数列的基本运算及性质
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a与b的等比中项，记为G ab .
n 1 * 3 通项公式： a a q ( n N )． n 1
4 前n项和公式：当q 1时，Sn na1；
a1 an q a1 1 q n 当q 1时，S n 或S n (n N* )． 1 q 1 q
【思维启迪】首项a1与公差d (或公比q)是支 撑等差数列(或等比数列)的两大支柱，因此， 将所求问题转化为这两个量的方程(组)是最 基本的方法，也是常规法，须熟练掌握．
变式题：设等比数列an 的前n项和为S n，若a1 1，S6 4S3，则a4 _____ .
解析：由a1 a3 a5 105，a2 a4 a6 99， a1 (a1 2d ) (a1 4d ) 105 得 ， (a1 d ) (a1 3d ) (a1 5d ) 99 解得a1 39，d 2， 所以an a4 n 4 2 41 2n. an 41 2n 0 39 41 由 ，得 ＜n ， 2 2 an1 41 2 n 1 0 所以n 20，故选B.
4．等差数列与等比数列的性质
1 若m n p q(m，n，p，q N* )，则 ①当an 为等差数列时am an a p aq； ②当an 为等比数列时am an a p aq .此性质可称为
“下标和相等性质”．
2 若Sn为数列an 的前n项和，则①在等差数列an
备选例题：已知an 为等差数列，a1 a3 a5 105，a2 a4 a6 99，S n 表示 an 的前n项和， 则使得Sn达到最大值的n是( ) A． 21 C． 19 B． 20 D． 18
分析：首先利用等差数列的通项公式将等式转 化为关于首项a1与公差d的等式，从而可得数列 an 0 确定n的值． an 通项公式，然后利用 an 1 0
B． 7 D． 5
2
解析：根据题意：Sk 2 k 2 ，Sk k 2， 所以Sk 2 Sk 24可化为 k 2 k 2 24，
2
所以k 5.
2.(2011 全国大纲卷)设等比数列an 的前n项和为S n， 已知a2 6,6a1 a3 30，求an 和S n .
8 0，则a3 a7 ( ) A． 2 C． 1 B． 1 D． 2
2 2 分析：根据等比数列的性质知a2 a4 a3 ，a6 a8 a7 ， 2 a3 a7 a5 ，于是可对已知等式进行化简．
所以由a2 a3a4 a6 a7 a8 3a a3 a7 8 0， 得a a 3a3a7 a3 a7 8 0. 由和的立方公式，得 a3 a7 8，
2．等差数列
1 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一
项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数 列就叫等差数列，这个常数叫做这个数列的公差．
2 等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫
ab 做a与b的等差中项，记为A . 2 * 3 通项公式：an a1 n 1 d (n N )．
变式题：各项均为正数的等比数列an 的前n项和 为Sn，若Sn 2，S3n 14，则S 4n等于( ) A． 80 C． 26 B． 30 D． 16
解析：据题设条件可知S n，S 2n S n，S3n S 2n，S 4n S3n成等比数列，即2，S 2n 2,14 S 2n，S 4n 14成 等比数列， S 2 n 2 2 214 S 2 n ① 则 ， 2 14 S 2 n S 2 n 2 S 4 n 14 ② 由条件知S n＞0，所以由①解得S 2n 6，代入②可解 得S 4n 30，故选B.
分析：将已知的两个等式转化为关于首项a1与公差 d的方程组来解．
解析：设 an 的公差为d， a1 2d a1 6d 16 则 ， a1 3d a1 5d 0 a1 8 a1 8 解得 或 ， d 2 d 2 因此Sn 8n n n 1 n n 9 或S n 8n n n 1 n n 9 ．
专题七
数 列 与 不 等 式
1．数列概念
1 定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．
n 1 Sn . 2 Sn与an的关系是：an S n S n1 n 2 3 递推公式：如果已知数列an 的首项(或前几 项)，且任一项an与它的前一项an 1 (或前几项)间 的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 叫做这个数列的递推公式．
【思维启迪】求数列的前n项和的最值是等差 数列固有的一种独特题型，其解答时注意利 用a1与d 确定所求是最大值还是最小值，然后 再求最值及相应的n值．
1．重视基本概念及公式应用：主要涉及数列、 等差和等比数列的概念、通项公式、前n项和 公式，在这些公式中有a1，an，d q ，n，S n， “知三求二”成为等差(比)数列中的基本问题． 另外，注意利用“设而不求，整体代入”来 简化运算． 2．重视利用等差、等比数列的常用性质解题： 要善于抓住等差与等比数列的下标变化，巧妙 运用相关的性质(如下标和的性质)，往往可使 问题快速求解，达到化繁为简的目的．
3．熟练掌握求数列通项的常用方法：观察 猜想法、公式法、转化法等． 4．熟练掌握数列求和的常用方法：公式法、 分组求和法、并项法、错位相减法、裂项 相消法、倒序相加法等．
1.(2 011 全国大纲卷)设S n为等差数列an 的 前n项和，若a1 1，公差d 2，S k 2 S k 24，则k A． 8 C． 6
中，S n，S 2n S n，S3n S 2n 成等差数列； ②在等比数列an 中，S n，S 2n S n，S3n S 2n 成等比
数列．此性质可称为“项的片断和性质”．
考点1 等差数列与等比数列的基本运算
例1.已知等差数列an 中，a3a7 16，a4 a6 0，则an 的前n项和S n ___________ .
