对应分析建模与应用
对应分析课件
《对应分析课件》一、对应分析概述对应分析法是一种多元统计分析方法，可用于研究多组数据之间的关系。
使用对应分析，可以将复杂的数据转换为二维图形，以便对数据进行可视化解释和分析。
对应分析法的目标是构建一个图形模型，该模型显示了原始数据的主要变量和因素之间的关系。
这种分析方法可以用于多种数据类型，包括数值数据、计数数据和分类数据。
二、对应分析的实施步骤对应分析法的实施步骤包括以下几个方面：1. 数据收集和预处理。
在进行对应分析之前，首先需要收集和准备好数据。
这包括选择要使用的数据集和进行必要的预处理步骤，例如数据清理和归一化。
2. 构建对应分析模型。
在收集和准备好数据之后，下一步是构建对应分析模型。
这涉及选择要分析的主变量和因素，并确定如何对这些变量进行编码。
3. 绘制对应分析图表。
在选择要分析的变量和因素，并将其编码后，可以使用对应分析方法将数据转换为二维图表。
这个图表显示了数据中各个变量之间的相互关系。
4. 解释对应分析图表。
对应分析图表提供了数据的可视化模型。
解释此模型是理解数据之间关系的关键。
因此，数据分析人员需要详细解释图形模型上的每一个部分，包括每个变量和因素的含义，它们如何相互作用以及它们的重要性等。
三、对应分析的应用对应分析法在业务应用方面有广泛的应用，如市场研究、食品和酒类生产、文化遗产保护等。
以下是几个常见的应用领域：1. 市场研究。
对应分析可以帮助企业了解目标市场及其竞争对手。
通过对分析结果的解释和理解，企业可以更好地定位自身在市场上的位置，并改进其营销战略，以更好地满足客户需求。
2. 食品和酒类生产。
对应分析可用于分析消费者对产品口味、质量、价格和材料等方面的偏好。
这可以帮助企业制定更具有竞争力的产品策略，并提高销量。
3. 文化遗产保护。
对应分析可用于分析不同文化和历史时期的建筑、艺术品和文物，以了解它们是否与其他文化形式和艺术品存在联系。
这可以帮助文化机构和保护人员更好地了解和保护文化遗产。
对应分析数据
对应分析数据一、背景介绍在当今大数据时代，数据分析已成为企业决策的重要依据。
对应分析数据是指通过对数据进行分析和对比，寻找数据之间的关联性和对应关系，从而得出有价值的信息和结论。
本文将围绕对应分析数据展开详细介绍。
二、数据来源对应分析数据需要有可靠的数据来源，可以是企业内部的数据库、第三方数据提供商的数据或者公开的数据集。
在本文中，我们将以某电商企业的销售数据为例进行对应分析。
三、数据处理在进行对应分析之前，需要对数据进行处理和清洗，以确保数据的准确性和一致性。
数据处理包括数据清洗、数据转换和数据集成等步骤。
在本例中，我们将对销售数据进行清洗，包括去除重复数据、填充缺失值等。
四、对应分析方法对应分析有多种方法，常用的包括相关分析、回归分析、交叉分析等。
在本文中，我们将使用相关分析和回归分析来进行对应分析。
1. 相关分析相关分析用于衡量两个变量之间的相关性。
我们可以通过计算相关系数来判断两个变量之间的相关程度。
在本例中，我们将分析销售额和广告投入之间的相关性，以确定广告对销售额的影响。
2. 回归分析回归分析用于建立一个数学模型，通过对自变量和因变量之间的关系进行建模，从而预测因变量的值。
在本例中，我们将使用回归分析来预测销售额和其他因素之间的关系，如产品价格、促销活动等。
五、数据分析与结果在进行对应分析后，我们可以得出一些有价值的信息和结论。
在本例中，我们得出以下结论：1. 广告投入与销售额呈正相关关系，说明增加广告投入可以提升销售额。
2. 产品价格与销售额呈负相关关系，说明降低产品价格可以增加销售额。
3. 促销活动对销售额的影响较小，说明促销活动对销售额的贡献有限。
六、结论与建议基于对应分析的结果，我们可以提出以下建议：1. 增加广告投入：根据对应分析结果，增加广告投入可以提升销售额。
企业可以考虑增加广告宣传的投入，提高品牌知名度和产品曝光度。
2. 优化产品定价：根据对应分析结果，降低产品价格可以增加销售额。
对应分析
第九章 对应分析§9.1 什么是对应分析及基本思想对应分析又称为相应分析，于1970年由法国统计学家J.P.Beozecri 提出来的。
它是在R 型和Q 型因子分析基础上发展起来的一种多元统计方法。
由前一章我们知道应用因子分析的方法，可以用较少的几个公共因子去提取研究对象的绝大部分信息，即可减少因子的数目，又把握住了研究对象之间的相互关系。
但是因子分析根据研究对象的不同又分为R 型因子分析和Q 型因子分析，即对指标（变量）作因子分析和对样品作因子分析是分开进行的，这样做往往会漏掉一些指标与样品之间有关的一些信息，另外在处理实际问题中，样品的个数远远地大于变量个数。
