2019年江苏省高考数学试卷(原卷版)

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2019高考数学江苏卷(附参考答案和详解)

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2019年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)

2019年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相印位置上。

1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为．【答案】π【解析】T ＝|2πω |＝|2π2 |＝π．2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为．【答案】5【解析】z ＝3－4i ，i 2＝－1，| z |＝＝5．3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为．【答案】x y 43±= 【解析】令：091622=-y x ，得x x y 431692±=±=． 4．集合}1,0,1{-共有个子集．【答案】8【解析】23＝8．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是．【答案】3【解析】n ＝1，a ＝2，a ＝4，n ＝2；a ＝10，n ＝3；a ＝28，n ＝4． 6则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089=++++=x ．方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为．【答案】6320 【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则n m ，都取到奇数的概率为63209754=⨯⨯． 8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．【答案】1：24【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：3．所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：24．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是．【答案】[—2，12 ]【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y ＝2x —1，令z ＝y x 2+，y ＝—12 x ＋z 2 ．画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min ＝—2，过点(12 ，0)时，z max ＝12 ．10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为．【答案】12【解析】)(32213221AC BA AB BC AB BE DB DE ++=+=+=xAB C1A DE F1B1C213261λλ+=+-=所以，611-=λ，322=λ，=+21λλ12 ． 11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

2019年江苏省高考数学试卷及参考答案

数学I试题参考公式：样本数据:，.v2，…..V,,的方差^7) 2 ,其中£ = +X_V,.柱体的体积丨Z= S V i ,其中S是柱体的—商1积，/!是柱体的高._锥体的体积F= *|*仙，其中S是锥体的底面积，/;是锥体的高.一、填空题：本大题共、4小题，每小题5分，共计7〇分.请把答案填写在字年單丰.1.已知集合.4=卜1，0, 1, 6丨，= U U> 0, .v e R!,则,4门石..........................2i)(l+ i)的实部为0,其中i为虚数单位，则实2.已知复数（数a的值是▲-3.右罔是一个算法流程图，则输出的S的值是▲.4.函数y= V7+6.1-.v2的定义域是▲•5.已知一组数据6, 7, 8, 8, 9, 10+则该组数据的方差是▲.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有〗名女同学的概率是▲.7.在平面直角坐标系中，若双曲线(3, 4),则该双曲线的渐近线方程是I I¥(6>〇)经过点8.已知数列丨《…丨（》e N •)是等差数列，又是其前》项和.若《2<V是▲.9.如图，长方体-.4"'/^的体积是120, £为C C jif中点，则三棱锥£，的体积是▲.(第3题〉0, 27,则&的值___________c,10.在平面直角坐标系x()y中，尸是曲线>•= x+ 土(X> 0)上的一X个动点，则点Z3到直线H二0的距离的最小值是▲.11.在平面直角坐标系A_Oy中，点/I在曲线>•= hi•上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点4的坐标是▲.12.如图，在AA价；巾，0是沉’的中点，£：在边.招上，财；=2E4,AB5, (第9题)az?与⑶交于点a若仙•4Ctan a2 13.已知ta t](a+子)3.，则6.40 •E C,则完的值是_i(2a+ y)的值.是_▲D(第丨2题）C14.设是定义在R上的两个周期闲数，/(.t)的周期为4, #(x_)的周期为2,且/(x)是(k( x+ 2 ) +0 < ^^I,奇函数.当x e(0, 2]时,/U)= V\-(：t-1 )2t g(x)= |_丄<；v$2,其中A‘> 0•若在区间(0,9]上，关于*的方程/U)= 有8个不同的实数根，则A•的取值范围是_二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤...........................15.(本小题满分]4分）在A.4fiC中，角.4, J5, C的对边分别为(1)若n= 3c1，i= v/2 , f.os/〕]=十，求(.•的值；(2)若^^求的值.a 2b 2—16—16.(本小题满分〗4分）如图，在直三棱柱中，D , E 分别为沉’，A C 的中点，.4JS =此. 求证：（1) ,4,,// 平面 £)i ；C ：t ;(2) S 芯丄(：,£；•(第16题)D ______C _____________1_(第18题）17.(本小题满分！4分）22如1^1，在平面直角坐标系中，椭圆C : $ + J y 二1U > 6 > 0)的焦点为尸,（-1，0)，F 2(l ，0)•过厂2作义轴的垂线/，在:t 轴的i 方，/与圆F 2: ( t - 1 )2+ /= 4“2交于点与圆C 交于点连结并延长交圆于点S ，连结交椭圆C 于点连结/>/•'.已知(1 )求椭圆C 的标准方程；（2)求点£：的坐标.18•(本小题满分I 6分）如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路/，湖上有桥.4/?(_4打是圆0的直径）.规划在公路/上选两个点P ，（>，并修建两段直线型道路/出，（M ，规划要求：线段PJ 5, (?/!上的所有点到点0的距离均不小于圆0的半径.已知点,4, 到直线/的距离分別为.4C 和仙（C ，D 为垂足），测得/l i i 』l 'O , ,4C 二6, = 12 (单位：百米）•(1 )若道路PZ ?与桥A fi 垂直，求道路的长；(2) 在规划要求下，/>和p 中能否有一个点选在1>处？并说明理由；(3) 在规划要求下，若道路和的长度均为^ (单位：百米），求当d 最小时，P ，两点间的距离.19. (本小题满分〗6分）设兩数 f (.v ) = 〇 - a ) (:r - fc ) (^ - f )，a , r e R ，厂〇)为y " (x )的导兩数-(1)若… = 6 = c ，/(4) = 8,求《的值；(2〉若《 # &，& = c ，且/“)和尸“)的零点均在集合|-3, 1，3丨中，求/〇〇的极小值；(3)若a = 0,0<6矣1，^=1,且/⑴的极大值为M ，求证：M 专為20. {本小题满分16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列(1)已知等比数列U J U s N * )满足：《.，a 4= «s ,〜-4«，+4…=0,求证：数列丨为“M -数列”;(2 )已知数列! (“ e IV * )满足：6, = i , f = #■ - #_，其中t s …为数列！ \丨的前n 项和_①求数列丨丨的通项公式；(|)设m 为正整数.若存在“M ，数列”),对任意正整数当/c 各m 时,都有成立，求…的最矢搶•数学I 试题参考答案、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分..A '• 310. 41. U ,6}2. 23. 54.[-1,7]7. )- =8. 169.1011- (e , 1)12. -J3n ^1014.[y ■J 2，417二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：(.1)因为二，厶二 v T ，（-〇s S由余弦定理C fis B a2jf c2- b2 心曰 2_2ac(3e )2+ c 1- (V 2)2 x 3c x c、即A所以c sin ‘4(2)因为〇〇$ B2b '由正弦定理从而ros j =得cos J S sin B，所以cos 5sin A sin B'2bb(2sin，KPcos 2沒=4(1 - f ‘os _S ) t 故{.:<^-5 =2^52siii B. 4因为 sii ] /? > 0,所以 <.，〇s 5 = 2sin B > 0，从而 c ;〇s S j因此 siii (= cos B 二—J6.本小题主要考查直线&与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. 叫证明：（1)因为£), £分别为/1C 的中点.所以E D //AR在直三棱柱/1M ； -,4 中，/,所以又因为平面Z ^C ,, ,4,/?,広平面，所以本fi ,//平面(2)因为仙=, £：为此的中点，所以丄/1C .因为三棱柱训C -d W i 是直棱柱，所以C f 丄平面又因为C 平面,4S C ,所以C , C 丄石£.因为 C 'C 平面，，4C C 平面.4丨」4CC ,，C 丨CHAC 二 C ,所以财：丄平面'因为C ,f C 平面:4丨,4CC ,,所以fi £：丄C .17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分.解：（1)设椭圆C 的焦距为2r .因为 ^(-1，0)，F ，（l , 0)，所以 2. c = 1.C (第16题）又因为/)尽=十，狀2丄_1‘轴，所以DF 2= ^DF]-因此2u ：由厶2 = u :2DFt + DF2-C -2 T 得 i ):224,从而a 3.2.因此，椭圆6’的标准方程为+4(2)解法一：由（1)知，椭圆•v _Tr 22.因为.4 F ，丄；t _轴，所以点/I 的横坐标为1.将.v . = 1代人圆R 的方程(.v - 1):+ y 2= 16 因为点,4在a ■轴上方，所以.4(1, 4).又。

2019年江苏高考数学试卷及答案

2019年江苏高考数学试卷及答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =▲.2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是▲.3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是▲.4．函数y =的定义域是▲.5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是▲.6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲.8．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是▲.9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是▲.10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是▲.11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是▲.12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅ ，则ABAC的值是▲.13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是▲.14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin(2B π+的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<= ，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427．20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c + 成立，求m 的最大值．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N 令n n n n M A B C = .从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；数学试卷参考答案1.{1,6}2.23.54.[1,7]- 5.536.7107.y =8.169.1010.411.(e, 1)13.21014.12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭15.解：（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以33c =.（2）因为sin cos 2A Ba b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =.因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.16.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB ∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED ⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC1⊥BE.因为C1C ⊂平面A1ACC1，AC ⊂平面A1ACC1，C1C ∩AC=C 所以BE ⊥平面A1ACC1.因为C1E ⊂平面A1ACC1，所以BE ⊥C1E.17.解：（1）设椭圆C 的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=52，AF2⊥x 轴，所以32==，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a=2，因为AF2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16，解得y=±4.因为点A 在x 轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-.将115x =-代入22y x =+，得125y =-，因此1112(,)55B --.又F2(1，0)，所以直线BF2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =.又因为E 是线段BF2与椭圆的交点，所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --.18.（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP<90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B=15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP>90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ=321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）.19．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a b x +=．因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠，所以21,3,33a ba b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-．令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：x(,3)-∞-3-(3,1)-1(1,)+∞()f 'x +0–0+()f x极大值极小值所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>，则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得1211,33b b b b b b x x ++==．列表如下：x1(,)x -∞1x ()12,x x 2x 2(,)x +∞()f 'x +0–0+()f x极大值极小值所以()f x 的极大值()1M f x =．()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤．20．解：（1）设等比数列{an}的公比为q ，所以a1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =.由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{bn}的通项公式为bn=n ()*n ∈N .②由①知，bk=k ，*k ∈N .因为数列{cn}为“M –数列”，设公比为q ，所以c1=1，q>0.因为ck ≤bk ≤ck+1，所以1k k q k q -≤≤，其中k=1，2，3，…，m.当k=1时，有q ≥1；当k=2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-．设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x -=．令()0f 'x =，得x=e.列表如下：x(1,e)e (e ，+∞)()f 'x +–f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k=1，2，3，4，5时，ln ln kq k，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O.在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB==.（2）因为直线l 的方程为sin(34ρθπ+=，则直线l 过点2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin(242ππ⨯-=.C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x<0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x<–13：当0≤x ≤12时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；当x>12时，原不等式可化为x+2x –1>2，解得x>1.综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥ ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n n n n n n n a a ---====，44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n=+02233445555555C C C C C C =++++a =+因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．23．解：（1）当1n =时，X的所有可能取值是12．X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======．（2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点．因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况．①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则AB =≤，因为当3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；④若12b d ==，，则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X，且22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．。

