射影几何的故事
射影几何公理
射影几何公理【实用版】目录1.射影几何的定义与基本概念2.射影几何公理的基本内容3.射影几何公理的应用4.射影几何的发展历程与意义正文射影几何是一种数学几何学，主要研究空间中直线、平面以及它们的射影。
射影几何公理是射影几何的基本理论，它为射影几何的研究和发展奠定了基础。
本文将从射影几何的定义与基本概念、射影几何公理的基本内容、射影几何公理的应用以及射影几何的发展历程与意义四个方面进行介绍。
首先，射影几何的定义与基本概念。
射影几何起源于光学和摄影测量学，它的基本概念包括射影、射影空间、射影直线、射影平面等。
射影是指从一个点向一个平面投射的过程，射影空间是指由射影和平面构成的空间。
射影几何的研究对象是射影空间中的直线、平面以及它们的射影。
其次，射影几何公理的基本内容。
射影几何公理包括以下三个基本原理：1）直线确定一个平面；2）两个不共线的点确定一条直线；3）三个不共线的点确定一个平面。
这些基本原理为射影几何的研究提供了理论基础。
接着，射影几何公理的应用。
射影几何公理在实际应用中具有广泛的应用价值，例如在计算机图形学、摄影测量学、空间探测等领域都有重要的应用。
射影几何公理在解决实际问题中起到了关键作用。
最后，射影几何的发展历程与意义。
射影几何公理的发展历程可以追溯到古希腊时期，欧几里得和阿里士多德等数学家都对射影几何做出了重要贡献。
随着科学技术的发展，射影几何在现代数学、物理学、工程学等领域发挥着越来越重要的作用，它为许多实际问题的解决提供了理论支持。
总之，射影几何公理是射影几何的基本理论，它为射影几何的研究和发展奠定了基础。
射影几何公理在实际应用中具有广泛的应用价值，它为许多实际问题的解决提供了理论支持。
中外数学家故事小故事及读后感（摘）（精选五篇）
中外数学家故事小故事及读后感（摘）（精选五篇）第一篇：中外数学家故事小故事及读后感(摘)一、祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算．秦汉以前，关于圆周率究竟余多少，意见不一．直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法--“割圆术”，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长．刘徽计算到圆内接96边形，求得π=3.14，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确．祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，得出了π分数形式的近似值，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数．祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查．若设想阿基米德按刘徽的“割圆术”方法去求的话，就要计算到圆内接16，384边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊由此可见阿基米德在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的！二、高斯念小学的时候，有一次在老师教完加法后，因为老师想要休息，所以便出了一道题目要同学们算算看，题目是：1+2+3+.....+97+98+99+100 = ? 老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要借口出去时，却被高斯叫住了！原来呀，高斯已经算出来了，小朋友你可知道阿基米德是如何算的吗？高斯告诉大家阿基米德是如何算出的：把 1加至 100 与 100 加至 1 排成两排相加，也就是说1+2+3+4+.....+96+97+98+99+100 100+99+98+97+96+.....+4+3+2+1=101+101+101+.....+101+101+101+101 共有一百个101相加，但算式重复了两次，所以把10100 除以 2便得到答案等于 <5050> 从此以后高斯小学的学习过程早已经超越了其它的同学，也因此奠定了阿基米德以后的数学基础，更让阿基米德成为——数学天才！三、1966年屈居于六平方米小屋的陈景润，借一盏昏暗的煤油灯，伏在床板上，用一支笔，耗去了几麻袋的草稿纸，居然攻克了世界著名数学难题‚哥德巴赫猜想‛中的(1+2)，创造了距摘取这颗数论皇冠上的明珠(1 + 1)只是一步之遥的辉煌。
