专题线段和的最小值问题
线段和的最小值 万能方法
M1 A1
A2
N1
提高
例2：如图，已知AB是⊙OB中AC的 30直0 径，
，点D是线段AC上的任意一点1 C（DO不D 含端点），
连接OD，当
的最小2值为6时，求AB的
长。
在RtOO1F中
O1 D1 C
O1OF 600
DE
OO1 4 3
A
FB
AB 8 3
O
线段和的最小值
方法策略
初中数学经常遇到求PA+PB最小值问题，或 者是求△ABC的周长最小值。 1.题型：①两定一动
②一定两动 2.万能方法： ①作一定点关于动点所在直线的对称点
定点作了对称点后不用，对称点即为定点
②如果是两个定点则利用“两点之间，线段最 短”
如果是一个定点则利用“垂线段最短”
常见的数学模
存在一点P，使得△ABP的周长最
小A．B请 求BP出点APP的坐标． y 分析：因为AB的
长是确定的，故 △ABP的周长最 小时AP与BP的和
AO
x
P
为最小，所以可作 出右图所示的图
B
B
’
例3、已知：如图，AB是⊙O的直 径，AB=4，点C是半圆的三等份点， 点D是弧BC的中点，AB上有一动点 P，连接PC，PD，则PC+PD的最小 值是多2 2少？并画出点P的位置C .
型1、（浙教版数学课本八上，P50 例2）l 如
图，直线 表示草原上的一条河流。一骑
马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后
返回位于B地的家中。他沿怎样的路线行走， 能使路程最短？作出这条最B 短路P线'A P'B
直线l A为A'
线
的中垂
中考专题复习线段和差的最大值与最小值
中考专题------线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析： 一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧： A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3都在内侧： （4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短. 二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧： （二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧： 2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧： 练习题?1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为?????????????．nnnmQ2、如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为?????????????．3、如图，在锐角三角形ABC中，AB=BAC=45，BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为?????????.5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为??????????????．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为????????????．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN的最小值是????????????9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为?????????????11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为?????????? ?．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分点P为对角线15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC 的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为(??? )(A)2??? (B)?????(C)1??? (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA+PB 最小.2、如图，一元二次方程x 2+2x-3=0的二根x 1，x 2（x 1＜x 2）是抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P ，对称轴与AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标；（3）在x 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标．?） ，3、如图10，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，△AOB 的面积是.（1）求点B 的坐标；（2）求过点A 、O 、B 的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△AOC 的周长最小？若存在，求出点C 的 坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．?6．如图，已知平面直角坐标系，A ，B 两点的坐标分别为A (2，－3），B (4，－1）若C (a ，0)，D (a +3，0)是x 轴上的两个动点，则当a 为何值时，四边形ABDC 的周长最短． 7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边OB 的中点.（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标. 二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