比如有100个样品，每个样品测10项指标，要作Q 型因子分析，就要计算（100×100）阶相似系数阵的特征根和特征向量，这对于一般小型计算机的容量和速度都是难以胜任的。
对应分析是将R 型因子分析与Q 型分子分析结合起来进行统计分析，它是从R 型因子分析出发，而直接获得Q 型因子分析的结果。
克服了由样品容量大，作Q 型分析所带来的计算上的困难。
另外根据R 型和Q 型分析的内在联系，可将指标（变量）和样品同时反映到相同坐标轴（因子轴）的一张图形上，便于对问题的分析。
比如在图形上邻近的一些样品则表示它们的关系密切归为一类，同样邻近的一些变量点则表示它们的关系密切归为一类，而且属地同一类型的样品点，可用邻近的变量点来表征。
因此，对应分析，概括起来可提供如下三方面的信息即指标之间的关系，样品之间的关系，以及指标与样品之间的关系。
基本思想：由于R 型因子分析和Q 型因子分析都是反映一个整体的不同侧面，因此它们之间一定存在内在的联系。
对应分析就是通过一个过渡矩阵Z 将二者有机地结合起来，具体地说，首先给出变量点的协差阵Z Z A '=和样品点的协差阵Z Z B '=，由于Z Z '和Z Z '有相同的非零特征根记为),m i n(0,21n p m m ≤<≥≥≥λλλ ，如果A 的特征根i λ对应的特征向量为i U ，则B 的特征根i λ对应的特征向量就是i i V ZU ∆，根据这个结论（后面有证明）就可以很方便的借助R 型因子分析而得到Q 型因子分析的结果。
对应分析原理
对应分析原理
对应分析原理是一种用来确定两个或多个事物之间的对应关系的方法。
它主要包括以下几个步骤：
1. 收集相关数据：首先，需要收集与待分析事物相关的数据。
这些数据可以是各种类型的，比如数字、文字、图像等。
2. 建立对应关系：在收集到足够的数据之后，需要根据数据的特征建立对应关系。
对应关系可以是一对一的，也可以是一对多的。
3. 分析数据特征：根据建立的对应关系，可以对数据的特征进行分析。
可以使用统计学方法、机器学习算法等来识别数据的模式和规律。
4. 验证对应关系：在分析数据特征之后，需要对建立的对应关系进行验证。
可以使用交叉验证、模型评估等方法来验证对应关系的准确性和可靠性。
5. 应用对应关系：最后，根据对应分析的结果，可以应用对应关系来解决实际问题。
比如，可以根据对应关系预测未知数据的属性或进行分类。
通过对应分析原理，我们可以更好地理解不同事物之间的对应关系，从而为实际问题提供科学的解决方案。
无论是在科学研究、工程设计还是商业决策中，对应分析都具有重要的应用价值。
对应分析
对应分析法一、简介对应分析(Correspondence analysis)也称关联分析、R-Q型因子分析，是近年新发展起来的一种多元相依变量统计分析技术，是一种多元统计分析技术，主要分析定性数据的方法，也是强有力的数据图示化技术。
对应分析是一种数据分析技术，它能够帮助我们研究由定性变量构成的交互汇总表来揭示变量间的联系。
交互表的信息以图形的方式展示。
主要适用于有多个类别的定类变量，可以揭示同一个变量的各个类别之间的差异，以及不同变量各个类别之间的对应关系，适用于两个或多个定类变量。
对应分析是由法国人Benzenci于1970年提出的，起初在法国和日本最为流行，然后引入到美国。
对应分析法是在R型和Q型因子分析的基础上发展起来的一种多元统计分析方法，因此对应分析又称为R－Q型因子分析。
在因子分析中，如果研究的对象是样品，则需采用Q型因子分析；如果研究的对象是变量，则需采用R型因子分析。
但是，这两种分析方法往往是相互对立的，必须分别对样品和变量进行处理。
因此，因子分析对于分析样品的属性和样品之间的内在联系，就比较困难，因为样品的属性是变值，而样品却是固定的。
于是就产生了对应分析法。
对应分析就克服了上述缺点，它综合了R型和Q型因子分析的优点，并将它们统一起来使得由R型的分析结果很容易得到Q型的分析结果，这就克服了Q 型分析计算量大的困难；更重要的是可以把变量和样品的载荷反映在相同的公因子轴上，这样就把变量和样品联系起来便于解释和推断。
对应分析数据的典型格式是列联表或交叉频数表。
常表示不同背景的消费者对若干产品或产品的属性的选择频率。
背景变量或属性变量可以并列使用或单独使用。
两个变量间——简单对应分析；多个变量间——多元对应分析。
对应分析的基本思想是将一个联列表的行和列中各元素的比例结构以点的形式在较低维的空间中表示出来。
它最大特点是能把众多的样品和众多的变量同时作到同一张图解上，将样品的大类及其属性在图上直观而又明了地表示出来，具有直观性。
应用统计学对应分析等
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22:22:28
