变量间的相关关系与统计案例W
高考数学(理)一轮复习课件：统计与概率-3变量间的相关关系与统计案例(人教A版)
第3课时 变量间的相关关系与统计案例
考纲下载 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点 图认识变量间的相关关系． 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方 程系数公式建立线性回归方程．
3.了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、 方法及其简单应用．
4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．
y2 总计
x1
a
x2
2
总计 b
21 73 25 27 46
则表中a、b处的值分别为( )
A．94、96
B．52、50
C．52、54
D．54、52
答案：C 解析：a＝73－21＝52，b＝a＋2＝54，故选C.
5. [原创]某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的 作用，把 500 名使用过血清的人与另外 500 名未使用血清 的人一年中的感冒记录作比较，提出假设 H0：“这种血清 不能起到预防感冒的作用”，利用 2×2 列联表计算得 K2 ≈3.918，经查临界值表知 P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论 中，正确结论的序号是________．
x1 x2 总计
y1 a c a＋c
y2 b d b＋d
总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
随机变量 K2＝（a＋b）（cn＋（da）d－（bac＋）c2）（b＋d）， 其中 n＝a＋b＋c＋d 为样本容量．
(3)独立性检验 利用随机变量 K2 来确定在多大程度上可以认为“两
个分分类类变变量量有有关关系系”的方法称为两个分类变量的独立性
nn
（xi － x ）（y i－ y ）
ii＝＝11
为：^b=
, ^a=y-y-－－^b^bx-x- .
第十章第二节变量的相关性与统计案例
第二节变量的相关性与统计案例［考纲要求］1会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系.2. 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆).3•了解回归分析的思想、方法及其简单应用.4•了解独立性检验的思想、方法及其初步应用.突破点一回归分析抓牢双基•自学回扣［基本知识］1. 变量间的相关关系(1) 常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.(2) 从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相垒点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关. __________［基本能力］、判断题(对的打，错的打“X” )(1) 相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系. ()(2) “名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系. ()(3) 只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值. ()答案：⑴X (2)V (3) V二、填空题1•已知x, y的取值如下表，从散点图可以看出y与x具有线性相关关系，且回归方程为y = 0.95x + a，则 a = _______ .答案：2.62•两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，经计算得到它们的相关系数r的值如下表，其中拟合效果最好的模型是 ____________ .答案：模型1A A 103•已知变量x, y之间具有线性相关关系，其回归方程为y =- 3 + bx，若无X i= 17 ,i = 110 AZ yi= 4，则b的值为_________ .i= 1答案：2研透高考廉化提能［全析考法］考法一相关关系的判断•［例1］(1)(20佃福建泉州月考)在下列各图中，两个变量具有相关关系的图是()°* * • » »\ I**:心* X②③A .①②B .①③C .②③D .②④(2)(2019昆明一中一模)若对于变量x的取值为3,4,5,6,7 时，变量y对应的值依次分别为4.0,2.5,—0.5,- 1,- 2;若对于变量u的取值为1,2,3,4时，变量v对应的值依次分别为2,3,4,6，则变量x和y,变量u和v的相关关系是()x 和y 是负相关，变量［解析］⑴①为函数关系；②为正相关关系；③为负相关关系；④没有明显相关性.(2)变量x 增加，变量y 减少，所以变量 x 和y 是负相关；变量 u 增加，变量v 增加, 所以变量u 和v 是正相关，故选 D.［答案］⑴C (2)D ［方法技巧］判断相关关系的2种方法(1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关 系.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.⑵相关系数法：利用相关系数判定，|r|越趋近于1相关性越强.考法二 线性回归分析 •［例2］ (2018全国卷n )下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 y(单位: 亿元)的折线图.为了预测该地区 2018年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…，17)建立模型①：y=-30.4 + 13.5t ;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，7)建立模 型②：y = 99+ 17.5t.(1) 分别利用这两个模型，求该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2) 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.［解］(1)利用模型①，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y =- 30.4A.变量 B .变量 x 和y 是正相关，变量 x 和y 是正相关，变量 u 和v 是正相关 u 和v 是负相关 C .变量 x 和y 是负相关，变量 u 和v 是负相关u 和v 是正相关 D .变量+ 13.5X 19= 226.1（亿元）.利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y= 99 + 17.5X 9 = 256.5(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下：(i )从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+ 13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y y= 99+ 17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠.(ii )从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.(以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)［方法技巧］1. 回归直线方程中系数的2种求法(1) 公式法：利用公式，求出回归系数y b，a y.(2) 待定系数法：利用回归直线过样本点中心(-x，-y )求系数.2. 回归分析的2 种策略(1) 利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值.(2) 利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数y b.［集训冲关］1. ［考法一］四名同学根据各自的样本数据研究变量x, y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且?= 2.347x- 6.423;②y与x负相关且?=— 3.476x + 5.648;③y与x正相关且?= 5.437X+ 8.493;④y 与x 正相关且y y=- 4.326x- 4.578.其中一定不正确的结论的序号是( )A. ①②B. ②③C .③④D .①④解析：选D 正相关指的是y 随x 的增大而增大，负相关指的是 y 随x 的增大而减小, 故不正确的为①④. 2.［考法二］二手车经销商小王对其所经营的 A 型号二手汽车的使用年数x 与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据使用年数x 2 3 4 5 6 7 售价y 20 12 8 6.4 4.4 3 z = In y3.002.482.081.861.481.10z 关于x 的折线图，如图所示:(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合 与x 的关系，请用相关系数加以说明；(2)求y 关于x 的回归方程，并预测某辆 A 型号二手车当使用年数为 9年时售价约为多少.(b ，a 小数点后保留两位有效数字)参考公式：n _ iXi — x 如一y ' xy j — nx yi = 1“- i = 1A —— A ——------------ ,a = y — bx , n -2 — 2 xx i — nxi =1n— 1解：(1)由题意，知 x =-X (2 + 3 + 4+ 5+ 6 + 7) = 4.5,6z = * (3 + 2.48 + 2.08 + 1.86 + 1.48 + 1.10) = 2, 647.64 — 6 X 4.5 X 2…r =4.18X 1.53••• z 与x 的相关系数大约为—0.99，说明z 与x 的线性相关程度很高. A 47.64 — 6X 4.5 X 2 (2)b= 139— 6X 4.52•- a = z — b x = 2+ 0.36 X 4.5= 3.62, • z 与x 的线性回归方程是 z=— 0.36x + 3.62, 又z = lny ,「. y 关于x 的回归方程是,=e— 0.36x +3.620.36X 9+ 3.620.38令 x = 9,得 y = e = e ,•/ In 1.46〜0.38,「. y = 1.46, 即预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价约为1.46万元.突破点二 独立性检验抓牢双基•自学回扣［基本知识］1. 分类变量变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量. 2. 