第三章 条件平差
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W ( AL A0 )
条件平差原理
按求函数极值的拉格朗日乘数法，引入乘系数
K
r ,1
[ka
kb
kr ]T （联系数向量），构成函数：
V T PV 2K T ( AV W )
为引入最小二乘法，将Φ对V求一阶导数，并令其
为零
d (V T PV ) 2 (K T AV ) 2V T P 2K T A 0
w5 (h2 h7 H A H B )
这些条件方程式（或改正数条件方程式），大体
上分为两类：其一是闭合路线情况，如条件方
程式中前四个条件方程式，可称为闭合条件方
程式；其二是附合路线情况，如条件方程式中
第五个，反应的是从A点出发后测得的B点的高 程值是否与B点的已知高程值相等的问题，可 称为附合条件方程式。
独立的偶然误差，相应的权阵为 ，P改正数为 ，V
平差值为 Lˆ ，表示为
n,n
n ,1
L1
L
L2
n,1
Ln
n ,1
v1
V
v
2wenku.baidu.com
n,1
p1 P n,n
p2
v n
pn
Lˆ
n ,1
Lˆ1 Lˆ 2
Lˆ n
其中
Lˆ1 Lˆ 2
L1
L2
v1
该平差值函数的方差
DFF
ˆ
2 0
Q
FF
条件平差的计算步骤
（1）根据实际问题，确定出总观测值的个数n、必要观测 值的个数t及多余观测个数r = n - t，进一步列出最或是值 条件方程或改正数条件方程；
（2）组成法方程式； （3）计算出联系数K； （4）计算出观测值改正数V；并计算出观测值的平差值； （5）计算单位权方差和单位权中误差；
而第i边的坐标增量为 xˆi Sˆi cos Tˆi
式中
Sˆi Si vSi
Tˆi T0 [ˆ j ]1i i 180 T0 [ j v j ]1i i 180
[v j ]1i [ j ]1i T0 i 180
[v j ]1i Ti
单一附合导线条件平差
其中Ti是第i边的近似坐标方位角
dV
V
V
得
VTP KT A
上式两端转置，得
PTV AT K
条件平差原理
由于P是主对角线阵，则 P = P T ，得 将上式两边左乘权逆阵P – 1，得
PV AT K
V P1 AT K
此式称为改正数方程，其纯量形式为
（i = 1，2，…，n） vi
1 pi
(ai ka
bi kb
ri kr )
设有平差值函数
Fˆ f (Lˆ1, Lˆ2 , , Lˆn )
对上式全微分得
dFˆ
f Lˆ1
Lˆ L
dLˆ1
f Lˆ2
LˆL
dLˆ2
f Lˆn
dLˆn
LˆL
取全微分式的系数阵为
由协因数传播律得 f
f1,
f 2 ,
,
f n T
f Lˆ1
Lˆ L
,
f Lˆ 2
Lˆ
L
,
b2
L2
bn Ln
b0
)
wr (r1L1 r2 L2 rn Ln r0 )
若取
a1 a2 an
A b1
b2
bn
r,n
r1
r2
rn
a0
A0
r ,1
b0
r0
上式可分别表达成矩阵形式如下
wa
W
wb
r,1
wr
ALˆ A0 0 AV W 0
高程网条件方程的个数及条件方程式
则多余观测个数r = n – t = 8 - 3 = 5，可以写出这5个
条件方程式
hˆ1 hˆ 2 hˆ4
hˆ2 hˆ3 hˆ6
hˆ4 hˆ5 hˆ7
0
0 0
hˆ5 hˆ7 hˆ8 0
hˆ2 hˆ7 H A H B 0
相对应的改正数条件方程式形式
,
f Lˆ n
T LˆL
QFF f T QLˆLˆ f
平差值函数的协因数
QLˆLˆ Q QAT N 1 AQ
代入式得
QFF f T Qf f T QAT N 1 AQf
即
QFF f T QLˆLˆ f f T (Q QAT N 1 AQ) f
此式即为平差值函数式的协因数表达式。
（6）列出平差值函数关系式，并对其全微分，求出其线 性函数的系数阵f，计算出平差值函数的协因数QFF ，计 算出平差值函数的协方差DFF。