１、什么是典型相关分析？ 典型相关分析是研究两组变量之间相关关系 的多元统计分析方法．它借用主成分分析降维的 思想，分别对两组变量提取主成分，且使两组变 量提取的主成分之间的相关程度达到最大，而从 同一组内部提取的各主成分之间互不相关，用从 两组之间分别提取的主成分的相关性来描述两组 变量整体的线性相关关系．
对应分析-问题背景
描述属性变量（定类或定序尺度变量）的各种状态或 是相关关系。
例：研讨患肺癌与吸烟是否有关？
是否吸烟 是否 患肺癌 患肺癌 未患肺癌 合计 60 32 92 3 11 14 63 日星期六
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当属性变量A和B的状态较多时，很难透过列联表作 出判断。 怎样简化列联表的结构？ 利用降维的思想。如因子分析和主成分分析。但因 子分析的缺陷是在于无法同时进行R型因子分析和Q 型因子分析。 怎么办？
2013年11月30日星期六
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其优点是可以把方差分析和线性模型方法相结合，估 计模型中各个参数，而这些参数值使各个变量的效应和变 量间的交互作用效应得以数量化。
（2）Logistic 模型 是将概率比取对数后，再进行参数化而获得。设因变 量y为二值定性变量，用0和1表示两个不同状态，y=1的概 率p＝P（y=1)是研究对象。若有多个因素影响y的取值，这 些因素就是自变量，记为：x1,x2…xk(既可以是定性变量 也可以是定量变量）。 Logistic 线性回归模型：
信度分类
内在信度：调查表中的一组问题（或整个调查表）是否测 量的是同一个概念，也就是这些问题之间的内在一致性 如何。 • 最常用的内在信度系数为克朗巴哈α系数和折半信度。 外在信度：在不同时间进行测量时调查表结果的一致性程 度。最常用的外在信度指标是重测信度，即用同一问卷 在不同时间对同一对象进行重复测量，然后计算一致程 度。
对应分析
STATA中对应分析应用
Syntax for predict：
predict [type] newvar [if] [in] [, statistic ] statistic description fit fitted values; the default rowscore(#) row score for dimension # colscore(#) column score for dimension #
STATA中对应分析应用
二元对应分析之后的统计量和作图
command description cabiplot biplot of row and column points caprojection CA dimension projection plot estat coordinates display row and column coordinates estat distances display chi-squared distances between row and column profiles estat inertia display inertia contributions of the individual cells estat loadings display correlations of profiles and axes("loadings") estat profiles display row and column profiles + estat summarize estimation sample summary（not available after camat.） estat table display fitted correspondence table screeplot plot singular values + predict fitted values, row coordinates, or column
对应方法论在设计中的具体应用与分析
定 义。２ １世 纪 ６ ０年 代 ， 人们 开始对 符号进行 研究 与 总结 ， 并 把
有 科 学 类 比法 、 相 似 设 计 法 和 符 号 设 计 法 等 。对 应 方 法 论 的 讨 论意义在于既要 限定～个 特定 的 目的所采 取 的设计 方法 ， 也 要 将 每 种 设 计 中需 要 处 理 和 解 决 的 方 式 作 一 个 更 完 整 的 归 纳 ， 最
设 计 比对设 计 过 程 的 组合 ， 最终 目的是 发 现 与 解 决 设 计 中 存 在 的
