第三章 条件平差
第三章 条件平差
AP 1 AT K W 0
此式称为联系数法方程（简称法方程）。
条件平差原理
取法方程的系数阵 AP-1AT = N，由上式易知N阵关 于主对角线对称，得法方程表达式
NK W 0
法方程数阵N的秩 即N是一个r阶的满秩方阵，且可逆。移项得
NK W
R( N ) R( AP 1 AT ) r
1 2 4
相对应的改正数条件方程式形式
v1 v 2 v 4 w1 0 v 2 v3 v5 w2 0 v 4 v6 v7 w3 0 v5 v7 v8 w4 0 v 2 v7 w5 0
其中
高程网条件方程的个数及条件方程式
ˆ LL
T
取全微分式的系数阵为
f f 1 , f 2 , , f n T
由协因数传播律得
Q FF f T Q LL f ˆˆ
f f , L ˆ ˆ ˆ 1 L L L2
f , , L ˆ ˆ L L n
上式可分别表达成矩阵形式如下
ˆ AL A0 0
AV W 0
W ( AL A0 )
条件平差原理
按求函数极值的拉格朗日乘数法，引入乘系数 K [k k k ] （联系数向量），构成函数：
T r ,1 a b r
V T PV 2 K T ( AV W )
为引入最小二乘法，将Φ 对V求一阶导数，并令其 为零 ( K T AV ) d (V T PV ) T T
QAT N E QAT 0
QAT N 1 QAT N 1 AQ Q QAT N 1 AQ E AQ 0 1 1 N N AQ 0 QAT N 1 QAT N 1 AQ 0 T 1 0 0 Q QA N AQ
条件平差原理
§3-1 一、基础方程和它的解 数学模型 条件平差原理
AV W 0 W F ( L) 2 2 D 0 Q 0 P 1
V T PV min
r n n1
A V W 0
r 1
T T
1、求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：
V PV 2 K ( AV W ) min
^
5、为了检查平差计算的正确性，常用平差值 L 重新列出平差值
条件方程式，看其是否满足方程。
^
K r1 [ka kb kr ]
T
2、求其一阶偏导数，并令其为0,得到改正数方程。
dΦ = T T 2V P 2 K A = 0 dV
T = PV A K
-1 T = V P A K = QA
T
K
V = QA
T
K
改正数方程
3、组建基础方程并解算，得到法方程。
AV -W = 0 r´ n n ´ 1 r´ 1 T V = QA K
T
｝
基础方程
令：N
( AQA ) rr K r1 W 0
上式也称为法方程式
r ,r
AQAT
，有：
NK W 0
4、解算法方程，得到联系数向量K。
N AQA
r ,r
T
T T
AQAT
T R N R AQA R A r r ,r
N是一个r阶对称满秩的方阵，其逆阵N 1 是存在 1W
ˆ 5、求改正数向量 V 和平差值向量 L
V QAT K ˆ L V L
。
二、条件平差的计算步骤 1、根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条件方程的个数
条件平差与间接平差的相互关系
条件平差与间接平差的相互关系
一、条件平差与间接平差
1、条件平差与间接平差是指：条件平差是指基础数据是现有被观
测坐标信息，假定各点位置坐标值满足一定近似关系时（即解算中假
定有约束关系或条件，以达到所求结果的平差方法）；而间接平差是指，基础数据是待测点的被观测量，包括方位量、距离量等，无任何
关系的前提条件，是一种完全无条件的平差方法。
二、条件平差
2、条件平差一般会把条件设置为两个系统中坐标值的差值最小，
这样就能够更容易地实现平差。
条件平差的典型应用是重叠法平差，
它会利用各观测值之间的内在联系，并通过设定一定的几何条件，使
其之间被观测量满足某一关系，以解决无条件方程组的平差问题。
三、间接平差
3、间接平差是指以被观测量构成的方程组，可以以各种迭代方法
求解，但是必须有一定的条件限制才能使解出的坐标值符合实际要求。
加拿大匹兹堡大学的Bloch教授认为，从下面几个原因考虑起，最好
用间接平差来解决坐标转换的问题：
（1）传统的解算序号很容易引起原点偏移和比例错误；
（2）间接平差可以很好地表示待解系统中的不确定性；
（3）使用间接平差可以很好地降低待解系统中分量精度和消隐关
系统时发生的偏差。
四、条件平差与间接平差的关系
4、条件平差与间接平差是有联系的，相互之间的联系是：可以把
条件平差看做是一种特殊的间接平差，即在无条件间接平差的基础上，再加入解算中的限制条件，以达到所求结果。
可以说，条件平差是间
接平差的分支，而间接平差是条件平差的总集合。
条件平差的基本原理
v1
V
n ,1
v2
vn
wa F1L1, L2 ,, Ln
wb F2 L1, L2 ,, Ln
wr Fr L1, L2 ,, Ln
则相应方程的矩阵表达式分别为
F Lˆ 0
AV W 0 W FL
3. 基础方程
按求函数极值的拉格朗日乘数法，设乘数
5）求观测值的平差值； Lˆ L V
6）检核。 F (Lˆ) 0
7）检核。
3. 实例分析 例6-1水准网如右图：观测值及其权矩阵如下：
L 0.023 1.114 1.142 0.078 0.099 1.216 T m
P diag1 1 1 2.5 2.5 2.5
求各水准路线的最或然值。
解： 1）列出条件方程