射影几何定理
射影几何定理摘要：一、射影几何定理的定义与背景1.射影几何的起源与发展2.射影几何定理的概念引入二、射影几何定理的重要性质1.定理的基本内容与公式表述2.定理在射影几何中的核心地位三、射影几何定理的应用领域1.在数学领域的应用2.在其他学科领域的应用四、射影几何定理的意义与价值1.对于数学理论的贡献2.对于实际问题的解决正文：射影几何定理，作为射影几何学中的一个重要理论，起源于19 世纪，经历了漫长的发展过程，逐渐成为了射影几何学研究的基础。
该定理不仅对射影几何学科有着深远的影响，同时也为其他学科领域提供了有力的理论支持。
射影几何定理的一个重要性质是，它揭示了射影空间中的点到直线、直线与平面的位置关系。
具体来说，该定理的公式表述为：在射影空间中，给定点P、直线L 和平面π，如果P 在L 上，且L 在π上，那么P 也在π上。
这个定理在射影几何中具有核心地位，为射影几何的研究奠定了基础。
射影几何定理在数学领域具有广泛的应用。
例如，在代数几何中，射影几何定理可以用来解决代数曲线的几何问题；在拓扑学中，射影几何定理可以帮助研究者理解流形之间的映射关系。
此外，射影几何定理还在计算机科学、物理学和工程学等领域发挥着重要作用。
射影几何定理对数学理论的发展作出了巨大贡献。
它不仅丰富了射影几何学的理论体系，而且为其他数学分支的研究提供了有力的工具。
同时，射影几何定理在实际问题中的应用也体现出其具有很高的价值。
例如，在计算机图形学中，射影几何定理可以用来简化三维模型的表示和计算；在光学设计中，射影几何定理有助于优化光学系统的结构和性能。
总之，射影几何定理作为射影几何学科的一个重要理论，具有深刻的内涵和广泛的应用价值。
《射影几何与透视学》课件
射影几何的应用
通过射影几何理论，可以更好地 设计建筑物的外观和内部结构。
在计算机游戏中，利用射影几何 可以创造出更加真实的三维场景 。
摄影和电影制作 建筑设计
机器人视觉 计算机图形学
利用射影几何原理，可以更好地 理解和处理图像的透视关系。
射影几何在机器人视觉中用于识 别和定位物体。
02
透视学基础
《射影几何与透视学》PPT课件
目录
• 射影几何概述 • 透视学基础 • 射影几何与透视学的关系 • 射影几何与透视学的实际应用 • 结论 • 参考文献
01
射影几何概述
Chapter
射影几何的定义
01
02
03
射影几何
研究图形在射影变换下不 变性质的几何分支。
射影变换
保持图形间点与点、直线 与直线间对应关系的变换 。
绘画艺术中的射影几何与透视学
绘画中的空间表现
利用射影几何与透视学的原理， 画家可以更好地表现画面的空间
关系和深度感。
绘画中的立体感
通过透视学的原理，画家可以创造 出更加逼真的立体感，使画面更加 生动。
绘画中的光影效果
利用射影几何的原理，画家可以更 好地表现光影效果，增强画面的层 次感和立体感。
摄影技巧中的射影几何与透视学
03
射影几何与透视学的关系
Chapter
射影几何对透视学的影响
射影几何为透视学提供了理论基础，使得透视学得以发 展。
射影几何中的投影原理为透视学中的投影提供了理论支 持。
射影几何中的一些基本概念，如点、线、面等，在透视 学中也有广泛应用。
透视学在射影几何中的应用
透视学为射影几何提供了实际 应用的场景，使得射影几何的 理论得以具体化。
射影几何的诞生与发展
射影几何的诞生与发展射影几何是现代几何学的一个重要分支。
它的诞生和发展是以欧几里得几何为基础的。
欧几里得几何的基本假设是平面上的任意两点可以用一条直线连接，而且直线可以无限延长，两个平面可以相互平行。
但当人们将欧几里得几何应用到更高维几何中时，一些基本假设却不再成立，比如说直线可以无限延长。
因此，在19世纪初期，一批几何学家著名的代表性人物开始改变欧几里得的几何基础。
轻轻推动射影几何新的科学思想的发展。
这些代表人物包括：Bolzano、Johann Carl Friedrich Gauss、Jean-Victor Poncelet、Charles-Julien Brianchon、Joseph Wilhelm Eduard von Schelling、Louis Poinsot、Karl von Staudt、 Christian Heinrich, Matthaei Buschmann 等人。
他们在几何学的研究中，面临的问题是：在平面上画图可以做出许多证明，但这些证明是否也适用于三维空间几何学乃至高维空间几何学呢？这就引出了射影几何的重要问题：什么是射影几何？最初，射影几何被认为仅是一种新式几何语言。