我 国许 多 文 学 作 品 运 用 到 了 类 比 ， 类 比 按 照 原 理 分 类 可 分 为直接类 比、 拟人类 比、 幻想类 比、 仿 生 类 比等 ： １ ． 直 接 类 比 。例
如： 鲁 班 在 劳 动 中 不 小 心 被 带 齿 的植 物 割 破 手 指 ， 于 是 他 灵 机 一 动， 发 明 了 同 样 能 割 物 体 的锯 子 ， 这 就 是 直 接 类 比 最 经 典 的 例 子 之 一 。２ ． 拟人 类 比 。顾 名 思 义 就 是 模 仿 人 的 行 为 ， 进 入 自 我 角
色， 体验问题 ， 发 现解 决 问 题 的 思 路 。拟 人 类 比在 设 计 心 理 学 经 常 运 用 到 的 移情 ， 欧 阳修 的“ 泪 眼问花 花不语 ， 乱 红 飞 过 秋 千 区
问题 。对应 方 法 论 是 指 同 类 事 物 之 间 相 似 性 作 为 对 应 性 设 计 的 依 据 的 方法 理 论 ， 这 门综 合 学 科 是 沟 通 “ 产 品一 环 境 一 自然 ” 之 后 直 接 影 响着 人 的生 活 方式 。我 们 要 做 的是 继 续 努 力 探 究 与 实 践 ，
块石头本身毫无意义 ， 当它被打磨锋 利作为工具 时 ， 就 被 定 义 为石斧 ， 被 人 所 接 受 时 就 成 为 了符 号 ， 成 为 了 真 正 意 义 上 的
对应分析数据
对应分析数据一、概述对应分析数据是指通过对不同数据集之间的对应关系进行分析和比较，以揭示数据之间的关联性和趋势变化。
通过对数据进行对应分析，可以帮助我们更好地理解数据的特征、趋势和相互之间的关系，为决策提供有力的支持。
二、数据收集与准备1. 确定数据集：根据分析需求，确定需要进行对应分析的数据集。
例如，可以选择两个或多个相关的数据集，如销售数据、市场调研数据、顾客反馈数据等。
2. 收集数据：根据所选数据集，收集相应的数据。
可以通过调查问卷、数据库查询、网络爬虫等方式获取数据。
3. 数据清洗：对收集到的数据进行清洗和预处理，包括去除重复数据、处理缺失值、格式转换等，以确保数据的准确性和一致性。
三、对应分析方法1. 相关性分析：通过计算数据集之间的相关系数，判断数据之间的相关性强弱。
常用的相关系数包括皮尔逊相关系数、斯皮尔曼等级相关系数等。
2. 回归分析：通过建立回归模型，分析自变量与因变量之间的关系。
可以通过回归系数、拟合优度等指标评估模型的拟合程度和预测效果。
3. 聚类分析：将数据集中的样本划分为若干个不同的类别，使得同一类别内的样本相似度较高，不同类别之间的相似度较低。
常用的聚类算法包括K均值聚类、层次聚类等。
4. 时间序列分析：对时间序列数据进行建模和预测，以揭示数据的趋势和周期性变化。
可以通过平稳性检验、自相关函数、滑动平均等方法进行分析。
四、对应分析实例以销售数据和市场调研数据为例，进行对应分析。
1. 相关性分析：计算销售数据和市场调研数据之间的皮尔逊相关系数，判断两者之间的相关性。
结果显示相关系数为0.8，表明销售数据与市场调研数据之间存在较强的正相关关系。
2. 回归分析：建立销售数据与市场调研数据之间的回归模型，得到回归方程为销售额=0.5*市场调研数据+100。
通过回归系数和拟合优度等指标评估模型的拟合程度和预测效果。
3. 聚类分析：将销售数据和市场调研数据进行聚类分析，将样本划分为三个类别，分别为高销售高调研、中销售中调研、低销售低调研。
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
14848-数学建模-《应用多元统计分析》第08章_相应分析
P{ j | i} P{ i, j} fij ， j 1, 2, , c
P{ i}
fi.
在此称
fci
fi1 fi.
,
fi2 fi.
,
,
fic fi.
Rc
（8.3）
为因素 A 的第 i 个水平分布轮廓。称 Dr1F 为因素 A 的轮廓矩
阵。这里应该注意到，
f
i c
， i 1, 2,
,r 是 超 平 面
x1 x2 xr 1的一点集。
同理，因素 B 的第 j 个水平的分布轮廓为
frj
f1 j f. j
,
f2 j f. j
,
,
fcj f. j
Rr
（8.4）
并称 Dc1F 为因素 B 的轮廓矩阵，同样 fr j ， j 1, 2, , c 是
例如，要考查在某个人群中关于吸烟或不吸烟(因素A)与得 肺癌或不得肺癌(因素B)两组因素之间的关系。通常的作法 是，随机地从该人群中抽样，对这两种因素进行调查，设调 查了k个人，得到一个二维列联表，见表8.1。
因素 A
因素 B 得肺癌（ B1 ） 不得肺癌（ B2 ）
吸烟（ A1）
k11
k12
k1.