或
v1 v2 v3 v2
0 0 v4 4 0
v1
1 0
1 1
1 0
0 1
v2 vv43
0 4
0 0
令c=1，则由定权公式
，有 pi
C Si
1 Si
P 1
1 p1
0
0
0
0
1 p2
0
0
0
0
1 p3
0
0 s1 0 0 0 2 0 0 0
0 0
0 0
1 p4
0
K
r ,1
ka
kb
kr T
，称为联系数向量。组成函数
V T PV 2K T AV W
将 φ 对V 求一阶导数，并令其为零，得
d dV
2V T P
2KT
A
0
两边转置，得
三角网条件平差计算
§3-4 三角网条件平差计算2学时三角网测量的目的，是通过观测三角形的各角度或边长，计算三角网中各未知点的坐标、边的长度及方位角等。
三角网按条件平差计算时，首要的问题是列出条件方程。
因此了解三角网的构成，总结其条件方程的种类及各种条件方程的组成规律是十分重要的。
三角网的种类比较多，网的布设形式也比较复杂。
根据观测内容的不同，有测角网、测边网、边角同测网等；根据网中起始数据的多少，有自由三角网和非自由三角网。
自由三角网是指仅具有必要起算数据的三角网，网中没有多余的已知数据。
如果测角三角网中，只有两个已知点（或者已知一个已知点的坐标、一条已知边的长度和一个已知的方位角），根据数学理论，以这两个已知点为起算数据，再结合必要的角度测量值，就能够解算出网中所有未知点的坐标。
如果三角网中除了必要的起算数据外还有其它的已知数据，或者说已知数据有冗余，就会增加对网形的约束，从而增强其可靠性，这种三角网称之为非自由三角网。
无论多么复杂的三角网，都是由单三角形、大地四边形和中点多边形组合而成的。
在本节，我们先讨论三角网条件平差中条件方程个数的确定问题，然后主要讨论测角三角网的条件方程的形式问题。
一、网中条件方程的个数三角网平差的目的，是要确定三角点在平面坐标系中的坐标最或然值。
如图3-9所示，根据前面学到的测量基础知识，我们知道，必须事先知道三角网中的四个数据，如两个三角点的4个坐标值，或者一个三角点的2个坐标值、一条边的长度和一个方位角，这4个已知数据我们称之为三角网的必要起算数据。
有了必要起算数据，就可以确定三角网在平面坐标系中的位置、网的大小及其方位，就可以计算三角网中未知点的坐标。
要对三角网进行平差计算，还必须先知道网中的总观测数n、判定必要观测数t，从而确定了多余观测数：r = n - t由条件平差原理知，多余观测数与条件方程数是相等的，有了多余观测数，也就确定出了条件方程的个数。
因此，问题的关键是判定必要观测数t。
3-2 高程网条件平差
§3-2 高程网条件平差0．5学时高程网包括水准网和三角高程网。
对高程网进行条件平差时，一般以已知高程点的高程值作为起算数据，以各测段的观测高差值作为独立观测值，写出其满足的条件关系式，按照条件平差的原理解算各高差值的改正数和平差值，然后再计算出各待求点的高程平差值，并进行精度评定。
一、高程网条件方程的个数及条件方程式进行条件平差时，首先要确定条件方程的个数。
从上节内容可知道，在一般情况下，条件方程式的个数与多余观测的个数r相符。
而要确定多余观测个数就必须先确定必要观测个数t。
高程测量（包括三角高程测量和水准测量）的主要目的是确定未知点的高程值。
如图3-2所示高程网中，有2个已知高程点A、B，3个未知高程点C、D、E和8个高差观测值。
从图中可以看出，要确定3个未知点的高程值，至少需要知道其中的3个高差观测值（如h1、h2、h3，或h6、h7、h8，或h2、h4、h5等多种选择），即必要观测个数t = 3。
图3-2 则多余观测个数r = n – t = 8 - 3 = 5，可以写出这5个条件方程式⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=-++=+-=-+=+-=--0ˆˆ0ˆˆ ˆ0ˆˆˆ0 ˆˆˆ 0ˆˆˆ72875764532421B A H H h h h h h h h h h h h h h h相对应的改正数条件方程式形式⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=-+=-+-=--+=-+-=--+00 0005724875376425321421w v v w v v v w v v v w v v v w v v v其中⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫-++-=+--=-+-=+--=---=)()()()()(7258754764353224211B A H H h h w h h h w h h h w h h h w h h h w这些条件方程式（或改正数条件方程式），大体上分为两类：其一是闭合路线情况，如条件方程式中前四个条件方程式，可称为闭合条件方程式；其二是附合路线情况，如条件方程式中第五个，反应的是从A 点出发后测得的B 点的高程值是否与B 点的已知高程值相等的问题，可称为附合条件方程式。
条件平差
得法方程： AQATK-W=0 T 1 T N AQA AP A 令 aa r .r r .nn.nn.r 则有： NaaK-W=0
法方程系数阵Naa是一个r阶的满秩方阵，且可逆
N11k1 N12k 2 N1r k r W1 0 N 21k1 N 22k 2 N 2 r k r W2 0 N r1k1 N r 2 k 2 N rn k r Wr 0
