二次函数在闭区间上的最值(详解)

分析：将 f ( x ) 配方，得顶点为 - ， ( [ ]

（ 1 ）当 - ∈ m ，n 时，

f ( x ) 的最小值是 f - ⎪=

[ ]

若 - < m ，由 f ( x ) 在 m ，n 上是增函数则 f ( x ) 的最小值是 f (m ) ，最大值是

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二次函数在闭区间上的最值

一、 知识要点：

一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.

设 fx ) = ax 2 ++bxc (a ≠ 0) ，求 f ( x ) 在 x ∈[m ，n

] 上的最大值与最小值。

⎛ b 4ac - b 2⎫ b

⎪ 、对称轴为 x =-

⎝ 2a 4a ⎭ 2a

当 a > 0 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上 f ( x ) 的最值：

b ⎛b ⎫4a

c - b

2

2a ⎝ 2a ⎭ 4a

，f ( x ) 的最大值是

f (m ) 、f (n ) 中的较大者。

（2）当 -

b

∉

[m ，n ]时

2a

b 2a

f (n )

若 n < -

b

，由 f ( x ) 在

[m ，n ]上是减函数则 f ( x ) 的最大值是 f (m ) ，最小值是 f (n )

2a

当 a < 0 时，可类比得结论。

二、例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨

论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）

轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1. 轴定区间定

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在

定区间上的最值”。

例 1. 函数 y = - x 2 + 4 x - 2 在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

练习.已知2x2≤3x，求函数f(x)=x2+x+1的最值。

2、轴定区间变

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

[ ]

f (m )，- ≥ (m + n)(如图1) ⎪⎪ 2a 2

f

(n

)，- > n (如图3) 2a = ⎨ f (- )，m ≤ - ≤ n (如图4)

2a 2a

⎪ f (m )，- < m (如图5)

2a

- ⎩ f

(n )，- > n (如图6) ⎪ ⎧

b 1 f (m )， - ≥ (m + n)(如图9)

⎪⎪ 2a 2 max = ⎨ f (- )，m ≤ - ≤ n (如图7) f (x)min = ⎨

⎪ f (n)， - b < 1 (m + n)(如图10) 2a 2a ⎪ 2a 2 f (m )，- < m (如图8)

2a

2

例 2. 如果函数 f ( x ) = ( x - 1)2 + 1 定义在区间 t ，t + 1 上，求 f ( x ) 的最值。

例 3. 已知 f ( x ) = - x 2 - 4x + 3 ，当 x ∈

[t ，t + 1](t ∈ R) 时，求 f ( x) 的最值．

对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

当 a > 0 时

f (x)

max

⎧ b 1 =⎨ f (x) ⎪ f (n)， b < 1 (m + n)(如图2) ⎪ 2a 2

min ⎧ b

⎪ b b ⎪ b

当 a < 0 时

f (x) ⎧ b 2a

⎪ b b

3、轴变区间定

二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称

这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例 4. 已知 x 2 ≤ 1，且 a -≥ 0 ，求函数 f ( x ) = x 2 + ax + 3 的最值。

y 2 = 4a( x - a)(a > 0),

u = ( x - 3)2 + y 2

例 9. 已知二次函数 f ( x ) = ax 2 + ( 2a - 1)x + 1 在区间 ⎢- ,2 ⎥ 上的最大值为 3，求实数 a

例 5. (1) 求 f ( x ) = x 2 + 2ax + 1 在区间[-1,2]上的最大值。

(2) 求函数 y = - x ( x - a) 在 x ∈ [-1 , 1] 上的最大值。

4. 轴变区间变

二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数

在动区间上的最值”。

例 6. 已知

，求

的最小值。

（二）、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例 7. 已知函数 f ( x ) = ax 2 + 2ax + 1在区间 [-3,2] 上的最大值为 4，求实数 a 的值。

例 8.已知函数 f ( x ) = - x 2 2

+ x 在区间 [m , n ] 上的最小值是 3 m 最大值是 3 n ，求 m ，n 的值。

⎡ 3 ⎤ ⎣ 2 ⎦

的值。

二次函数在闭区间上的最值专题演练

1．函数 y = x 2 + x + 1 在 [-1,1] 上的最小值和最大值分别是

（ ）

( A) 1 ,3

( B ) 3 1 1

,3 （C ） - ,3 （D ） - , 3

4 2 4

2．函数 y = - x 2 + 4 x - 2 在区间 [1,4] 上的最小值是

（

）

( A) - 7

( B ) - 4 (C ) - 2

( D ) 2

3．函数 y =

8

x 2 - 4 x + 5

的最值为 （ ）