§3-2 高程网条件平差
高程网包括水准网和三角高程网。对高 程网进行条件平差时，一般以已知高程 点的高程值作为起算数据，以各测段的 观测高差值作为独立观测值，写出其满 足的条件关系式，按照条件平差的原理 解算各高差值的改正数和平差值，然后 再计算出各待求点的高程平差值，并进 行精度评定。
n
xˆC
xB
xi
cosTi vSi
yi
[v
j
]1i
1
xn1 [cosTi
vSi ]1n
1
[(yn
yi )vi ]1n
上式代入，整理得
[cos Ti
vSi ]1n
1
[(
yn1
v2
Lˆ n
Ln
vn
在这n个观测值中，有t个必要观测数，多余观测
数为r。
条件平差原理
可以列出r个平差值线性条件方程
a1v1 a2v2 an vn wa 0
b1v1
b2v2 bn vn wb 0
r1v1 r2v2 rn vn wr 0
程中式的式中常中，数的ai、项系b。i数、相，…应、a0的、ri（改b0i、正= …1数,2、条,…r件0…为方n各）程平为式差各值平条差件值方条程件方式
Tˆn1 TCD T0 [i vi ]1n1 (n 1) 180 TCD 0
整理得
[vi ]1n1 wT 0
其中
wT (T0 [ i ]1n1 (n 1) 180 TCD )
单一附合导线条件平差
2.纵坐标附合条件式 终点C坐标平差值表示为
xˆn1 xB [xˆi ]1n
计算单位权方差和中误差的估值
单位权中误差的计算公式为
ˆ 0
[ p] r
在一般情况下，观测值的真误差△是不知
道的，也就不可能利用上式计算单位权
中误差。但在条件平差中，可以通过观
测值的改正数V来计算单位权方差和中误
差：
ˆ
2 0
V T PV r
ˆ 0
V T PV r
式中r为多余观测值个数，r = n – t。
其中
v1 v2 v4 w1 0
v2 v4
v3 v6
v5 v7
w2 w3
00
v5 v7 v8 w4 0
v2 v7 w5 0
高程网条件方程的个数及条件方程式
w1 (h1 h2 h4 )
w2 (h2 h3 h5 ) w3 (h4 h6 h7 )
w4 (h5 h7 h8 )
纵横坐标附合条件：从起始点推算至终点所得到的坐标 平差值应与终点的已知坐标值相等，即
xˆn1 xC 0 yˆ n1 yC 0
单一附合导线条件平差
1.方位角附合条件式
Tˆn1 T0 [ˆi ]1n1 (n 1) 180 T0 [i vi ]1n1 (n 1) 180
则方位角附合条件式可写为
高程网条件方程的个数及条件方程式
进行条件平差时，首先要确定条件方程的个数。 从上节内容可知道，在一般情况下，条件方程式 的个数与多余观测的个数r相符。而要确定多余观 测个数就必须先确定必要观测个数t。
高程测量（包括三角高程测量和水准测量）的主 要目的是确定未知点的高程值。如图所示高程网 中，有2个已知高程点A、B，3个未知高程点C、D、 E和8个高差观测值。从图中可以看出，要确定3 个未知点的高程值，至少需要知道其中的3个高 差h4 、观h测5 等值多（种如选h1、择h）2、，h3即，必或要h6观、测h7个、数h8t，= 3或。h2、
a1 Lˆ1 a2 Lˆ2
an Lˆn
a0
0
b1 Lˆ1 b2 Lˆ2
bn Lˆn
b0
0
r1 Lˆ1 r2 Lˆ2
rn Lˆn
r0
0
式中wa、wb、…、wr称为改正数条件方程的闭合差
条件平差原理
wa (a1L1 a2 L2 an Ln a0 )
wb (b1L1
将向量L、K、V、组成列向量，并以Z表示之
L E
0
W
A
A0
Z
K
N 1 A
L
N
1
A0
V
P 1 AT N 1 A
P 1 AT N 1 A0
Lˆ
E P 1 AT N 1 A
P
1
AT
N
1
A0
协因数阵
按协因数传播律，得Z的协因数阵为
Lˆ
QLL QWL
QLW QWW
QLK QWK