目标函数：f x min n1 x a h x min F a , x f 1k 约束条件： h x 0 k 1 n1 F a, x
0 a F a, x 0 x
L2
L4 L1 L3 L2
A
B
C
§6-2 条件方程
条件方程的个数等于多余观测数r。条件方程之间 不能线性相关,在一个平差问题中，条件方程的个 数是固定不变的.
一、r的确定： r=n-t 二、条件方程的列立： 原则：足数（r个），线性无关，形式简单，易 于列立
控制网常见几何模型
水准网 三角网(测角网) 三边网(测边网) GPS基线向量网 单一附合导线
由此可得联系数K的解：
r ,1
K ( AQA ) W
T
T 1
V QA K
条件平差的 最小二乘解：
n,1
ˆ L V L
三、条件平差计算步骤：
1．根据平差问题的具体情况，列出条件方程，条 件方程的个数等于多余观测数r。 2．组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r 3．解法方程，求出联系数K值。 4．将K代入改正数方程式，求出V值，并求出观测 值的平差值=L+V。 5．检验平差计算的正确性（可用平差值重新列出 平差值条件方程式，看其是否满足方程）。
第三章条件平差
独立三角网
自由三角网
自由测角网
附合三角网（测角）
• 例：
∆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α ∆
当n=35、n=22、n=35+22时，其条件式个数各为多 少？有哪些类型？
图形条件（内角和条件）:
B
b1
a2
c1 D c2 a1 b3 c3 a3 b2 C
A
圆周条件（水平条件）:
b1
a2
c1 a1 a3 c3
c2 b2 b3
5.1.06、 5.1.07
上节内容回顾：
改正数条件式 观测值的协方差阵 法方程
AV W 0
D P Q
2 0 1 2 0
r n n n
Naa K W 0 N aa AQ AT
r r n r
改正数方程
V P A K QA K
T
1 T
wr
T
• 则条件方程可写成：
ˆA 0 AL 0
• 以及改正数条件式：
W AL A0
AV W 0
这样一来，对于一个平差问题，我们能够得到 其数学模型：
AV W 0 D P Q
2 0 1 2 0
下面要解决的问题是： 由上述的数学模型来求改正数V。
不难发现，不能求得V的唯一解！！！ 解决不唯一解的办法就是附加一个约束条件---“最小二乘估计” 即满足：
极条件（边长条件）:
b1 a2
c1
a1 b3 c3
c2 b2 a3
极条件（边长条件）就是指由不同路线推算得到 的同一边长的长度应相等。
三角网的基本图形 1） 单三角形 2）大地四边形
3）中点多边形。
条件平差
L 1 L 2 L 3 180 0
（3）根据条件方程系数、闭合差及观测值的权组成法方程
v 1 v 2 v 3 12 0
A 1 1 1
1 P 1
NK W 0
N A P1 3 1 3 3 Nhomakorabea1
A
T
3 1
1.条件平差原理
A
h3
v1 v 3 v 4 v 5
f
0
C
v1 v 2 v 3 g 0
2.水准网条件平差
课本第35页例【3-4】
必要观测数t=3 多余观测r=4
h5
A
h2
h1
P1
观测总数n=7
解： （1）确定条件方程的个数
r nt 73 4
P2
（2）列出条件方程
V P
1
A K
T
V 4
（6）计算平差值
4
4
T
L L 1 v 1 42 38 17 - 4 42 38 13 1 L 2 L 2 v 2 60 15 24 - 4 60 15 20 L 3 L 3 v 3 77 06 31 - 4 77 06 27
1.条件平差原理
4 条件平差精度评定
（1）单位权中误差的计算
0
pvv
r
V
T
PV r
1.条件平差原理
（2）平差值函数的中误差
平差值函数
f ( L1 , L 2 , , L n )
测量程序设计_条件平差和间接平差
程序代码如下：
disp(‘-------水准网间接平差示例-------------’) disp(‘已知高程’) Ha = 5.015 % 已知点高程，单位m Hb = 6.016 % 已知点高程，单位m
A h2 D h1
C h6 E h7 B h4
h5
h3
disp(‘观测高差，单位m’)
L = [1.359; 2.009; 0.363; 1.012; 0.657; -0.357] disp(‘系数矩阵B’)
则： PV AT K
V P A K QA K
T
1 T
4、法方程： 将条件方程 AV+W=0代入到改正数方程V=QATK 中，则得到：
AQAT K W 0
r1 r1 r1
记作： 由于
N aa K W 0
rr
R( Naa ) R( AQAT ) R( A) r
Naa为满秩方阵， K Naa1W ( AQAT )1 ( AL A0 )
if H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HA-HB==0 && H(2,1)H(4,1)==0 disp(‘检核正确') else disp(‘检核错误') end disp(‘平差后的高程值') HC = HA + H(1,1) HD = HA + H(1,1) + H(4,1)
二、间接平差的基本原理
其中l＝L－d.
