插值与拟合(给药方案估计水塔的水流量)

曲线拟合问题的提法
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所有 数据点最为接近，即曲线拟合得最好。
y
+
+
+
+
+ (xi +i,yi)
+
+
y=f(x) +
x i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
用MATLAB作线性最小二乘拟合
1. 作多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1拟合,可利用已有程序: a=polyfit(x,y,m)
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二次样条的定义
设[a,b] 的一个划分：a=x0<x1, x2 , ..., xn= b， 函数f ( x )各节点的值分别为：
f ( xi )=yi (i=1,2,...,n) 如果二次样条函数：
满足： S ( xi )=yi (i=1,2,...,n)
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Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…anxn 使之在节点上满足Pn(xi)=f(xi)
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几种常用的多项式插值
拉格朗日插值：
pn(x)
nn
[
j0 i0
( xxi xj xi
)]yj
ij
牛顿插值 Hermite插值
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2、样条插值方法
求600C时的电阻R。
1100
设 R=at+b
1000
a,b为待定系数
900
800
700
解答
20
40
60
80
100
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拟合问题引例二 给药问题
已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
数据的拟合
1.拟合问题引例 2.拟合的基本原理 3.用MATLAB求解拟合问 题 4.应用举例 5.插值与拟合的比较
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拟合问题引例一 电阻问题
已知热敏电阻电阻值与温度的数据： 温度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7
电阻R() 765 826 873 942 1032
三次样条函数的定义
设[a,b] 的一个划分：a=x0<x1, x2 , ..., xn= b， 函数f ( x )各节点的值分别为：
f ( xi )=yi (i=1,2,...,n) 如果三次样条函数：
3
满足： S ( xi )=yi (i=1,2,...,n)
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插值与拟合(给药方案估计水塔的水流量)
线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中 函数{r1(x), …rm(x)}的选取
1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)； 2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 f(x)：
f=a1+a2x +
++
线性最小二乘法的求解
曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以下 超定方程组的最小二乘解的问题。
Ra=y
r11 r12 r1m
a1
y1
其中
R ,
a
,
y
rn1 rn2 rnm
am
yn Hale Waihona Puke Baidu
定理：当RTR可逆时，超定方程组 Ra=y 存在最小二乘解，且其解可表示为下列形式： a=(RTR)-1RTy a=R\y
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几种常用的插值方法
1、多项式插值 2、样条插值
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1、多项式插值方法
设y=f(x)在n+1个互异点上的x0 , x1, x2 , ..., xn 上 的值 y0, y1, y2, ..., yn，要求一个次数不超过n次的代 数多项式
++
f=a1+a2x+a3x2 +
+
+ +
+
f=a1+a2x+a3x2
++ +
+ +
f=a1+a2/x +
+++ +
f=aebx
+
+
++ +
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+ f=ae-bx + + ++
用MATLAB解拟合问题
1、线性最小二乘拟合 2、非线性最小二乘拟合
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插值与拟合(给药方案估计水塔的水流量)
曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路
第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), m<n, 令
f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x)
（1）
其中 a1,a2, …am 为待定系数。
第二步: 确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）：
设给定区间[a,b]的一个分化： a=x0<x1<…<xn=b，
如果函数s(x)满足条件：在每个子区间[xi-1,xi] 上是k次多项式，且具有直到k-1阶的连续导 数，则称s(x)为一个k次多项式样条。
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广泛使用的样条函数
（1）二次样条 （2）三次样条 （3）B样条。
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
作半对数坐标系(semilogy)下的图形 MATLAB(aa1)
102
c(t) c0ekt
101
c, k为待定系数
0
10
解答
0
2
4
6
8
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插值与拟合
插值与拟合(给药方案估计水塔的水流量)
一、插值
1、插值问题： 不知道某一函数f(x)在待定范围[a,b]上 的具体表达
式，而只能通过实验测量得到该函数在一系列点a≤x1, x2 , ..., xn ≤ b上的值 y0, y1, y2, ..., yn，需要找一个简单的 函数P(x)来近似地代替f(x)，要求满足： P(xi)=yi (i=1,2,...,n)，此问题称为插值问题。 P(x)称为f(x)的插 值函数， x1, x2 , ..., xn 称为插值节点，f(xi)称为插值条件。
使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小 。
n
n
记 J(a1,a2,am)
2 i
[f(xi)yi]2
i1
i1
nm
[ akrk(xi)yi]2 i1 k1
(2)
问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。
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