列联表列出两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为｛X 1, X 2｝和｛y 1, y 2｝，其样本频数列联表（称为2X 2列联表）为y 1y 2 总计 X 1 a b a + b X 2 c d c + d 总计a + cb + da +b +c + dK 2=恒+—a +Cj ［b + d （其中n = a + b +c +d 为样本容量），可利用独立性检验判6.366337 一0.99，型一 0.36,17.54.18,断表来判断“ X与Y的关系”.［基本能力］一、判断题(对的打“/ ，错的打“X” )(1) 事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的值越大.()(2) 由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀.()答案：⑴“(2)X二、填空题1.下面是2 X 2列联表：则表中a, b的值分别为解析：•/ a+ 21 = 73,「.a= 52,又a + 22= b,「. b= 74.答案：52,742. 为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2 X 2列联表：已知P(K2> 3.841)宀 0.05,2根据表中数据，得到K2的观测值k= 13X 20一10X 7〜4.844.则认为选修文科与23 X 27 X 20 X 30性别有关系出错的可能性为__________ .答案：5%3. (2019阜阳质检)某班主任对全班30名男生进行了作业量多少的调查，数据如下表:该班主任据此推断男生认为作业多与喜欢玩电脑游戏有关系，则这种推断犯错误的概率不超过 .答案：0.05研透高考廉化提能［典例］(2018全国卷川)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式•为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人•第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式•根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：第一种生产方式第—种生产方式865 5 6 8 99 7 6 2701223456689877654332814 4 52 110 090(1) 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由.(2) 求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：?2附: K2=nad二坐-(a+ b ］c+ d ］a+ c ］b+ d )P( K3^^)0. 0500, 0100. 001k3,8416,63516 828［解］(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下：(i )由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80 min ,用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79 min.因此第二种生产方式的效率更高.(ii )由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5 min ,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5 min.因此第二种生产方式的效率更高.(iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间高于80 min；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间低于80 min.因此第二种生产方式的效率更高.(iv )由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最7多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 上的最多，关于茎 7大致呈对称分布•又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分 布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方 式完成生产任务所需的时间更少•因此第二种生产方式的效率更高.（以上给出了 4种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 ）列联表如下:⑶因为宀 節薦。
【精品课件】新教材一轮复习北师大版第10章第3讲变量间的相关关系、统计案例课件
求得回归方程^y＝0.67x＋54.9.
零件数 x(个) 10 20 30 40 50
加工时间 y(min) 62
75 81 89
现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为__6_8__.
第十章 统计、统计案例
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
[解析] 由－x ＝30，得－y ＝0.67×30＋54.9＝75. 设表中的“模糊数字”为 a， 则 62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.
第十章 统计、统计案例
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
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5．(2019·高考全国Ⅰ卷)某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名 男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评 价，得到下面列联表：
满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20
第十章 统计、统计案例
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
考点一
相关关系的判断——自主练透
(1)(2021·四 川 资 阳 模
拟)在一次对人体脂肪含量和年龄关
系的研究中，研究人员获得了一组样
本数据，并制作成如图所示的人体脂
肪含量与年龄关系的散点图．根据该
图，下列结论中正确的是 ( )
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第十章 统计、统计案例
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作
为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，其中 xi 和 yi 分别表 示第 i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计
20
20
20
算得xi＝60，yi＝1 200，
变量间的相关关系与统计案例
第3课时 变量间的相关关系与统计案例一、基础知识总结复习1．相关关系与回归方程(1)相关关系的分类①正相关：从散点图上看，点散分布在从左下角到右上角的区域内． ②负相关：从散点图上看，点散分布在从左上角到右下角的区域内． (2)线性相关关系从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线． (3)回归方程①最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法． ②回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ，其回归方程为y bx a =+，其中，112222211()()()nniii ii i nniii i x x y y x y nx yxy x y b x xx x xnx====----===---∑∑∑∑，a y bx =-b 是斜率，a 是y 轴上的截距．0b 正相关，0b 负相关．③样本中心：(,)x y 叫做具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的样本点的中心． (4)样本相关系数：()()niix x y y xy x y r --==∑，用它来衡量两个变量间的线性相关关系的强弱． ①当r ＞0时，表明两个变量正相关； ②当r ＜0时，表明两个变量负相关；③r 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近0， 表明两个变量的线性相关性越弱．通常当|r |＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．（5）相关指数2R ：① 22121()1()niii niii y y R y y ==-=--∑∑（线性回归模型中21R 0≤≤，且2R 越大拟合效果越好）.②在含一个解释变量的线性相关关系中，22R r =，残差平方和越小，2R 越大.（6）总偏差平方和、残差平方和、回归平方和总偏差平方和：21()ni i y y =-∑；残差平方和21()ni i i y y =-∑；回归平方和21()ni i y y =-∑.残差的平方和越小，观测值更接近预报值，拟合效果越好，相关性也越强，预报更准确.2．独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量． (2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{}12,x x 和{}12,y y ，则样本频数列联表(称为2×2列联表)为：随机变量22()()()()()n ad bc K a b a c b d c d -=++++ (其中n a b c d =+++为样本容量)，则利用独立性检验判断表来判断“X 与Y 的关系”． 2K 越大，X 与Y 的无关性越小，相关性越强.二、基础知识过关判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．(×)(2)利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系去表示．(√) (3)通过回归方程y bx a =+可以估计和观测变量的取值和变化趋势．(√) (4)任何一组数据都对应着一个回归直线方程．(×)有线性和非线性拟合 (5)事件X ，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的2K 的观测值越大．(√) (6)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．(√) (7)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．