ˆ 设误差Δ和参数X的估计值分别为V 和 X
则有
ˆ V AX l
X0 为了便于计算，通常给参数估计一个充分接近的近似值
ˆ ˆ X X0 x
则误差方程表示为
第3章条件平差原理
2012-4-24
9
第三章 条件平差
第一节
条件平差的数学模型为 函数模型： 函数模型： AV −W = 0
2 2 −1 随机模型： D 随机模型： n,n = σ 0 Q = σ 0 P,n n n,n
条件平差原理
L1 L L = 2 n ,1 M Ln
条件平差就是在满足 条件平差就是在满足r个条件方程 , , , 条件下，求解满足最小二乘法（V 条件下，求解满足最小二乘法（ TPV = min）的V值，在数学中就是 min） 求函数的条件极值问题。 求函数的条件极值问题。 条件方程 一、条件平差原理
OA = AO = O IA = AI = A A(B + C) = AB + AC ABC = A(BC)
2012-4-24
2
第三章 条件平差
复习知识
三、矩阵的转置 对于任意矩阵C 对于任意矩阵Cmn: 矩阵的转置的性质如下: 矩阵的转置的性质如下:
(4) (kA)T = kAT 将其行列互换，得到一个n*m阶矩阵， 阶矩阵， 将其行列互换，得到一个 阶矩阵
b11 b A−1 = 21 n×n L bn1
b12 L b1n b22 L b2n L L L bn2 L bnn
R ( AB ) ≤ min { R( A), R ( B)}
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6
第三章 条件平差
复习知识
五、矩阵的迹 定义：方阵A 定义：方阵A的主对角元素之和称 为该方阵的迹，记为 为该方阵的迹， 六、满秩矩阵 定义： 阶方阵A的秩 定义：若n阶方阵 的秩 阶方阵 的秩R(A)=n，则称 ， A为满秩方阵。若m*n阶矩阵 的秩 为满秩方阵。 阶矩阵A的秩 为满秩方阵 阶矩阵 R(A)=m，称A为行满秩阵；若R(A)=n， 为行满秩阵； 为行满秩阵 ， 则称A为列满秩阵。 则称 为列满秩阵。 为列满秩阵 对于任意一m*n阶矩阵A， R(A)=r， 对于任意一m*n阶矩阵A，若R(A)=r， 阶矩阵 则A可分解为 可分解为
三角网条件平差计算
§3-4 三角网条件平差计算2学时三角网测量的目的，是通过观测三角形的各角度或边长，计算三角网中各未知点的坐标、边的长度及方位角等。
三角网按条件平差计算时，首要的问题是列出条件方程。
因此了解三角网的构成，总结其条件方程的种类及各种条件方程的组成规律是十分重要的。
三角网的种类比较多，网的布设形式也比较复杂。
根据观测内容的不同，有测角网、测边网、边角同测网等；根据网中起始数据的多少，有自由三角网和非自由三角网。
自由三角网是指仅具有必要起算数据的三角网，网中没有多余的已知数据。
如果测角三角网中，只有两个已知点（或者已知一个已知点的坐标、一条已知边的长度和一个已知的方位角），根据数学理论，以这两个已知点为起算数据，再结合必要的角度测量值，就能够解算出网中所有未知点的坐标。
如果三角网中除了必要的起算数据外还有其它的已知数据，或者说已知数据有冗余，就会增加对网形的约束，从而增强其可靠性，这种三角网称之为非自由三角网。
无论多么复杂的三角网，都是由单三角形、大地四边形和中点多边形组合而成的。
在本节，我们先讨论三角网条件平差中条件方程个数的确定问题，然后主要讨论测角三角网的条件方程的形式问题。
一、网中条件方程的个数三角网平差的目的，是要确定三角点在平面坐标系中的坐标最或然值。
如图3-9所示，根据前面学到的测量基础知识，我们知道，必须事先知道三角网中的四个数据，如两个三角点的4个坐标值，或者一个三角点的2个坐标值、一条边的长度和一个方位角，这4个已知数据我们称之为三角网的必要起算数据。
有了必要起算数据，就可以确定三角网在平面坐标系中的位置、网的大小及其方位，就可以计算三角网中未知点的坐标。
要对三角网进行平差计算，还必须先知道网中的总观测数n、判定必要观测数t，从而确定了多余观测数：r = n - t由条件平差原理知，多余观测数与条件方程数是相等的，有了多余观测数，也就确定出了条件方程的个数。
因此，问题的关键是判定必要观测数t。
第三章 条件平差
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经化简即有
