图论例题

例1 设有5个居民点（如图1），每条边代表两居民点的道路，数字代表路长。现要在这5个居民点之间设置通信线路网，以保证5个居民点的联络。如果已知设置通信线路代价与道路长成正比，问如何建立该通信联络网，使联网代价最小？ 解：对本例而言是寻找最小生成树。

运用Kruskal 算法求出图1建立网络的方案。求解如下： >>clear; >>n=5;

>>w=inf*ones(5); >>w(1,[2,3,4]=[1,7,3]; >>w(2,[3,5]=[6,4];

>>w(3,[4,5])=[8,5];

>>w(4,5)=2;

>>[a,b]=mintreek(n,w)

% 输出顶点与边的标记，最小树的构成一目了然 e1(v1v2) e8(v4v5) e4(v1v4) e7(v3v1)

% 最小生成树的权值 a= 11

% 其含义见程序mintreek.m 的说明 b=

1 2 1 1 4 5 2 8 1 4 3 4 3 5 5 7

图1是a 、b 图的重叠，图b 用红颜色标出。最小生成树图b 是一种建立通信联络网的方案。

v1

v2

v3

v4

v5

最小生成树的权为11

红色连线为最小生成树

例2 某公司使用一种设备，这种设备在一定年限内随着时间推移逐渐损坏。所以，保留这种设备的时间越长，每年的维修费用就越大。假设该公司在第1年开始时必须购置一台这种设备，并假设计划使用这种设备的时间为5年，估计这台设备的购买费和维修费（单位：万元）如图表1和表2所列。

表1 第1年 ~ 第5年的购买价格

这家公司希望确定应在哪一年购买一台新设备，使得维修费和新设备的购置费的总和最小。 解： 考虑6个点123456,,,,,v v v v v v ，其中(1,2,...,5)i v i =表示在第i 年初要购买新设备。6v 是虚设点，表示在第5年底才购买新设备。再从点(1,2,...,5)i v i =引出指向点126,,...,i i v v v ++的弧，弧(,)i j v v 表示第i 年年初购进的新设备要使用到第j 年(2,3,...,6)j =的年初。弧

(,)i j v v 上所赋的权为第i 年的购置费加上从第i 年初到第j 年初这段时间的维修总费用。例

如，(1,4)20(5712)44W =+++=（万元），如此计算可得到所有权值，见下面的赋权有向图。

本问题为在上面的赋权图中求一条从1v 到6v 总权最小的路径。 求解如下：

>>clear; >>n=6;

>>w=inf*ones(6);

>>w(1,[2,3,4,5,6])=[25,32,44,62,87]; >>w(2,[3,4,5,6])=[25,32,44,62]; >>w(3,[4,5,6])=[27,34,46]; >>w(4,[5,6])=[27,34]; >>w(5,6)=28;

>>[s,d]=minroute(1,n,w)

% 输出，每列表示最短路径的顶点序号 s=

1 1 1 1 1 1 0

2

3

4

5 3 0 0 0 0 0

6 % 最短路径的权值 d=

0 25 32 44 62 78

可见，从1v 到6v 总权最小的路径为136v v v →→，权值为

78。由图3可以看出

146v v v →→也是一条总权最小的路径，权值为78，可知最小路径不唯一。

例3 8个城市之间有公路网，每条公路为下图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时间。设现处在城市1v ，那么从该城市到其他各城市，应选择什么路径使所需的时间最少？

解： 这是一个无向网，根据题意是要求一条从1v 到其他各城市的最短路径。

4

v 3

v 5

v 6v 2

v 1

v 25 25

27

27

28

62

62 34

34

44

32

32

46

87

求解如下：

>>clear;

>>w=inf*ones(8);

>>w=(1,[2,3,5,6,7])=[1,2,7,4,8];

>>w(2,[1,3,4,7])=[1,2,3,7];

>>w(3,[1,2,4,5])=[2,2,1,5];

>>w(4,[2,3,5,8])=[3,1,3,6];

>>w(5,[1,3,4,6,8])=[7,5,3,3,4];

>>w(6,[1,5,7,8])=[4,3,2,6];

>>w(7,[1,2,6,8])=[8,7,2,4];

>>w(8,[4,5,6,7])=[6,4,6,4];

>>[s,d]=minroute(1,8,w,1)

%输出

s=

1 1 1 1 1 1 1 1

0 3 3 3 3 6 6 3

00 0 4 4 0 7 4

00 0 0 5 0 0 8

d=

0 1 2 3 6 4 6 9

可见，s为从到

v到其他各城市的最短路径，d为相应的权值。

1

1

3

v 3

v 3

v 3

v 3

v 3

v 3

v 3

v 1

8

2

2

2

3

3

3

4

4 4

5 6

6 7

7