线段差的最大值与线段和的最小值问题
线段差的最大值与线段和的最小值问题有关线段差的最大值与线段和的最小值问题的主要应用原理是：1、两点这间线段最短。
2、三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值）。
3、三角形的任意两边之差小于第三边（找差的最大值）。
作图找点的关键：充分利用轴对称，找出对称点，然后，使三点在一条直线上。
即利用线段的垂直平分线定理可以把两条线段、三条线段、四条线段搬在同一条直线上。
证明此类问题，可任意另找一点，利用以上原理来证明。
一两条线段差的最大值：（1）两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。
作法：连结AB并延长AB交直线L于点P。
点P即为所求。
︱PA－PB︱=AB证明：在直线L上任意取一点P。
，连结PA、PB，︱PA－PB︱＜ABp'（2两点异侧：如图，如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。
作法：1、作B关于直线L的对称点B。
B2、连结AB并延长AB交直线L于点P。
点P即为所求。
︱PA－PB︱=AB证明：在直线L上任意取一点P。
，连结PA、PB、PB。
︱PA－PB︱=︱PA－PB︱＜AB（三角形任意两边之差小于第三边）二、两条线段和的最小值问题：（1））两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。
（三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值），P A＋PB=AB（2）两点异侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。
（两点之间线段最短）三、中考考点：08年林金钟老师的最后一题：如图，在矩形ABCO中，B（3，2），E（3，1），F（1，2）在X轴与Y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形EFNM的周长最小？若存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由。
提示：EF长不变。
即求F N＋NM＋MF的最小值。
利用E关于X轴的对称点E，F的对称点F，把这三条线段搬到同一条直线上。
一、以正方形为载体，求线段和的最小值例1. 如图1，四边形ABCD 是正方形，边长是4，E 是BC 上一点，且CE ＝1，P 是对角线BD 上任一点，则PE ＋PC 的最小值是_____________。
线段和的最小值问题
练习
A’
P
C
B
A
E
P
D
C
DE
5
出题背景变式有：
1
角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
2
解题思路：
3
找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。
----线段和的最小值问题
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如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？
A
B
街道
P
P’
A B A’ P 如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？ 街道 P’
4
变式1（2008 年湖北荆门市中考题） 如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_____________．
A
D
C
B
M
N
P
M’
P’
5
练习 (2011广西试题改编） 如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P线段EF上一个动点，连接BP、GP，则（1）PB+PG的最小值是 （2）△BPG周长的最小值是 。
线段和的最小值
本节课我们学习了 问题， 这类问题的解题方法是怎样的？
2024成都中考数学二轮复习微专题 利用两点之间线段最短解决最值问题(含答案)
2024成都中考数学二轮复习微专题利用两点之间线段最短解决最值问题模型一“一线两点”型(一个动点＋两个定点)类型一线段和最小值问题模型分析问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小．解题思路：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求．模型演变问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小．解题思路：将两定点同侧转化为异侧问题，同“模型分析”即可解决．作点B关于l的对称点B′，连接AB′，与直线l交于点P.注：也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，与直线l交于点P′.模型应用1.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AC＝63，BD＝6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD＋PE的最小值为________．第1题图S矩形ABCD，2.