cv t c g v ta c gv t a c g v t a c g v t b c g v tb g b
1 a 1
2 a 2
3 a 3
1 b 1
2 b 1
33
(1
sina1 sinb1
sina2 sinb2
sina3)
sinb3
=0,
圆周条件，即
c ˆ1c ˆ2c ˆ336 o0
或
V V V W 0
c1
c2
c3
4
第三类是极条件或称边长条件。满足上述4个条件方程
的角值还不能使图3-5的几何图形完全闭合，例如，由边
长通过a2、b2、c2计算边长，通过a1、b1、c1由计算边长，
再由通过a3、b3、c3计算边长，计算的结果，其边长不会
(3-21)
这就是极条件（3-20）的线性形式。
三、测边网
和测角同一样，在测边网中也可分解为三角形，大地 四边形和中点多边形三种基本图形。对于测边三角形，决 定其形状和大小的必要观测为三条边长。所以t=3，此时 r=n-t=3-3=0，即测边三角形不存在的条件方程。对于测边 四边形，决定第一个三角形必须观测3条边长，决定第二 个三角形只需要再增加2条边长，所以确定一个四边形的 图形，必须观测5条边长，即t=5，所以r=n-t=6-5=1，存在 一个条件方程。对于中点多边形，例如中点五边形，它由 四个独立三角形组成，此t=3+2×3=9，故有r=n-t=10-9=1。
法，将上式用台劳公式展开取至次项，即可得线性形式的
极条件方程。
将 a ˆ a v,b ˆ b v,c ˆ c v代入（3-20）式，
【平差课件】第3章第3讲(三角网条件平差
（四）条件方程的列立
1、图形条件(n=15 t=8 r=7 哪7个？)
每个三角形内角平差值和等于180 Lˆ1 Lˆ2 Lˆ3 180 0
v1 v2 v3 w 0
w (L1 L2 L3 180 )
（四）条件方程的列立
2、水平条件
中点多边形中心点角度平差值之和等于360
Lˆ3 Lˆ6 Lˆ9 Lˆ12 Lˆ15 360 0
cot L1
v1
sin L1 sin L4 sin L7 sin L10 sin L13 sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L14
cot L2
v2
sin sin
L1 sin L4 sin L7 sin L10 L2 sin L5 sin L8 sin L11
sin L13 sin L14
wS
1
S EF S AB
sin L2 sin L5 sin L8 sin L11 sin L1 sin L4 sin L7 sin L10
（四）条件方程的列立
6、坐标条件
xˆE xE 0 yˆ E yE 0
xˆE xB xˆBC xˆCE xB SˆBC cosTˆBC SˆCE cosTˆCE
wx
(xE
1000
xE )
206.265(xE
xE )
( yE yB )(ctgL1v1 ctgL2v2 ) ( yE yC )(ctgL4v4 ctgL5v5 ) ( yE yC )(ctgL7v7 ctgL8v8 ) ( yE yC )(ctgL12v12 ctgL11v11 ) (xE xB )(v3 ) (xE xC )(v6 ) (xE xC )(v9 ) (xE xC )(v10 ) wy 0
第9讲第三章条件平差-条件方程2pdf
1 2 3
C
4 17 21 5 6 7 8 9 19 10 11
D
S、T
14
B
15 16
22
18
G 20
E
13 12
14
F
停止
返回
例：边角网
三角形 大地四边形 中心多边形 扇形
t 2* 3 3 3
t 2*4 3 5
t 2 * 7 3 11
t 2*5 3 7
17
二、条件方程的形式
例 1：在右图所示的水准网中（箭头指 向高端） ，设观测高差为 h1 , h2 , h3 , h4 , h5 ，高 ˆ ,h ˆ ,h ˆ ,h ˆ ,h ˆ ，列出最或 差的最或然值为 h 1 2 3 4 5 然值及改正数应满足的条件关系式。
ˆ h ˆ ˆ h h 0 1 2 4 ˆ h ˆ ˆ 0 h h 2 3 5
N AP 1 AT
b1 r1 b2 r2 bn rn
a1 a 2 b b 2 1 r1 r2
1 a1 p1 an bn 1 a 2 p 2 rn 1 an pn