江苏省2019年高考数学试题及答案

是
.
10．在平面直角坐标系距离的最小值是
xOy 中， P 是曲线 y
.
4 x ( x 0) 上的一个动点，则点
x
P 到直线 x+y=0 的
11．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y=ln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（ - e， - 1)(e
为自然对数的底数），则点 A 的坐标是
,( n,0)} ，
Bn (0,1),(n,1)},Cn {(0,2),(1 ,2),(2,2), ,( n,2)}, n N .
令 M n An Bn Cn .从集合 M n中任取两个不同的点，用随机变量 X表示它们之间的距离 .
（ 1）当 n=1 时，求 X的概率分布；（ 2）对给定的正整数 n（n≥３），求概率 P（ X≤n）（用 n表示） .
能力 .满分 14分 .
解：（1）因为 a 3c,b
2 2,cos B ，
3
由余弦定理 cos B
a2 c2 b2
2
，得
(3c)2 c 2 ( 2) 2 ，即 c2
1
.
2ac
3
2 3c c
3
所以 c
3
.
3
（ 2）因为 sin A a
由正弦定理 a sin A
cos B
，
2b
b
cos B
，得
sin B
5
已知 DF 1= ．
2
3
（ 1）求椭圆 C 的标准方程；（ 2）求点 E 的坐标．
18．（本小题满分 16 分）如图，一个湖的边界是圆心为
O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路
l，湖上有桥 AB（AB 是圆 O

2019年高考数学江苏卷含答案

（1）求 A2 ；
（2）求矩阵A的特征值.
题
B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极
坐标
系中
，已
知两
点
A

3,
4

,
B

2
,
2

，
直
线
l
的
方
程
为

sin

4

3
.
无
（1）求A，B两点间的距离；
（2）求点B到直线l的距离.
C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
数学试卷第 7页（共 24页）
所求概率为 7 . 10
【考点】古典概型
7．【答案】 y 2x
【解析】因为双曲线
x2

y2 b2
1(b

0)
经过点
(3,
4)
，所以
9

16 b2
1，得 b

2 ，所以
该双曲线的渐近线方程是 y bx 2x .
n N .令 M n An Bn Cn .从集合 Mn 中任取两个不同的点，用随机变量 X 表示
它们之间的距离.
（1）当 n 1 时，求 X 的概率分布；（2）对给定的正整数 n(n 3) ，求概率 P( X n) （用 n 表示）.
数学试卷第 6页（共 24页）
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏省）
上
21.【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，．并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．

2019年江苏省高考数学试卷及答案(Word版)

YN 输出n 开始1a 2n ←←，1n n ←+32a a ←+20a <结束（第5题）2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ 注意事项绝密★启用前考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效. 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.函数)42sin(3π-=x y 的最小正周期为 ▲ .解析：2==2T ππ 2.设2)2(i z -=(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ . 解析：()2234,34=5Z i Z =-=+-3.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲ . 解析：3y=4x ±4.集合{}1,0,1-共有 ▲ 个子集. 解析：328=（个）5.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲解析：经过了两次循环，n 值变为36.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲 87 91 90 89 93 乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ . 解析：易知均值都是90，乙方差较小，()()()()()()()22222221118990909091908890929025n i i s x xn ==-=-+-+-+-+-=∑7.现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取，则n m ,都取到奇数的概率为 ▲ . 解析：m 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个 n 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个所以总共有7963⨯=种可能符合题意的m 可以取1,3,5,7共4个符合题意的n 可以取1,3,5,7,9共5个所以总共有4520⨯=种可能符合题意所以符合题意的概率为20638.如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ▲ . 解析：112211111334224ADE ABC V S h S h V ==⨯⨯=所以121:24V V =A BC1ADEF 1B1C9.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲ .解析：易知切线方程为：21y x =-所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为()()()0,00.5,00,1A B C - 易知过C 点时有最小值2-，过B 点时有最大值0.510.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+=(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 ▲ .解析：易知()121212232363DE AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r所以1212λλ+=11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 ▲ . 解析：因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以易知0x ≤时，2()4f x x x =-- 解不等式得到x x f >)(的解集用区间表示为()()5,05,-+∞U12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ,右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d .若126d d =，则椭圆的离心率为 ▲ . 解析：由题意知2212,bc a b d d c a c c==-= 所以有26b bcc a= 两边平方得到2246a b c =，即42246a a c c -= 两边同除以4a 得到2416e e -=，解得213e =，即33e =13.平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数)0(1>=x xy 图像上一动点，若点A P ,之间最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ . 解析：由题意设()0001,,0P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭则有()222222200000200000111112++2=+-2+22PA x a a x a x a x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()001t 2x t x +=≥ 则()222=(t)=t 2222PA f at a t -+-≥ 对称轴t a = 1.2a ≤时，22min 2(2)2422428PA f a a a a ==-+∴-+=1a =- ， 3a =（舍去） 2.2a >时，22min 2()228PA f a a a ==-∴-=10a = ， 10a =-（舍去）综上1a =-或10a =14.在正项等比数列{}n a 中，215=a ，376=+a a .则满足n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 ▲ . 解析：2252552667123123115521155223 (1),.222222011521312913236002292212n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a q a q q a a n nq n q n q a -------=+=+-+=∴++++>∴->∴->>-∴->-+∴<<=>∴==Q QQ n N +∈112,n n N +∴≤≤∈又12n =时符合题意，所以n 的最大值为12二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

2019年江苏卷数学高考试题文档版(含答案)

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则AB = ▲ .2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲ . 3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ .4．函数276y x x =+-的定义域是 ▲ .5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ .6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲ .8．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 ▲ .9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 ▲ .10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ .12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是 ▲ .13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲.14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }*()n ∈N 满足：111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ·参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分. 1.{1,6}2.23.54.[1,7]-5.536.7107.2y x =±8.16 9.10 10.4 11.(e, 1) 12.313.21014.12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为23,2,cos 3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以33c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =. 因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分. 解：（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=，因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-，因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ，所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径. 综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟. 在线段AD 上取点M （3，154），因为22221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由22(4)(93)15(4)AQ a a =-+-=>，得a =4321+，所以Q （4321+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4321+，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4321(13)17321PQ =+--=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17321+（百米）.19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a bx +=．因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠，所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-．令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：x (,3)-∞-3-(3,1)-1 (1,)+∞()f 'x + 0 – 0 + ()f x极大值极小值所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>，则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得22121111,33b b b b b b x x +--+++-+==．列表如下：x 1(,)x -∞1x()12,x x2x2(,)x +∞()f 'x+ 0 – 0 + ()f x极大值极小值所以()f x 的极大值()1M f x =．解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()()23221(1)(1)2127927b b b b b b b --+++=++-+23(1)2(1)(1)2((1)1)272727b b b b b b +-+=-+-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤．解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-．令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0g'x =，得13x =．列表如下： x 1(0,)3131(,1)3()g'x + 0 – ()g x极大值所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-．设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=．令()0f 'x =，得x =e.列表如下：x (1,e)e (e ，+∞) ()f 'x+0 –f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取33q =，当k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤，经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A（1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离. C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N ….已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(13)3na b +=+，其中*,a b ∈N ，求223a b -的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N令n nn n M A B C =.从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==. B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B （2，2π），由余弦定理，得AB =223(2)232cos()524ππ+-⨯⨯⨯-=. （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点(32,)2π，倾斜角为34π．又(2,)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3(322)sin()242ππ-⨯-=. C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <-13；当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解；当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(13)(13)n +=+0122334455555555C C 3C (3)C (3)C (3)C (3)=+++++ 3a b =+．解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．解法二：50122334455555555(13)C C (3)C (3)C (3)C (3)C (3)-=+-+-+-+-+- 0122334455555555C C C (3)C (3)C (3)(3C 3)=-+-+-．因为*,a b ∈N ，所以5(13)3a b -=-．因此225553(3)(3)(13)(13)(2)32a b a b a b -=+-=+⨯-=-=-．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当1n =时，X 的所有可能取值是1225，，，．X 的概率分布为22667744(1),(2)C 15C 15P X P X ======， 22662222(2),(5)C 15C 15P X P X ======．（2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点．因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则22()11AB a c n =-+≤+，所以X n >当且仅当21AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则22()44AB a c n =-+≤+，因为当3n ≥时，2(1)4n n -+≤，所以X n >当且仅当24AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则22()11AB a c n =-+≤+，所以X n >当且仅当21AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X 的所有可能取值是21n +和24n +，且2222242442(1),(4)C C n n P X n P X n ++=+==+=．因此，222246()1(1)(4)1C n P X n P X n P X n +≤=-=+-=+=-．。

2019年高考江苏卷数学真题试题(word版,含答案与解析)

2019年高考数学真题试卷（江苏卷）原卷+解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．（共14题；共70分）1.（2019•江苏）已知集合，，则________.【答案】【考点】交集及其运算【解析】【解答】集合，，借助数轴得：【分析】根据已知条件借助数轴，用交集的运算法则求出集合。

2.（2019•江苏）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是________. 【答案】 2【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】设复数的实部为0，又【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数，从而求出复数的实部和虚部，再结合复数的实部为0的已知条件求出a的值。

3.（2019•江苏）下图是一个算法流程图，则输出的S的值是________.【答案】 5【考点】程序框图【解析】【解答】第一步：不成立；第二步：不成立；第三步：不成立；第四步：成立；输出的【分析】根据题中的已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构求出输出的S的值。

4.（2019•江苏）函数的定义域是________.【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】函数，要是函数有意义，则函数的定义域为【分析】利用根式函数求定义域的方法结合一元二次不等式求解集的方法求出函数的定义域。

5.（2019•江苏）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________.【答案】【考点】极差、方差与标准差【解析】【解答】设一组数据为6，7，8，8，9，10的平均数为方差为这组数据的平均数为：这组数据的方差为：【分析】利用已知数据结合平均数和方差公式求出这组数据的平均数和方差。

6.（2019•江苏）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________.【答案】【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】设3名男同学为：2名女同学为：设选出的2名同学中至少有1名女同学的事件为A，则从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务的基本事件为：共十种，选出的2名同学中至少有1名女同学的基本事件为：共七种，利用古典概型求概率的公式，得：【分析】根据实际问题的已知条件结合古典概型求概率的公式，求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率。