(√) (8)某同学研究卖出的热饮杯数y 与气温x (C )之间的关系，得回归方程 2.352147.767y x =-+，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮．(×)，只能预报不能确定(9)由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．(×)只能说相关的可能性大，但不能预报优秀程度 (10)若事件X ，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的K 2的观测值越小(×)．应越大 三、典型例题与练习20()P K k ≥ 0k 0.001 10.828 0.50 0.455 0.010 6.635 0.005 7.879 0.025 5.024 0.05 3.841 0.10 2.706 0.15 2.072 0.25 1.323 0.40 0.708[例1](1)对变量x ，y 有观测数据()i i x y ，(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据()i i u v ， (i ＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( ) A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 解：由图1可知，各点整体呈递减趋势，x 与y 负相关；由图2可知，各点整体呈递增趋势，u 与v 正相关．选C(2)对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( ) A ．r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1 B ．r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3 C ．r 4＜r 2＜0＜r 3＜r 1 D ．r 2＜r 4＜0＜r 1＜r 3解：因为正相关0r ，负相关0r ，132400 00r r r r ，，，∴又因为相关性越强，r 越大，从散点看（1）（2）相关性强，图象近似成直线了，24r r |24310r r r r ∴；故选A.练习1．x 和y 的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________．①x ，y 是负相关关系；②在该相关关系中，若用21c xy c e =拟合时的相关指数为21R ，用拟合时的相关指数为22R ， 则2212R R ；③x 、y 之间不能建立回归直线方程． 解：①显然正确；由散点图知，用21c xy c e =拟合的效果比用y bx a =+拟合的效果要好，2212R R ∴，故②正确；x ，y 之间能建立回归直线方程，只不过预报精度不高，故③不正确．故填：①②2．如图所示，有A ，B ，C ，D ，E 五组数据，去掉________组数据后，剩下的四组数据具有较强的线性相关关系． 解：因为散点图呈带状区域时有较强的线性相关关系，带关区域越窄，相关性越强，故去掉D 组数据．填写答案：D[例2]下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注： 参考数据：719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑,0.55= 2.646≈.参考公式：相关系数1()()niii t t y y r =--=∑回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，a y bt =-解：(1) 由折线图中数据得4t=，721()28i i t t =-=∑∴，0.55=0.55 1.1 2.646 2.9106=⨯=⨯=又7711()()7i i i i i i t t y y t y t y ==--=-∑∑∵，719.32i i y ==∑，7117i i y y ==∑∴777111()()40.1749.32 2.89i i i i i i i i t t y y t y t y ===--=-=-⨯=∑∑∑∴， 2.890.9932.9106r =≈因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2) 719.32i i y ==∑∵，7119.321.3377i i y y ===≈∑∴，又721()28i i t t =-=∑∵， 71()() 2.89i ii t t y y =--=∑∴， 2.890.1028b =≈∴，1.330.1040.93a y bt =-=-⨯=∴所以，y 关于t 的回归方程为0.930.1y t =+.根据年份代码，2016年对应t ＝9，0.930.109 1.83y =+⨯= 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨．练习．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣 传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年 销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的 影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量 y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得 到下面的散点图及一些统计量的值．表中i i x ω=8118i i ωω==∑， (1)根据散点图判断，y a bx =+与y c x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =-.根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率 和截距的最小二乘估计分别为：121()()()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，v u αβ=-解：(1)由散点图可以判断，y c x =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型． (2)先作变换，令w ＝x ，则y c d ω=+，所以先建立y 关于w 的线性回归方程． 根据题目所给出的统计量有：81821()()108.8681.6()iii ii y y d ωωωω==--===-∑∑ 6.8,563y ω==∵，56368 6.8100.6c y d ω=-=-⨯=∴，100.668y ω=+∴，因此y 关于x 的回归方程为100.668y x =+(3)①由(2)知， 100.668y x =+所以当x ＝49时，年销售量y 的预报值100.66849576.6y =+=，0.2z y x =-∵∴年利润z 的预报值0.2576.64966.32z =⨯-=.②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值：0.2(100.620.12z x x =+-=-+∵所以当13.66.82==时，即46.24x =时，z 取得最大值．[例3] 为了解某地区观众对某大型综艺节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众观看该节目的场数与所对应的人 数的表格：将收看该节目场数不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成如下2×2列联表，并判断我们能否有95%的把握认为是否为“歌迷”与性别有关？(2)将收看该节目所有场数(14场)的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率． 注：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，非歌迷有75人，哥歌迷中有10名女性，所以男歌迷有15人，又因为100名观众中有55名女性，所以非歌迷中有45名女性，所以非歌迷的男性有30名，从而完成2×2列联表如下：2100(30104515)100 3.0303.8417525554533K ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯所以我们没有95%的把握认为是否为“歌迷”与性别有关． (2)由统计表可知，“超级歌迷”有5人，其中2名女性，3名男性，记“从“超级歌迷”中任意选取2人，至少有1名女性观众”的事件为A ，因为从5名歌迷中任选2人的不同选法有2510C =种，其中有一名是女性的选法有11326C C =种，有两名女性的选法有221C =种， 16()0.710P A +==∴. [注] ：1.独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成2×2列联表． (2)根据公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )计算K 2的值．(3)查表比较K 2与临界值的大小关系，作统计判断 2．两个分类变量x 和y 是否有关系的判断方法(1)当K 2≤2.706时，没有充分的证据判定变量x ，y 有关联，可以认为变量x ，y 没有关联； (2)当K 2＞2.706时，有90%的把握判定变量x ，y 有关联； (3)当K 2＞3.841时，有95%的把握判定变量x ，y 有关联； (4)当K 2＞6.635时，有99%的把握判定变量x ，y 有关联； (5)当K 2＞10.828时，有99.9%的把握判定变量x ，y 有关联．练习．大家知道，莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家，国人欢欣鼓舞．某高校文学社从男女学生中各抽取50名同学调查他们对莫言作品的了解程度，结果如下：(1)试估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率；(2)对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”．根据题意完成下表，并判断能否有75%的把握认为对莫言作品非常了解与性别有关？附：K 2＝解：(1)由抽样调查表可知，学生阅读莫言作品在50篇以上的人有79人，所以估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率约为79100.(2)因为阅读超过75篇的男生有30人，女生有25人，阅读不超过75篇的男生有20人，女生有25人，所以列联表如下：。
第三节 变量间的相关关系、统计案例(数学建模八)
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
答案 D
^^ ^
^
^
解析 由回归直线方程 y = bx+ a,知当 b>0时,y与x正相关;当 b<0时,y与x负
相关,∴①④一定不正确.故选D.