在这种语言下，欧氏几何学可被用来处理分数与无理数之间的关系，而中心投影几何学成为处理算法性质、光学问题、数学物理学问题等的工具。
到了19世纪后半叶，人们开始将射影几何作为独立的学科来发展。
此时，德国的Karl von Staudt认为，严格按照欧几里德的基本假设，几何学无法运用于现实世界的实际问题。
他提出了关于射影几何的一个基本定理，即：在等式形式下，二次曲线可以完全由5个点所刻画。
这个定理彻底改变了传统欧氏几何下的单纯欧氏空间的思考和方法，重新定义了“两个点间的直线”这个基本概念。
这个定理的应用把实时处理、列表搜索、编译器构建等许多计算机科学中的问题整合在一起，形成了一个新的不可替代的核心理论。
射影几何简介
•
笛沙格把他的射影几何思想用于圆锥曲线，得到许多新颖的结果： – 直线可以看作具有无限长半径的圆的一部分； – 焦点相合的椭圆退化为圆； – 焦点之一在无穷远的椭圆是一抛物线，等等．
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他不再把圆锥曲线看作圆锥与平面的交线，而是理解为圆的截景． 圆不仅可以变换为椭圆，而且可以变换为开口的抛物线或双曲线，这时的曲线仍看作封闭的， 只不过是一个点在无穷远而已． 笛沙格力图用投射、截景等射影几何概念统一处理各种圆锥曲线，从而为圆锥曲线的研究开 辟了广阔的前景．
• •
为什么笛沙格的书在当时被忽略呢？主要有两个原因． 一是它被差不多同时出现的解析几何掩盖了．从思想的深刻来讲，笛沙格的射影几何是可以 和笛卡儿的解析几何相媲美的．但笛卡儿的解析几何是用代数方法研究几何问题，可以迅速 得到数量结果，而射影几何主要是对几何的定性研究．当时的技术发展更需要解析几何这样 的有力工具． 第二个原因是，笛沙格的写作形式比较古怪，他引进了 70 个新术语，其中多是从植物学借 用的．例如，他用棕 (Palm)、干、树来表示三种不同性质的直线．这类语句以及不易理解的 思想，使他的书难于阅读． 除了笛卡儿、帕斯卡、费马等几位大数学家外，很少有人欣赏他的著作．
1
B′ O . A′
C′
B
C
D′ A
D
• • •
那么，截景与原形究竟有什么共性呢？这正是阿尔贝蒂苦苦思索而未找到答案的问题． 阿尔贝蒂还考虑到：如果在眼睛和景物之间插进两张玻璃板，它们上面的截景将是不同的； 如果从两个不同位置来观察景物，截景也将是不同的．但所有截景都反映同一景物，它们之 间必存在某种关系． 于是他进一步提出问题：同一景物的任意两个截景间有什么数学关系，或者说有什么共同的 数学性质？他留给后人的这些问题成为射影几何的出发点．
北京航空航天大学 射影几何告诉我们什么李世铨文章
工程图学史话۩۩有关画法几何与射影几何的回忆（1950年代─ 1990年代）中国农业大学李世铨我从1953年春到1989年冬连续讲授画法几何和机械制图课程，在这期间的末段经历了由传统制图到计算机绘图的巨大转变，而值得指出的是, 在这期间我还经历了从进修射影几何到摒弃射影几何的全过程。
因此我把所经历的中国工程图学学科这段发展史简单地传达给现在的同行们，他们一定会感兴趣的。
（一）在我1953年开始参加制图教学时，首先面临的是解放初期我国国家工业标准乃至制图标准的更换所引起的课程内容的改变。
制图标准要从解放前流行的近乎美国标准改为近乎苏联标准（即欧洲标准），投影图要从美国的第三角法改为第一角法，其他如各种规定画法和符号等等均有相应的改变，就连理论性的画法几何也要跟着改变（主要是投影图位置的改变所引起），使解放前学习的教师需要掌握新标准，与此同时还需要学习苏联教材和新的教学方法。
需要充实生产图纸的实际应用等自己没学到或书本里没有的知识。
于是制图教师面临着既需要学习新教材又需要向生产实践学习的繁重局面，而当时现有的制图教师又很少，多数是新上任的青年教师，缺乏经验，没有进修时间任务紧急。
大约到了1954年以后，随着苏联资料的传入增多，逐渐了解制图教师的进修方向，如需要充实机械加工知识，参加生产劳动，进修射影几何和微分几何等高等几何知识等等，而其中几何知识是工科出身的教师比较欠缺的。
据了解苏联早在1930年代画法几何前辈就指出了提高这门学科的“射影方向”，需要引用射影几何来发展提高画法几何。
从苏联1944年出版的 «现代画法几何问题 »论文集里就可以见到他们探讨用射影几何建立画法几何公理与定理，以及用微分几何研究曲线曲面投影等种种命题的情况。
许多苏联学者为此做出了努力并取得了一定成绩，其中以擅长射影几何的数理博士切特维鲁新教授最为突出，早在1940年代，他就为画法几何建立了基础定理发表了多篇论文。
射影几何的诞生与发展.
