第四章离散化的基本方法

)i,
j
(x)3 6

(2)
u
2u (x)2 3u (x)3
ui1, j ui, j ( x )i, j (x) ( x2 )i, j 2 ( x3 )i, j 6 (4)
（2）加上（4）得:
ui1, j
ui－1, j

2ui, j

(
2u x2
如右图：点1在边界上，点2和点 3在边界上方，到边界的距离分别 是Δy 、2Δy
“向前差分”：
(
u y
)1

u2 u1 y

O(y)
容易得到，但只有一阶精度：
如何得到二阶精度？？？ 20
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有限差分基础
假定：在右图边界上，u可以表示为：
有限差分基础
参照右图：
(
u y
)i
1,
j

u u i1, j1 i1, j1 2y
O(y)2
u ( y )i1, j

u u i1, j1 i1, j1 2y
O(y)2
因此得到：
2u (xy )i, j
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ui1, j1
ui1, j1 ui1, j1 4xy
ui1, j1
O[(x)2, (y)2 ] (11)
二阶精度“中心差分”
15
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有限差分基础
“有限差分模版”：
u ( x )i, j

ui1, j ui, j x
O(x)
(
u x
)i
,
j

ui, j
ui1, j x
)i
,
j
(x)

(
2u x2
)i
,
j
(x)2 2

(
3u x3
)i
,
j
(x)3 6

(4)
解得：
(
u x
)i
,
j

ui, j
ui1, j x
O(x) (5)
一阶“向后差分”
11
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有限差分基础
对于CFD而言，一阶精度是不够的。为构造2阶精度。直接 用（2）式减去（4）式得到：
u y
b 2cy
u
在边界y=0上： ( y )1 b 最终得到：
u ( y )1

3u1
4u2 2y
u3
(13)
21
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有限差分基础
注意到：（13）式是用多项式到导出的，而不是用泰勒 级数，这说明了构造有限差分的另一种方法。事实上，上面 讲到的公式也可用这种方法得到。
O(x)2
2u y 2

ui, j1
2ui, j ui, j1 (y)2
O(y)2
17
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有限差分基础
“有限差分模版”：
2u (xy )i, j ui1, j1 ui1, j1 ui1, j1 ui1, j1 O[(x)2 , (y)2 ]
有限差分基础
例子：考虑空气流过平板流动，速度u沿y方向变化率：
u 482.2(1 e y / L )
这里L=1cm，μ=1.7894*10-5Pa
假定y方向离散网格点等距分布，间距1mm，给出一些网格 点的数值：如下表
y/m u(m/s)
用单侧差分求壁面处的切应力τw
0 0.001 0.002 0.003
O(x)
(
u x
)i,
j

ui1, j ui1, j 2x
O(x)2
一阶“向前差分”
一阶“向后差分”
二阶“中心差分”
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有限差分基础
“有限差分模版”：
2u x2

ui1, j
2ui, j ui－1, j (x)2
u ( x )i, j

ui1, j ui1, j 2x
O(x)2
(6)
二阶“中心差分”
总结：
ui1, j ui, j

x
O(x)
一阶“向前差分”
u ( x )i, j


ui
,
j

ui1, j x
O(x)
一阶“向后差分”
ui1, j ui1, j
u ( y )i1, j

u ( y )i, j

(
2u xy
)i,
j
x

3u ( x2y )i, j
(x)2 2

4u ( x3y )i, j
(x)3 6

(8)
u ( y )i1, j

u ( y )i, j

(
2u xy
)i,
j
x

(
x
现在考虑用式 (1) 来估计f(0.22)
1、若只有右边第一项
f (0.22) f (0.2) 0.9511 图中点3
2、若有右边两项
f (0.22) f (0.2) 2 cos[2 (0.2)] 0.02 0.9899 图中点4，误差0.775％ 3、若有右边三项 f (0.22) f (0.2) 2 cos[2 (0.2)] 0.02 4 2 sin[2 (0.2)] 0.022 0.9824 图中点5，误差0.091％

2x
O(x)2
二阶“中心差分”
同理可 得y方向 差分格 式
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有限差分基础
前面讨论一阶形式，下面考虑二阶偏导数的情况：
ui1, j
ui, j

(
u x
)i,
j
x

(
2u x2
)i,
j
(x)2 2

(
3u x3
u a by cy2 (12)
在网格点1 在网格点2
y 0, u1 a y y, u1 a by c(y)2
在网格点3
y 2y, u1 a 2by c(2y)2
解得:
b 3u1 4u2 u3 2y
将式（12） 对y求导：
)i,
j
(x)2