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方法技巧 判定两个变量正、负相关性的方法 (1)画散点图:点的分布从左下角到右上角,两个变量正相关;点的分布从 左上角到右下角,两个变量负相关. (2)相关系数:r>0时,正相关:r<0时,负相关. (3)线性回归方程: b^ >0时,正相关: b^ <0时,负相关.
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(3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在⑤ 一条直线附近 ,就称这 两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线. (4)最小二乘法 求回归直线,使得样本数据的点到它的⑥ 距离的平方和最小 的方法 叫做最小二乘法.
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(5)回归方程
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(1)依据折线图计算相关系数r(精确到0.01),并据此判断是否可用线性回 归模型拟合y与x的关系.(若|r|>0.75,则线性相关程度很高,可用线性回归 模型拟合) (2)蔬菜大棚对光照要求较高,某光照控制仪商家为该基地提供了部分
第九章 第三节 变量间的相关关系、统计案例
A．变量x与y正相关，u与v正相关 ．变量 与 正相关 正相关， 与 正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 ．变量 与 正相关 正相关， 与 负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 ．变量 与 负相关 负相关， 与 正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 ．变量 与 负相关 负相关， 与 负相关
[究 疑 点] 究 1．相关关系与函数关系有何异同点？ ．相关关系与函数关系有何异同点？ 提示：相同点：两者均是指两个变量的关系． 提示：相同点：两者均是指两个变量的关系． 不同点：(1)函数关系是一种确定关系，相关关系是一 函数关系是一种确定关系， 不同点： 函数关系是一种确定关系 种非确定的关系； 种非确定的关系； (2)函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因 函数关系是一种因果关系， 函数关系是一种因果关系 果关系，也可能是伴随关系． 果关系，也可能是伴随关系．
2．根据独立性检验的基本思想，得出的两个分类变量有 ．根据独立性检验的基本思想， 关系，这样的结论一定是正确的吗？ 关系，这样的结论一定是正确的吗？ 提示：在实际问题中， 提示：在实际问题中，独立性检验的结论仅仅是一种 数学关系，得出的结论也可能犯错误，比如： 数学关系，得出的结论也可能犯错误，比如：在推测 吸烟与肺癌是否有关时，通过收集、整理、分析数据， 吸烟与肺癌是否有关时，通过收集、整理、分析数据， 我们得到“吸烟与患肺癌有关”的结论， 我们得到“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有超过 99%的把握说明吸烟与患肺癌有关系，或者这个结论 的把握说明吸烟与患肺癌有关系， 的把握说明吸烟与患肺癌有关系 出错的概率为0.01以下．但实际上一个人吸烟也不一 以下． 出错的概率为 以下 定会患肺癌， 定会患肺癌，这是数学中的统计思维与确定性思维差 异的反映． 异的反映．
变量间相关关系统计案例
1122211()()()n ni i i i i i n ni ii i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑学 校： 年 级： 教学课题：统计案例 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：王光明教学目标 变量间的相关关系与统计案例教学内容考情分析从近三年高考试题分析，高考对本部分的考察多以散点图和相关关系为主，另外对线性回归方程与独立性检验在实际应用中的考察。
基础知识1.两个变量的线性相关：(1)正相关：在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域.对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.(2)负相关：在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域,两个变量的这种相关关系称为负相关.(3)线性相关关系、回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.2.最小二乘法：求回归直线使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法.3.回归方程方程ˆybx a =+是两个具有线性相关关系的变量的一组数据1122(,),(,),(,)n n x y x y x y 的回归方程,其中 4．回归分析的基本思想及其初步应用 (1)回归分析是对具有相关关系的两个 变量进行统计分析的方法，其常用的 研究方法步骤是画出散点图，求出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预报．(2)对n 个样本数据(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、…、(xn ，yn )，(,)x y 称为样本点的中心． (3)除用散点图外，还可以用样本相关系数r 来衡量两个变量x ，y 相关关系的强弱，1222211()()ni ii nni i i i x y nx yr x nx y n y ===-•=--∑∑∑当r ＞0，表明两个变量正相关，当r ＜0，表明两个变量负相关，r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r |0.75>时，认为这两个变量具有很强的线性相关关系．5、用相关指数2R 来刻画回归的效果，公式是22121()1()niii nii y y R y y ==-=--∑∑2R的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果好5．独立性检验的基本思想及其初步应用(1)若变量的不同“值”表示个体所属的不同类型，则这类变量称为分类变量．(2)列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．(3)利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验独立性检验公式2K＝2()()()()()n ad bca b a c b d c d-++++注意事项1.(1)函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．(2)当K2≥3.841时，则有95%的把握说事A与B有关；当K2≥6.635时，则有99%的把握说事件A与B有关；当K2≤2.706时，则认为事件A与B无关．2.(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．(2)线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本数据估计而来的，存在误差，这种误差会导致预报结果的偏差；而且回归方程只适用于我们所研究的样本总体．(3)独立性检验的随机变量K2＝3.841是判断是否有关系的临界值，K2≤3.841应判断为没有充分证据显示事件A与B有关系，而不能作为小于95%的量化值来判断．题型一相关关系的判断【例1】对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是( )A. r2<r4<0<r3<r1B. r4<r2<0<r1<r3C. r4<r2<0<r3<r1D. r2<r4<0<r1<r3答案：A解析：由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知r 2<r 4<0<r 3<r 1.故选A.【变式1】 根据两个变量x ，y 之间的观测数据画成散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系________(填“是”与“否”)．[来源:学科网]解析 从散点图看，散点图的分布成团状，无任何规律，所以两个变量不具有线性相关关系． 