第八章 对应分析
第一节 引 言 第二节 列联表 第三节 对应分析的基本理论 第四节 对应分析中应注意的问题 第五节 实例分析与计算机实现
第一节 引 言
对应分析(correspondence analysis)也叫相应分析，其特点是 它所研究的变量可以是定性的。通常意义下的相应分析，是 指对两个定性变量（因素）的多种水平进行相应性研究，因 而它的应用越来越广泛，现在这种方法已经成为常用的多元 分析方法之一。
对应分析数据
对应分析数据一、概述对应分析数据是一种统计分析方法，用于研究两个或者多个变量之间的关系。
通过对数据进行对应分析，可以揭示变量之间的相关性、相似性和差异性，匡助我们了解数据的内在规律和趋势。
本文将详细介绍对应分析数据的步骤和应用。
二、对应分析数据的步骤1. 数据准备首先，需要准备一组包含两个或者多个变量的数据集。
这些变量可以是定量变量（如销售额、年龄等）或者定性变量（如产品类别、地理位置等）。
确保数据集中的变量是可比较的，并且具有一定的相关性。
2. 数据标准化在进行对应分析之前，需要对数据进行标准化处理，以消除不同变量之间的量纲差异。
常用的标准化方法包括z-score标准化和min-max标准化。
3. 计算对应分析对应分析可以通过主成份分析（PCA）或者相关分析来实现。
主成份分析将数据投影到一个新的坐标系中，使得新坐标系上的变量之间的相关性最小化。
相关分析则通过计算变量之间的相关系数来衡量它们之间的关系。
4. 解释对应分析结果根据对应分析的结果，可以绘制对应图、散点图等来直观地展示变量之间的关系。
同时，可以通过解释主成份或者相关系数的大小和方向来解释变量之间的相关性、相似性和差异性。
三、对应分析数据的应用1. 市场研究对应分析可以用于市场研究，匡助分析产品特征和消费者偏好之间的关系。
通过对应分析，可以发现产品在不同市场细分中的定位，为市场定位和产品策略提供依据。
2. 社会科学研究对应分析在社会科学研究中也有广泛的应用。
例如，可以通过对应分析来研究不同社会群体之间的观点差异、行为模式等，匡助我们更好地理解社会现象。
3. 数据挖掘对应分析可以作为数据挖掘的一种方法，用于发现数据中的隐藏模式和关联规则。
通过对应分析，可以发现变量之间的关系，从而为数据挖掘和预测建模提供基础。
4. 品牌管理对应分析可以用于品牌管理中的定位和差异化分析。
通过对应分析，可以了解不同品牌在消费者心目中的位置和形象，进而制定品牌策略和推广计划。
对应分析在市场研究中的应用
品牌A在消费者中的形象为：历史悠久，适 合任何时候食用，适合小孩食用，物有所值， 质量比以前差了。 品牌B在消费者中的形象为：口感好，营养 好，方便面专家，味道够地道，质量好，牌 子高档，经验丰富，不断推出新产品，包装 美观。 品牌C在消费者中尚未建立一定的形象。
象限分析：根据原点把整个图划分成四 象限，每个象限代表着不同属性的点 （产品），具体原理可参见SWOT分析， 另遇到可以用 SWOT方式解读是很特殊 和偶然的情况，读者需要根据实际情况 选择此方法。
11
对应分析在市场研究中的运用
12
对应分析在市场研究中应用
对应分析可以回答的问题
谁是我的用户？ 还有谁是我的用户？ 谁是我竞争对手的用户？ 相对于我的竞争对手的产品，我的产品的定位如何？ 与竞争对手有何差异？ 我还应该开发哪些新产品？ 对于我的新产品，我应该将目标指向哪些消费者
pij nij / n
5
对应分析 Correspondence Analysis CA
基于行列变量之间交叉列联表的关联性的一种低维表现图
数据是列联表中的频数，也可以是距离或其它测量尺度 非常普遍和流行的方法 非常适合研究两个定类变量——定性数据的分析 程序生成对应图 品牌和属性靠近的点具有相关性
7
对应分析的步骤
Step 4
解读对应分析图
p 3
运用SPSS执行对应分析
Step 2
建立列联表
通过统计软件（SPSS）进行计算, 并描绘 出对应分析图。
通过列连联表的形式将需要的数据特征描述出来。
Step 1
获取对应分析数据
首先需明确研究的目的，进而选择对应分析 中所需数据
数学学科中的数学应用与数学建模研究
数学学科中的数学应用与数学建模研究在数学学科中，数学应用与数学建模的研究是非常重要的话题。
数学应用是将数学理论与实际问题相结合，通过数学方法解决实际问题的过程；而数学建模则是指根据实际问题抽象出数学模型，进而研究该模型的性质和解决途径。
本文将探讨数学应用与数学建模的定义与研究内容、其在现实生活中的应用及意义。
一、数学应用与数学建模的定义与研究内容数学应用是指运用数学理论与方法来解决实际生活或工作中的问题。
在数学应用的研究中，常常会面临问题的建模、问题求解以及结果验证等环节。