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点P是矩形内一动点，满足S△P AB＝13则PA＋PB的最小值为________．第2题图模型迁移3.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx的图象相交于A(3，5)、B(a，－3)两点，与x轴交于点C.第3题图(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点P为y轴上的动点，当PB＋PC取最小值时，求△BPC的面积．4.如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值．第4题图类型二线段差最大值问题模型分析问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．解题思路：根据两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即AB的长，连接AB并延长，与直线l交于点P，点P即为所求．模型演变问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．解题思路：将两定点异侧转化为同侧问题，同“模型分析”即可解决．作点B关于l的对称点B′，连接AB′并延长与直线l交于点P.模型应用5.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，点P是EF上的动点，则|PA－PB|的最大值为________．第5题图6.如图，在等边△ABC中，AB＝4，AD是中线，点E是AD的中点，点P是AC上一动点，则BP－EP的最大值为________．第6题图7.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC 边上，且BM＝6，P为对角线BD上一动点，则PM－PN的最大值为________．第7题图模型迁移8.已知抛物线y＝x2－2x－8与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，P 是抛物线对称轴上的一个动点，当|PB－PC|有最大值时，求点P的坐标．模型二“一点两线”型(两个动点＋一个定点)类型一两条线段的和最小值问题模型分析问题：点P是∠AOB的边OB上一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PM ＋MN的值最小．解题思路：要使PM＋MN的值最小，设法将PM、MN转化到同一条直线上，利用垂线段最短即可解决．作点P关于OA的对称点P′，过点P′作OB的垂线，分别与OA，OB交于点M、N.模型应用9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q 分别是AD，AC上的动点，则PC＋PQ的最小值为________．第9题图10.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝120°，点M，N分别为BD，CD上的动点，则CM＋MN的最小值为________．第10题图类型二周长最小值问题模型分析问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN 的周长最小．解题思路：要使△PMN的周长最小，即PM＋MN＋PN的值最小，根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可解决．分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″交OA、OB于点M、N.模型应用11.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AB上一定点，点E，F分别为边AC，BC上的动点，当△DEF的周长最小时，则∠FDE＝________．第11题图12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在BC上，且AD＝4，点E，F分别为边AC，AB上的动点，则△DEF周长的最小值为________．第12题图模型三“一定长＋两定点”型类型一异侧线段和最小值问题(“造桥”问题)模型分析问题：已知l1∥l2，l1，l2之间距离为d，在l1，l2上分别找M，N两点，使得MN⊥l1，且AM ＋MN＋NB的值最小．解题思路：要求AM＋MN＋NB的最小值，MN为定值，即要求AM＋NB的最小值，通过平移构造平行四边形，将AM、NB转化到同一条直线上．将点A向下平移d个单位到点A′，连接A′B交直线l2于点N，过点N作MN⊥l1于点M.模型应用13.如图，已知直线a∥b，a，b之间的距离为4，点P到直线a的距离为4，点Q到直线b的距离为2，PQ＝241.在直线a上有一动点A，直线b上有一动点B，满足AB⊥b，且PA ＋AB＋BQ最小，则PA＋BQ＝________．第13题图类型二同侧线段和最小值问题(平移型问题)模型应用14.如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E，F在对角线AC上(点E在点F的左侧)，且EF＝1，则DE＋BF的最小值为________．第14题图15.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，BC＝12，∠ABC＝60°，点E、F是AD边上的动点，且EF＝2，则四边形BEFC周长的最小值为________．第15题图模型迁移16.如图，已知点A(3，1)，B(1，0)，PQ是直线y＝x上的一条动线段，且PQ＝2(点Q在点P的下方)，当AP＋PQ＋QB取得最小值时，求点Q的坐标．第16题图参考答案1.33【解析】如解图，连接DE ，则PD ＋PE ≥DE ，设DE 交AC 于点M ，当点P 与点M 重合时PD ＋PE 取得最小值，且最小值为DE .