答案 否题型二 独立性检验【例2】通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：男 女 总计 走天桥 40 20 60 走斑马线 20 30 50 总计60 50110由K 2＝n ad －dc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，算得K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828对照附表，得到的正确结论是( )A. 有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”B. 有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关”答案：A解析：∵K2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8>6.635，∴有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”．【变式2】某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：分组[29.86，29．90)[29.90，29．94)[29.94，29．98)[29.98，30．02)[30.02，30．06)[30.06，30．10)[30.10，30．14)频数1263861829261 4 乙厂：分组[29.86，29．90)[来源:学。
【恒心】高考数学(理科)一轮复习突破课件009003-变量间的相关关系、统计案例
三 个 提 醒
两个变量间的相关关系
考 点
【例 1】 (2013· 湖北卷)四名同学根据各自的样 解析 ①中，回归方 本数据研究变量 x，y 之间的相关关系，并求 程中 x 的系数为正， 得回归直线方程，分别得到以下四个结论： 不是负相关； ^ ①y 与 x 负相关且y ＝2.347x－6.423； ④方程中的 x 的系数 ^ ②y 与 x 负相关且y ＝－3.476x＋5.648； 为负，不是正相关， ^ ③y 与 x 正相关且y ＝5.437x＋8.493； ∴①④一定不正确． ^ ④y 与 x 正相关且y ＝－4.326x－4.578. 答案 D 其中一定不正确的结论的序号是( )． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 在回归直线方程^ y ＝^ b x＋^ a 中，^ b 代表 x 每增加一个单
知识与方法回顾
知识梳理
ห้องสมุดไป่ตู้
辨析感悟
例1
探究一 两个变量间的相关 关系
训练1
例2 训练2 例3 训练3
技能与规律探究
探究二 线性回归方程及其 应用
探究三 独立性检验
经典题目再现
1．两个变量的线性相关
(1)正相关 在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于 两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)负相关 在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个 变量的这种相关关系称为负相关． (3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直线 ________ 附 近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做 回归直线．
x y
i
i
nx i y i
3．回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用 方法． (2)样本点的中心 对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn， ( x ， y ) 称为样本点的中心． yn)中________ (3)相关系数 正相关 ； 当 r＞0 时，表明两个变量________ 当 r＜0 时，表明两个变量________ 负相关 ． 越强． r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性_____ r 的绝 对值越接近于 0 ，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关 0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关性． 系．通常|r|大于______
新课标理科数学第九章第四节变量间的相关关系、统计案例
03 统计案例分析
线性回归分析案例
线性回归分析是研究两个或多个 变量之间关系的统计方法，其中 一个变量是因变量，另一个变量
是自变量。
线性回归分析案例可以包括研究 广告投入与销售额之间的关系、 研究温度与产品销售量之间的关
系等。
在线性回归分析中，需要确定自 变量和因变量，收集数据，进行 模型拟合和参数估计，最后进行
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描述性统计分析
Python的NumPy和Pandas库提供了描述性统计分析的功能，如求和、 平均值、中位数、标准差等。
相关性分析
Python可以使用Scipy库进行相关性分析，如计算皮尔逊相关系数、 斯皮尔曼秩相关等。
回归分析
Python的Scikit-learn库提供了多种回归分析方法，如线性回归、多 项式回归、岭回归等，可以根据研究目的选择合适的回归模型。
模型评估和预测。
非线性回归分析案例
非线性回归分析是研究非线性关系的统计方法，适用于自变量和因变量之间关系不 是线性的情况。
非线性回归分析案例可以包括研究药物剂量与疗效之间的关系、研究投资与回报之 间的关系等。
在非线性回归分析中，需要选择合适的非线性模型，进行模型拟合和参数估计，最 后进行模型评估和预测。
新课标理科数学第九章第四节变量 间的相关关系、统计案例
contents
目录
• 引言 • 变量间的相关关系 • 统计案例分析 • 统计软件应用 • 总结与思考
01 引言
主题简介
变量间的相关关系
探讨变量间关系的性质和特点， 包括线性相关和非线性相关。
统计案例
通过实际案例分析，了解相关关 系在各个领域的应用，如医学、 经济学、社会学等。
(旧教材适用)2023高考数学一轮总复习第十章统计统计案例第3讲变量间的相关关系与统计案例课件
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经
计
算
得
－x
＝
1 16
16
x
i
＝
9.97
，
s
＝
i＝1
1 16
16
xi－－x 2
＝
i＝1
0.050 0.010
k0
3.841 6.635
附：K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d.
0.005 7.879
0.001 10.828
解析 根据题目所给数据得到如下 2×2 列联表：
乐观
不乐观
总计
国内代表
60
40
100
国外代表
40
60
100
总计
100
100
200
则 K2＝20100×0×6100×0×601－004×0×104002＝8>6.635，所以有 99%的把握认为是否
∵y 与 x 的相关系数近似为 0.9966，说明 y 与 x 的线性相关程度相当强，
∴可以用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系．
(3)建立 y 关于 x 的回归方程，预测第 5 年的销售量约为多少？
参考数据：
∑4
i＝1
yi－－y 2≈32.7，
5≈2.24，i∑＝4 1xiyi＝418.
参考公式：
(3)回归分析 ①定义：对具有 □06 相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． ②样本点的中心：在具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…， (xn，yn)中，－x ＝1n(x1＋…＋xn)，－y ＝1n(y1＋…＋yn)，a^ ＝－y －b^ －x ，(－x ，－y ) 称为样本点的中心．
2020年高考山东版高考理科数学 12.5 变量间的相关关系与统计案例
茎叶图、独 立性检验
中位数
线性回归分析 二次函数的最值
★★☆
2017 课标Ⅱ,18
频率分布直方 互斥事件的概率
图、独立性检验
分析解读 1.理解用回归分析处理变量相关关系的数学方法,理解最小二乘法.2.了解独立性检验的基本 思想,认识统计方法在决策中的作用.3.了解回归的基本思想方法及其简单应用.4.回归分析与独立性检验 在今后的高考中分值可能会提高.本节在高考中主要以选择题、解答题的形式呈现,分值约为 5 分或 12 分, 小题为容易题,解答题属中档题.