2019年江苏省高考数学试卷

2019年江苏省高考数学试卷试题数：25.满分：2001.（填空题.5分）已知集合A={-1.0.1.6}.B={x|x＞0.x∈R}.则A∩B=___ ．2.（填空题.5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0.其中i为虚数单位.则实数a的值是___ ．3.（填空题.5分）如图是一个算法流程图.则输出的S的值是___ ．4.（填空题.5分）函数y= $\sqrt{7+6x-{x}^{2}}$ 的定义域是___ ．5.（填空题.5分）已知一组数据6.7.8.8.9.10.则该组数据的方差是___ ．6.（填空题.5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务.则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是___ ．7.（填空题.5分）在平面直角坐标系xOy中.若双曲线x2- $\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1（b＞0）经过点（3.4）.则该双曲线的渐近线方程是___ ．8.（填空题.5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列.S n是其前n项和．若a2a5+a8=0.S9=27.则S8的值是___ ．9.（填空题.5分）如图.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120.E为CC1的中点.则三棱锥E-BCD的体积是 ___ ．10.（填空题.5分）在平面直角坐标系xOy中.P是曲线y=x+ $\frac{4}{x}$ （x＞0）上的一个动点.则点P到直线x+y=0的距离的最小值是___ ．11.（填空题.5分）在平面直角坐标系xOy中.点A在曲线y=lnx上.且该曲线在点A处的切线经过点（-e.-1）（e为自然对数的底数）.则点A的坐标是___ ．12.（填空题.5分）如图.在△ABC中.D是BC的中点.E在边AB上.BE=2EA.AD与CE交于点O．若 $\overrightarrow{AB}$ • $\overrightarrow{AC}$ =6 $\overrightarrow{AO}$ •$\overrightarrow{EC}$ .则 $\frac{AB}{AC}$ 的值是 ___ ．13.（填空题.5分）已知 $\frac{tanα}{tan(α+\frac{π}{4})}$ =- $\frac{2}{3}$ .则sin（2α+ $\frac{π}{4}$）的值是___ ．14.（填空题.5分）设f（x）.g（x）是定义在R上的两个周期函数.f（x）的周期为4.g（x）的周期为2.且f（x）是奇函数．当x∈（0.2]时.f（x）= $\sqrt{1-(x-1)^{2}}$ .g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{k(x+2).}&{0＜x≤1.}\\{-\frac{1}{2}.}&{1＜x≤2.}\end{array}\right.$ 其中k＞0．若在区间（0.9]上.关于x的方程f（x）=g（x）有8个不同的实数根.则k的取值范围是___ ．15.（问答题.14分）在△ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c．（1）若a=3c.b= $\sqrt{2}$ .cosB= $\frac{2}{3}$ .求c的值；（2）若 $\frac{sinA}{a}$ = $\frac{cosB}{2b}$ .求sin（B+ $\frac{π}{2}$）的值．16.（问答题.14分）如图.在直三棱柱ABC-A1B1C1中.D.E分别为BC.AC的中点.AB=BC．求证：（1）A1B1 || 平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17.（问答题.14分）如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆C： $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$ + $\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1（a＞b＞0）的焦点为F1（-1.0）.F2（1.0）．过F2作x轴的垂线l.在x轴的上方.l与圆F2：（x-1）2+y2=4a2交于点A.与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B.连结BF2交椭圆C于点E.连结DF1．已知DF1= $\frac{5}{2}$ ．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18.（问答题.16分）如图.一个湖的边界是圆心为O的圆.湖的一侧有一条直线型公路l.湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P.Q.并修建两段直线型道路PB.QA.规划要求：线段PB.QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A.B到直线l的距离分别为AC和BD（C.D为垂足）.测得AB=10.AC=6.BD=12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直.求道路PB的长；（2）在规划要求下.P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下.若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时.P、Q两点间的距离．19.（问答题.16分）设函数f（x）=（x-a）（x-b）（x-c）.a.b.c∈R.f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a=b=c.f（4）=8.求a的值；（2）若a≠b.b=c.且f（x）和f′（x）的零点均在集合{-3.1.3}中.求f（x）的极小值；（3）若a=0.0＜b≤1.c=1.且f（x）的极大值为M.求证：M≤ $\frac{4}{27}$ ．20.（问答题.16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4=a5.a3-4a2+4a1=0.求证：数列{a n}为“M-数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1=1. $\frac{1}{{S}_{n}}$ = $\frac{2}{{b}_{n}}$ -$\frac{2}{{b}_{n+1}}$ .其中S n为数列{b n}的前n项和．① 求数列{b n}的通项公式；② 设m为正整数.若存在“M-数列”{c n}（n∈N*）.对任意正整数k.当k≤m时.都有c k≤b k≤c k+1成立.求m的最大值．21.（问答题.10分）已知矩阵A= $\left[\begin{array}{l}{3}&{1}\\{2}&{2}\end{array}\right]$ ．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．22.（问答题.10分）在极坐标系中.已知两点A（3. $\frac{π}{4}$）.B（ $\sqrt{2}$ .$\frac{π}{2}$）.直线l的方程为ρsin（θ+ $\frac{π}{4}$）=3．（1）求A.B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．23.（问答题.10分）设x∈R.解不等式|x|+|2x-1|＞2．24.（问答题.10分）设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n.n≥4.n∈N*．已知a32=2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+ $\sqrt{3}$ ）n=a+b $\sqrt{3}$ .其中a.b∈N*.求a2-3b2的值．25.（问答题.10分）在平面直角坐标系xOy中.设点集A n={（0.0）.（1.0）.（2.0）.….（n.0）}.B n={（0.1）.（n.1）}.C n={（0.2）.（1.2）.（2.2）.…….（n.2）}.n∈N*．令M n=A n∪B n∪C n．从集合M n中任取两个不同的点.用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n=1时.求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3）.求概率P（X≤n）（用n表示）．2019年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析试题数：25.满分：2001.（填空题.5分）已知集合A={-1.0.1.6}.B={x|x＞0.x∈R}.则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{1.6}【解析】：直接利用交集运算得答案．【解答】：解：∵A={-1.0.1.6}.B={x|x＞0.x∈R}.∴A∩B={-1.0.1.6}∩{x|x＞0.x∈R}={1.6}．故答案为：{1.6}．【点评】：本题考查交集及其运算.是基础题．2.（填空题.5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0.其中i为虚数单位.则实数a的值是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：利用复数代数形式的乘除运算化简.再由实部为0求的a值．【解答】：解：∵（a+2i）（1+i）=（a-2）+（a+2）i的实部为0.∴a-2=0.即a=2．故答案为：2．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.是基础题．3.（填空题.5分）如图是一个算法流程图.则输出的S的值是___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值.模拟程序的运行过程.分析循环中各变量值的变化情况.可得答案．【解答】：解：模拟程序的运行.可得x=1.S=0S=0.5不满足条件x≥4.执行循环体.x=2.S=1.5不满足条件x≥4.执行循环体.x=3.S=3不满足条件x≥4.执行循环体.x=4.S=5此时.满足条件x≥4.退出循环.输出S的值为5．故答案为：5．【点评】：本题考查了程序框图的应用问题.解题时应模拟程序框图的运行过程.以便得出正确的结论.是基础题．4.（填空题.5分）函数y= $\sqrt{7+6x-{x}^{2}}$ 的定义域是___ ．【正确答案】：[1][-1.7]【解析】：由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案．【解答】：解：由7+6x-x2≥0.得x2-6x-7≤0.解得：-1≤x≤7．∴函数y= $\sqrt{7+6x-{x}^{2}}$ 的定义域是[-1.7]．故答案为：[-1.7]．【点评】：本题考查函数的定义域及其求法.考查一元二次不等式的解法.是基础题．5.（填空题.5分）已知一组数据6.7.8.8.9.10.则该组数据的方差是___ ．【正确答案】：[1] $\frac{5}{3}$【解析】：先求出一组数据6.7.8.8.9.10的平均数.由此能求出该组数据的方差．【解答】：解：一组数据6.7.8.8.9.10的平均数为：$\overline{x}$ = $\frac{1}{6}$ （6+7+8+8+9+10）=8.∴该组数据的方差为：S2= $\frac{1}{6}$ [（6-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（10-8）2]=$\frac{5}{3}$ ．故答案为： $\frac{5}{3}$ ．【点评】：本题考查一组数据的方差的求法.考查平均数、方差等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．6.（填空题.5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务.则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是___ ．【正确答案】：[1] $\frac{7}{10}$【解析】：基本事件总数n= ${C}_{5}^{2}$ =10.选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m= ${C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}$ + ${C}_{2}^{2}$ =7.由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．【解答】：解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务.基本事件总数n= ${C}_{5}^{2}$ =10.选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m= ${C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}$ + ${C}_{2}^{2}$ =7.∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p= $\frac{m}{n}=\frac{7}{10}$ ．故答案为： $\frac{7}{10}$ ．【点评】：本题考查概率的求法.考查古典概型、排列组合等基础知识.考查运算求解能力.考查数形结合思想.是基础题．7.（填空题.5分）在平面直角坐标系xOy中.若双曲线x2- $\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1（b＞0）经过点（3.4）.则该双曲线的渐近线方程是___ ．【正确答案】：[1]y= $±\sqrt{2}x$【解析】：把已知点的坐标代入双曲线方程.求得b.则双曲线的渐近线方程可求．【解答】：解：∵双曲线x2- $\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1（b＞0）经过点（3.4）.∴ ${3}^{2}-\frac{16}{{b}^{2}}=1$ .解得b2=2.即b= $\sqrt{2}$ ．又a=1.∴该双曲线的渐近线方程是y= $±\sqrt{2}x$ ．故答案为：y= $±\sqrt{2}x$ ．【点评】：本题考查双曲线的标准方程.考查双曲线的简单性质.是基础题．8.（填空题.5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列.S n是其前n项和．若a2a5+a8=0.S9=27.则S8的值是___ ．【正确答案】：[1]16【解析】：设等差数列{a n}的首项为a1.公差为d.由已知列关于首项与公差的方程组.求解首项与公差.再由等差数列的前n项和求得S8的值．【解答】：解：设等差数列{a n}的首项为a1.公差为d.则$\left\{\begin{array}{l}{({a}_{1}+d)({a}_{1}+4d)+{a}_{1}+7d=0}\\{9{a}_{1}+\frac{9×8}{2}d =27}\end{array}\right.$ .解得 $\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-5}\\{d=2}\end{array}\right.$ ．∴ ${S}_{8}=8{a}_{1}+\frac{8×7d}{2}$ =8×（-5）+56=16．故答案为：16．【点评】：本题考查等差数列的通项公式.考查等差数列的前n项和.是基础题．9.（填空题.5分）如图.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120.E为CC1的中点.则三棱锥E-BCD的体积是 ___ ．【正确答案】：[1]10【解析】：推导出 ${V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$ =AB×BC×DD1=120.