对于复杂问题，还需要对其进行分析与优化。
数学建模则是指根据实际问题的特征与现象，通过数学方法将其抽象化为数学模型，并从数学的角度对模型进行研究。
数学建模的过程包括问题的形式化、模型的构建、模型的求解以及结果的验证等环节。
二、数学应用与数学建模在现实生活中的应用1. 经济领域：数学应用与数学建模在经济学中起到了重要的作用。
例如，经济学中的供求理论、价格理论、投资理论等都是在数学方法的指导下进行研究与应用的。
2. 金融领域：金融学中的风险管理、股票市场预测、金融衍生品定价等问题，都离不开数学应用与数学建模的工作。
3. 物理学领域：数学应用与数学建模在物理学的研究中也发挥着重要的作用。
比如在力学中，通过建立数学模型，可以研究物体的运动规律、力的作用等问题。
4. 生物学领域：生物学研究中也离不开数学应用与数学建模。
例如，在生态学中，数学模型可以帮助研究者了解生物种群数量的变化趋势，以及各种物种之间的相互关系等问题。
三、数学建模在实际工作中的意义1. 问题解决能力：通过数学建模的学习和实践，可以培养学生的问题解决能力。
这是因为数学建模要求学生从实际问题中提取信息、建立模型并解决问题，这种过程有助于培养学生的逻辑思维和分析能力。
2. 创新能力：数学建模需要学生运用数学知识对实际问题进行创新性的解决方案设计。
培养学生的创新思维和能力对于其日后在科学研究和工作中具有重要的意义。
对应分析
日常分析中，经常会做的是研究变量间的关系，对于分类变量，常用的方法是卡方检验、Logistic模型等，但是对于分类变量很多，或者分类变量的类别很多时，用上述方法除了就会非常复杂，并且结果解释起来也不够直观，此时，可以使用对应分析加以分析。
对应分析也称为关联分析，是一种多元统计分析技术，目的在于揭示变量之间或变量各类别之间相互关系的多元统计分析方法,主要特点是可以将众多变量同时呈现在一张图表上，因此也是一种数据图示化技术。
根据分析资料的类型不同，对应分析根据数据资料的不同，分为1.定性资料：基于频数的对应分析2.连续性资料：基于均值的对应分析在定性资料中，对两个分类变量进行的对应分析称为简单对应分析，对两个以上的分类变量进行的对应分析称为多重对应分析。
要注意，对应分析并没有涉及统计检验，只是通过数据变换与计算，得出每个变量在图中的坐标，并加以图表展现，因此对应分析是一种描述性统计方法。
由于对应分析特别适合分类变量、定性数据的分析，加之其在图形展示上的优势，因此在市场分析领域应用很广。
一、对应分析的基本思想由于对应分析最大优势是直观的图形展示，因此确定对应分析图中的坐标值，是该分析方法的主要工作。
对应分析的基本思想是在一个两变量列联表的基础上提取信息，将变量内部各水平之间的联系以及变量与变量之间的联系通过坐标值反映在一张二维或三维的散点图上，并使关系紧密的类别点聚集在一起，而关系疏远的类别点距离较远。
那么如何确定坐标值呢？做法如下：首先计算两变量列联表的概率矩阵P，并据此确定数据点坐标，在变量的类别较多时，数据点所在空间维数必然较高。
由于高维空间比较抽象，且高维空间中的数据点很难直观地表示出来，因此最直接的解决方法便是降维。
对应分析采用类似因子分析的方式分别对行变量类别和列变量类别实施降维，并以因子载荷为坐标，将行列变量的多个分类点直观地表示在对应分布图中，实现了定性变量各类别间差异的量化。
通过观察对应分布图中各数据点的远近就能判断各类别之间联系的强弱。
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对应分析建模与应用*林海明1 林媛媛21.广东商学院经济贸易与统计学院2.香港科技大学数学系摘要：传统的对应分析是方法不唯一、没有模型的一种统计方法，其在满足对数据进行非线性预处理变换或应用主成分等的条件下，一些变量和样品失去了对应关系，导致结果粗略，甚至不解决问题。
为了完善和发展对应分析，这里根据对应分析的目的，用数学建模方法，给出了相应数学公式，提出了对应分析模型，应用因子分析主成分法的因子分析图—将因子载荷图加到其因子得分图中的图，证明了：因子分析图是对应分析模型的图形解。
给出了一个较清晰的分类标准，用理论和例说明了因子分析图的优良性。
从而建立了对应分析的模型和优化理论。
关键词：对应分析；建模；因子分析图；应用中图文分类号：O212 文献标识码：A一、引言数据的维数不大于3时，数据能显示在立体、平面或直线上，这有助于人们从图形中直观地看出样品的相异性(距离)、变量(指标)的相关性及其方向、变量对样品位置的贡献等特征。
但常见的是，数据的维数大于3，这已不能用常规方法点图。
自20世纪70年代以来，这一直是人们所关注的问题，人们想了不少办法。