设备改造前样本频率分布直方图
备战 2020 高考
设备改造后样本的频数分布表
质量指标值 [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
频数
4
36
96
28
32
[40,45] 4
(1)完成下面的 2×2 列联表,并判断是否有 99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造
^ 54 - 4 × 2.5 × 5
∴������= 30 - 4 × 2.52 =0.8,
^
∴������=5-2.5×0.8=3,
^
∴������=0.8x+3,
^
当 x=8 时,������=0.8×8+3=9.4.
∴估计第 3 年 8 月份的利润为 9.4 百万元.
备战 2020 高考
方法 2 独立性检验
A.68 B.67 C.65 D.64
备战 2020 高考
答案 A
^
2.(2017 豫南九校 2 月联考,13)已知下表所示数据的回归直线方程为������=4x+242,则实数 a= . x23456 y 251 254 257 a 266
变量间的相关关系、统计案例
2．独立性检验思想的理解 独立性检验的思想类似于反证法，即要确定“两个变量 X 与 Y 有关 系”这一结论成立的可信度，首先假设结论不成立，即它们之间没有关 系，也就是它们是相互独立的，利用概率的乘法公式可推知， (ad－bc) nad－bc2 接近于零，也就是随机变量 K ＝ 应该很小，如 a＋bc＋da＋cb＋d
A．y 与 x 具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心( x ， y ) C．若该大学某女生身高增加 1 cm，则其体重约增加 0.85 kg D．若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体重必为 58.79 kg
【名师点评】 求样本数据的线性回归方程的步骤 第一步，计算平均数 x ， y ；
2 第二步，求和i∑ x y ， ∑ x ； i i ＝1 i＝1 i n n
∑ xi－ x yi－ y ∑ x y －n x y ＝1 ＝1 i i i i ^＝ 第三步，计算b ＝ n 2 ， n 2 2 ∑ xi－ x ∑ x －n x i＝1 i＝1 i ^＝ y －b ^x； a ^x＋a ^. 第四步，写出回归方程^ y＝b
2
由于 9.967>6.635， 所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为该 地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
• (3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需 要帮助与性别有关，并且从样本数据能看 出该地区男性老年人与女性老年人中需要 帮助的比例有明显差异，因此在调查时， 先确定该地区老年人中男、女的比例，再 把老年人分成男、女两层并采用分层抽样 方法，比采用简单随机抽样方法更好．
• 考向二 回归方程的求法及回归分析 • [例2] (2013年淄博模拟)某种产品的宣传 费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如 下对应数据：
考点51 变量间的相关关系与统计案例
考点五十一 变量间的相关关系与统计案例知识梳理1．相关关系常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系．两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 2．散点图通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图． 3．正相关与负相关从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关． 4．回归直线方程 (1)曲线拟合从散点图上，如果变量之间存在某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样的近似过程称为曲线拟合． (2)线性相关在两个变量x 和y 的散点图中，若所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关，这条直线叫回归直线．若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是非线性相关．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的． (3)最小二乘法如果有n 个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，可以用[y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a ＋bx n )]2来刻画这些点与直线y ＝a ＋bx 的接近程度，使得上式达到最小值的直线y ＝a ＋bx 就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法． (4)回归方程方程y ＝bx ＋a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ，b 是待定参数． ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑n i ＝1(x i－x )(y i－y )∑ni ＝1(x i－x )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x 2，a ＝y －b x .说明：回归直线必过样本中心(x，y)，但是样本数据不一定在回归直线上，甚至可能所有的样本数据点都不在直线上．5．相关系数相关系数r＝∑ni＝1(x i－x)(y i－y)∑ni＝1(x i－x)2∑ni＝1(y i－y)2＝∑ni＝1x i y i－n x y(∑ni＝1x2i－n x2)(∑ni＝1y2i－n y2)；当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．6．独立性检验设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝A1；变量B：B1，B2＝B1；2×2列联表：构造一个随机变量χ2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).利用随机变量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联；当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；当χ>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；当χ>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．典例剖析题型一相关关系判断例1变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则________．①r2<r1<0 ②0<r2<r1③r2<0<r1④r2＝r1答案③解析 对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1>0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，即r 2<0，所以有r 2<0<r 1．变式训练 四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是________． 答案 ①④解析 由回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，知当b ^>0时，x 与y 正相关，当b ^<0时，x 与y 负相关，所以①④一定错误．解题要点 判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图，根据散点图很容易看出两个变量之间是否具有相关性，是不是存在线性相关关系，是正相关还是负相关，相关关系是强还是弱． 题型二 回归分析例2 已知x ，y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ＝________． 答案 1.45解析 ∵x ＝0＋1＋4＋5＋6＋86＝4，y ＝1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.36＝5.25，又y ^＝0.95x ＋a 过(x ，y )，∴5.25＝0.95×4＋a ，得a ＝1.45. 变式训练 已知x 与y 之间的一组数据：已求得关于y 与x 的线性回归方程y ＝2.1x ＋0.85，则m 的值为________． 答案 0.5解析 x ＝0＋1＋2＋34＝32，y ＝m ＋3＋5.5＋74＝15.5＋m4，把(x ，y )代入线性回归方程，15.5＋m 4＝2.1×32＋0.85，m ＝0.5. 解题要点 回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点中心(x ，y )．利用这一结论，可以快速求出回归方程中的参数．例3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解析 (1)由题意，作散点图如图．(2)由对照数据，计算得∑i ＝14x i y i ＝66.5，∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86，x ＝4.5，y ＝3.5，b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35， 所以回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)当x ＝100时，y ＝100×0.7＋0.35＝70.35(吨标准煤)，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低90－70.35＝19.65(吨标准煤)．变式训练 (2015新课标Ⅰ文)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.5452504846444240表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝18w i .(I)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(II)根据(I)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(III)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(II)的结果回答下列问题： (i )当年宣传费90x =时，年销售量及年利润的预报值时多少？ (ii )当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1n(u i －u )(v i －v )∑i ＝1n(u i －u )2，α^＝v －β^u .解析 (I)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(II)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d ^＝∑i ＝18(w i －w )·(y i －y )∑i ＝18(w i －w )2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x .(III)(i )由(II)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32.(ii )根据(II)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．解题要点 (1)正确运用计算b ，a 的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键． (2)分析两变量的相关关系，可由散点图作出判断，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．(3) 求解回归方程关键是确定回归系数a ^，b ^，因求解b ^的公式计算量太大，一般题目中给出相关的量，如x －，y －，i ＝1∑n,i ＝1)x 2i ，i ＝1∑n,i ＝1)x i y i 等，便可直接代入求解．