三棱锥E-BCD的体积：V E-BCD= $\frac{1}{3}×{S}_{△ BCD}×CE$ =$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BC×DC×CE$ = $\frac{1}{12}$ ×AB×BC×DD1.由此能求出结果．【解答】：解：∵长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120.E为CC1的中点.∴ ${V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$ =AB×BC×DD1=120.∴三棱锥E-BCD的体积：V E-BCD= $\frac{1}{3}×{S}_{△ BCD}×CE$= $\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BC×DC×CE$= $\frac{1}{12}$ ×AB×BC×DD1=10．故答案为：10．【点评】：本题考查三棱锥的体积的求法.考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查数形结合思想.是中档题．10.（填空题.5分）在平面直角坐标系xOy中.P是曲线y=x+ $\frac{4}{x}$ （x＞0）上的一个动点.则点P到直线x+y=0的距离的最小值是___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：利用导数求平行于x+y=0的直线与曲线y=x+ $\frac{4}{x}$ （x＞0）的切点.再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y=0的距离的最小值．【解答】：解：由y=x+ $\frac{4}{x}$ （x＞0）.得y′=1- $\frac{4}{{x}^{2}}$ .设斜率为-1的直线与曲线y=x+ $\frac{4}{x}$ （x＞0）切于（x0.${x}_{0}+\frac{4}{{x}_{0}}$ ）.由 $1-\frac{4}{{{x}_{0}}^{2}}=-1$ .解得 ${x}_{0}=\sqrt{2}$ （x0＞0）．∴曲线y=x+ $\frac{4}{x}$ （x＞0）上.点P（ $\sqrt{2}.3\sqrt{2}$ ）到直线x+y=0的距离最小.最小值为 $\frac{|\sqrt{2}+3\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=4$ ．故答案为：4．【点评】：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程.考查点到直线距离公式的应用.是中档题．11.（填空题.5分）在平面直角坐标系xOy中.点A在曲线y=lnx上.且该曲线在点A处的切线经过点（-e.-1）（e为自然对数的底数）.则点A的坐标是___ ．【正确答案】：[1]（e.1）【解析】：设A（x0.lnx0）.利用导数求得曲线在A处的切线方程.代入已知点的坐标求解x0即可．【解答】：解：设A（x0.lnx0）.由y=lnx.得y′= $\frac{1}{x}$ .∴ $y′{|}_{x={x}_{0}}=\frac{1}{{x}_{0}}$ .则该曲线在点A处的切线方程为y-lnx0=$\frac{1}{{x}_{0}}(x-{x}_{0})$ .∵切线经过点（-e.-1）.∴ $-1-ln{x}_{0}=-\frac{e}{{x}_{0}}-1$ .即 $ln{x}_{0}=\frac{e}{{x}_{0}}$ .则x0=e．∴A点坐标为（e.1）．故答案为：（e.1）．【点评】：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程.区分过点处与在点处的不同.是中档题．12.（填空题.5分）如图.在△ABC中.D是BC的中点.E在边AB上.BE=2EA.AD与CE交于点O．若 $\overrightarrow{AB}$ • $\overrightarrow{AC}$ =6 $\overrightarrow{AO}$ •$\overrightarrow{EC}$ .则 $\frac{AB}{AC}$ 的值是 ___ ．【正确答案】：[1] $\sqrt{3}$【解析】：首先算出 $\overrightarrow{AO}$ = $\frac{1}{2}$ $\overrightarrow{AD}$ .然后用$\overrightarrow{AB}$ 、 $\overrightarrow{AC}$ 表示出 $\overrightarrow{AO}$ 、$\overrightarrow{EC}$ .结合 $\overrightarrow{AB}$ • $\overrightarrow{AC}$ =6$\overrightarrow{AO}$ • $\overrightarrow{EC}$ 得$\frac{1}{2}$ ${\overrightarrow{AB}}^{2}$ = $\frac{3}{2}$ ${\overrightarrow{AC}}^{2}$ .进一步可得结果．【解答】：解：设 $\overrightarrow{AO}$ =λ $\overrightarrow{AD}$ =$\frac{λ}{2}$（ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ ）.$\overrightarrow{AO}$ = $\overrightarrow{AE}$ + $\overrightarrow{EO}$ =$\overrightarrow{AE}$ +μ $\overrightarrow{EC}$ = $\overrightarrow{AE}$ +μ（ $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE}$ ）=（1-μ） $\overrightarrow{AE}$ +μ $\overrightarrow{AC}$ = $\frac{1-μ}{3}$ $\overrightarrow{AB}$ +μ $\overrightarrow{AC}$∴ $\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{2}=\frac{1-μ}{3}}\\{\frac{λ}{2}=μ}\end{array}\right.$ .∴ $\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1}{2}}\\{μ=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$ .∴ $\overrightarrow{AO}$ = $\frac{1}{2}$ $\overrightarrow{AD}$ =$\frac{1}{4}$ （ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ ）.$\overrightarrow{EC}$ = $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE}$ =-$\frac{1}{3}$ $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AC}$ .6 $\overrightarrow{AO}$ • $\overrightarrow{EC}$ =6×$\frac{1}{4}$ （ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ ）•（-$\frac{1}{3}$ $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AC}$ ）= $\frac{3}{2}$ （ $-\frac{1}{3}$ ${\overrightarrow{AB}}^{2}$ +$\frac{2}{3}$ $\overrightarrow{AB}\bullet \overrightarrow{AC}$ +${\overrightarrow{AC}}^{2}$ ）= $-\frac{1}{2}$ ${\overrightarrow{AB}}^{2}$ + $\overrightarrow{AB}\bullet\overrightarrow{AC}$ + $\frac{3}{2}$ ${\overrightarrow{AC}}^{2}$ .∵ $\overrightarrow{AB}$ • $\overrightarrow{AC}$ = $-\frac{1}{2}$ ${\overrightarrow{AB}}^{2}$ + $\overrightarrow{AB}\bullet\overrightarrow{AC}$ + $\frac{3}{2}$ ${\overrightarrow{AC}}^{2}$ .∴ $\frac{1}{2}$ ${\overrightarrow{AB}}^{2}$ = $\frac{3}{2}$ ${\overrightarrow{AC}}^{2}$ .∴ $\frac{{\overrightarrow{AB}}^{2}}{{\overrightarrow{AC}}^{2}}$ =3.∴ $\frac{AB}{AC}$ = $\sqrt{3}$ ．故答案为： $\sqrt{3}$【点评】：本题考查向量的数量积的应用.考查向量的表示以及计算.考查计算能力．13.（填空题.5分）已知 $\frac{tanα}{tan(α+\frac{π}{4})}$ =- $\frac{2}{3}$ .则sin（2α+ $\frac{π}{4}$）的值是___ ．【正确答案】：[1] $\frac{\sqrt{2}}{10}$【解析】：由已知求得tanα.分类利用万能公式求得sin2α.cos2α的值.展开两角和的正弦求sin （2α+ $\frac{π}{4}$）的值．【解答】：解：由 $\frac{tanα}{tan(α+\frac{π}{4})}$ =- $\frac{2}{3}$ .得$\frac{tanα}{\frac{tanα+tan\frac{π}{4}}{1-tanαtan\frac{π}{4}}}=-\frac{2}{3}$ .∴ $\frac{tanα(1-tanα)}{1+tanα}=-\frac{2}{3}$ .解得tanα=2或tan $α=-\frac{1}{3}$ ．当tanα=2时.sin2α= $\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}=\frac{4}{5}$ .cos2α= $\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}=-\frac{3}{5}$ .∴sin（2α+ $\frac{π}{4}$）= $sin2αcos\frac{π}{4}+cos2αsin\frac{π}{4}$ =$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}$ ；当tanα= $-\frac{1}{3}$ 时.sin2α= $\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}$ = $-\frac{3}{5}$ .cos2α= $\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}=\frac{4}{5}$ .∴sin（2α+ $\frac{π}{4}$）= $sin2αcos\frac{π}{4}+cos2αsin\frac{π}{4}$ = $-\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}$ ．综上.sin（2α+ $\frac{π}{4}$）的值是 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ ．故答案为： $\frac{\sqrt{2}}{10}$ ．【点评】：本题考查三角函数的恒等变换与化简求值.考查两角和的三角函数及万能公式的应用.是中档题．14.（填空题.5分）设f（x）.g（x）是定义在R上的两个周期函数.f（x）的周期为4.g（x）的周期为2.且f（x）是奇函数．当x∈（0.2]时.f（x）= $\sqrt{1-(x-1)^{2}}$ .g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{k(x+2).}&{0＜x≤1.}\\{-\frac{1}{2}.}&{1＜x≤2.}\end{array}\right.$ 其中k＞0．若在区间（0.9]上.关于x的方程f（x）=g（x）有8个不同的实数根.则k的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][ $\frac{1}{3}$ . $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ）【解析】：由已知函数解析式结合周期性作出图象.数形结合得答案．【解答】：解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图.由图可知.函数f（x）与g（x）=- $\frac{1}{2}$ （1＜x≤2.3＜x≤4.5＜x≤6.7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）=g（x）有8个不同的实数根.则f（x）= $\sqrt{1-(x-1)^{2}}$ .x∈（0.2]与g（x）=k（x+2）.x∈（0.1]的图象有2个不同交点.由（1.0）到直线kx-y+2k=0的距离为1.得 $\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$ .解得k= $\frac{\sqrt{2}}{4}$ （k＞0）.∵两点（-2.0）.（1.1）连线的斜率k= $\frac{1}{3}$ .∴ $\frac{1}{3}$ ≤k＜ $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ．即k的取值范围为[ $\frac{1}{3}$ . $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ）．故答案为：[ $\frac{1}{3}$ . $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ）．【点评】：本题考查函数零点的判定.考查分段函数的应用.体现了数形结合的解题思想方法.是中档题．15.（问答题.14分）在△ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c．（1）若a=3c.b= $\sqrt{2}$ .cosB= $\frac{2}{3}$ .求c的值；（2）若 $\frac{sinA}{a}$ = $\frac{cosB}{2b}$ .求sin（B+ $\frac{π}{2}$）的值．【正确答案】：【解析】：（1）由余弦定理得：cosB= $\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$ =$\frac{10{c}^{2}-2}{6{c}^{2}}$ = $\frac{2}{3}$ .由此能求出c的值．（2）由 $\frac{sinA}{a}$ = $\frac{cosB}{2b}$ .利用正弦定理得2sinB=cosB.再由sin2B+cos2B=1.能求出sinB= $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .cosB= $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ .由此利用诱导公式能求出sin（B+ $\frac{π}{2}$）的值．【解答】：解：（1）∵在△ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c．a=3c.b= $\sqrt{2}$ .cosB= $\frac{2}{3}$ .∴由余弦定理得：cosB= $\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$ = $\frac{10{c}^{2}-2}{6{c}^{2}}$ =$\frac{2}{3}$ .解得c= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．（2）∵ $\frac{sinA}{a}$ = $\frac{cosB}{2b}$ .