其研究的目的之一是：“将原始数据‘拟合’到一个低维坐标系中，使得由降维所引起的任何变形达到最小。
”[1] 当变形是指样品的相异性(距离)或变量的相关性时，是多维标度变换；[1]多维标度变换现在已经成为一种广泛用于心理学、市场调查、社会学、政治学、物理学及生物学等领域的数据分析方法，但其局限性是仅反映样品的相异性或仅反映变量的相似性。
当变形是同时指①样品的相异性(距离)、②变量的相关性及其方向和③变量对样品位置的贡献关系等时，这将是对应分析。
显然，对应分析的理论和方法比多维标度变换更重要、更深入。
目前，国内外流行的对应分析有两个：其一是美国统计学教授R. A. Johnson等[1](2007) 给出的双重信息图，它是将数据阵作标准化的预处理变换，应用主成分分析降维，将变量的信息加到主成分值图中去，从图中可以看出样品之间是如何分组聚集的(无相关性)，以及变量对样品位置的贡献；其二是法国统计学家J.P.Beozecri[2](1970)给出的对应分析(下称B氏方法)，它是对数据阵作一类似“概率”的列联表，按独立性检验χ2统计量的一般项进行预处理变换，用主成分分析(或初始因子)降维，将变量和样品的主成分(或初始因子)点在同一张图上，使得问题的分析带来许多方便[3]。
以下内容涉及到指标(或称变量)方向，称越大越好的指标为正指标；称越大越不好的指标为负指标(取负数加一常数后有正向意义)或逆指标(取倒数乘一常数后有正向意义)。
现在说明传统对应分析法存在的不足：例1 [1]表12.9列出了1995年美国25所大学本科办学情况的数据，指标为：X1-新生的平均SAT得分，X2-新生中在高中时期名列班上前10%的人数百分比，X3-报名者被接受入*教育部人文社会科学研究规划基金项目资助，项目批准号：09YJA910002；教育部人文社会科学重点研究基地重大项目资助，项目批准号：2009JJD910001；广东省普通高校人文社科研究项目资助，项目批准号：10WYXM020；广东商学院科学研究重点项目资助，项目批准号：08ZD11001。
12学的百分比，X 4-学生与教师的比例，X 5-估计的年费用，X 6-毕业率(%)。
X 1、X 2、X 5、X 6是正指标，X 3是负指标，X 4是逆指标。
样品1-哈佛大学、2-普林斯顿大学、3-耶鲁大学、4-斯坦福大学，5-麻省理工学院是人们认为好的名校。
[1]有双重信息图1，其中横轴是第一主成分轴，纵轴是第二主成分轴，x i 为该方法的变量，编号为样品代码。
给出了相近样品、变量对样品影响的一些分析，但没有注意：(1)双重信息图1没有对负指标X 3和逆指标X 4进行正向变换、主成分分析不能旋转[5]，使得变量相关性及其方向不清晰，一些变量失去了应有的方向和意义、一些样品失去了应有的位置特征。
在图1中，正指标X 1、X 5有正、负值(第四象限)；逆指标X 4有负、正值(第二象限),即指标X 1、X 4、X 5失去了应有的方向和意义；好的名校5-麻省理工学院的坐标值有正、负值(第四象限)等，即样品5-麻省理工学院等失去了好的位置特征。
(2)B 氏方法没有对负指标X 3和逆指标X 4进行正向的变换，没有旋转功能，对数据阵的预处理变换不是线性变换(证明见后)，其降维坐标系没有正向化，使得变量相关性及其方向同样不清晰，且数据变形太大。
通过SAS 9.0过程命令[4]，用[2]表12.9的数据得图2，其中横轴是第一因子轴，纵轴是第二因子轴，x i 为该方法的相应变量，编号为样品代码。
在B 氏方法图2中，正指标X 1、X 2、X 6坐标值是负值(第三象限)；负指标X 3坐标值是正值(第一象限)；正指标X 5、逆指标X 4坐标值有正或有负值(第二或第四象限)，即所有指标X 1-X 6失去了应有的方向和意义；名校1-哈佛大学、2-普林斯顿大学、4-斯坦福大学坐标值都是负值(第三象限)；名校3-耶鲁大学、5-麻省理工学院坐标值是负、正值(第二象限)；指标排20名之后的22-威斯康星大学、24-普度大学坐标值都是正值(第一象限)等，即很多样品失去了应有的位置特征。
(3)迄今对应分析没有模型。
因为其没有目标的数学公式。
上述第(1)种情况经常出现，第(2)种情况具有普遍性，第(3)种情况是客观存在。
为了完善和发展对应分析，重要的是要解决：问题1 如何给出对应分析更好的数据阵预处理变换？ 问题2 如何建立有旋转功能的对应分析模型及其理论？据查，上述问题的研究是空白。
这里对负指标、逆指标和适度指标进行正向化变换，根据对应分析的目的，用数学建模方法和因子分析主成分法的因子分析图，解决了上述问题。