充分利用回归直线过样本中心点(x －，y －)，即有y ＝b ^x －＋a ^，可确定a ^. 题型三 相关分析例4 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是________．① 列联表中c 的值为30，b 的值为35 ② 列联表中c 的值为15，b 的值为50 ③根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”④根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 答案 ③解析 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c ＝20，b ＝45，选项A 、B 错误．根据列联表中的数据，得到χ2＝2105(10302045)55503075⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．变式训练 在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性480人，其中有38人患色盲，调查的520名女性中，有6人患色盲． (1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)若认为“性别与患色盲有关系”，求出错的概率． 解析 (1)2×2列联表如下：(2)0χ2＝1 000×(38×514－6×442)2480×520×44×956≈27.14，又P (χ2≥10.828)＝0.001，即H 0成立的概率不超过0.001，故若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率为0.1%.解题要点 (1)独立性检验的关键是正确列出2×2列联表，并计算出χ2的值．(2)弄清判断两变量有关的把握性与犯错误概率的关系，根据题目要求作出正确的回答．当堂练习1．(2015湖北文)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是________．①x 与y 正相关，x 与z 负相关 ②x 与y 正相关，x 与z 正相关 ③x 与y 负相关，x 与z 负相关 ④x 与y 负相关，x 与z 正相关 答案 ③解析 因为y ＝－0.1x ＋1，－0.1<0，所以x 与y 负相关．又y 与z 正相关，故可设z ＝ay ＋b (a >0)，所以z ＝－0.1ax ＋a ＋b ，－0.1a <0，所以x 与z 负相关． 2．(2014·湖北卷) 根据如下样本数据得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则________．①a ＞0，b ＜0 ②a ＞0，b ＞0 ③a ＜0，b ＜0 ④a ＜0，b ＞0 答案 ①解析 作出散点图如下：由图象不难得出，回归直线y ^＝bx ＋a 的斜率b <0，截距a >0，所以a >0，b <0． 3. 通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动，得到如下列联表：由K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），得K 2＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8.附表：参照附表，得到的正确结论是________．① 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” ② 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”③ 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” ④ 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 答案 ①解析 因为7.8>6.635，所以选项①正确．4．下列有关样本相关系数的说法不正确的是________．①相关系数用来衡量变量x 与y 之间的线性相关程度 ②|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越大 ③|r |≤1，且|r |越接近0，相关程度越小 ④|r |≥1，且|r |越接近1，相关程度越小 答案 ④5．两个相关变量满足如下关系：答案 y ∧＝0.56x ＋997.4解析 回归直线经过样本中心点(20,1 008.6)，经检验只有选项A 符合题意．课后作业一、 填空题1．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为_____． 答案 1解析 根据相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1．2．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x -85.71，则下列结论中不正确．．．的是______． ①y 与x 具有正的线性相关关系 ②回归直线过样本点的中心(x ，y )③若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ④若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 答案 ④解析 由回归方程为y =0.85x -85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()ybx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心(x ，y )，利用回归方程可以预测估计总体，所以④不正确.3．(2015新课标II文)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确．．．的是________．①逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著②2007年我国治理二氧化硫排放显现成效③2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势④2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案④解析从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，①选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，②选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即③选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，④选项错误，故选④．4．下面是一个2×2列联表其中a，b处填的值分别为答案5274解析由a＋21＝73，得a＝52，a＋22＝b，得b＝74．5．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为________．答案99%解析因为K2＝8.01>6.635，所以有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”．6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为________． 答案 3解析 由y ＝0.7x ＋0.35得2.5＋t ＋4＋4.54＝0.7×3＋4＋5＋64＋0.35⇒11＋t 4＝3.5⇒t ＝3.7．(2014·江西卷)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是________．表1 表2表3 表4答案 阅读量解析 通过计算可得，表1中的χ2≈0.009，表2中的χ2≈1.769，表3中的χ2＝1.300，表4中的χ2≈23.481．8．已知某车间加工零件的个数x 与所花费时间y (h)之间的线性回归方程为y ^＝0.01x ＋0.5，则加工600个零件大约需要的时间为________． 答案 6.5 h解析 将600代入线性回归方程y ^＝0.01x ＋0.5中得需要的时间为6.5 h.9．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (K 2≥3.841)≈0.05，根据表中数据，得到K 2的观测值k ＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________． 答案 5%解析 由K 2的观测值k ≈4.844>3.841，故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为5%. 10．考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程为y ^＝1.197x －3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm 时，肱骨长度的估计值为________cm. 答案 56.19解析 根据回归方程y ^＝1.197x －3.660，将x ＝50代入，得y ＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.11．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的回归方程为________．答案 y ^＝1.23x ＋0.08解析 设回归直线方程为y ^＝1.23x ＋a ，由题意得：5＝1.23×4＋a ，得a ＝0.08，故回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08. 二、解答题12． (2013·重庆文)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x2，a ＝y －b x ，其中x －，y －为样本平均值，线性回归方程也可写为y ∧＝b ∧x ＋a ∧.解析 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝110x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝110y i ＝2010＝2，又∑i ＝110x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， ∑i ＝110x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b ＝∑i ＝110x i y i －n x y∑i ＝110x 2i －n x2＝2480＝0.3， a ＝y －b x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ∧＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄约为y ＝0.3×7－0.4＝1.7千元． 13．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸，呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表.(1)(2)为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，并回答有多大把握认为心肺疾病与性别有关？参考公式：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.解析(1)在患心肺疾病人群中抽6人，则抽取比例为630＝15，∴男性应该抽取20×15＝4人．(2)∵K2≈8.333，且P(K2≥7.879)＝0.005＝0.5%，所以有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关系．。
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变量间的相关关系与统计案例
基础梳理
1 •相关关系的分类 从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它 称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关.