第二节
确定条件方程的个数
一、高程网
1. 对于有已知高程点的高程网，必要观测数等于网中待 定点的个数； 2. 在没有已知点的高程网中，必要观测数等于网中全部 点的个数减去1。
5
第二节 确定条件方程的个数
一、高程网
列条件方程的原则： 1、闭合水准路线 2、附合水准路线
包含的线路数最少为原则
6
A
h1
1 b1 p1 1 b2 p2 1 bn pn
第03章 条件平差
zqz99@
设观测值的权阵P为n×n的对角阵，又设联系
数矩阵K＝(ka，kb，…，kr)T，则式(3-11)可用矩阵表 示为： Φ＝VTPV－2KT(AV＋W) 为求新函数Φ的极值，对上式的变量V求其一阶
偏导数，并令其为零。即
d d (V T PV ) d ( 2 K T ( AV W )) dV dV dV
zqz99@
2.1条件平差概述
在图3-1中，设HA为A点的已知高程，为了确定B、C 两点的高程，只要观测两个高差就够了，即必要观测数 为t＝2，而图中按箭头方向观测了h1、h2、h3三个高差， 则n＝3，因为有了多余观测(r＝1)，所以三个观测高差的 平差值产生了一个条件，即 ˆ h ˆ h ˆ 0 h
zqz99@
zqz99@
zqz99@
zqz99@
条 件 制约和影响事物存在、发展的
外部因素
zqz99@
第三章
1
2 3 4 5 6
条件平差
§1 条件平差原理
§2 必要观测与多余观测 §3 条件方程 §4 条件平差方程式 §5 条件平差的精度评定 §6 条件平差举例
式(3-13)称为改正数方程
vi
1 (ai ka bi kb ri kr ) pi
(3-13)
zqz99@
若多余观测为2， 即条件方程只有2个， 改正数方程为:
若多余观测为3， 即条件方程只有3个， 改正数方程为:
vi
v1
1 (ai ka bi kb ) pi
vi
v1
1 (ai ka bi kb ci kc ) pi
1 (a1ka b1kb ) p1 1 v2 (a2 ka b2 kb ) p2 1 vn (an ka bn kb ) pn
条件平差
L 转置矩阵
Q − QVV
组成函数 Ф = ������ ������ PV − 2K T （AV − W） 对函数求一阶导，并令其为 0
dФ dV
= 2V T P − 2K T A = 0
PV = AT K V = P −1 AT K = QAT K 把式子代入条件模型可得：AQAT K − W = 0 2.Naa = AQAT （计算方程系数） Naa K − W = 0 ----法方程 R(Naa ) = r −1 3.K = Naa W（解算 K） 4.V = QAT K （计算改正数 V） Q 的值与权有关。 5.L = L + V （计算改正值） 6.f（L）方程 测角网条件方程： 方程个数=图形条件+圆周条件+极条件 1. 图形条件（内角和条件） 是指每个闭合的平面多边形中，诸内角平差 值之和应等于其应有值。 2. 圆周条件（水平条件） 中点多边形的圆周条件。中点的所有角相加为 360° 3. 极条件（边长条件） 由不同线路推算得到的边边长相等。可以化为角 度正弦值的比。 4. 方位角条件 图形中已经确定的方位角。 5. 坐标条件 测边网条件方程：设出所需角 1. 以角度改正数表示条件方程 2. 角度改正数与边长改正数的关系式 3. 以边长改正数表示的图形条件方程 以坐标作为观测值的条件方程 1. 直角与直线型的条件方程 2. 距离型的条件方程
V T PV = K T Naa K V T PV = −W T K LT
L W K V L
QLW QLK QLV QLL QWW QWK QWV QW L QKW QKK QKV QKL QZZ QVW QVK QVV QVL QL W Q L K Q L V Q L L L=L W = AL + A0 −1 −1 −1 K = −Naa W = −Naa AL − Naa A0 T T −1 T −1 V = QA K = −QA Naa AL − QA Naa A0 L= L+V L W K V Q 空白处为 对角的 AQ Naa −1 −1 -1 −Naa AQ Naa −1 −1 AQ QAT Naa −QVV −QAT QAT Naa −1 AQ Q − QAT Naa 0 0 0