射影几何的诞生与发展一从透视学到射影几何1．在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临这样的问题：（1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？（2）从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两个物体间具有什么关系？2．由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学的兴起(文艺复兴时期：普遍认为发端于14世纪的意大利，以后扩展到西欧，16世纪大道鼎盛)，从而诞生了射影几何学。
意大利人布努雷契（1377-1446）是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。
3．数学透视法的天才阿尔贝蒂（1401-1472）的《论绘画》一书（1511）则是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。
4．对于透视法产生的问题给予数学上解答的第一人是德沙格（1591-1661）法国陆军军官，后来成为工程师和建筑师，都是靠自学的。
1639年发表《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，这部著作充满了创造性的思想，引入了无穷远点、无穷远直线、德沙格定理、交比不变性定理、对合调和点组关系的不变性、极点极带理论等。
5．数学家帕斯卡（1623-1662）16岁就开始研究投射与取景法，1640年完成著作《圆锥曲线论》，不久失传，1779年被重新发现，他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理，即圆锥曲线的内接六边形的对边交点共线6．画家拉伊尔（1640-1718）在《圆锥曲线》（1685）这本射影几何专著中最突出的地方在于极点理论方面的创新。
7．德沙格等人把这种投影分析法和所获得的结果视为欧几里得几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加区别，但这一方法诱发了一些新的思想和观点：1）一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状2）变换与变换不变性3）几何新方法------仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量二射影几何的繁荣1．在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，并且由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘，到１２18世纪末19世纪初，蒙日的《画法几何学》及其学生们的工作，重新激发了人们对综合射影几何的兴趣，然而将射影几何变革为具有自己独立的目标与方法的学科的数学家是曾受教于蒙日的庞斯列（1788-1867）2．庞斯列曾任拿破仑的远征军的工兵中尉，1812年莫斯科战役被俘，度过了两年铁窗生活，在这两年里，庞斯列不借助于任何书本，以炭为笔，在监狱的墙壁上谱写了射影几何的新篇章。
没有度量的几何学——射影几何的产生
没有度量的几何学——射影几何的产生
自然界中的物体都是立体的，而画家作画、建筑师绘图都是使用画布、墙壁、纸张这样的平面，如果要让画在平面上的物体具有凹凸不平的立体感，就得探讨人的视觉规律。
为此，数学家和艺术家们从不同角度研究投影的性质。
达·芬奇首先提出了聚焦透视法，确切、形象地阐述了透视原理的基本思想。
他强调，画画要画一只眼睛看到的景物，从景物的每一个能看到的点发出的光线进入人的眼睛，经过瞳孔的折射，最后在视网膜上形成物体的影象。
假如在人们眼睛与景物之间放一片透明薄膜，从景物的各点进入眼睛的每一条光线，穿过这张薄膜时形成点，所有这些点的集合就形成了景物在薄膜上的像。
整个这一过程就叫透视，几何学上称为中心射影。
射影几何就是研究图形在中心射影下位置关系的学科。
这门新学科广泛应用于航空摄影、绘画测量等方面。
它的发现是许多数学家相继努力的结果。
射影定理的推导过程
射影定理的推导过程射影定理是几何学中的一条重要定理，它描述了一条直线与一个平面的交点的特性。
它的推导过程相对简单，但仍然需要一些几何学的基础知识来理解。
为了更好地理解射影定理的推导过程，我们先从一个具体的例子开始。
假设我们有一条直线L和一个平面P，它们相交于点A。
我们想要找到点A在平面P上的投影点B。
为了简化问题，我们假设平面P是垂直于直线L的。
我们可以选择一条垂直于平面P的直线M，并且经过点A。