QLV QWV
QLLˆ
QWLˆ
Q AQ
QAT QAT N 1 QAT N 1 AQ Q QAT N 1 AQ
N
E
AQ
0
QZZ QKL QVL
QKW QVW
QKK QVK
QKV QVV
QKLˆ
QVLˆ
N 1 AQ
QAT N 1 AQ
Q QAT N 1 AQ
§3-3 导线网条件平差计算
导线网，包括单一附合导线、单一闭合 导线和结点导线网，是目前较为常用的 控制测量布设方式之一，其观测值有长 度观测值和角度观测值。
单一附合导线条件平差
单一附合导线条件平差
如图3-6所示，在这个导线中有四个已知点、n -1个 未知点、n+1个水平角观测值和n条边长观测值，总 观测值数为2n+1。从图中可以分析，要确定一个未 知点的坐标，必须测一条导线边和一个水平角，即 需要两个观测值；要确定全部n -1个未知点，则需 观测n -1个导线边和n -1个水平角，即必要观测值数t = 2n -2；则多余观测个数r = (2n +1) – t = 3。也就是说， 在单一附合导线中，只有三个条件方程。下面讨论 其条件方程式及改正数条件方程式的写法。
上式两边左乘法方程系数阵N的逆阵N – 1，得 联系数K的唯一解： K N 1W 代入前式，可计算出V，再将V代入,即可计算出 所求的观测值的最或然值。 Lˆ L V
精度评定
精度评定包括单位权方差
ˆ
2 0
和单位权中
误差 ˆ0 的计算、平差值函数( F f (Lˆ) )的
协因数QFF及其中误差 ˆF 的计算等。
单一附合导线条件平差
设AB边方位角已知值为TAB = T0，CD边方位角已知值为TCD、 计算值为Tn+1，B点坐标的已知值为(,)或者(x1, y1)，C点坐 标的已知值为(,)、计算值为(xn+1, yn+1)。三个条件中，有 一个方位角附合条件、两个坐标附合条件。
方位角附合条件：从起始方位角推算至终边的方位角平 差值应等于其已知值，即 Tˆn1 TCD 0
测量平差
太原理工大学测绘科学与技术系
第三章 条件平差
第三章 条件平差
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6
条件平差原理 高程网条件平差 导线网条件平差计算 三角网条件平差计算 附有参数的条件平差 条件平差估值的统计性质
§3-1 条件平差原理
设在某个测量作业中，有n个观测值 ，nL,1 均含有相互
将上式代入，得
AP1 AT K W 0
此式称为联系数法方程（简称法方程）。
条件平差原理
取法方程的系数阵 AP-1AT = N，由上式易知N阵关 于主对角线对称，得法方程表达式
NK W 0
法方程数阵N的秩
R(N ) R( AP 1 AT ) r
即N是一个r阶的满秩方阵，且可逆。移项得
NK W
E QAT
0
N 1 QAT N 1
0
N 1 AQ QAT N 1 AQ
0
0
0
Q
QAT
N
1
AQ
QLˆL
QLˆW
QLˆK
QLˆV
QLˆLˆ
由上式可见，平差值与闭合差W、联系数K、改 正数V是不相关的统计量，又由于它们都是服 从正态分布的向量，所以与W、K、V也是相互 独立的向量。
平差值函数的协因数
协因数阵
条件平差的基本向量L、W、K、V、都可以表达成 随机向量L的函数
LL
W AL A0
K N 1W N 1 ( AL A0 ) N 1 AL N 1 A0
V P 1 AT K P 1 AT (N 1 AL N 1 A0 ) P 1 AT N 1 AL P 1 AT N 1 A0 Lˆ L V L (P1 AT N 1 AL P1 AT N 1 A0 ) (E P1 AT N 1 A)L P1 AT N 1 A0
Ti [ j ]1i T0 i 180
则上式可表示为 xˆi (Si vSi ) cos([v j ]1i Ti )
上式按泰勒级数展开，取至一次项，得
xˆi
xi
cos Ti
vSi
yi
[v j ]1i