∵在菱形ABCD 中，AC ＝63，BD ＝6，∴AO ＝33，OD ＝3，AC ⊥BD ，∴AD ＝OA 2＋OD 2＝6，∴AD ＝BD ＝AB ，∴∠BAD ＝60°，∵点E 为AB 的中点，∴DE ⊥AB ，∴DE ＝AD ·sin60°＝3 3.第1题解图2.41【解析】如解图，设△PAB 底边AB 上的高为h ，∵S △P AB ＝13S 矩形ABCD ，∴12AB ·h ＝13AB ·AD ，∴h ＝2，即h 为定值，在AD 上截取AE ＝2，作EF ∥AB ，交CB 于点F ，故点P 在直线EF 上运动，作点A 关于直线EF 的对称点A ′，连接A ′B ，交直线EF 于点P ，此时PA ＋PB 最小，即为A ′B 的长．由对称得AA ′＝2AE ＝4，∴A ′B ＝AA ′2＋AB 2＝42＋52＝41，即PA ＋PB 的最小值为41.第2题解图3.解：(1)把点A (3，5)代入y ＝m x可得m ＝3×5＝15，∴反比例函数的表达式为y ＝15x，把点B (a ，－3)代入y ＝15x，可得a ＝－5，∴B (－5，－3)．把点A (3，5)，B (－5，－3)代入y ＝kx ＋b k ＋b ＝55k ＋b ＝－3＝1＝2，∴一次函数的表达式为y ＝x ＋2；(2)∵一次函数的表达式为y ＝x ＋2，令y ＝0，则x ＝－2，∴C (－2，0)，如解图，作点C 关于y 轴的对称点C ′，则C ′(2，0)，即CC ′＝4，连接BC ′交y 轴于点P ，此时PC ＋PB 有最小值，最小值为BC ′，设直线BC ′的表达式为y ＝k ′x ＋b ′，5k ′＋b ′＝－3k ′＋b ′＝0，′＝37′＝－67，则BC ′的表达式为y ＝37x －67，∴P (0，－67)，即OP ＝67，此时S △BPC ＝S △BCC ′－S △PCC ′＝12×4×3－12×4×67＝307.第3题解图4.解：当y ＝0时，－x 2－2x ＋3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴点A 坐标为(－3，0)，点B 坐标为(1，0)．当x ＝0时，y ＝3，∴点C 坐标为(0，3)．∵△PBC 的周长为PB ＋PC ＋BC ，BC 为定值，∴当PB ＋PC 最小时，△PBC 的周长最小．∵点A ，点B 关于抛物线的对称轴l 对称，∴连接AC ，交l 于点P ，点P 即为所求的点．∵AP ＝BP ，∴PB ＋PC ＋BC ＝AC ＋BC .∵A (－3，0)，B (1，0)，C (0，3)，∴AC ＝32，BC ＝10，∴△PBC 周长的最小值为32＋10.5.3【解析】如解图，延长BA 交EF 于P ′，当点P 位于P ′处时|PA －PB |的值最大，∴|PA －PB |的最大值为AB ＝3.第5题解图6.7【解析】如解图，连接BE 并延长交AC 于点P ′，此时BP －EP 取得最大值为BE ，在等边△ABC 中，AD 是中线，∴BD ＝DC ＝2，∴AD ＝BD ·tan60°＝2×3＝23，∵E 为AD的中点，∴DE ＝12AD ＝3.∴在Rt △BDE 中，BE ＝BD 2＋DE 2＝22＋（3）2＝7，∴BP －EP 的最大值为7.第6题解图7.2【解析】如解图，以BD 为对称轴作点N 的对称点N ′，连接MN ′并延长交BD 于点P ，连接NP ，根据轴对称性质可知PN ＝PN ′，∴PM －PN ＝PM －PN ′≤MN ′，当P ，M ，N ′三点共线时，PM －PN 取得最大值，最大值为MN ′的长，∵正方形的边长为8，∴AC ＝2AB ＝82，∵O 为AC 中点，∴AO ＝OC ＝42，∵N 为OA 中点，∴ON ＝22，∴ON ′＝CN ′＝22，∴AN ′＝62，∵BM ＝6，∴CM ＝AB －BM ＝8－6＝2，∴CM BM ＝CN ′AN ′＝13，∵∠MCN ′＝∠BCA ，∴△CMN ′∽△CBA ，∴∠CMN ′＝∠CBA ＝90°，∵∠N ′CM ＝45°，∴△N ′CM 为等腰直角三角形，∴MN ′＝CM ＝2，即PM －PN 的最大值为2.第7题解图8.解：如解图，连接PA ，则PA ＝PB ，当x ＝0时，y ＝x 2－2x －8＝－8，则C (0，－8)，当y ＝0时，x 2－2x －8＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4，则A (－2，0)，B (4，0)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴|PB －PC |＝|PA －PC |≤AC (当点A 、C 、P 共线时取等号)，延长AC 交直线x ＝1于点P ′，设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，把A (－2，0)，C (0，－8)代入得2m ＋n ＝0＝－8＝－4＝－8，∴直线AC 的解析式为y ＝－4x －8，当x ＝1时，y ＝－4－8＝－12，即P ′(1，－12)，∴当|PB －PC |有最大值时，点P 的坐标为(1，－12)．第8题解图9.245【解析】如解图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC 于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．∴PQ＝PM，∴PC＋PQ＝PC＋PM＝CM，根据垂线段最短可知，此时PC＋PQ有最小值，即为CM，∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10，∵S△ABC＝12AB·CM＝12AC·BC，∴CM＝AC·BCAB＝6×810＝245.