∴由正弦定理得： $\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{cosB}{2b}$ .∴2sinB=cosB.∵sin2B+cos2B=1.∴sinB= $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .cosB= $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ .∴sin（B+ $\frac{π}{2}$）=cosB= $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ ．【点评】：本题考查三角形边长、三角函数值的求法.考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识.考查推理能力与计算能力.属于中档题．16.（问答题.14分）如图.在直三棱柱ABC-A1B1C1中.D.E分别为BC.AC的中点.AB=BC．求证：（1）A1B1 || 平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【正确答案】：【解析】：（1）推导出DE || AB.AB || A1B1.从而DE || A1B1.由此能证明A1B1 || 平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1.BE⊥AC.从而BE⊥平面ACC1A1.由此能证明BE⊥C1E．【解答】：证明：（1）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中.D.E分别为BC.AC的中点.∴DE || AB.AB || A1B1.∴DE || A1B1.∵DE⊂平面DEC1.A1B1⊄平面DEC1.∴A1B1 || 平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中.E是AC的中点.AB=BC．∴BE⊥AC.∵直三棱柱ABC-A1B1C1中.AA1⊥平面ABC.BE⊂平面ABC.∴BE⊥AA1.又AA1∩AC=A.∴BE⊥平面ACC1A1.∵C1E⊂平面ACC1A1.∴BE⊥C1E．【点评】：本题考查线面平行、线线垂直的证明.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.考查数形结合思想.是中档题．17.（问答题.14分）如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆C： $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$ + $\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1（a＞b＞0）的焦点为F1（-1.0）.F2（1.0）．过F2作x轴的垂线l.在x轴的上方.l与圆F2：（x-1）2+y2=4a2交于点A.与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B.连结BF2交椭圆C于点E.连结DF1．已知DF1= $\frac{5}{2}$ ．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．【正确答案】：【解析】：（1）由题意得到F1D || BF2.然后求AD.再由AD=DF1= $\frac{5}{2}$ 求得a.则椭圆方程可求；（2）求出D的坐标.得到 ${k}_{B{F}_{2}}={k}_{D{F}_{1}}$ =$\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}$ .写出BF2的方程.与椭圆方程联立即可求得点E的坐标．【解答】：解：（1）如图.∵F2A=F2B.∴∠F2AB=∠F2BA.∵F2A=2a=F2D+DA=F2D+F1D.∴AD=F1D.则∠DAF1=∠DF1A.∴∠DF1A=∠F2BA.则F1D || BF2.∵c=1.∴b2=a2-1.则椭圆方程为 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1$ .取x=1.得 ${y}_{D}=\frac{{a}^{2}-1}{a}$ .则AD=2a- $\frac{{a}^{2}-1}{a}$ =$\frac{{a}^{2}+1}{a}$ ．又DF1= $\frac{5}{2}$ .∴ $\frac{{a}^{2}+1}{a}=\frac{5}{2}$ .解得a=2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为 $\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$ ；（2）由（1）知.D（1. $\frac{3}{2}$ ）.F1（-1.0）.∴ ${k}_{B{F}_{2}}={k}_{D{F}_{1}}$ = $\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}$ .则BF2：y=$\frac{3}{4}(x-1)$ .联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}(x-1)}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$ .得21x2-18x-39=0．解得x1=-1或 ${x}_{2}=\frac{13}{7}$ （舍）．∴ ${y}_{1}=-\frac{3}{2}$ ．即点E的坐标为（-1.- $\frac{3}{2}$ ）．【点评】：本题考查直线与圆.圆与椭圆位置关系的应用.考查计算能力.证明DF1 || BF2是解答该题的关键.是中档题．18.（问答题.16分）如图.一个湖的边界是圆心为O的圆.湖的一侧有一条直线型公路l.湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P.Q.并修建两段直线型道路PB.QA.规划要求：线段PB.QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A.B到直线l的距离分别为AC和BD（C.D为垂足）.测得AB=10.AC=6.BD=12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直.求道路PB的长；（2）在规划要求下.P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下.若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时.P、Q两点间的距离．【正确答案】：【解析】：（1）设BD与圆O交于M.连接AM.以C为坐标原点.l为x轴.建立直角坐标系.则A （0.-6）.B（-8.-12）.D（-8.0）设点P（x1.0）.PB⊥AB.运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1.求得P的坐标.可得所求值；（2）当QA⊥AB时.QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径.设此时Q（x2.0）.运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1.求得Q的坐标.即可得到结论；（3）设P（a.0）.Q（b.0）.则a≤-17.b≥- $\frac{9}{2}$ .结合条件.可得b的最小值.由两点的距离公式.计算可得PQ．【解答】：解：设BD与圆O交于M.连接AM.AB为圆O的直径.可得AM⊥BM.即有DM=AC=6.BM=6.AM=8.以C为坐标原点.l为x轴.建立直角坐标系.则A（0.-6）.B（-8.-12）.D（-8.0）（1）设点P（x1.0）.PB⊥AB.则k BP•k AB=-1.即 $\frac{0-(-12)}{{x}_{1}-(-8)}$ • $\frac{-6-(-12)}{0-(-8)}$ =-1.解得x1=-17.所以P（-17.0）.PB= $\sqrt{(-17+8)^{2}+(0+12)^{2}}$ =15；（2）当QA⊥AB时.QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径.设此时Q（x2.0）.则k QA•k AB=-1.即 $\frac{0-(-6)}{{x}_{2}-0}$ • $\frac{-6-(-12)}{0-(-8)}$ =-1.解得x2=-$\frac{9}{2}$ .Q（- $\frac{9}{2}$ .0）.由-17＜-8＜- $\frac{9}{2}$ .在此范围内.不能满足PB.QA上所有点到O的距离不小于圆的半径. 所以P.Q中不能有点选在D点；（3）设P（a.0）.Q（b.0）.由（1）（2）可得a≤-17.b≥- $\frac{9}{2}$ .由两点的距离公式可得PB2=（a+8）2+144≥225.当且仅当a=-17时.d=|PB|取得最小值15.又QA2=b2+36≥225.则b≥3 $\sqrt{21}$ .当d最小时.a=-17.b=3 $\sqrt{21}$ .PQ=17+3$\sqrt{21}$ ．【点评】：本题考查直线和圆的位置关系.考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为-1.以及两点的距离公式.分析问题和解决问题的能力.考查运算能力.属于中档题．19.（问答题.16分）设函数f（x）=（x-a）（x-b）（x-c）.a.b.c∈R.f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a=b=c.f（4）=8.求a的值；（2）若a≠b.b=c.且f（x）和f′（x）的零点均在集合{-3.1.3}中.求f（x）的极小值；（3）若a=0.0＜b≤1.c=1.且f（x）的极大值为M.求证：M≤ $\frac{4}{27}$ ．【正确答案】：【解析】：（1）由a=b=c.可得f（x）=（x-a）3.根据f（4）=8.可得（4-a）3=8.解得a．（2）a≠b.b=c.设f（x）=（x-a）（x-b）2．令f（x）=（x-a）（x-b）2=0.解得x=a.或x=b．f′（x）=（x-b）（3x-b-2a）．令f′（x）=0.解得x=b.或x= $\frac{2a+b}{3}$ ．根据f （x）和f′（x）的零点均在集合A={-3.1.3}中.通过分类讨论可得：只有a=3.b=-3.可得$\frac{2a+b}{3}$ = $\frac{6-3}{3}$ =1∈A.可得：f（x）=（x-3）（x+3）2．利用导数研究其单调性可得x=1时.函数f（x）取得极小值．（3）a=0.0＜b≤1.c=1.f（x）=x（x-b）（x-1）．f′（x）=3x2-（2b+2）x+b．△＞0．令f′（x）=3x2-（2b+2）x+b=0．解得：x1= $\frac{b+1-\sqrt{{b}^{2}-b+1}}{3}$ ∈$(0.\frac{1}{3}]$ .x2= $\frac{b+1+\sqrt{{b}^{2}-b+1}}{3}$ ．x1＜x2.可得x=x1时.f（x）取得极大值为M.f′（x1）= $3{x}_{1}^{2}$ -（2b+2）x1+b=0.令x1=t∈ $(0.\frac{1}{3}]$ .可得：b= $\frac{3{t}^{2}-2t}{2t-1}$ ．M=f（x1）=x1（x1-b）（x1-1）=t（t-b）（t-1）= $\frac{-{t}^{4}+2{t}^{3}-{t}^{2}}{2t-1}$ .利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】：解：（1）∵a=b=c.∴f（x）=（x-a）3.∵f（4）=8.∴（4-a）3=8.∴4-a=2.解得a=2．（2）a≠b.b=c.设f（x）=（x-a）（x-b）2．令f（x）=（x-a）（x-b）2=0.解得x=a.或x=b．f′（x）=（x-b）2+2（x-a）（x-b）=（x-b）（3x-b-2a）．令f′（x）=0.解得x=b.或x= $\frac{2a+b}{3}$ ．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A={-3.1.3}中.若：a=-3.b=1.则 $\frac{2a+b}{3}$ = $\frac{-6+1}{3}$ =- $\frac{5}{3}$ ∉A.舍去．a=1.b=-3.则 $\frac{2a+b}{3}$ = $\frac{2-3}{3}$ =- $\frac{1}{3}$ ∉A.舍去．a=-3.b=3.则 $\frac{2a+b}{3}$ = $\frac{-6+3}{3}$ =-1∉A.舍去．．a=3.b=1.则 $\frac{2a+b}{3}$ = $\frac{6+1}{3}$ = $\frac{7}{3}$ ∉A.舍去．a=1.b=3.则 $\frac{2a+b}{3}$ = $\frac{5}{3}$ ∉A.舍去．a=3.b=-3.则 $\frac{2a+b}{3}$ = $\frac{6-3}{3}$ =1∈A.因此a=3.b=-3. $\frac{2a+b}{3}$ =1∈A.可得：f（x）=（x-3）（x+3）2．f′（x）=3[x-（-3）]（x-1）．可得x=1时.函数f（x）取得极小值.f（1）=-2×42=-32．（3）证明：a=0.0＜b≤1.c=1.f（x）=x（x-b）（x-1）．f′（x）=（x-b）（x-1）+x（x-1）+x（x-b）=3x2-（2b+2）x+b．△=4（b+1）2-12b=4b2-4b+4=4 $(b-\frac{1}{2})^{2}$ +3≥3．令f′（x）=3x2-（2b+2）x+b=0．解得：x1= $\frac{b+1-\sqrt{{b}^{2}-b+1}}{3}$ ∈ $(0.\frac{1}{3}]$ .x2=$\frac{b+1+\sqrt{{b}^{2}-b+1}}{3}$ ．x1＜x2.x1+x2= $\frac{2b+2}{3}$ .x1x2= $\frac{b}{3}$ .可得x=x1时.f（x）取得极大值为M.∵f′（x1）= $3{x}_{1}^{2}$ -（2b+2）x1+b=0.令x1=t∈ $(0.\frac{1}{3}]$ .可得：b= $\frac{3{t}^{2}-2t}{2t-1}$ ．∴M=f（x1）=x1（x1-b）（x1-1）=t（t-b）（t-1）= $\frac{-{t}^{4}+2{t}^{3}-{t}^{2}}{2t-1}$ . M′= $\frac{-6{t}^{4}+12{t}^{3}-8{t}^{2}+2t}{(2t-1)^{2}}$ ．令g（t）=-6t3+12t2-8t+2.g′（t）=-18t2+24t-8=-2（3t-2）2＜0.∴函数g（t）在t∈ $(0.\frac{1}{3}]$ 上单调递减. $g(\frac{1}{3})$ = $\frac{4}{9}$ ＞0．∴t•g（t）＞0．∴M′＞0．∴函数M（t）在t∈ $(0.\frac{1}{3}]$ 上单调递增.∴M（t）≤ $M(\frac{1}{3})$ = $\frac{4}{27}$ ．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法.考查了推理能力与计算能力.属于难题．20.（问答题.16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4=a5.a3-4a2+4a1=0.求证：数列{a n}为“M-数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1=1. $\frac{1}{{S}_{n}}$ = $\frac{2}{{b}_{n}}$ -$\frac{2}{{b}_{n+1}}$ .其中S n为数列{b n}的前n项和．① 求数列{b n}的通项公式；② 设m为正整数.若存在“M-数列”{c n}（n∈N*）.对任意正整数k.当k≤m时.都有c k≤b k≤c k+1成立.求m的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）设等比数列{a n}的公比为q.然后根据a2a4=a5.a3-4a2+4a1=0列方程求解.在根据新定义判断即可；（2）求出b2.b3.b4猜想b n.然后用数学归纳法证明；（3）设{c n}的公比为q.将问题转化为 $[\frac{lnk}{k}]_{max}≤[\frac{lnk}{k-1}]_{min}$ .然后构造函数f（x）= $\frac{lnx}{x}(x≥3)$ .g（x）= $\frac{lnx}{x-1}(x≤3)$ .