其中 xi Si cosTi ，为由观测值计算出的近
似坐标增量。
单一附合导线条件平差
条件平差原理
按求函数极值的拉格朗日乘数法，引入乘系数
K
r ,1
[ka
kb
kr ]T （联系数向量），构成函数：
V T PV 2K T ( AV W )
为引入最小二乘法，将Φ对V求一阶导数，并令其
为零
d (V T PV ) 2 (K T AV ) 2V T P 2K T A 0
w5 (h2 h7 H A H B )
这些条件方程式（或改正数条件方程式），大体
上分为两类：其一是闭合路线情况，如条件方
程式中前四个条件方程式，可称为闭合条件方
程式；其二是附合路线情况，如条件方程式中
第五个，反应的是从A点出发后测得的B点的高 程值是否与B点的已知高程值相等的问题，可 称为附合条件方程式。
独立的偶然误差，相应的权阵为 ，P改正数为 ，V
平差值为 Lˆ ，表示为
n,n
n ,1
L1
L
L2
n,1
Ln
n ,1
v1
V
v
2wenku.baidu.com
n,1
p1 P n,n
p2
v n
pn
Lˆ
n ,1
Lˆ1 Lˆ 2
Lˆ n
其中
Lˆ1 Lˆ 2
L1
L2
v1
该平差值函数的方差
DFF
ˆ
2 0
Q
FF
条件平差的计算步骤
（1）根据实际问题，确定出总观测值的个数n、必要观测 值的个数t及多余观测个数r = n - t，进一步列出最或是值 条件方程或改正数条件方程；
（2）组成法方程式； （3）计算出联系数K； （4）计算出观测值改正数V；并计算出观测值的平差值； （5）计算单位权方差和单位权中误差；
而第i边的坐标增量为 xˆi Sˆi cos Tˆi
式中
Sˆi Si vSi
Tˆi T0 [ˆ j ]1i i 180 T0 [ j v j ]1i i 180
[v j ]1i [ j ]1i T0 i 180
[v j ]1i Ti
单一附合导线条件平差
其中Ti是第i边的近似坐标方位角
dV
V
V
得
VTP KT A
上式两端转置，得
PTV AT K
条件平差原理
由于P是主对角线阵，则 P = P T ，得 将上式两边左乘权逆阵P – 1，得
PV AT K
V P1 AT K
此式称为改正数方程，其纯量形式为
（i = 1，2，…，n） vi
1 pi
(ai ka
bi kb
ri kr )
设有平差值函数
Fˆ f (Lˆ1, Lˆ2 , , Lˆn )
对上式全微分得
dFˆ
f Lˆ1
Lˆ L
dLˆ1
f Lˆ2
LˆL
dLˆ2
f Lˆn
dLˆn
LˆL
取全微分式的系数阵为
由协因数传播律得 f
f1,
f 2 ,
,
f n T
f Lˆ1
Lˆ L
,
f Lˆ 2
Lˆ
L
,
b2
L2
bn Ln
b0
)
wr (r1L1 r2 L2 rn Ln r0 )
若取
a1 a2 an
A b1
b2
bn
r,n
r1
r2
rn
a0
A0
r ,1
b0
r0
上式可分别表达成矩阵形式如下
wa
W
wb
r,1
wr
ALˆ A0 0 AV W 0
高程网条件方程的个数及条件方程式
则多余观测个数r = n – t = 8 - 3 = 5，可以写出这5个
条件方程式
hˆ1 hˆ 2 hˆ4
hˆ2 hˆ3 hˆ6
hˆ4 hˆ5 hˆ7
0
0 0
hˆ5 hˆ7 hˆ8 0
hˆ2 hˆ7 H A H B 0
相对应的改正数条件方程式形式
,
f Lˆ n
T LˆL
QFF f T QLˆLˆ f
平差值函数的协因数
QLˆLˆ Q QAT N 1 AQ
代入式得
QFF f T Qf f T QAT N 1 AQf
即
QFF f T QLˆLˆ f f T (Q QAT N 1 AQ) f
此式即为平差值函数式的协因数表达式。
（6）列出平差值函数关系式，并对其全微分，求出其线 性函数的系数阵f，计算出平差值函数的协因数QFF ，计 算出平差值函数的协方差DFF。
§3-2 高程网条件平差