2 •线性相关
从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性 相关关系，这条直线叫回归直线. 3 •回归方程
(1) 最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法. (2) 回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：
(X 1, y)(X 2, y 2)，…,(xn ，yn)，其回归方程为 y = bx +a ，则
n
n
(X i x)(y i y) xy 1
nxy
i 1
i 1
4 •样本相关系数
n
xy i nx y
1 2
，用它来衡量两个变量间的线性相关关系. n
n
(x x )\ (y i y)2
i 1 - i 1
(1) 当r >0时，表明两个变量正相关; (2) 当r v 0时，表明两个变量负相关；
(3) r 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近于0，表明两个变量 之间几乎不存在线性相关关系•通常当| r| >0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系. 5 .线性回归模型
(1)y = bx + a + e 中，a 、b 称为模型的未知参数；e 称为随机误差.
b —n
(X i x)2
x 2
2 1
i 1
———，a y bx
n x
其中，b 是回归方程的斜率, a 是在y 轴上的截距.
n
(x x)(y i y)
i 1
「
n n
i1(y i y)
2
平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好•在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好.
6 .独立性检验
（1）用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，这种变量称为分类变量.例如：是否吸烟，宗教信仰，国籍等.
（2）列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.
（3）—般地，假设有两个分类变量X和丫，它们的值域分别为｛xi，X2｝和｛y i，y2｝，其样本频数列联表（称为2 X 2列联表）为： 2 X 2列联表
y1y2总计
X1a b a + b
X2c d c+ d
a +
b +
c + d
总计 a + c b + d
n ad —be 2
o
K二kb―aT^—CZd—bZ^（其中n=a+ b+ e+ d为样本容量），可利用独立性检
验判断表来判断“ x与y的关系”.
这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个类
分变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.
练习:
1 .对变量x，y有观测数据（X i，y）（i= 1,2，…，10），得散点图（1）;对变量u，v有观测数据（山、
W）（i = 1,2，…，10），得散点图⑵.由这两个散点图可以判断（）.
A .变量x与y正相关，u与v正相关
B .变量x与y正相关，u与v负相关
C .变量x与y负相关，u 与v正相关
D .变量x与y负相关，u与v负相关
2 .（2012 •南昌模拟）某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）.
A.y = - 10 x + 200
B.y = 10 x + 200
C.y = - 10x - 200
D.y = 10x - 200
3 . (2012 •枣庄模拟)下面是2 X 2列联表： 则表中a , b 的值分别为(). A . 94,72
B . 52,50
C . 52,74
4. 根据两个变量x , y 之间的观测数据画成散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系 ________ 填“是”与“否”).
5. 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落 在［29.94,30.06)的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了 500件，量其内径尺寸,
得结果如下表： 甲厂:
乙厂:
(1) (2) 由以上统计数据填下面2 X 2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质
D . 74,52
量有差异”
130 « ¥ •
9U • ■
*
■ ■
60 • W *
«
解析几何复习
P(K2>k)0.100
0.050
0.0100.001
k 2. "06 3.841 6.63519.828
ad一br)"
(fl-h +c)(&+rf)
2
x
1、若双曲线—
a b2
1的一条渐近线经过点 3 , -4 ),则此双曲线的离心率为()
A、C、
Q是直线PF与C的一个交点，若
PF3QF，则QF=()
58
(A) 「(B)-(C) 3(D) 6
23
22
3、已知双曲线C：—— = 1的左、右焦点分别为F「F2, P为双曲线C的右支上一点，且PF2 = | F1F2 |,
9 16
则PF1F2的面积等于()
A. 24
B. 36
C. 48
4、椭圆
2
卞1(a b 0)上一点关于原点的对称点为，为其左焦点，若，设
2、已知抛物线C28x的焦点为F ,准线为I , P是I上一点,
2
ABF 一，则该椭圆的离心率为
6
2
2 2
5、已知点B 为双曲线C:爲 爲 1 (a 0 , b 0)的左顶点，A(O,b)，线段AB 交双曲线一条渐近线于 C 点,
a b
且满足cos OCB 3
，•则该双曲线的离心率为
5
6、已知双曲线与椭圆
2 2
X
y
1有相同的焦点，且以 x 、2y 0为其一条渐近线，则双曲线方程为
9 3
_ —，过其中一个焦点且长为 4的弦有______条
7、已知椭圆C: x 2 3y 2 3，过点D 1,0且不过点 2,1的直线与椭圆C 交于 ， 两点，直线 与直
线x 3交于点
(I )求椭圆C 的离心率；
(II )若 垂直于x 轴，求直线 的斜率；
(III )试判断直线
与直线D 的位置关系，并说明理由.
解答题训练三
1、某学校高三年级 800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于
13秒与18秒之间.抽取其中50个样
本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组 ［13 , 14);第二组［14 , 15)……第五组［17 ,18］，下图是按上述 分组方法得到的频率分布直方图.
(I)若成绩小于14秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中优秀的人数; (H)请估计本年级这 800人中第三组的人数;
(川)若样本第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一 实验组，求在被抽出的
2名学生中恰好为一名男生和一名女生的概率
Q.OS
4 »
32
2、等差数列｛a n｝中,a2 a3 a415,a59.
(I )求数列a n｝的通项公式;(n )设
a-1
3 2,求数列｛a n b
n｝的前n项和S n
3、已知函数f(x) 2cos(2x ) 2cos2x 1
3
(I)求函数f(x)图象的对称中心；
b
(H )在厶ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、ABC为锐角三角形且f (A) 0,求-的取值范
c
围.
4、圆O上两点C , D在直径AB的两侧(如图甲),沿直径AB将圆O折起形成一个二面角(如图乙),若/ DOB
的平分线交弧于点G,交弦BD于点E,F为线段BC的中点.
(I)证明：平面OGF //平面CAD.
(H)若二面角C-AB-D 为直二面角，且AB=2，求四面体FCOG
的体积.
x2 y2
5、设椭圆C :孑+ J = 1但> b > 0)，其长轴长是其短轴长的2倍，椭圆上一点到两焦点的距离之和为4.
(I)求椭圆C的方程.
(H)设曲线C的上、下顶点分别为A、B,点P在曲线C上，且异于点A、B,直线AP, BP与直线I ：y= 2 分别交于点M ，N．
(1) 设直线AP，BP 的斜率分别为k1，k 2，求证：k1k 2为定值；
(2) 求线段MN 长的最小值．
2。