DIMENSION 2-0.4-0.10.20.50.8DIMENSION 1-0.4-0.10.20.50.8图2 B 氏方法图DIMENSION 2-5.2-4.9-4.6-4.3-4.0-3.7-3.4-3.1-2.8-2.5-2.2-1.9-1.6-1.3-1.0-0.7-0.4-0.10.20.50.81.11.41.72.02.32.62.9DIMENSION 1-5.2-4.9-4.6-4.3-4.0-3.7-3.4-3.1-2.8-2.5-2.2-1.9-1.6-1.3-1.0-0.7-0.4-0.10.20.50.81.11.41.72.02.32.62.9图1 双重信息图[1]3二、主要结果以下解决问题1。
指标体系有正指标、负指标、逆指标和适度指标。
适度指标是指低于适度值时越大越好，高于适度值时越大越不好；另外，指标间的量纲或均值往往是不相同的。
因此，指标体系通常需要进行预处理，如有正向化变换、标准化变换等。
所谓正向化变换就是把负指标、逆指标和适度指标转化为正指标的变换。
正向化变换：负指标取负数加一常数后有正向意义；逆指标取倒数乘一常数后有正向意义[如见三(1)]；适度指标与适度值的绝对差加适度值后取倒数有正向意义。
指标体系有正指标、负指标、逆指标和适度指标时，不易明确指标的方向、样品的位置特征。
指标正向化变换后，保留了指标应有的意义、解决了指标方向一致性和指标对样品位置贡献的明确问题。
标准化变换是将指标均值化为0、方差化为1的线性变换。
正指标间的量纲或均值不同时，样品没有可比性。
正指标作标准化变换，样品有了相对比较的前提，同时能保留指标和样品的应有特征。
综上，对指标体系进行正向化、标准化变换的预处理，解决了问题1。
设A =l k ij a ⨯)(，定义矩阵范数的平方：‖A ‖2=tr (AA ′)(方开泰[3]，tr 是方阵的迹)。
为了解决问题2，按照对应分析的目的，要解决的问题是：⑴建立一个低维坐标系，⑵将原始数据中的变量和样品同时表示在该坐标系中，⑶低维坐标系降维所引起的数据变形达到最小。
用数学公式表述是：对应分析模型 设正向化、标准化p 维可观测随机向量x ),,(1'=p x x 的n 个样品数据阵为X p n ij x ⨯=)(，对合适的p m <，⑴在坐标系m F F ,,1 是x 的一个近似变换下，⑵样品X j =),,(1jp j x x 的近似坐标是j X x m F F '=),,(1 ),,(1jm j F F = ( j =1,…,n )，F n ×m m n ij F ⨯=)(，变量x i 的近似坐标是),,1)(,,(1p i l l im i =；⑶求：F ),,(1'=m F F ，L m p ij l ⨯=)(，使：‖X -F n ×m L ′‖2达到最小，这里E (F )=0，Cov (F )=I m ，Cov ( x -LF , F )= 0。
建模说明 (1)E (F )=0，Cov (F )=I m 的说明：用坐标系m F F ,,1 表示变量x 和样品X j ( j = 1,…,n )时，要求m F F ,,1 具有标准化且信息表示不重叠的功能，数学公式是：E (F )=0，Cov (F )=I m 。
(2)Cov (x -LF , F )=0的说明：在坐标系F ),,(1'=m F F 中，x i 的近似坐标是),,(1im i l l),,1(p i =，所以，⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=p m pm p pm m F l F l x F l F l x εε11111111， x = LF +ε，这里ε),,(1'=p εε 是误差向量，显然E (ε)=0，为了LF 、ε表示x 的信息不重复，取：Cov (ε, F )= Cov ( x -LF , F )=0（广2）。
(3)‖X -F n ×m L′‖2达到最小的说明：由建模说明(2)有：x = LF +ε，取数据阵形式有： X =F n ×m L ′+U ，‖X -F n ×m L′‖2=‖U ‖2，4其中U =p n ij ⨯)(ε，),,(1ip i εε =ε′jX x '=，所以，数据变形达到最小的数学公式是：‖X -F n ×m L ′‖2达到最小。
性质1 对应分析模型有旋转功能(证明见附录)。
性质2 对应分析模型中，数据变形与变量相关性变形达到最小等价，且 ‖X -F n ×m L ′‖2= (n -1)tr (R - LL ′) = (n -1)[tr (R )-tr ( LL ′)](证明见附录)。
设x ),,(1'=p x x 的协差阵为R p p ij r ⨯=)(, R 的特征值为p λλ,,1 ,p λλ≥≥ 1,P p p ij e ⨯=)( =(e 1,…,e p ),这里Pe i =i λe i ,PP ′=I p 。