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xˆn1 xC 0 yˆ n1 yC 0
单一附合导线条件平差
1.方位角附合条件式
Tˆn1 T0 [ˆi ]1n1 (n 1) 180 T0 [i vi ]1n1 (n 1) 180
则方位角附合条件式可写为
v2
Lˆ n
Ln
vn
在这n个观测值中，有t个必要观测数，多余观测
数为r。
条件平差原理
可以列出r个平差值线性条件方程
a1v1 a2v2 an vn wa 0
b1v1
b2v2 bn vn wb 0
r1v1 r2v2 rn vn wr 0
程中式的式中常中，数的ai、项系b。i数、相，…应、a0的、ri（改b0i、正= …1数,2、条,…r件0…为方n各）程平为式差各值平条差件值方条程件方式
E QAT
0
N 1 QAT N 1
0
N 1 AQ QAT N 1 AQ
0
0
0
Q
QAT
N
1
AQ
QLˆL
QLˆW
QLˆK
QLˆV
QLˆLˆ
由上式可见，平差值与闭合差W、联系数K、改 正数V是不相关的统计量，又由于它们都是服 从正态分布的向量，所以与W、K、V也是相互 独立的向量。
平差值函数的协因数
单一附合导线条件平差
设AB边方位角已知值为TAB = T0，CD边方位角已知值为TCD、 计算值为Tn+1，B点坐标的已知值为(,)或者(x1, y1)，C点坐 标的已知值为(,)、计算值为(xn+1, yn+1)。三个条件中，有 一个方位角附合条件、两个坐标附合条件。
方位角附合条件：从起始方位角推算至终边的方位角平 差值应等于其已知值，即 Tˆn1 TCD 0
w5 (h2 h7 H A H B )
这些条件方程式（或改正数条件方程式），大体
上分为两类：其一是闭合路线情况，如条件方
程式中前四个条件方程式，可称为闭合条件方
程式；其二是附合路线情况，如条件方程式中
第五个，反应的是从A点出发后测得的B点的高 程值是否与B点的已知高程值相等的问题，可 称为附合条件方程式。
dV
V
V
得
VTP KT A
上式两端转置，得
PTV AT K
条件平差原理
由于P是主对角线阵，则 P = P T ，得 将上式两边左乘权逆阵P – 1，得
PV AT K
V P1 AT K
此式称为改正数方程，其纯量形式为
（i = 1，2，…，n） vi
1 pi
(ai ka
bi kb
ri kr )
a1 Lˆ1 a2 Lˆ2
an Lˆn
a0
0
b1 Lˆ1 b2 Lˆ2
bn Lˆn
b0
0
r1 Lˆ1 r2 Lˆ2
rn Lˆn
r0
0
式中wa、wb、…、wr称为改正数条件方程的闭合差
条件平差原理
wa (a1L1 a2 L2 an Ln a0 )
wb (b1L1
W ( AL A0 )
条件平差原理
按求函数极值的拉格朗日乘数法，引入乘系数
K
r ,1
[ka
kb
kr ]T （联系数向量），构成函数：
V T PV 2K T ( AV W )
为引入最小二乘法，将Φ对V求一阶导数，并令其
为零
d (V T PV ) 2 (K T AV ) 2V T P 2K T A 0
,
f Lˆ n
T LˆL
QFF f T QLˆLˆ f
平差值函数的协因数
QLˆLˆ Q QAT N 1 AQ
代入式得
QFF f T Qf f T QAT N 1 AQf
即
QFF f T QLˆLˆ f f T (Q QAT N 1 AQ) f
此式即为平差值函数式的协因数表达式。
Tˆn1 TCD T0 [i vi ]1n1 (n 1) 180 TCD 0
整理得
[vi ]1n1 wT 0
其中
wT (T0 [ i ]1n1 (n 1) 180 TCD )
单一附合导线条件平差
2.纵坐标附合条件式 终点C坐标平差值表示为
xˆn1 xB [xˆi ]1n
上式两边左乘法方程系数阵N的逆阵N – 1，得 联系数K的唯一解： K N 1W 代入前式，可计算出V，再将V代入,即可计算出 所求的观测值的最或然值。 Lˆ L V
精度评定
精度评定包括单位权方差
ˆ
2 0
和单位权中
误差 ˆ0 的计算、平差值函数( F f (Lˆ) )的
协因数QFF及其中误差 ˆF 的计算等。
高程网条件方程的个数及条件方程式
则多余观测个数r = n – t = 8 - 3 = 5，可以写出这5个
条件方程式
