初二数学提高题[附]

33

33l

O

H

x

y

B

A

3

333综合题

1．如图（1），直角梯形OABC 中，∠A= 90°，AB ∥CO, 且AB=2，OA=23，∠BCO= 60°。 （1）求证：∆OBC 为等边三角形；

（2）如图（2），OH ⊥BC 于点H ，动点P 从点H 出发，沿线段HO 向点O 运动，动点Q 从点O 出发，沿线段OA

向点A 运动，两点同时出发，速度都为1/秒。设点P 运动的时间为t 秒，ΔOPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出t 的取值范围； （3）设PQ 与OB 交于点M ，当OM=PM 时，求t 的值。

解：1)根据勾股定理，AB=2，OA=23，则BO=4=2AB ，所以△ABO 是一个30°60°90°的三角形。 ∵AB//CO ，∠A=90°∴∠AOC=180°-90°=90° ∵∠AOB=30°，∴∠BOC=90°-30°=60°=∠C ∴△OBC 为等边三角形

2)∵点P 运动的时间为t 秒，∴OQ=PH=t ∵OH ⊥BC ，∴∠CHO=90°， ∴∠COH=30°，OH=( /2)BC=2 ∴∠QOP=60°，OP=2 -t ∴S=1/2t(2 -t)× /2=3/2t- /4t ²，且(0

得到方程：2 -t=2t ，解得t=(2/3)3

2. 如图，正比例函数图像直线l 经过点A （3，5），点B 在x 轴的正半轴上，且∠ABO ＝45°。AH ⊥OB ，垂足为点H 。

（1）求直线l 所对应的正比例函数解析式；

图(1)

60︒

B C A o

图(2)

60︒

M P

Q

H

B

A o

（备用图）

H

60︒

B

C

A

图2

图1

A

B

C

D

E

F

F E

D

C

B

A

（2）求线段AH 和OB 的长度；

（3）如果点P 是线段OB 上一点，设OP ＝x ，△APB 的面积为S ，写出S 与x 的函数关系式，并指出自变量x

的取值范围。

解：1)设y=kx 为正比例解析式，当x=3,y=5时，3k=5,k=5/3 2)AH 即A 的纵坐标，∴AH=5

∵AH ⊥BH ，∠ABH=45°，∴∠HAB=∠ABH=45°，∴AH=BH=5 OH 即A 的横坐标，∴OH=3 ∵OB=OH+BH ，∴OB=5+3=8 3)∵OB=8，OP=x ，∴BP=8-x

∴S △ABP=1/2BP ×AH=1/2(8-x)×5=20-(5/2)x x 的取值范围是0≤x ＜8

3．（本题满分12分，第1题4分，第2题6分，第3题2分）

已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 是AB 上一点，AE ⊥AB ，且AE ＝BD ，DE 与AC 相交于点F 。 （1）若点D 是AB 的中点（如图1），那么△CDE 是 等腰直角三角形 三角形，并证明你的结论；

（2）若点D 不是AB 的中点（如图2），那么（1）中的结论是否仍然成立，如果一定成立，请加以说明，如

果不一定成立，请说明理由；

（3）若AD ＝AC ，那么△AEF 是 等腰 三角形。（不需证明）

解：1)△CDE 是等腰直角三角形

2）成立，在△ABC 中，∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠CAB=∠B=45° ∵AE ⊥AB ，∴∠EAB=90°，∴∠EAC=90°-45°=45°=∠B 在△ACE 与△BCD 中，

∵AE=BD ，∠EAC=∠B ，AC=BC ，∴△ACE ≌△BCD ∴CE=CD ，∠ACE=∠BCD

Q R

P

C

B A

∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD+∠ACE=90°，即∠DCE=90° ∴△CDE 是等腰直角三角形

4．如图，直线l 经过原点和点(3,6)A ，点B 坐标为(4,0) （1）求直线l 所对应的函数解析式； （2）若P 为射线OA 上的一点，

①设P 点横坐标为x ，△OPB 的面积为S ，写出S 关于 x 的函数解析式，指出自变量x 的取值范围． ②当△POB 是直角三角形时，求P 点坐标． 解：1)设y=kx 为直线l 的解析式

当x=3,y=6时，6=3k ，k=2，∴y=2x 是直线l 的解析式 2)①P 在射线OA 上，设P 横坐标为x ，纵坐标为2x S=1/2×OB ×2x=4x ，∴S=4x 是解析式，x 的取值范围x ＞0 ②在Rt △P ₁OB 中，P 的坐标(4，8) 在Rt △P ₂OB 中，P 的坐标(4/5，8/5)

5、如图，在等腰Rt △ABC 的斜边AB 上取两点M 、N ，使∠MCN=45°，设AM=m ，MN=x ，BN=n 那么： （1）以x 、m 、n 为边长的三角形是什么三角形？（请证明） （2）如果该三角形中有一个内角为60°，求AM:AB 。 解：1)以x 、m 、n 为边长的三角形是直角三角形

作△ACM ≌△BCD ，∴∠ACM=∠BCD ，CM=CD ，∠MCN=∠NCD=45° 在△MNC 与△DNC 中

∵CM=CD ，∠MCN=∠DCN ，CN=CN ，∴△MNC ≌△DNC ∴MN=DN=n ，AM=BD=m

∵∠A=∠CBA=∠CBD=45°，∴∠DBN=45°+45°=90° ∴△DBN(以x 、m 、n 为边长的三角形)是个直角三角形

6．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝1，P 是AB 边上