解析：设等比数列an 的公比为q，q 1. 1 q 1 q 由a1 1，S6 4S3，得 4 ， 1 q 1 q
6 3
整理得q 3 3，故a4 a1q 3 3.
考点2
等差数列与等比数列的性质应用
2 例2.等比数列an 中，若a2 a3a4 a6 a7 a8 3a5 a3 a7
4 前n项和公式：
n a1 an n n 1 * S n na1 d 或S n (n N )． 2 2
3．等比数列
1 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一
项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列 就叫等比数列，这个常数叫做这个数列的公比．
2 等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做
3
解析：因为a2 a4 a ，a6 a8 a ，a3a7 a ，
2 3 2 7 2 5来自所以a3 a7 2，故选A.
【思维启迪】本题要利用等比数列下标和的性质
2 2 2 须观察分析得到a2 a4 a3 ，a6 a8 a7 ，a3 a7 a5 ，
变形后还须注意类比和的立方公式，抓住了这 两点，本题就易解了．
解析：设an 的公比为q. a1q 6 a1 3 a1 2 由题设得 ，解得 或 . 2 q 2 q 3 6a1 a1q 30 当a1 2，q 3时，an 2 3n 1，S n 3n 1.
当a1 3，q 2时，an 3 2n 1，S n 3 2n 1；
n 1 * 3 通项公式： a a q ( n N )． n 1
4 前n项和公式：当q 1时，Sn na1；
a1 an q a1 1 q n 当q 1时，S n 或S n (n N* )． 1 q 1 q
【思维启迪】首项a1与公差d (或公比q)是支 撑等差数列(或等比数列)的两大支柱，因此， 将所求问题转化为这两个量的方程(组)是最 基本的方法，也是常规法，须熟练掌握．
变式题：设等比数列an 的前n项和为S n，若a1 1，S6 4S3，则a4 _____ .
解析：由a1 a3 a5 105，a2 a4 a6 99， a1 (a1 2d ) (a1 4d ) 105 得 ， (a1 d ) (a1 3d ) (a1 5d ) 99 解得a1 39，d 2， 所以an a4 n 4 2 41 2n. an 41 2n 0 39 41 由 ，得 ＜n ， 2 2 an1 41 2 n 1 0 所以n 20，故选B.
4．等差数列与等比数列的性质
1 若m n p q(m，n，p，q N* )，则 ①当an 为等差数列时am an a p aq； ②当an 为等比数列时am an a p aq .此性质可称为
“下标和相等性质”．
2 若Sn为数列an 的前n项和，则①在等差数列an
备选例题：已知an 为等差数列，a1 a3 a5 105，a2 a4 a6 99，S n 表示 an 的前n项和， 则使得Sn达到最大值的n是( ) A． 21 C． 19 B． 20 D． 18
分析：首先利用等差数列的通项公式将等式转 化为关于首项a1与公差d的等式，从而可得数列 an 0 确定n的值． an 通项公式，然后利用 an 1 0
B． 7 D． 5
2
解析：根据题意：Sk 2 k 2 ，Sk k 2， 所以Sk 2 Sk 24可化为 k 2 k 2 24，
2
所以k 5.
2.(2011 全国大纲卷)设等比数列an 的前n项和为S n， 已知a2 6,6a1 a3 30，求an 和S n .
