数列通项公式的方法总结

专题一：求解通项公式

（1）观察法

例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：

（1）9，99，999，9999，…（2） ,17164,1093,542,211（3） ,5

2,21,32,1（4） ,5

4,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n n

a （2）;1

22

++=n n n a n （3）;1

2+=n a n （4）1)1(1+⋅-=+n n a n n

.点评：关键是找出各项与项数n 的关系。

（2） 定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；

解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ，

∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2， ∴22

13)2(q

q b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1

（3） 公式法：已知n S （即12()n a a a f n ++

+=）求n a ，用作差法：

{11,(1),(2)

n n n S n a S S n -==-≥。 例:3：(07重庆21题)已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和为n S 满足1S ＞1且6n S =

(1)(2)n n a a ++ n ∈N * 求{n a }的通项公式。

解：由11a S ==111(1)(2)6

a a ++解得1a =1或1a =2，由已知11a S =＞1，因此1a =2又由11n n n a S S ++=-=1111(1)(2)(1)(2)66

n n n n a a a a ++++-++得 11()(3)n n n n a a a a +-+--=0 ∵n a ＞0 ∴13n n a a --=

从而{n a }是首项为2，公差为3的等差数列，故{n a }的通项为n a =2+3(n-1)=3n-1.

小扩展：已知12()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩ （3）迭加法： 若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+

+-1a +(2)n ≥。 例4：已知数列{}n a 满足211=

a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 解：由条件知：1

11)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a

)111()4131()3121()211(n

n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-= 所以n

a a n 111-=- 211=a ，n

n a n 1231121-=-+=∴ （4）迭乘法：已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121

n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅(2)n ≥ 例5．设

是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式

.

解析：由题意

∴

∵，∴，

∴，

∴，又，

∴当时，，

当时，符合上式

∴

. （5） 倒数法：形如11n n n a a ka b

--=+的递推数列都可以用倒数法求通项 例6：已知数列{n a }，1a = 1-，11n n n

a a a +=- n N *∈，求n a =？ 解：把原式变形得11n n n n a a a a ++-⋅= 两边同除以1n n a a +得

1111n n a a +=+ ∴1{}n a 是首项为1-，d=1-的等差数列故11(1)(1)n n n a =-+--=-∴1n a n

=-。 （6）构造等比数列法: ）

（1）递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p

q t -=

1，再利用换元法转化为等比数列求解。

（2）递推公式为n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数）

解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q q a q p q

a n n n n 111+•=++ 引入辅助数列{}n

b （其中n n n q a b =

），得：q b q p b n n 11+=+再应用类型3的方法解决。

（3）递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）

解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++

其中s ，t 满足⎩⎨⎧-==+q

st p t s ，再应用前面类型3的方法求解。