(
4u x4
)i
,
j
(x)4 12

2u x2

ui1, j
2ui, j ui－1, j (x)2
O(x)2 (7)
二阶精度“中心差分”
13
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有限差分基础
再考虑二阶混合导数的情况：
将（2）式和（4）式分别对y求导数得：
O(x) (3)
具有一阶精度
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有限差分基础
再来看右边的图，注意 到（3）式的有限差分只用 到了（i,j）右边的信息，这 样的差分叫“向前差分”。
那么我们写出ui-1,j在ui,j处的展开式
ui1, j
ui, j

(
u x
下面讨论（13）式的精度：（泰勒级数法）
u( y)

u1

(
u y
)1
y

(
2u y 2
)1
y2 2

(
3u y3
)1
y3 6

(14)
对比（14）和（12）发现：
(
u y
)1

3u1
4u2 2y
u3

O(y)2
(15)
二阶精度
（13）和（15）叫做单侧差分，实际对于内部点也是通用的。
2
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有限差分基础
上例回顾泰勒级数相关内容，现在继续回到前面差分表达式
ui1, j
ui, j

(
u x
)i,
j
x

(
2u x2
)i,
j
(x)2 2

(
3u x3
)i,
j
(x)3 6

(2)
变换得到：
(
u x
)i
ui2, j
O(x)4
越高精度在计算过程中是不是就越好呢？
缺点：需要更多的网格信息，所以计算每一步时间步 或者空间步需要更多时间。
优点：网格数可以少一些，可给出质量更高的流场解。 19
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有限差分基础
边界上构造差分近似的方法！
换成代数差分方程 转化为
代数方程组
可以在无穷 多个（x,y） 上得到流场 变量。
这个过程就是” 离散化“的过 程
求解 得到流场变量在离 散网格点上的值。
5
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本章主线路
本章路线图
6
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3u 2y
)i,
j
(x)2 2

(
x
4u 3y
)i,
j
(x)3 6

(9)
（8）减去（9）得:
(
2u xy
)i
,
j

(u / y)i1, j (u / y)i1, j 2x

(
4u x3y
)i,
j
(x)2 12

(10)
可构造二阶中心差分代替： 14
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0 45.9 87.42 125.0
(a)用一阶单侧差分 (b)用二阶单侧差分 (c)用三阶单侧差分（习题4-6中）
x
x2 2
最初的估计 斜率的影响 曲率的影响
举例说明
8
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有限差分基础
考虑函数 f (x) sin 2 x
在x＝0.2处，f(x)＝0.9511。如图中1点。
取Δx＝0.02，f(x+Δx)=f(0.22)=0.9823 图中点2
有限差分基础
此图中，若用ui,j 表示速 度的x分量在(i,j)的值，那
么(i+1,j)点的分量可以表
示为：
ui1, j

ui, j

(
u x
)i
,
j
x

2u (x)2 ( x2 )i, j 2
(
3u x3
)i,
j
(x)3 6

如果大家对此式子不熟悉，没关系，我们复习一下泰勒级数展7开
本章主线路
基本概念 “离散化”
最早出现在1955年Wasow的一篇德语论文中
实质：用一个类似的表达式来近似某个函数 或者函数的微分方程、积分方程等。（只在 区域内有限个离散点或控制体上规定取值）
例如 图4-1xy平面的一组离散网格点
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有限差分基础
f (x x)
f
(
x)

f x
x

2 f x2
(x)2 2


n f x3
(x) n n!

(1)
参照右图，可以说明各方程各 项含义：
f (x x) f (x) f x 2 f (x)2
计算流体动力学
Computational fluid mechanics
南京工业大学机械与动力工程学院 凌祥
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第四章 离散化的基本方法
本章主线路 有限差分基础 差分方程 显式方法和隐式方法 误差与稳定性分析
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有限差分基础
在粘性流动时常用单侧差分。
由于壁面有流动，其切应力和热流具有特殊重要性，切
应力和热流表示为：
w


(
u y
)w
qw

( T
y
)w
显而易见：单侧差分精度越高，二者计算的就越准确。
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,
j

ui1, j ui, j x

(
2u x2
)i,
j
x 2

(
3u x3
)i
,
j
(x)2 6

偏导数差分表达式
截断误差
如果用上述差分表达式作为偏导数的近似，而且截断误 差的最低阶项是Δx的一次方，可以把上式写成：
u ( x )i, j
ui1, j ui, j x
本章主线路
Δx、 Δy 等距 网格点标记的形式
引出“离散化”的含 义
图4-1 离散网格点
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本章主线路
“离散化”
假定一个二维流场。其控制方程的解析解理论上可表 达为：
u f1(x, y) p f3 (x, y)
v f2 (x, y) f4 (x, y)
4xy
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有限差分基础
前面得差分近似，最高为二阶精度。实际上，可以导出 更高精度的格式，但需要更多的网格信息。
一个具有四阶精度的中心差分：
2u ( xy )i, j

ui2, j
16ui1, j 30ui, j 16ui1, j 12(x)2