高程网包括水准网和三角高程网。对高 程网进行条件平差时，一般以已知高程 点的高程值作为起算数据，以各测段的 观测高差值作为独立观测值，写出其满 足的条件关系式，按照条件平差的原理 解算各高差值的改正数和平差值，然后 再计算出各待求点的高程平差值，并进 行精度评定。
n
xˆC
xB
xi
cosTi vSi
yi
[v
j
]1i
1
xn1 [cosTi
vSi ]1n
1
[(yn
yi )vi ]1n
上式代入，整理得
[cos Ti
vSi ]1n
1
[(
yn1
v2
Lˆ n
Ln
vn
在这n个观测值中，有t个必要观测数，多余观测
数为r。
条件平差原理
可以列出r个平差值线性条件方程
a1v1 a2v2 an vn wa 0
b1v1
b2v2 bn vn wb 0
r1v1 r2v2 rn vn wr 0
程中式的式中常中，数的ai、项系b。i数、相，…应、a0的、ri（改b0i、正= …1数,2、条,…r件0…为方n各）程平为式差各值平条差件值方条程件方式
Tˆn1 TCD T0 [i vi ]1n1 (n 1) 180 TCD 0
整理得
[vi ]1n1 wT 0
其中
wT (T0 [ i ]1n1 (n 1) 180 TCD )
单一附合导线条件平差
2.纵坐标附合条件式 终点C坐标平差值表示为
xˆn1 xB [xˆi ]1n
计算单位权方差和中误差的估值
单位权中误差的计算公式为
ˆ 0
[ p] r
在一般情况下，观测值的真误差△是不知
道的，也就不可能利用上式计算单位权
中误差。但在条件平差中，可以通过观
测值的改正数V来计算单位权方差和中误
差：
ˆ
2 0
V T PV r
ˆ 0
V T PV r
式中r为多余观测值个数，r = n – t。
其中
v1 v2 v4 w1 0
v2 v4
v3 v6
v5 v7
w2 w3
00
v5 v7 v8 w4 0
v2 v7 w5 0
高程网条件方程的个数及条件方程式
w1 (h1 h2 h4 )
w2 (h2 h3 h5 ) w3 (h4 h6 h7 )
w4 (h5 h7 h8 )
纵横坐标附合条件：从起始点推算至终点所得到的坐标 平差值应与终点的已知坐标值相等，即
xˆn1 xC 0 yˆ n1 yC 0
单一附合导线条件平差
1.方位角附合条件式
Tˆn1 T0 [ˆi ]1n1 (n 1) 180 T0 [i vi ]1n1 (n 1) 180
则方位角附合条件式可写为
高程网条件方程的个数及条件方程式
进行条件平差时，首先要确定条件方程的个数。 从上节内容可知道，在一般情况下，条件方程式 的个数与多余观测的个数r相符。而要确定多余观 测个数就必须先确定必要观测个数t。
高程测量（包括三角高程测量和水准测量）的主 要目的是确定未知点的高程值。如图所示高程网 中，有2个已知高程点A、B，3个未知高程点C、D、 E和8个高差观测值。从图中可以看出，要确定3 个未知点的高程值，至少需要知道其中的3个高 差h4 、观h测5 等值多（种如选h1、择h）2、，h3即，必或要h6观、测h7个、数h8t，= 3或。h2、
a1 Lˆ1 a2 Lˆ2
an Lˆn
a0
0
b1 Lˆ1 b2 Lˆ2
bn Lˆn
b0
0
r1 Lˆ1 r2 Lˆ2
rn Lˆn
r0
0
式中wa、wb、…、wr称为改正数条件方程的闭合差
条件平差原理
wa (a1L1 a2 L2 an Ln a0 )
wb (b1L1
将向量L、K、V、组成列向量，并以Z表示之
L E
0
W
A
A0
Z
K
N 1 A
L
N
1
A0
V
P 1 AT N 1 A
P 1 AT N 1 A0
Lˆ
E P 1 AT N 1 A
P
1
AT
N
1
A0
协因数阵
按协因数传播律，得Z的协因数阵为
Lˆ
QLL QWL
QLW QWW
QLK QWK
QLV QWV
QLLˆ
QWLˆ
Q AQ
