2.1.1推理与证明：合情推理

PDF
PDF PDE EDF 90 3 个“直角面”和1个“斜面” 4 个面的面积 S PDE，S PDF，S DEF 的关系
点评：事实上类比推理由特殊到特殊的推理；以旧的知识为基础，推测新的结论；具有发现的功能；结论不一定成 立!
类比推理的过程：从具体问题出发————>观察分析、比较联想————>归纳类比————>提出猜想
2.1.1 合情推理
当看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时,我们会得到一个判断：天要下雨了 问题：什么叫推理? 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理.
一、合情推理
1、归纳推理：
【1】1742 年哥德巴赫( Goldbach ，1690～1764， 是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家， 1725 年当选为俄
，……
猜想：前 n 个连续奇数的和等于 n 的平方，即：
2
1 3 5 .... 2n 1 n
例题 1、已知数列 an 的第一项 a1 1 ，且 an 1
2an n an 1 (
N * )，试归纳出这个数列的通项公式.
例题 2、已知数列 an 的各项为正,前 n 之和满足 Sn (1)求出 a1，a2，a3 ，(2)猜想 a n 的通项.
平面向量的性质
空间向量的性质
若 a a1, a2 ，b b1 , b2 则：
(1) a b a1 b1 , a2 b2
(2) a a1 , a2 ， R
(3) a b a1b1 a2b2
(4) a //b a 1 b1，a 2 b 2， R
(5) a b a1b1 a2b2 0
(6) a
a12 a2 2
若 a a , a , a ，b
(1) a b 1 a 2 b3 , a
1
12
b ,b ,b
则：
b1 , a2 3 b
23
3
(2) a
a, a , a ， R
1
2
3
(3) a b a b a b a b
11
22
33
(4)
，
a //b a b ，a b , a b
R
(5) a b a1 b a1 b 2 a b 2 03
国彼得堡科学院院士)观察到：
6 3 3, 12 5 7, 1000 8 3 5, 14 7 7, 1002 10 5 5, 16 5 11,
29 971, 139 863,
哥德巴赫猜想：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数的和. 猜想的过程：具体的材料—————>观察分析——————>猜想出一般性的结论 【2】统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取部分对象进行观测或试验，进而对整体做出推断. 【3】成语“一叶知秋” 意思是从一片树叶的凋落，知道秋天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体形势的变化，由部分推知全体.
大部分时间的温度适合地球上某些已 知生物的生存 有大气存在
有生命存在
可能有生命存在
【2】试根据等式的性质猜想不等式的性质.
等式的性质
猜想不等式的性质：
a b Biblioteka Baiducbc
ab acbc
a b ac bc
a b ac bc
a b a2 b2
a b a2 b2
显然：同归纳推理获得的结论一样，这样猜想出的结论未必可靠.不一定正确! 1、类比推理的特征
3 3
，
2 3
2 3
4 4
，
2 3
25 3 5 ，….
a a m ( a，b，m 均为正整数) 猜想: b b m
3、由数列前几项：1，3，5，7，9， ··· ，由此你猜想出第 n 个数是 2n 1.
这就是从“部分”到“整体”，从“个别”到“一般”的归纳推理.
由：1 3 4 22 ，1 3 5 9 32 ，1 3 5 7 16 42 ，1 3 5 7 9 25 52
3
11
22
33
(6) a
a12 a2 2 a32
例 1、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．
A
P
b
c
C
a
B
由 c 2 a 2 b2 ，猜想： S PEF
分析：两个类比对象的相似特征
C 90
S PDE
2 条直角边 a、b 和1条斜边 c
三条边的长度 a、b、c 的关系
D
E
F
S DEF S
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理. (1)类比推理是由特殊到特殊的推理;
(2)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象,我们可以从不同的角度出发确定类比对象,基本原则是要根据当前问题 的需要,选择适当的类比对象.
2、类比推理的特点 (1)类比是从人们已经掌握的事物的属性,推断正在研究中的事物的属性,它以旧有知识为基础,类比出新的结论. (2)是从一事物的特殊属性推断另一种事物的特殊属性. (3)类比的结果具有猜测性. 利用“平面向量的性质”类比得“空间向量的性质”
由某类事物的部分对象具有某些特性,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结
论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.特点：部分→ 整体，个别→ 一般.
1、 由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，
猜想:所有金属都导电.
2、又如： 2 3
2 3
1 1
，
2 3
2 3
2 2
，
2 3
2 3
1a 2
n
1 an
(n
N * ).
探究：
法国数学家费马观察到 221
1
5 ， 222
1 17 ， 23 2
1
257 ， 24 2
1
65537，
费马猜想：任何形如 22n 1 ( n N * )都是质数.
反例： F5 225 1 4294967297 641 6700417 .
点评：事实上由归纳推理获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.不一定正确!
2、类比推理
【1】先把火星与地球作类比,发现火星存在一些与地球类似的特征,然后从地球的一个已知特征（有生命存在）出发,猜 测火星也可能具有这个特征, 用表格的形式把空上过程表示出来.
地球
火星
行星，围绕太阳运行，绕轴自转
行星,围绕太阳运行,绕轴自转
有大气层
有大气层
一年中有季节的变更
一年中有季节的变更
温度适合生物的生存 有大气存在
【4】对自然数 n ，考查 n2 n 11是否为质数?
n
n2 n 11
0
11
1
11
2
13
3
17
4
23
5
31
猜想:对所有的自然数 n ， n n 11都是质数. 【5】三角形的内角和是1802 ，凸四边形的内角和是360 ，凸五边形的内角和是540 …… 由此我们猜想：凸边形的内角和是 n 2 180