第9题解图10.33【解析】如解图，过点A作CD的垂线，垂足为N，与DB的交点记为M，∵四边形ABCD为菱形，∴点A与点C关于对角线BD对称，∴AM＝CM，∴CM＋MN＝AM＋MN ＝AN，根据垂线段最短可知，此时CM＋MN有最小值，最小值为AN.∵AB＝6，∠A＝120°，∴∠ADC＝60°，AD＝6，∴AN＝AD·sin60°＝33，∴CM＋MN的最小值为3 3.第10题解图11.90°【解析】如解图，作D关于AC的对称点D′，关于BC的对称点D″，连接D′D″交AC于点E，交BC于点F，此时，△DEF的周长最小，最小为D′D″，∵AB＝AC，∠BAC ＝90°，∴∠B＝45°，DD′⊥AC，DD″⊥BC，∴∠BDD′＝45°，∴∠D′DD″＝135°，∴∠D′＋∠D″＝45°，∵ED′＝ED，DF＝D″F，∴∠D′＝∠D′DE，∠D″＝∠D″DF，∴∠D″DF＋∠D′DE＝45°，∴∠FDE＝90°.第11题解图12.4【解析】如解图，作点D关于直线AC的对称点D′，点D关于直线AB的对称点D″，连接D′D″交AC于点E，交AB于点F，此时△DEF的周长最小，最小值为D′D″的长，连接AD′、AD″，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝30°，∵∠DAB＝∠D″AB，∠DAC＝∠D′AC，∴∠D′AD″＝2∠BAC＝60°，∵AD′＝AD，AD″＝AD，∴AD′＝AD″，∴△AD′D″是等边三角形，∴D′D″＝AD′＝AD＝4，∴△DEF的周长的最小值为4.第12题解图13.10【解析】如解图，过点P作PF⊥b交a于点E，交b于点F，在PF上截取PC＝4，连接QC交b于点B，过点B作BA⊥a于点A，此时PA＋AB＋BQ最短．过点Q作QD⊥PF 于点D.在Rt△PQD中，∵∠D＝90°，PQ＝241，PD＝10，∴DQ＝PQ2－PD2＝8，CD ＝PD－PC＝6，∵AB＝PC＝4，AB∥PC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA＝BC，∴PA ＋BQ＝CB＋BQ＝QC＝DQ2＋CD2＝10.第13题解图14.10【解析】如解图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于点F，连接BD，∵DM∥AC，∴∠BDM＝90°，∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE＋BF＝FM＋FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE＋FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，在Rt△BDM中，BM＝12＋32＝10，∴DE＋BF的最小值为10.第14题解图15.14＋237【解析】如解图，将点B沿BC向右平移2个单位长度得到点B′，作点B′关于AD的对称点B″，连接CB″，交AD于点F，在AD上截取EF＝2，连接B′F，四边形EBB′F为平行四边形，则BE＝B′F，B″F＝B′F，此时四边形BEFC的周长为BE＋EF＋FC＋BC＝B″F＋EF＋FC＋BC＝B″C＋EF＋BC，当点C、F、B″三点共线时，四边形BEFC的周长最小．∵AB＝4，BB′＝2，∠ABC＝60°，∴B′B″经过点A.∴AB′＝2 3.∴B′B″＝4 3.∵BC＝12，∴B ′C ＝10.∴B ″C ＝B ′B ″2＋B ′C 2＝237.∴B ″C ＋EF ＋BC ＝14＋237.∴四边形BEFC 周长的最小值为14＋237.第15题解图16.解：如解图，过点A 作直线MN ∥直线y ＝x ，将点A (3，1)沿MN 向下平移2个单位后得到A ′(2，0)，作点B (1，0)关于直线y ＝x 的对称点B ′(0，1)，连接A ′B ′交直线y ＝x 于点Q .∵AA ′＝PQ ＝2，AA ′∥PQ ，∴四边形APQA ′是平行四边形，∴AP ＝A ′Q .∴AP ＋PQ ＋QB ＝A ′Q ＋PQ ＋B ′Q ，且PQ ＝2，∴当A ′Q ＋B ′Q 值最小时，AP ＋PQ ＋QB 值最小，根据两点之间线段最短，即A ′，Q ，B ′三点共线时A ′Q ＋B ′Q 值最小．∵B ′(0，1)，A ′(2，0)，∴直线A ′B ′的解析式y ＝－12x ＋1，＝x＝－12x ＋1，＝23＝23，∴点Q 的坐标为(23，23)．第16题解图。
七年级最值问题——线段和最小值问题
• C'D = 2√2 求直线C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2) • 所以，有0 = -k b 2 = k b • 解得 k = 1，b = 1，所以 y = x 1 当x = 0时，y =1，则P(0，1)
• 3、如下图，一次函数y=kx b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． • （1）求该函数的解析式；
• 4、作法：(假设P'Q'就是在直线L上移动的定长线段) • 1)过点B作直线L的平行线,并在这条平行线上截取线段BB',使它等于定
长P'Q'； • 2)作出点A关于直线L的对称点A'，连接A'B'，交直线L于P； • 3)在直线L上截取线段PQ=P'Q.. • 略证：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四边形PQBB'与P'Q'BB'均为平行四
• 解析： 这是一个实际问题，需要把它转化为数学问题， 经过分析，知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB 相交，点P在∠AOB内部，通常我们会用轴对称模型，分 别做点P关于直线OA和OB的对称点P₁、P₂ ，连结P₁P₂分 别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程 最短的地点.