分别求解其最大值和最小值.最后解不等式 $\frac{ln3}{3}≤\frac{lnm}{m-1}$ .即可．【解答】：解：（1）设等比数列{a n}的公比为q.则由a2a4=a5.a3-4a2+4a1=0.得$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{1}}^{2}{q}^{4}={a}_{1}{q}^{4}}\\{{a}_{1}{q}^{2}-4{a}_{1}q+4{a}_{1}=0}\end{array}\right.$ ∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=2}\end{array}\right.$ .∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M-数列”；（2）① ∵b1=1. $\frac{1}{{S}_{n}}$ = $\frac{2}{{b}_{n}}$ - $\frac{2}{{b}_{n+1}}$ .∴当n=1时. $\frac{1}{S_1}=\frac{1}{b_1}=\frac{2}{b_1}-\frac{2}{b_2}$ .∴b2=2.当n=2时. $\frac{1}{S_2}=\frac{1}{b_1+b_2}=\frac{2}{b_2}-\frac{2}{b_3}$ .∴b3=3.当n=3时. $\frac{1}{S_3}=\frac{1}{b_1+b_2+b_3}=\frac{2}{b_3}-\frac{2}{b_4}$ .∴b4=4.猜想b n=n.下面用数学归纳法证明；（i）当n=1时.b1=1.满足b n=n.（ii）假设n=k时.结论成立.即b k=k.则n=k+1时.由 $\frac{1}{S_{k}}=\frac{2}{b_{k}}-\frac{2}{b_{k+1}}$ .得$b_{k+1}=\frac{2b_kS_k}{2S_k-b_k}$ = $\frac{2k\bullet \frac{k(k+1)}{2}}{2\bullet\frac{k(k+1)}{2}-k}$ =k+1.故n=k+1时结论成立.根据（i）（ii）可知.b n=n对任意的n∈N*都成立．故数列{b n}的通项公式为b n=n；② 设{c n}的公比为q.存在“M-数列”{c n}（n∈N*）.对任意正整数k.当k≤m时.都有c k≤b k≤c k+1成立.即q k-1≤k≤q k对k≤m恒成立.当k=1时.q≥1.当k=2时. $\sqrt{2}≤q≤2$ .当k≥3.两边取对数可得. $\frac{lnk}{k}≤lnq≤\frac{lnk}{k-1}$ 对k≤m有解.即$[\frac{lnk}{k}]_{max}≤lnq≤[\frac{lnk}{k-1}]_{min}$ .令f（x）= $\frac{lnx}{x}(x≥3)$ .则 $f'(x)=\frac{1-lnx}{x^2}$ .当x≥3时.f'（x）＜0.此时f（x）递减.∴当k≥3时. $[\frac{lnk}{k}]_{max}=\frac{ln3}{3}$ .令g（x）= $\frac{lnx}{x-1}(x≤3)$ .则 $g'(x)=\frac{1-\frac{1}{x}-lnx}{x^2}$ .令 $ϕ(x)=1-\frac{1}{x}-lnx$ .则 $ϕ'(x)=\frac{1-x}{x^2}$ .当x≥3时.ϕ'（x）＜0.即g'（x）＜0.∴g（x）在[3.+∞）上单调递减.即k≥3时. $[\frac{lnk}{k-1}]_{min}=\frac{lnm}{m-1}$ .则 $\frac{ln3}{3}≤\frac{lnm}{m-1}$ .下面求解不等式 $\frac{ln3}{3}≤\frac{lnm}{m-1}$ .化简.得3lnm-（m-1）ln3≥0.令h（m）=3lnm-（m-1）ln3.则h'（m）= $\frac{3}{m}$ -ln3.由k≥3得m≥3.h'（m）＜0.∴h（m）在[3.+∞）上单调递减.又由于h（5）=3ln5-4ln3=ln125-ln81＞0.h（6）=3ln6-5ln3=ln216-ln243＜0.∴存在m0∈（5.6）使得h（m0）=0.∴m的最大值为5.此时q∈ $[3^{\frac{1}{3}}$ . $5^{\frac{1}{4}}]$ ．【点评】：本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立.考查了数学归纳法和构造法.是数列、函数和不等式的综合性问题.属难题．21.（问答题.10分）已知矩阵A= $\left[\begin{array}{l}{3}&{1}\\{2}&{2}\end{array}\right]$ ．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．【正确答案】：【解析】：（1）根据矩阵A直接求解A2即可；（2）矩阵A的特征多项式为f（λ）= $\left|\b egin{array}{l}{λ-3}&{-1}\\{-2}&{λ-2}\end{array}\right|$ =λ2-5λ+4.解方程f（λ）=0即可．【解答】：解：（1）∵A= $\left[\begin{array}{l}{3}&{1}\\{2}&{2}\end{array}\right]$∴A2=$\left[\begin{array}{l}{3}&{1}\\{2}&{2}\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{l}{3}&{1}\\{ 2}&{2}\end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{l}{11}&{5}\\{10}&{6}\end{array}\right]$（2）矩阵A的特征多项式为：f（λ）= $\left|\begin{array}{l}{λ-3}&{-1}\\{-2}&{λ-2}\end{array}\right|$ =λ2-5λ+4.令f（λ）=0.则由方程λ2-5λ+4=0.得λ=1或λ=4.∴矩阵A的特征值为1或4．【点评】：本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识.考查运算与求解能力.属基础题．22.（问答题.10分）在极坐标系中.已知两点A（3. $\frac{π}{4}$）.B（ $\sqrt{2}$ .$\frac{π}{2}$）.直线l的方程为ρsin（θ+ $\frac{π}{4}$）=3．（1）求A.B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．【正确答案】：【解析】：（1）设极点为O.则由余弦定理可得 $AB^2=OA^2+OB^2-2OA\bulletOBcos\angleAOB$ .解出AB；（2）根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离．【解答】：解：（1）设极点为O.则在△OAB中.由余弦定理.得AB2=OA2+OB2-2OA $\bulletOBcos\angleAOB$ .∴AB= $\sqrt{{3}^{2}+(\sqrt{2})^{2}-2×3×\sqrt{2}×cos(\frac{π}{2}-\frac{π}{4})}$ =$\sqrt{5}$ ；（2）由直线l的方程ρsin（θ+ $\frac{π}{4}$）=3.知直线l过（3 $\sqrt{2}$ . $\frac{π}{2}$）.倾斜角为 $\frac{3π}{4}$ .又B（ $\sqrt{2}$ . $\frac{π}{2}$）.∴点B到直线l的距离为 $(3\sqrt{2}-\sqrt{2})\bulletsin(\frac{3π}{4}-\frac{π}{2})=2$．【点评】：本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离.属基础题．23.（问答题.10分）设x∈R.解不等式|x|+|2x-1|＞2．【正确答案】：【解析】：对|x|+|2x-1|去绝对值.然后分别解不等式即可．【解答】：解：|x|+|2x-1|= $\left\{\begin{array}{l}{3x-1.x＞\frac{1}{2}}\\{-x+1.0≤x≤\frac{1}{2}}\\{-3x+1.x＜0}\end{array}\right.$ .∵|x|+|2x-1|＞2.∴ $\left\{\begin{array}{l}{3x-1＞2}\\{x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{-x+1＞2}\\{0≤x≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{-3x+1＞2}\\{x＜0}\end{array}\right.$ .∴x＞1或x∈∅或x＜- $\frac{1}{3}$ .∴不等式的解集为{x|x＜- $\frac{1}{3}$ 或x＞1}．【点评】：本题考查了绝对值不等式的解法.属基础题．24.（问答题.10分）设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n.n≥4.n∈N*．已知a32=2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+ $\sqrt{3}$ ）n=a+b $\sqrt{3}$ .其中a.b∈N*.求a2-3b2的值．【正确答案】：【解析】：（1）运用二项式定理.分别求得a2.a3.a4.结合组合数公式.解方程可得n的值；（2）方法一、运用二项式定理.结合组合数公式求得a.b.计算可得所求值；方法二、由于a.b∈N*.求得（1- $\sqrt{3}$ ）5=a-b $\sqrt{3}$ .再由平方差公式.计算可得所求值．【解答】：解：（1）由（1+x）n=C ${}_{n}^{0}$ +C ${}_{n}^{1}$ x+C ${}_{n}^{2}$ x2+…+C ${}_{n}^{n}$ x n.n≥4.可得a2=C ${}_{n}^{2}$ = $\frac{n(n-1)}{2}$ .a3=C ${}_{n}^{3}$ = $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ .a4=C ${}_{n}^{4}$ = $\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$ .a32=2a2a4.可得（ $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ ）2=2• $\frac{n(n-1)}{2}$ • $\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$ .解得n=5；（2）方法一、（1+ $\sqrt{3}$ ）5=C ${}_{5}^{0}$ +C ${}_{5}^{1}$ $\sqrt{3}$ +C${}_{5}^{2}$ （ $\sqrt{3}$ ）2+C ${}_{5}^{3}$ （ $\sqrt{3}$ ）3+C ${}_{5}^{4}$ （ $\sqrt{3}$ ）4+C ${}_{5}^{5}$ （ $\sqrt{3}$ ）5=a+b $\sqrt{3}$ .由于a.b∈N*.可得a=C ${}_{5}^{0}$ +3C ${}_{5}^{2}$ +9C ${}_{5}^{4}$ =1+30+45=76.b=C ${}_{5}^{1}$ +3C ${}_{5}^{3}$ +9C ${}_{5}^{5}$ =44.可得a2-3b2=762-3×442=-32；方法二、（1+ $\sqrt{3}$ ）5=C ${}_{5}^{0}$ +C ${}_{5}^{1}$ $\sqrt{3}$ +C${}_{5}^{2}$ （ $\sqrt{3}$ ）2+C ${}_{5}^{3}$ （ $\sqrt{3}$ ）3+C ${}_{5}^{4}$ （ $\sqrt{3}$ ）4+C ${}_{5}^{5}$ （ $\sqrt{3}$ ）5=a+b $\sqrt{3}$ .（1- $\sqrt{3}$ ）5=C ${}_{5}^{0}$ +C ${}_{5}^{1}$ （- $\sqrt{3}$ ）+C ${}_{5}^{2}$ （-$\sqrt{3}$ ）2+C ${}_{5}^{3}$ （- $\sqrt{3}$ ）3+C ${}_{5}^{4}$ （- $\sqrt{3}$ ）4+C${}_{5}^{5}$ （- $\sqrt{3}$ ）5=C ${}_{5}^{0}$ -C ${}_{5}^{1}$ $\sqrt{3}$ +C ${}_{5}^{2}$ （ $\sqrt{3}$ ）2-C${}_{5}^{3}$ （ $\sqrt{3}$ ）3+C ${}_{5}^{4}$ （ $\sqrt{3}$ ）4-C ${}_{5}^{5}$ （ $\sqrt{3}$ ）5.由于a.b∈N*.可得（1- $\sqrt{3}$ ）5=a-b $\sqrt{3}$ .可得a2-3b2=（1+ $\sqrt{3}$ ）5•（1- $\sqrt{3}$ ）5=（1-3）5=-32．【点评】：本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用.考查运算能力和分析问题能力.属于中档题．25.（问答题.10分）在平面直角坐标系xOy中.设点集A n={（0.0）.（1.0）.（2.0）.….（n.0）}.B n={（0.1）.（n.1）}.C n={（0.2）.（1.2）.（2.2）.…….（n.2）}.n∈N*．令M n=A n∪B n∪C n．从集合M n中任取两个不同的点.用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n=1时.求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3）.求概率P（X≤n）（用n表示）．【正确答案】：【解析】：（1）当n=1时.X的所有可能取值为1. $\sqrt{2}$ .2. $\sqrt{5}$ .由古典概率的公式.结合组合数可得所求值；（2）设A（a.b）和B（c.d）是从M n中取出的两个点.因为P（X≤n）=1-P（X＞n）.所以只需考虑X＞n的情况.分别讨论b.d的取值.结合古典概率的计算公式和对立事件的概率.即可得到所求值．【解答】：解：（1）当n=1时.X的所有可能取值为1. $\sqrt{2}$ .2. $\sqrt{5}$ .X的概率分布为P（X=1）= $\frac{7}{{C}_{6}^{2}}$ = $\frac{7}{15}$ ；P（X= $\sqrt{2}$ ）= $\frac{4}{{C}_{6}^{2}}$ = $\frac{4}{15}$ ；P（X=2）= $\frac{2}{{C}_{6}^{2}}$ = $\frac{2}{15}$ ；P（X= $\sqrt{5}$ ）=$\frac{2}{{C}_{6}^{2}}$ = $\frac{2}{15}$ ；（2）设A（a.b）和B（c.d）是从M n中取出的两个点.因为P（X≤n）=1-P（X＞n）.所以只需考虑X＞n的情况.① 若b=d.则AB≤n.不存在X＞n的取法；② 若b=0.d=1.则AB= $\sqrt{(a-c)^{2}+1}$ ≤ $\sqrt{{n}^{2}+1}$ .所以X＞n当且仅当AB= $\sqrt{{n}^{2}+1}$ .此时a=0．c=n或a=n.c=0.有两种情况；③ 若b=0.d=2.则AB= $\sqrt{(a-c)^{2}+4}$ ≤ $\sqrt{{n}^{2}+4}$ .所以X＞n当且仅当AB= $\sqrt{{n}^{2}+4}$ .此时a=0．c=n或a=n.c=0.有两种情况；④ 若b=1.d=2.则AB= $\sqrt{(a-c)^{2}+1}$ ≤ $\sqrt{{n}^{2}+1}$ .所以X＞n当且仅当AB= $\sqrt{{n}^{2}+1}$ .此时a=0．c=n或a=n.c=0.有两种情况；综上可得当X＞n.X的所有值是 $\sqrt{{n}^{2}+1}$ 或 $\sqrt{{n}^{2}+4}$ .且P（X= $\sqrt{{n}^{2}+1}$ ）= $\frac{4}{{C}_{2n+4}^{2}}$ .P（X= $\sqrt{{n}^{2}+4}$ ）= $\frac{2}{{C}_{2n+4}^{2}}$ .可得P（X≤n）=1-P（X= $\sqrt{{n}^{2}+1}$ ）-P（X= $\sqrt{{n}^{2}+4}$ ）=1-$\frac{6}{{C}_{2n+4}^{2}}$ ．【点评】：本题考查随机变量的概率的分布.以及古典概率公式的运用.考查分类讨论思想方法.以及化简运算能力.属于难题．。

