点线面位置关系例题与练习(含答案)

点、线、面的位置关系

● 知识梳理 （一）.平面

公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。 公理2：不共线．．．

的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 （二）空间图形的位置关系

1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面

平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；

异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈︒︒；（2）作异面直线所成的角：平移法. 2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行 3.平面与平面的位置关系：平行，相交

（三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.

②判定定理：////a b a a b ααα⎫

⎪⊄⇒⎬

⎪⊂⎭

③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。范围：[]0,90θ∈︒︒ 3.面面平行：①定义：//α

βαβ=∅⇒；

②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b a

b O a b ααααβ⊂=⇒

判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥⇒.

③面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬

⊂⎭

；（2）////a a b b αβαγβγ⎫

⎪

=⇒⎬⎪=⎭

（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）

1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 符号表述：若任意,a α⊂都有l a ⊥，且l α⊄，则l α⊥.

②判定：,a b a b O l l l a

l b ααα⊂⎫⎪=⎪⎪

⊄⇒⊥⎬⎪⊥⎪

⊥⎪⎭

③性质：

（1）,l a l a αα⊥⊂⇒⊥；（2）

,//a b a b αα⊥⊥⇒；

面面斜交①二面角：（1）定义：【如图】,OB l OA l AOB l αβ⊥⊥⇒∠-是二面角－的平面角

范围：[0,180]AOB ∠∈︒︒

②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法. 面面垂直（1）定义：若二面角l αβ--的平面角为90︒，则αβ⊥；

（2）判定定理：

a a ααββ⊂⎫

⇒⊥⎬⊥⎭

（3）性质：①若αβ⊥，二面角的一个平面角为MON ∠，则90MON ∠=︒；②a AB a a a AB

αβββα⊥⎫⎪=⎪

⇒⊥⎬⊂⎪

⎪⊥⎭

● 热点例析

【例1】热点一 有关线面位置关系的组合判断

若a ，b 是两条异面直线，α，β是两个不同平面，a ⊂α，b ⊂β，α∩β＝l ，则( )． A ．l 与a ，b 分别相交 B ．l 与a ，b 都不相交

C ．l 至多与a ，b 中一条相交

D ．l 至少与a ，b 中的一条相交

解析：假设l 与a ，b 均不相交，则l ∥a ，l ∥b ，从而a ∥b 与a ，b 是异面直线矛盾，故l 至少与a ，b 中的一条相交．选D.

热点二 线线、线面平行与垂直的证明

【例2】如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.

(1)证明：AA1⊥BD；

(2)证明：CC1∥平面A1BD．

(1)方法一：因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以D1D⊥BD. 又因为AB＝2AD，∠BAD＝60°，在△ABD中，由余弦定理得

BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB cos 60°＝3AD2，

所以AD2＋BD2＝AB2.所以AD⊥BD.又AD∩D1D＝D，

所以BD⊥平面ADD1A1.

又AA1⊂平面ADD1A1，故AA1⊥BD.

方法二：因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD(如图)，

所以BD⊥D1D.

取AB的中点G，连接DG(如图)．

在△ABD中，由AB＝2AD得AG＝AD.

又∠BAD＝60°，

所以△ADG为等边三角形，因此GD＝GB，

故∠DBG＝∠GDB.

又∠AGD＝60°，所以∠GDB＝30°，

故∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°，

所以BD⊥AD.

又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.

又AA1⊂平面ADD1A1，故AA1⊥BD.

(2)如图，连接AC，A1C1.

设AC ∩BD ＝E ，连接EA 1.

因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝1

2

AC .

由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ， 所以四边形A 1ECC 1为平行四边形． 因此CC 1∥EA 1.

又因为EA 1⊂平面A 1BD ，CC 1 平面A 1BD ， 所以CC 1∥平面A 1BD .

热点三 面面平行与垂直的证明

【例3】在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝4，P 为平面ABCD 外一点，且PA ＝PB ，PD ＝PC ，N 为CD 的中点．

(1)求证：平面PCD ⊥平面ABCD ；

(2)在线段PC 上是否存在一点E 使得NE ∥平面ABP ？若存在，说明理由并确定E 点的位置；若不存在，请说明理由．

(1)证明：取AB 中点M ，连接PM ，PN ，MN ， 则PM ⊥AB ，PN ⊥CD .