• 3、如下图，村庄A、B位于一条小河的两侧， 若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与 河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才 能使A村到B村的路程最近？
• 这一类问题也是当今中考的热点题型之一，通常会以角、 三角形、四边形、圆、坐标轴、抛物线为载体出题。
• 还有一种类型是固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM MN BN的最小值。这时需平移BN（或AM），转化为求解 决，如下图所示．
“求两线段长度之和的最小值”问题全解析
“求两线段长度值和最小”问题全解析在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助.一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1,在锐角三角形ABC中，AB=4运，/ BAC=45 , / BAC的平分线交BC 于点D, M,N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN的最小值为 ____________________________ .分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法•我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决.解：如图1,在AC上截取AE=AN，连接BE.因为/ BAC的平分线交BC于点D，所以/ EAMMNAM ,又因为AM=AM , 所以/ AM匡/ AMN ,所以ME=MN .所以BM+MN=BM+MEBE .因为BM+MN 有最小值.当BE是点B到直线AC的距离时，BE 取最小值为4,以BM+MN的最小值是4.故填4.1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2 （2010山东滨州）如图4所示，等边/ ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AC边上一点若AE=2,EM+CM的最小值为________________________ .分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可.解：因为等边/ ABC的边长为6,AD是BC边上的中线，所以点C与点B关于AD对称，连接BE 交AD于点M,这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM ,所以EM+CM=BE，过点E作EFZ BC,垂足为F,因为AE=2 , AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC 中，因为EC=4, / ECF=60 , / FEC=30 ,所以FC=2,EF=』訂—卅=肿—F =2」.因为BC=6 , FC=2 ,所以BF=4 •在直角三角形BEF中，BE=厂」亠「，一亠=「'.■.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（ 2010江苏扬州）如图3,在直角梯形ABCD中，/ ABC = 90° ADZ BC , AD = 4,AB = 5, BC = 6,点P是AB上一个动点，当PC+ PD的和最小时，PB的长为___________________ .分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法.解：如图3所示，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接CE ,交AB 于点P ,此时PC+ PD 和最小，为线段CE .因为AD = 4,所以AE=4 .因为/ ABC = 90° ADZ BC ，所以/ EAP =90°AU J[p因为/APE =Z BPC 所以/A — BPC ，所以二托因为AE =4 , BC = 6,所以O Ap 2|P j_ DD A fl 气所以u 所以———「因为AB =5,所以PB =3. 2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4 如图4,等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1 , Z ABC=60 , P 是上底，下底中点EF 直线上的一点，则 PA+PB 的最小值为 ____________分析：根据等腰梯形的性质知道，点 A 的对称点是点D ，这是解题的一个关键点.其 次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键.解：如图4所示，因为点 D 关于直线EF 的对称点为A ，连接BD ，交EF 于点P ,此 时PA + PB 和最小，为线段 BD •过点D 作D& BC ，垂足为G ,因为四边形 ABCD 是等腰1,Z ABC=60 ,所以 Z C=60 , Z GDC=3° ,所以 GC=： ,DG=2为 Z ABC = 60°, ADZ BC ，所以 Z BAD = 120° 因为 AB=AD ，所以 Z ABDZ ADB=30 ，所 以Z ADBC=30，所以BD=2DG=2 ： =「• •所以PA+PB 的最小值为门.2.3在菱形中探求线段和的最小值梯形，且 AB=AD=CD=1例5 如图5菱形ABCD中，AB=2 , / BAD=60 , E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，贝U PE+PB的最小值为________ .分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D,这是解题的一个关键点.解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P,此时PE+ PB和最小，为线段ED .因为四边形ABCD是菱形，且/ BAD=60，所以三角形ABD是等边三角形•因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1 , DE/ AB，所以ED= 疔'—脑wu=J -：.所以PE+ PB的最小值为J ■:.2.4在正方形中探求线段和的最小值例6 如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8,点M在DC上，且DM=2 , N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为________________________ .分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点.解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B,连接BM，交AC于点N，此时DN + MN和最小，为线段BM .因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8 .因为DM=2 ,所以MC=6，所以BM= 二「，亠-■ ■_ ! =10.所以DN+MN的最小值为10.例7 (2009?达州)如图7,在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ,则/ PBQ周长的最小值为cm.