2019年高考数学江苏卷-答案

11．【答案】 (e, 1)
【解析】设
A x0 ,ln
x0

，又
y

1 x
，则曲线
y

ln
x
在点
A
处的切线方程为
y

ln
x0

1 x0
x

x0
，将 (e, 1)
1
e
代入得， 1 ln x0 e x0 ，化简得 ln x0 ，解得 x0 e ，则点 A 的坐标是 (e,1) .
CC1 2

2
S四边形ABCD
120 12
10 .
【考点】空间几何体的体积
10．【答案】4
【解析】通解
设
P

x,
x

4 x
,
x

0
，则点
P
到直线
x

y

0
的
距离
d

4 xx
x
2
4 2x 2 x
2
4 2x
x
2
4 ，当且仅当
4 2x ，即 x 2 时取等号，故点 P 到直线 x y 0 的距离的最小值是 4.
x
优解
由 y x 4 (x 0) 得 y 1 4 ，令1 4 1，得 x 2 ，则当 P 点的坐标为 ( 2,3 2) 时，点 P 到直线
x
x2
x2
| 23 2|
x y 0 的距离最小，最小值为
4.
2
2 / 17
【考点】点到直线的距高公式、基本不等式的应用
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2019年江苏省高考数学试卷(含参考答案)

2019年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．4．（5分）函数y＝的定义域是．5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C 于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n 项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin （θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．2019年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝{1，6}．解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是2．解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是5．解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．4．（5分）函数y＝的定义域是[﹣1，7]．解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是y＝．解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是16．解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．故答案为：16．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是10．解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB×BC×DD 1＝120，∴三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1＝10．故答案为：10．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是4．解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），由，解得（x 0＞0）．∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是（e，1）．解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6•＝6×（）×（﹣+）＝（++）＝++，∵•＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．解：由＝﹣，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝；当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝．综上，sin（2α+）的值是．故答案为：．14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是[，）．解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：cos B＝＝＝，解得c＝．（2）∵＝，∴由正弦定理得：，∴2sin B＝cos B，∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝，cos B＝，∴sin（B+）＝cos B＝．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C 于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），∴＝，则BF2：y＝，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，﹣）．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x1+x2＝，x1x2＝，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2]＝＝，∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，∴M在x1∈（0，]上单调递减，∴M≤＝≤．∴M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n 项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则由a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，得∴，∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”；（2）①∵b1＝1，＝﹣，∴当n＝1时，，∴b2＝2，当n＝2时，，∴b3＝3，当n＝3时，，∴b4＝4，猜想b n＝n，下面用数学归纳法证明；（i）当n＝1时，b1＝1，满足b n＝n，（ii）假设n＝k时，结论成立，即b k＝k，则n＝k+1时，由，得＝＝k+1，故n＝k+1时结论成立，根据（i）（ii）可知，b n＝n对任意的n∈N*都成立．故数列{b n}的通项公式为b n＝n；②设{c n}的公比为q，存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立，当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，当k≥3，两边取对数可得，对k≤m有解，即，令f（x）＝，则，当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递增，∴当k≥3时，，令g（x）＝，则，令，则，当x≥3时，ϕ'（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，即k≥3时，，则，下面求解不等式，化简，得3lnm﹣（m﹣1）ln3≤0，令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81＞0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243＜0，∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，∴m的最大值为5，此时q∈，．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．解：（1）∵A＝∴A2＝＝（2）矩阵A的特征多项式为：f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，令f（λ）＝0，则由方程λ2﹣5λ+4＝0，得λ＝1或λ＝4，∴矩阵A的特征值为1或4．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin （θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得AB2＝OA2+OB2﹣2OA，∴AB＝＝；（2）由直线1的方程ρsin（θ+）＝3，知直线l过（3，），倾斜角为，又B（，），∴点B到直线l的距离为．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．解：|x|+|2x﹣1|＝，∵|x|+|2x﹣1|＞2，∴或或，∴x＞1或x∈∅或x ＜﹣，∴不等式的解集为{x|x ＜﹣或x＞1}．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．解：（1）由（1+x）n＝C+C x+C x2+…+C x n，n≥4，可得a2＝C ＝，a3＝C ＝，a4＝C ＝，a32＝2a2a4，可得（）2＝2••，解得n＝5；（2）方法一、（1+）5＝C+C+C （）2+C （）3+C （）4+C （）5＝a+b，由于a，b∈N*，可得a＝C+3C+9C＝1+30+45＝76，b＝C+3C+9C＝44，可得a2﹣3b2＝762﹣3×442＝﹣32；方法二、（1+）5＝C+C+C （）2+C （）3+C （）4+C （）5＝a+b，（1﹣）5＝C+C （﹣）+C （﹣）2+C （﹣）3+C （﹣）4+C （﹣）5＝C﹣C+C （）2﹣C （）3+C （）4﹣C （）5，由于a，b∈N*，可得（1﹣）5＝a﹣b，第21页（共22页）可得a2﹣3b2＝（1+）5•（1﹣）5＝（1﹣3）5＝﹣32．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．解：（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，X的概率分布为P（X＝1）＝＝；P（X ＝）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X ＝）＝＝；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，①若b＝d，则AB≤n，不存在X＞n的取法；②若b＝0，d＝1，则AB ＝≤，所以X＞n当且仅当AB ＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；③若b＝0，d＝2，则AB ＝≤，所以X＞n当且仅当AB ＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；④若b＝1，d＝2，则AB ＝≤，所以X＞n当且仅当AB ＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；综上可得当X＞n，X 的所有值是或，且P（X ＝）＝，P（X ＝）＝，可得P（X≤n）＝1﹣P（X ＝）﹣P（X ＝）＝1﹣．第22页（共22页）。

2019年江苏省高考数学试卷(原卷版)

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：样本数据12,,,n x x x ⋯的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1.已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =I _____.2.已知复数(2i)(1i)a ++实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____.3.下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是_____.4.函数276y x x =+-的定义域是_____.5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.7.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b -=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____. 8.已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是_____.9.如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.10.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x =+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 11.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____.12.如图，在ABC V 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则AB AC的值是_____.13.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____. 14.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b 2，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 16.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．18.如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19.设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈，()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }θ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.22.在极坐标系中，已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.23.设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N L ….已知23242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值.25.在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n N *==∈L 令n n n n M A B C =U U .从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.。