QAT QAT N 1 QAT N 1 AQ Q QAT N 1 AQ
N
E
AQ
0
QZZ QKL QVL
QKW QVW
QKK QVK
QKV QVV
QKLˆ
QVLˆ
N 1 AQ
QAT N 1 AQ
Q QAT N 1 AQ
§3-3 导线网条件平差计算
导线网，包括单一附合导线、单一闭合 导线和结点导线网，是目前较为常用的 控制测量布设方式之一，其观测值有长 度观测值和角度观测值。
单一附合导线条件平差
单一附合导线条件平差
如图3-6所示，在这个导线中有四个已知点、n -1个 未知点、n+1个水平角观测值和n条边长观测值，总 观测值数为2n+1。从图中可以分析，要确定一个未 知点的坐标，必须测一条导线边和一个水平角，即 需要两个观测值；要确定全部n -1个未知点，则需 观测n -1个导线边和n -1个水平角，即必要观测值数t = 2n -2；则多余观测个数r = (2n +1) – t = 3。也就是说， 在单一附合导线中，只有三个条件方程。下面讨论 其条件方程式及改正数条件方程式的写法。
上式两边左乘法方程系数阵N的逆阵N – 1，得 联系数K的唯一解： K N 1W 代入前式，可计算出V，再将V代入,即可计算出 所求的观测值的最或然值。 Lˆ L V
精度评定
精度评定包括单位权方差
ˆ
2 0
和单位权中
误差 ˆ0 的计算、平差值函数( F f (Lˆ) )的
协因数QFF及其中误差 ˆF 的计算等。
单一附合导线条件平差
设AB边方位角已知值为TAB = T0，CD边方位角已知值为TCD、 计算值为Tn+1，B点坐标的已知值为(,)或者(x1, y1)，C点坐 标的已知值为(,)、计算值为(xn+1, yn+1)。三个条件中，有 一个方位角附合条件、两个坐标附合条件。
方位角附合条件：从起始方位角推算至终边的方位角平 差值应等于其已知值，即 Tˆn1 TCD 0
测量平差
太原理工大学测绘科学与技术系
第三章 条件平差
第三章 条件平差
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6
条件平差原理 高程网条件平差 导线网条件平差计算 三角网条件平差计算 附有参数的条件平差 条件平差估值的统计性质
§3-1 条件平差原理
设在某个测量作业中，有n个观测值 ，nL,1 均含有相互
将上式代入，得
AP1 AT K W 0
此式称为联系数法方程（简称法方程）。
条件平差原理
取法方程的系数阵 AP-1AT = N，由上式易知N阵关 于主对角线对称，得法方程表达式
NK W 0
法方程数阵N的秩
R(N ) R( AP 1 AT ) r
即N是一个r阶的满秩方阵，且可逆。移项得
NK W
E QAT
0
N 1 QAT N 1
0
N 1 AQ QAT N 1 AQ
0
0
0
Q
QAT
N
1
AQ
QLˆL
QLˆW
QLˆK
QLˆV
QLˆLˆ
由上式可见，平差值与闭合差W、联系数K、改 正数V是不相关的统计量，又由于它们都是服 从正态分布的向量，所以与W、K、V也是相互 独立的向量。
平差值函数的协因数
协因数阵
条件平差的基本向量L、W、K、V、都可以表达成 随机向量L的函数
LL
W AL A0
K N 1W N 1 ( AL A0 ) N 1 AL N 1 A0
V P 1 AT K P 1 AT (N 1 AL N 1 A0 ) P 1 AT N 1 AL P 1 AT N 1 A0 Lˆ L V L (P1 AT N 1 AL P1 AT N 1 A0 ) (E P1 AT N 1 A)L P1 AT N 1 A0
Ti [ j ]1i T0 i 180
则上式可表示为 xˆi (Si vSi ) cos([v j ]1i Ti )
上式按泰勒级数展开，取至一次项，得
xˆi
xi
cos Ti
vSi
yi
[v j ]1i
其中 xi Si cosTi ，为由观测值计算出的近
似坐标增量。
单一附合导线条件平差