(结果不取近似值)分析：在这里/ PBQ周长等于PB+PQ+BQ ,而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1,所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题•因为题目中有一个动点P,两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法.解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ,交AC于点P,连接PB •所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ •在Rt/ CDQ 中，DQ=/ := =「，，所以/ PBQ 的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1 .故答案为十+1 .三、在圆背景下探求线段和的最小值例8 (2010年荆门)如图8, MN是半径为1的/O的直径，点A在/O上，/ AMN =30 ° B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，贝U PA + PB的最小值为()(A)2 •匚(B) j (C)1 (D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度.解：如图8,作出点A的对称点D,连接DB , OB,OD •因为/ AMN = 30° B为AN 弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60° •根据圆心角与圆周角的关系定理得到：/ BON = 30°由垂径定理得：弧DN的度数为60°所以/ BOD= / BON + / DON= 30° +60 ° =9所以.DB=」：■一•十厂.J < :.所以选择B .四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值1七例9 (2010山东济宁)如图9,正比例函数y= — x的图象与反比例函数y= (k^0)2x在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M,已知三角形OAM的面积为1.(1)求反比例函数的解析式；(2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合)，且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P,使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键.要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了.解：(1)设点A的坐标为(x, y),且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y .因为三角形OAM的面积为1,所以-T - / .所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y= —.x1 2 2 1（2）因为y= x 与y=—相交于点A ，所以一=一 x ，解得x=2，或x=-2.因为x >0,2 工 工2所以x=2，所以y=1，即点A 的坐标为（2, 1）.因为点B 的横坐标为1，且点B 在反比例 函数的图像上，所以点 B 的纵坐标为2,所点B 的坐标为（1, 2）,所以点B 关于x 轴的对飞十&二-2称点D 的坐标为（1, -2）.设直线AD 的解析式为y=kx+b ，所以｛ ,[2* 4-A = 1解得k=3, b=-5,所以函数的解析式为 y=3x-5,当y=0时，x=-,所以当点P 在（一330）时，PA+PB 的值最小.五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（ 2010年玉溪改编）如图10,在平面直角坐标系中， 点A 的坐标为（1, •「）, （1）求点B 的坐标；（2）求过点A 、0、B 的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C ,使/AOC 的周长最小？若存在，求分析：在这里/ AOC 周长等于AC+CO+AO ，而A,0是定点，所以AO 是一个定长，所 以要想使得三角形的周长最小， 问题就转化成使得 AC+CO 的和最小问题.因为题目中有出点C 的坐标；若不存在,个动点C,两个定点A,0符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法.解：(1)由题意得-所以0B=2 •因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为(-2,);(2)因为B(-2,0),0(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax( x+2)，将点A的坐标为(1,代入解析式得：3a=.「，所以a=^，所以函数的解析式为沪丄+二x•3 3 3(3)存在点C.如图10,根据抛物线的性质知道点B与点0是对称点，所以连接AB与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C,此时/ AOC的周长最小•设对称轴与x轴的交点为E•过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=E0=EF=1.因为/ BC臣/ BAF,所以 ]-3F AF1 CE J3.所以，所以CE=—•因为点C在第二象限，所以点C的坐标为(-1，丄)•3 73 3 3六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11( 2010年天津)如图11,在平面直角坐标系中，矩形二工U的顶点0在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，0A=3 , 0B=4 , D为边OB的中点•(1 )若E为边0A上的一个动点，当/ CDE的周长最小时，求点E的坐标；(2)若E、F为边0A上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.「氟対圈冬可泓诈点口芙卡耳帥的对林虑血揍CD* 点嵐.既蚌比DDE町隔七爰最叮啲.并很好的运用到平面直角坐标系中.解：(1)如图12,作点D关于x轴的对称点匸「，连接CD与x轴交于点E,连接DE.若在边OA上任取点三.(与点E不重合)，连接C三\ D三■、匸「三-.由D S + C丘上匸「三「+ C 3 > C匸，D m+CE=DE+CE，所以/「工乜的周长最小因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D 为0B的中点，所以BC=3 , DO^ O=2.所以点C的坐标为(3, 4),点的坐标为匸(0, -2),设直线C二'的解析式为y=kx+b ,h= -2则仁，, 「解得k=2 , b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点药t +右=4E的坐标为(1 , 0);(2)如图13,作点D关于x轴的对称点匸•，在CB边上截取CG=2，连接匸厂G与x 轴交于点E,在EA上截EF=2•因为GQ EF , GC=EF ,所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小•因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为0B的中点，CG=2,所以BC=3, D0=匸「O=2,BG=1.所以点G的坐标为(1, 4),点的坐标为匸(0, -2),设直线G二'的解析式为y=kx+b ,，解得k=6 , b=-2，所以函数的解析式为 y=6x-2，令y=0 ,贝U x=_ ,0）,所以点F 的坐标为（+2 , 0）即F 的坐标为（，0）3 3 3h=-2则4 Jt+b =E 的坐标为（，所以点。