精品解析：2019年江苏省高考数学试卷(原卷版).pdf

y2 b2
1(b
0) 经过点（ 3，4)，则该双曲线的渐近线方程是
_____.
8.已知数列 { an}( n N * ) 是等差数列， Sn 是其前 n 项和 .若 a2a5 a8 0, S9 27 ，则 S8 的值是 _____.
9.如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 的体积是 120， E 为 CC1 的中点，则三棱锥 E-BCD 的体积是 _____.
x2 xOy 中，椭圆 C: a 2
y2 b2 1(a b 0) 的焦点为 F 1（– 1、0），F2（ 1，0）．过
F 2 作 x 轴的垂线 l ，在 x 轴的上方， l 与圆 F 2: (x 1)2 y2 4 a 2 交于点 A，与椭圆 C 交于点 D.连结 AF 1 并 5
延长交圆 F 2于点 B，连结 BF2交椭圆 C 于点 E，连结 DF 1．已知 DF 1= ．
（ 1）若 a=b=c， f（ 4）=8，求 a 的值；
4
14.设 f ( x), g( x) 是定义在 R 上的两个周期函数， f ( x) 的周期为 4， g( x) 的周期为 2，且 f (x) 是奇函数 .当
x ( 0, 2] 时， f (x)
1 (x 1)2 ， g( x)
k( x 2),0 x 1 ,1 x 2 2
1 ，其中 k
0 .若在区间 (0，9] 上，关于 x 的
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5.已知一组数据 6， 7， 8， 8， 9，10，则该组数据的方差是 ____. 6.从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是 _____.
7.在平面直角坐标系

2019年高考数学真题试卷(江苏卷)

，则答案第2页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………4.（2019•江苏）函数的定义域是.5.（2019•江苏）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是.6.（2019•江苏）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.7.（2019•江苏）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是.8.（2019•江苏）已知数列是等差数列，是其前n 项和.若，则的值是.9.（2019•江苏）如图，长方体的体积是120，E 为的中点，则三棱锥E -BCD的体积是.上的一个动点，则点中，.的值是上的两个周期函数，的周期为，时，、为的零点均在集合中，求．满足：，求证答案第4页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（2）已知数列{b n }满足:，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有成立，求m 的最大值．17.（2019•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．18.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．第5页，总26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．19.（2019•江苏）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b =，cos B =，求c 的值；（2）若，求的值．20.（2019•江苏）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．答案第6页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………参数答案【答案】：【解释】：【答案】：【解释】：【答案】：【解释】：第7页，总26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】：【答案】：【解释】：【答案】：答案第8页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：【答案】：【解释】：第9页，总26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】：【答案】：【解释】：答案第10页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】：第11页，总26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】：【答案】：答案第12页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：【答案】：【解释】：第13页，总26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】：答案第14页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第15页，总26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）【答案】：（2）【答案】：（3）【答案】：答案第16页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第17页，总26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：（1）【答案】：（2）【答案】：答案第18页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第19页，总26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：（1）【答案】：（2）【答案】：答案第20页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第21页，总26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：（1）【答案】：（2）【答案】：【解释】：（1）【答案】：答案第22页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（2）【答案】：【解释】：（1）【答案】：第23页，总26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………答案第24页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（2）【答案】：（3）【答案】：第25页，总26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………答案第26页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：。

2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．4．（5分）函数y＝的定义域是．5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD 的体积是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M ﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n 项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin （θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n ∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．2019年江苏省高考数学答案解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a值．【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．5．【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．【分析】基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m＝+＝7，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7．【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．8．【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8的值．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．故答案为：16．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．9．【分析】推导出＝AB×BC×DD1＝120，三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1，由此能求出结果．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB×BC×DD1＝120，∴三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1＝10．故答案为：10．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10．【分析】利用导数求平行于x+y＝0的直线与曲线y＝x+（x＞0）的切点，再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y＝0的距离的最小值．【解答】解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），由，解得（x0＞0）．∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．11．【分析】设A（x0，lnx0），利用导数求得曲线在A处的切线方程，代入已知点的坐标求解x0即可．【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．12．【分析】首先算出＝，然后用、表示出、，结合•＝6•得＝，进一步可得结果．【解答】解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6•＝6×（）×（﹣+）＝（++）＝++，∵•＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．13．【分析】由已知求得tanα，分类利用万能公式求得sin2α，cos2α的值，展开两角和的正弦求sin（2α+）的值．【解答】解：由＝﹣，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝；当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝．综上，sin（2α+）的值是．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．14．【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．【点评】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【分析】（1）由余弦定理得：cos B＝＝＝，由此能求出c的值．（2）由＝，利用正弦定理得2sin B＝cos B，再由sin2B+cos2B＝1，能求出sin B ＝，cos B＝，由此利用诱导公式能求出sin（B+）的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：cos B＝＝＝，解得c＝．（2）∵＝，∴由正弦定理得：，∴2sin B＝cos B，∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝，cos B＝，∴sin（B+）＝cos B＝．【点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．16．【分析】（1）推导出DE∥AB，AB∥A1B1，从而DE∥A1B1，由此能证明A1B1∥平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17．【分析】（1）由题意得到F1D∥BF2，然后求AD，再由AD＝DF1＝求得a，则椭圆方程可求；（2）求出D的坐标，得到＝，写出BF2的方程，与椭圆方程联立即可求得点E的坐标．【解答】解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），∴＝，则BF2：y＝，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，﹣）．【点评】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明DF1∥BF2是解答该题的关键，是中档题．18．【分析】（1）设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）设点P（x1，0），PB⊥AB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得P的坐标，可得所求值；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得Q的坐标，即可得到结论；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，结合条件，可得b的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．19．【分析】（1）由a＝b＝c，可得f（x）＝（x﹣a）3，根据f（4）＝8，可得（4﹣a）3＝8，解得a．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．根据f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，通过分类讨论可得：只有a＝3，b＝﹣3，可得＝＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．利用导数研究其单调性可得x＝1时，函数f（x）取得极小值．（3）a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＞0．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，通过计算化简即可证明结论．【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x1+x2＝，x1x2＝，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2] ＝＝，∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，∴M在x1∈（0，]上单调递减，∴M≤＝≤．∴M≤．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，然后根据a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0列方程求解，在根据新定义判断即可；（2）求出b2，b3，b4猜想b n，然后用数学归纳法证明；（3）设{c n}的公比为q，将问题转化为，然后构造函数f（x）＝，g（x）＝，分别求解其最大值和最小值，最后解不等式，即可．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则由a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，得∴，∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”；（2）①∵b1＝1，＝﹣，∴当n＝1时，，∴b2＝2，当n＝2时，，∴b3＝3，当n＝3时，，∴b4＝4，猜想b n＝n，下面用数学归纳法证明；（i）当n＝1时，b1＝1，满足b n＝n，（ii）假设n＝k时，结论成立，即b k＝k，则n＝k+1时，由，得＝＝k+1，故n＝k+1时结论成立，根据（i）（ii）可知，b n＝n对任意的n∈N*都成立．故数列{b n}的通项公式为b n＝n；②设{c n}的公比为q，存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立，当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，当k≥3，两边取对数可得，对k≤m有解，即，令f（x）＝，则，当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递增，∴当k≥3时，，令g（x）＝，则，令，则，当x≥3时，ϕ'（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，即k≥3时，，则，下面求解不等式，化简，得3lnm﹣（m﹣1）ln3≤0，令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81＞0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243＜0，∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，∴m的最大值为5，此时q∈，．【点评】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立，考查了数学归纳法和构造法，是数列、函数和不等式的综合性问题，属难题．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．【分析】（1）根据矩阵A直接求解A2即可；（2）矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，解方程f（λ）＝0即可．【解答】解：（1）∵A＝∴A2＝＝（2）矩阵A的特征多项式为：f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，令f（λ）＝0，则由方程λ2﹣5λ+4＝0，得λ＝1或λ＝4，∴矩阵A的特征值为1或4．【点评】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识，考查运算与求解能力，属基础题．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．【分析】（1）设极点为O，则由余弦定理可得，解出AB；（2）根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离．【解答】解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得AB2＝OA2+OB2﹣2OA，∴AB＝＝；（2）由直线1的方程ρsin（θ+）＝3，知直线l过（3，），倾斜角为，又B（，），∴点B到直线l的距离为．【点评】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离，属基础题．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．【分析】对|x|+|2x﹣1|去绝对值，然后分别解不等式即可．【解答】解：|x|+|2x﹣1|＝，∵|x|+|2x﹣1|＞2，∴或或，∴x＞1或x∈∅或x＜﹣，∴不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞1}．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．【分析】（1）运用二项式定理，分别求得a2，a3，a4，结合组合数公式，解方程可得n 的值；（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a，b，计算可得所求值；方法二、由于a，b∈N*，求得（1﹣）5＝a﹣b，再由平方差公式，计算可得所求值．【解答】解：（1）由（1+x）n＝C+C x+C x2+…+C x n，n≥4，可得a2＝C＝，a3＝C＝，a4＝C＝，a32＝2a2a4，可得（）2＝2••，解得n＝5；（2）方法一、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，由于a，b∈N*，可得a＝C+3C+9C＝1+30+45＝76，b＝C+3C+9C＝44，可得a2﹣3b2＝762﹣3×442＝﹣32；方法二、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，（1﹣）5＝C+C（﹣）+C（﹣）2+C（﹣）3+C（﹣）4+C（﹣）5＝C﹣C+C（）2﹣C（）3+C（）4﹣C（）5，由于a，b∈N*，可得（1﹣）5＝a﹣b，可得a2﹣3b2＝（1+）5•（1﹣）5＝（1﹣3）5＝﹣32．【点评】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．25．【分析】（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，由古典概率的公式，结合组合数可得所求值；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，分别讨论b，d的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．【解答】解：（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，X的概率分布为P（X＝1）＝＝；P（X＝）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝）＝＝；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，①若b＝d，则AB≤n，不存在X＞n的取法；②若b＝0，d＝1，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；③若b＝0，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；④若b＝1，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；综上可得当X＞n，X的所有值是或，且P（X＝）＝，P（X＝）＝，可得P（X≤n）＝1﹣P（X＝）﹣P（X＝）＝1﹣．【点评】本题考查随机变量的概率的分布，以及古典概率公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及化简运算能力，属于难题．。

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2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.
6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.
7.在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.
8.已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____.
（2）求点B到直线l的距离.
23.设，解不等式 .
【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
24.设已知 .
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值.
25.在平面直角坐标系xOy中，设点集，令 .从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.
9.如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.
10.在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
11.在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.
（1）当n=1时，求X的概率分布；
（2）对给定正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．
18.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．
19.设函数，为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；
求证：（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BE⊥C1E．
17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: 的焦点为F1（–1、0），
F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2: 交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1= ．
（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤ ．
20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足: ，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn} ，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．
12.如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点 .若，则的值是_____.
13.已知，则的值是_____.
14.设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是_____.
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：
样本数据的方差，其中．
柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高．
数学Ⅱ(附加题)
【选做题】本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21.已知矩阵
（1）求A2；
（2）求矩阵A的特征值.
22.在极坐标系中，已知两
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b= ，cosB= ，求c的值；
（2）若，求的值．
16.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．
锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1.已知集合，，则 _____.
2.已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____.
3.下图是一个算法流程图，则输出 S的值是_____.
4.函数的定义域是_____.