圆周运动典型例题及答案详解

“匀速圆周运动”的典型例题

【例1】如图所示的传动装置中，A、B两轮同轴转动．A、B、C三轮的半径大小的关系是R A=R C=2R B．当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少？

【例2】一圆盘可绕一通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动．在圆盘上放置一木块，当圆盘匀速转动时，木块随圆盘一起运动（见图），那么

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A．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心

B．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心

C．因为木块随圆盘一起运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向相同

D．因为摩擦力总是阻碍物体运动，所以木块所受圆盘对它的摩擦力的方向与木块的运动方向相反

E．因为二者是相对静止的，圆盘与木块之间无摩擦力

【例3】在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同．A的质量为2m，B、C各为m．A、B离转轴均为r，C为2r．则

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A．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大

B．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B所受的静摩擦力最小

C．当转台转速增加时，C最先发生滑动

D．当转台转速继续增加时，A比B先滑动

【例4】如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，相距L0=0.1m．长L=1m 的柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球．小球的初始位置在AB连线上A的一侧．把细线拉直，给小球以2m／s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动．由于钉子B的存在，使细线逐步缠在A、B上．

若细线能承受的最大张力T m=7N，则从开始运动到细线断裂历时多长？

【说明】圆周运动的显著特点是它的周期性．通过对运动规律的研究，用递推法则写出解答结果的通式（一般表达式）有很重要的意义．对本题，还应该熟练掌握数列求和方法．

如果题中的细线始终不会断裂，有兴趣的同学还可计算一下，从小球开始运动到细线完全绕在A、B两钉子上，共需多少时间？

【例5】如图(a)所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面．此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？

【说明】本题是属于二维的牛顿第二定律问题，解题时，一般可以物体为坐标原点，建立xoy直角坐标，然后沿x轴和y轴两个方向，列出牛顿第二定律的方程，其中一个方程是向心力和向心加速度的关系，最后解联立方程即可。

【例6】杂技节目中的“水流星”表演，用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子，演员抡起杯子在竖直面上做圆周运动，在最高点杯口朝下，但水不会流下，如下图所示，这是为什么？

【例7】如下图所示，自行车和人的总质量为M，在一水平地面运动．若自行车以速度v转过半径为R的弯道．（1）求自行车的倾角应多大？（2）自行车所受的地面的摩擦力多大？

【例8】用长L1=4m和长为L2=3m的两根细线，拴一质量m=2kg的小球A，L1和L2的另两端点分别系在一竖直杆的O1，O2处，已知O1O2=5m如下图（g＝10m·s-2）

（1）当竖直杆以的角速度ω匀速转动时，O2A线刚好伸直且不受拉力．求此时角速度ω1．

（2）当O1A线所受力为100N时，求此时的角速度ω2．

【说明】向心力是一种效果力，在本题中O2A受力与否决定于物体A做圆周运动时角速度的临界值．在这种题目中找好临界值是关键．

[例9]一辆实验小车可沿水平地面（图中纸面）上的长直轨道匀速向右运动，有一台发出细光束的激光器装在小转台M上，到轨道的距离MN为d=10m，如图所示。转台匀速转动，使激光束在水平面内扫描，扫描一周的时间为T=60s，光束转动方向如图箭头所示。当光束与MN的夹角为45°时，光束正好射到小车上，如果再经过△t=2.5s光束又射到小车上，则小车的速度为多少？（结果保留二位数字）

[例10]图所示为测量子弹速度的装置，一根水平转轴的端部焊接一个半径为R的薄壁圆筒（图为其横截面），转轴的转速是每分钟n转，一颗子弹沿圆筒的水平直径由A点射入圆筒，在圆筒转过不到半圆时从B点穿出，假设子弹穿壁时速度大小不变，并在飞行中保持水平方向，测量出A、B两点间的孤长为L，写出子弹速度的表达式。

[说明]

解题过程中，物理过程示意图，是常用的方法，它可以使抽象的物理过程具体形象化，便于从图中找出各物理量之间关系，以帮助建立物理方程，最后求出答案。

典型例题答案

【例1】【分析】皮带不打滑，表示轮子边缘在某段时间内转过的弧长总是跟皮带移动的距离相等，也就是说，用皮带直接相连的两轮边缘各处的线速度大小相等．根据这个特点，结合线速度、角速度、向心加速度的公式即可得解．

【解】由于皮带不打滑，因此，B、C两轮边缘线速度大小相等，设v B=v C=v．由v=ωR得两轮角速度大小的关系

ωB∶ωC=R C∶R B=2∶1．

因A、B两轮同轴转动，角速度相等，即ωA=ωB，所以A、B、C三轮角速度之比

ωA∶ωB∶ωC=2∶2∶1．

因A轮边缘的线速度

v A=ωA R A=2ωB R B=2v B，

所以A、B、C三轮边缘线速度之比

v A∶v B∶v C=2∶1∶1．

根据向心加速度公式a=ω2R，所以A、B、C三轮边缘向心加速度之比

=8∶4∶2=4∶2∶1．

【例2】【分析】由于木块随圆盘一起作匀速圆周运动，时刻存在着一个沿半径指向圆心的向心加速度，因此，它必然会受到一个沿半径指向中心、产生向心加速度的力——向心力．

以木块为研究对象进行受力分析：在竖直方向受到重力和盘面的支持力，它处于力平衡状态．在盘面方向，可能受到的力只有来自盘面的摩擦力（静摩擦力），木块正是依靠盘面的摩擦力作为向心力使它随圆盘一起匀速转动．所以，这个摩擦力的方向必沿半径指向中心

【答】B．

【说明】常有些同学认为，静摩擦力的方向与物体间相对滑动的趋势方向相反，木块随圆盘一起匀速转动时，时时有沿切线方向飞出的趋势，因此静摩擦力的方向应与木块的这种运动趋势方向相反，似乎应该选D．这是一种极普遍的错误认识，其原因是忘记了研究运动时所相对的参照系．通常说做圆运动的物体有沿线速度方向飞出的趋势，是指以地球为参照系而言的．而静摩擦力的方向总是跟相对运动趋势的方向相反，应该是指相互接触的两个相关物体来说的，即是对盘面参照系．也就是说，对站在盘上跟盘一起转动的观察者，木块时刻有沿半径向外滑出的趋势，所以，木块受到盘面的摩擦力方向应该沿半径指向中心

【例3】【分析】A、B、C三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为ω．根据向心加速度的公式a n=ω2r，已知r A=r B＜r C，所以三物体向心加速度的大小关系为a A=a B＜a C．

A错．

三物体随转台一起转动时，由转台的静摩擦力提供向心力，即f =F n=mω2r，所以三物体受到的静摩擦力的大小分别为

f A=m Aω2r A=2mω2r，

f B=m Bω2r B=mω2r，

f C=m cω2rc =mω2·2r=2mω2r．

即物体B所受静摩擦力最小．B正确．

由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设相互间摩擦因数为μ，静摩擦力的最大值可认为是f m=μmg．由f m=F n，即

得不发生滑动的最大角速度为