2 b9 x 3 b10 x 3 y b11 xy 3 b12 x 2 y 2 b13 x 4 b14 y 4
yn xn2
a2 a3
xy11y21
x2y2 y22
xynyn2n
1
xn
ynHale Waihona Puke Baidu
xn2
xnyn
a4
yn2 a5
1
1 1 z1
x1
x2
xn
z
2
y1 x12
y2
x
2 2
yn
x
2 n
x1 y1 y12
x2 y2
y
2 2
x
n
y
y
2 n
n
z n
由式（3.6.7）求解，可得
SSD
n
(zi
zˆi )2
为剩余平方和，它表示随机因素
i1
对离差的影响，
SSR
n
(zˆi
z)2
为回归平方和，它
i1
表示自变量对因变量的离差的总影响。
SS R 越大（或 SS D 越小）就表示因变量与自变量的
关系越密切，回归的规律性越强、效果越好。
记
R2 SSR 1SSD
（3.6.9）
SST SST
i 1
i 1
（3.6.5）
③求Q对a0，a1，…，ap的偏导数，并
令其等于0，得正规方程组(式中 a0,a1,,ap
为p+1个未知量）
n
n
n
na0 a1 x1i ap xpi zi
i1
i1
i1
a0
n i1
x1i
a1
n i1
x1i x1i
ap
n i1
xpi x1i
n i1
（一）趋势面拟合适度的R2检验
趋势面与实际面的拟合度系数R2是测定回归模
型拟合优度的重要指标。
一般用变量z的总离差平方和中回归平方和所
占的比重表示回归模型的拟合优度。 总离差平方和等于回归平方和与剩余平方和之
和。即
n
n
STS (ziz ˆi)2 (z ˆiz)2SD S SR S
i 1
i 1
结果分析：在显著性水平α下，查F分布表得Fα，
若计算的F值大于临界值Fα，则认为趋势面方程显著；
反之则不显著。
（三）趋势面适度的逐次检验
❖ 方法 (1)求出较高次多项式方程的回归平方和与较低
次多项式方程的回归平方和之差; (2)将此差除以回归平方和的自由度之差，得出
由于多项式次数增高所产生的回归均方差; (3)将此均方差除以较高次多项式的剩余均方差，
（三） 估计趋势面模型的参数
❖ 实质 根据观测值zi，xi，yi（i=1,2,…,n）确
定多项式的系数a0，a1，…，ap，使残差平 方和最小。
趋势面参数的确定（最小二乘法）
使每一个观测值与趋势值的残差平方和为最
小，即
n
2
Q (zi zˆi) min
i1
按建立多元线性方程的方法，使Q对系数b0， b1，…，bn求偏导，并令这些偏导数等于零， 得趋势面的正规方程组，解正规方程组，即
得出相继两个阶次趋势面模型的适度性比较检验值F。 若所得的F值是显著的，则较高次多项式对回
归作出了新贡献，若F值不显著，则较高次多项式对 于回归并无新贡献。相应的方差分析表见表3.6.1。
x1i zi
（3.6.6）
..........
a0
n i1
xpi
a1
n i1
x1i xpi
ap
n i1
xpi xpi
n i1
xpi zi
④用矩阵形式表示
1 x11
X
1
x12
1 x1n
x21 xp1
x22
xp2
x2n
xpn
z1
Z
z
2
z
n
a0
A
a
1
a
p
则（3.6.6）式变为
A(XTX)1XTZ
（3.6.8）
（三）趋势面拟合程度的检验
❖ 趋势面分析拟合程度与回归模型的效果直接相关， 因此，对趋势面分析进行适度性检验是一个关系到 趋势面能否在实际研究中加以应用的关键问题，也 是趋势面分析中不可缺少的重要环节。
❖ 这可以通过以下检验来完成： ✓ 趋势面拟合适度的R2检验 ✓ 趋势面拟合适度的显著性F检验 ✓ 趋势面适度的逐次检验
XTX AXTZ （3.6.7）
⑤ 对于二元二次多项式有
z a 0 a 1 x a 2 y a 3 x 2 a 4 x a y 5 y 2
其正规方程组为
1
x1
1 x2
1 xn
1
1
x1 x2
y1 y2
x12 x22
x1y1 x2y2
yy1222
a0
a1
y1 x12
y2 x22