8 0，则a3 a7 ( ) A． 2 C． 1 B． 1 D． 2
2 2 分析：根据等比数列的性质知a2 a4 a3 ，a6 a8 a7 ， 2 a3 a7 a5 ，于是可对已知等式进行化简．
所以由a2 a3a4 a6 a7 a8 3a a3 a7 8 0， 得a a 3a3a7 a3 a7 8 0. 由和的立方公式，得 a3 a7 8，
2．等差数列
1 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一
项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数 列就叫等差数列，这个常数叫做这个数列的公差．
2 等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫
ab 做a与b的等差中项，记为A . 2 * 3 通项公式：an a1 n 1 d (n N )．
变式题：各项均为正数的等比数列an 的前n项和 为Sn，若Sn 2，S3n 14，则S 4n等于( ) A． 80 C． 26 B． 30 D． 16
解析：据题设条件可知S n，S 2n S n，S3n S 2n，S 4n S3n成等比数列，即2，S 2n 2,14 S 2n，S 4n 14成 等比数列， S 2 n 2 2 214 S 2 n ① 则 ， 2 14 S 2 n S 2 n 2 S 4 n 14 ② 由条件知S n＞0，所以由①解得S 2n 6，代入②可解 得S 4n 30，故选B.
分析：将已知的两个等式转化为关于首项a1与公差 d的方程组来解．
解析：设 an 的公差为d， a1 2d a1 6d 16 则 ， a1 3d a1 5d 0 a1 8 a1 8 解得 或 ， d 2 d 2 因此Sn 8n n n 1 n n 9 或S n 8n n n 1 n n 9 ．
专题七
数 列 与 不 等 式
1．数列概念
1 定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．
n 1 Sn . 2 Sn与an的关系是：an S n S n1 n 2 3 递推公式：如果已知数列an 的首项(或前几 项)，且任一项an与它的前一项an 1 (或前几项)间 的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 叫做这个数列的递推公式．
【思维启迪】求数列的前n项和的最值是等差 数列固有的一种独特题型，其解答时注意利 用a1与d 确定所求是最大值还是最小值，然后 再求最值及相应的n值．
1．重视基本概念及公式应用：主要涉及数列、 等差和等比数列的概念、通项公式、前n项和 公式，在这些公式中有a1，an，d q ，n，S n， “知三求二”成为等差(比)数列中的基本问题． 另外，注意利用“设而不求，整体代入”来 简化运算． 2．重视利用等差、等比数列的常用性质解题： 要善于抓住等差与等比数列的下标变化，巧妙 运用相关的性质(如下标和的性质)，往往可使 问题快速求解，达到化繁为简的目的．
3．熟练掌握求数列通项的常用方法：观察 猜想法、公式法、转化法等． 4．熟练掌握数列求和的常用方法：公式法、 分组求和法、并项法、错位相减法、裂项 相消法、倒序相加法等．
1.(2 011 全国大纲卷)设S n为等差数列an 的 前n项和，若a1 1，公差d 2，S k 2 S k 24，则k A． 8 C． 6
中，S n，S 2n S n，S3n S 2n 成等差数列； ②在等比数列an 中，S n，S 2n S n，S3n S 2n 成等比
数列．此性质可称为“项的片断和性质”．
考点1 等差数列与等比数列的基本运算
例1.已知等差数列an 中，a3a7 16，a4 a6 0，则an 的前n项和S n ___________ .
解析：设等比数列an 的公比为q，q 1. 1 q 1 q 由a1 1，S6 4S3，得 4 ， 1 q 1 q
6 3
整理得q 3 3，故a4 a1q 3 3.
考点2
等差数列与等比数列的性质应用
2 例2.等比数列an 中，若a2 a3a4 a6 a7 a8 3a5 a3 a7
4 前n项和公式：
n a1 an n n 1 * S n na1 d 或S n (n N )． 2 2
3．等比数列
1 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一
项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列 就叫等比数列，这个常数叫做这个数列的公比．
2 等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做
3
解析：因为a2 a4 a ，a6 a8 a ，a3a7 a ，
2 3 2 7 2 5来自所以a3 a7 2，故选A.
【思维启迪】本题要利用等比数列下标和的性质
2 2 2 须观察分析得到a2 a4 a3 ，a6 a8 a7 ，a3 a7 a5 ，
变形后还须注意类比和的立方公式，抓住了这 两点，本题就易解了．
解析：设an 的公比为q. a1q 6 a1 3 a1 2 由题设得 ，解得 或 . 2 q 2 q 3 6a1 a1q 30 当a1 2，q 3时，an 2 3n 1，S n 3n 1.
当a1 3，q 2时，an 3 2n 1，S n 3 2n 1；