中考数学最值问题3-线段和的最小值(将军饮马型)学生用
最值问题3 线段和的最小值线段和的最小值在直线l上求一点+PB 值最小。
A、B在直线异侧“将军饮马”）作图在直线l上求一点PA+PB 值最小．平移型将军饮马作图在直线l上求两点M、N（M在左），使MN a，并使AM+MN+NB 的值最小.向右平单＇的对称点，点左个单位称两点之间线段最短．AM最小值为A造桥选址”作图原理直线m ∥ n ，在m 、分别求点M、NMN⊥m，且AM+MN+BN值最小。
在直线l1、l2 上分别求点、N，使△PMN 的周长最小．作图在直线l1、l2上分别求点M 、N ，使四边形PQMN周长最小。
作图A 为l1上一定点，B上；A 为l1上一定点，上一定点，在l2上求点在l1上求点N ，AM+MN+NB 的值最小．作图l1上求点A，在lB，使PA+AB值最小．1. (1)已知，如图△ABC为等边三角形，高AH=10cm，P为AH上一动点，D为AB 的中点，则PD+PB的最小值为______cm.(2)如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N 分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．(3)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=62，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为．(4)如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为．（5）如图正方形ABCD的边长为6，E，F是对角线BD上的两个动点，且EF=22，连接CE，CF，则△CEF周长的最小值为．2. 如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MA+MC的值最小时，求点M的坐标及最小值．3. 如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A、点B，交y轴于点C．（1）求直线BC的函数表达式；（2）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，在x轴上是否存在一点M，使△CPM的周长最小，若存在求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．y轴相交于点C，顶点为D（1）求出点A，B，D的坐标；（2）若线段OB在x轴上移动，且点O，B移动后的对应点为O′，B′．首尾顺次连接点O′、B′、D、C构成四边形O′′B′DC，请求出四边形O′B′DC的周长最小值．5．抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；y轴交于点C，已知点D（0，﹣）．（1）求直线AC的解析式；（2）如图1，P为直线AC上方抛物线上的一动点，当△PBD面积最大时，过P作PQ⊥x 轴于点Q，M为抛物线对称轴上的一动点，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接PM，NQ，求PM+MN+NQ的最小值．7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK 的最小值．8．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=﹣x2﹣x+交x轴于A，B两点，交y轴于点C，抛物线上一点D的横坐标为﹣5．（1）求直线BD的解析式；（2）点E是线段BD上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当折线EF+BE最大时，在对称轴上找一点P，在y轴上找一点Q，连接QE、OP、PQ，求OP+PQ+QE的最小值．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3，分别交x轴于A、B两点，交y轴交于C点，顶点为D．（1）如图1，连接AD，R是抛物线对称轴上的一点，当AR⊥AD时，求点R的坐标；（2）在（1）的条件下．在直线AR上方，对称轴左侧的抛物线上找一点P，过P作PQ⊥x 轴，交直线AR于点Q，点M是线段PQ的中点，过点M作MN∥AR交抛物线对称轴于点N，当平行四边形MNRQ周长最大时，在抛物线对称轴上找一点E，y轴上找一点F，使得PE+EF+FA最小，并求此时点E、F的坐标．10. 抛物线y=﹣x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）如图1，求直线BC的表达式；（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，连接PC，PB，当△PCB 面积最大时，一动点Q从点P从出发，沿适当路径运动到y轴上的某个点G 再沿适当路径运动到x轴上的某个点H处，最后到达线段BC的中点F处停止．求当△PCB面积最大时，点P的坐标及点Q在整个运动过程中经过的最短路径的长．。
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C中AC
初三数学典型问题
1+1=1
初三数学典型问题
专题
线段和最值的探究
教者：朱松龙
初三数学典型问题
类型一
如图1，若点A、B在直线m同侧，在直线m上
找一点P，使AP＋BP的值最小. 做法如下：作点B关于直线m的对称点B ，连接 AB ,与直线m的交点就是所求作的点P，线段AB
的长度即为AP＋BP的最小值。
B
）
A.2 C.√2
B.1 1 D.2
初三数学典型问题
升级版
1.OA＝OB＝4,E为OB的中点，将OE绕O点逆时
针旋转一定角度（小于 90 度）得到OE ,求 1 E B＋ AE 的值。 2
初三数学典型问题
2.
BC半径CA＝12,CM＝10,BM＝2,D 1 为AC的中点，P在 C上运动，求DP＋ PM 2 的最小值。
变化1.如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=5, 若点M,N分别是线段AC,AB上的两个动点，则 BM+MN的最小值是 （ B ）
A.10
C.5√3
B.8
D.6
初三数学典型问题
变化2.如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角
线AC上一个动点，点M，N分别是AB，BC边上
的中点，PM+PN的最小值是（
图1
m
初三数学典型问题
类型二
在河岸上架一座桥，使村庄A和B路 程最短，桥与河岸垂直，请问桥架在何处。，正方形ABCD的边长为4,点M在
边DC上，且DM＝1,N为对角线AC上任意一点，
则DN＋MN的最小值为（ A.3 C.6 B.5 D.无法确定
B ）
初三数学典型问题