hˆ1 hˆ 2 hˆ4
hˆ2 hˆ3 hˆ6
hˆ4 hˆ5 hˆ7
0
0 0
hˆ5 hˆ7 hˆ8 0
hˆ2 hˆ7 H A H B 0
相对应的改正数条件方程式形式
§3-3 导线网条件平差计算
导线网，包括单一附合导线、单一闭合 导线和结点导线网，是目前较为常用的 控制测量布设方式之一，其观测值有长 度观测值和角度观测值。
单一附合导线条件平差
单一附合导线条件平差
如图3-6所示，在这个导线中有四个已知点、n -1个 未知点、n+1个水平角观测值和n条边长观测值，总 观测值数为2n+1。从图中可以分析，要确定一个未 知点的坐标，必须测一条导线边和一个水平角，即 需要两个观测值；要确定全部n -1个未知点，则需 观测n -1个导线边和n -1个水平角，即必要观测值数t = 2n -2；则多余观测个数r = (2n +1) – t = 3。也就是说， 在单一附合导线中，只有三个条件方程。下面讨论 其条件方程式及改正数条件方程式的写法。
高程网条件方程的个数及条件方程式
进行条件平差时，首先要确定条件方程的个数。 从上节内容可知道，在一般情况下，条件方程式 的个数与多余观测的个数r相符。而要确定多余观 测个数就必须先确定必要观测个数t。
高程测量（包括三角高程测量和水准测量）的主 要目的是确定未知点的高程值。如图所示高程网 中，有2个已知高程点A、B，3个未知高程点C、D、 E和8个高差观测值。从图中可以看出，要确定3 个未知点的高程值，至少需要知道其中的3个高 差h4 、观h测5 等值多（种如选h1、择h）2、，h3即，必或要h6观、测h7个、数h8t，= 3或。h2、
该平差值函数的方差
DFF
ˆ
2 0
Q
FF
条件平差的计算步骤
（1）根据实际问题，确定出总观测值的个数n、必要观测 值的个数t及多余观测个数r = n - t，进一步列出最或是值 条件方程或改正数条件方程；
（2）组成法方程式； （3）计算出联系数K； （4）计算出观测值改正数V；并计算出观测值的平差值； （5）计算单位权方差和单位权中误差；
设有平差值函数
Fˆ f (Lˆ1, Lˆ2 , , Lˆn )
对上式全微分得
dFˆ
f Lˆ1
Lˆ L
dLˆ1
f Lˆ2
LˆL
dLˆ2
f Lˆn
dLˆn
LˆL
取全微分式的系数阵为
由协因数传播律得 f
f1,
f 2 ,
,
f n T
f Lˆ1
Lˆ L
,
f Lˆ 2
Lˆ
L
,
其中
v1 v2 v4 w1 0
v2 v4
v3 v6
v5 v7
w2 w3
00
v5 v7 v8 w4 0
v2 v7 w5 0
高程网条件方程的个数及条件方程式
w1 (h1 h2 h4 )
w2 (h2 h3 h5 ) w3 (h4 h6 h7 )
w4 (h5 h7 h8 )
将向量L、K、V、组成列向量，并以Z表示之
L E
0
W
A
A0
Z
K
N 1 A
L
N
1
A0
V
P 1 AT N 1 A
P 1 AT N 1 A0
Lˆ
E P 1 AT N 1 A
P
1
AT
N
1
A0
协因数阵
按协因数传播律，得Z的协因数阵为
Lˆ
QLL QWL
QLW QWW
而第i边的坐标增量为 xˆi Sˆi cos Tˆi
式中
Sˆi Si vSi
Tˆi T0 [ˆ j ]1i i 180 T0 [ j v j ]1i i 180
[v j ]1i [ j ]1i T0 i 180
[v j ]1i Ti
单一附合导线条件平差
其中Ti是第i边的近似坐标方位角
将上式代入，得
AP1 AT K W 0
此式称为联系数法方程（简称法方程）。
条件平差原理
取法方程的系数阵 AP-1AT = N，由上式易知N阵关 于主对角线对称，得法方程表达式
NK W 0
法方程数阵N的秩
R(N ) R( AP 1 AT ) r
即N是一个r阶的满秩方阵，且可逆。移项得
NK W
（6）列出平差值函数关系式，并对其全微分，求出其线 性函数的系数阵f，计算出平差值函数的协因数QFF ，计 算出平差值函数的协方差DFF。
§3-2 高程网条件平差
高程网包括水准网和三角高程网。对高 程网进行条件平差时，一般以已知高程 点的高程值作为起算数据，以各测段的 观测高差值作为独立观测值，写出其满 足的条件关系式，按照条件平差的原理 解算各高差值的改正数和平差值，然后 再计算出各待求点的高程平差值，并进 行精度评定。