这条直线M被称为平面P的垂线。
现在，我们可以在直线M上选择一个点C，使得点C与点A之间的线段AC垂直于平面P。
接下来，我们需要找到直线L在直线M上的投影点D。
投影点D是指直线L上离点C最近的点。
我们可以通过连接点C和直线L上的任意一点E，然后延长线段CE，直到与直线L相交，这个相交点就是我们要找的投影点D。
现在，我们可以连接点A和点D，这条线段AD就是点A在平面P 上的投影线。
我们可以发现，线段AD与平面P垂直，并且它是点A到平面P的最短距离。
这就是射影定理的核心内容。
在推导射影定理的过程中，我们使用了平行线之间的性质以及垂直线之间的性质。
通过选择合适的点和线，我们可以构造出满足条件的线段，从而得到射影定理的结论。
射影定理在几何学和物理学中有着广泛的应用。
它不仅可以帮助我们理解空间中点和线之间的关系，还可以用于解决实际问题，如计算物体的投影或者计算点到平面的距离。
总结一下，射影定理是描述直线与平面交点特性的重要定理。
通过选择合适的点和线，我们可以推导出射影定理，并且可以利用它解决一些实际问题。
尽管推导过程相对简单，但它依然需要一定的几何学基础知识来理解。
通过理解射影定理，我们可以更好地理解空间中点和线之间的关系，以及它们在实际问题中的应用。
几何中的射影定理及其应用举例
几何中的射影定理及其应用举例几何学是一门研究空间形状和结构的学科，而射影定理则是几何学中的一个重要定理，它在解决空间中的投影问题时具有广泛的应用。
本文将介绍射影定理的基本概念和原理，并通过几个实际应用举例，展示射影定理在几何学中的重要性。
射影定理是指在几何空间中，一条直线与两个平行平面相交，那么这条直线在其中一个平面上的投影与另一个平面上的投影互相平行。
这个定理的证明可以通过几何推理或向量运算来完成，但无论采用哪种方法，都需要基于空间几何学的基础知识。
在实际应用中，射影定理可以用来解决许多与投影相关的问题。
例如，在建筑设计中，我们常常需要考虑阳光的投影对建筑物的影响。
通过应用射影定理，我们可以确定在不同时间和季节，太阳光的投影位置和角度，从而为建筑物的设计提供参考。
这样，我们可以合理安排建筑物的窗户和遮阳设施，以达到舒适和节能的效果。
另一个应用射影定理的例子是在计算机图形学中。
在三维建模和渲染过程中，射影定理被广泛用于计算物体在二维屏幕上的投影效果。
通过将三维物体投影到屏幕上的二维平面，我们可以实现逼真的图像渲染和交互体验。
这个过程中需要考虑光源、摄像机位置和角度等因素，而射影定理为这些计算提供了基本原理和方法。
除此之外，射影定理还可以应用于地理测量、天文学、航空航天等领域。
在地理测量中，通过测量物体在地球表面上的投影，我们可以计算出物体的实际大小和位置。
在天文学中，射影定理可以帮助我们确定天体在观测设备上的投影位置和运动轨迹。
而在航空航天领域，射影定理则可以用来计算卫星的轨道和通信信号的传播路径。
总之，射影定理是几何学中的一个重要定理，它在解决空间中的投影问题时具有广泛的应用。
通过应用射影定理，我们可以解决建筑设计、计算机图形学、地理测量、天文学和航空航天等领域中的实际问题。
射影定理的应用不仅可以提高我们对空间结构和形状的理解，还可以为相关领域的研究和实践提供有效的工具和方法。
因此，深入理解和应用射影定理对于几何学的学习和应用具有重要意义。
冷知识：射影几何的发现
射影几何是数学中的一个分支，它是关于几何图形经过投影变换后，仍然不会变化的几何性质的研究。
与基本几何相比，射影几何有投影后不变的独特性质，也正是这样的性质，射影几何能够更容易地与其他几何系统互相联系。
通过这样的密切联系，可以使用射影几何处理一些度量问题。
基于建筑学的发展和绘画雕塑的需要，射影几何的发展历史可谓十分悠久，早在古希腊时期，欧几里得就有一些关于透视的发现。
在透视中，两条平行轨道在视线远处将会相交于一点，这种两条平行直线在无穷远处相交的点在射影几何中被称为无穷远点。
为什么两条平行直线会在无穷远处相交呢？我们平常所接触到的几何是在欧几里得几何（也被称为欧氏几何）的范畴下阐述的。
几何中的所有图形经过位移或旋转变换后，性质不会发生变化，平行线会一直平行永不相交，这样的说法也是在欧氏几何的范畴中成立的。
可以说，射影几何的范畴比欧式几何小得多，它仅仅是关于投影变换后不变的几何研究。
射影几何可以通过仿射平面加上无穷远处的一条线进行建模，并将这条线看作是“一般”。
如果以解析几何做出射影几何的代数模型，将会用到齐次坐标。
由于射影几何所包含的公理最少，可以将其视为仿射几何与欧式几何的基础，从范围而言，射影几何＜仿射几何＜欧式几何。
15世纪时，意大利文艺复兴早期著名工程师布鲁内莱斯基开始对透视的几何结构进行研究；16世纪末17世纪处，无穷远点的概念被独立提出。
同一时期，法国数学家笛沙格概括了消失点的用途并纳入无穷远处的情形，发展出了构建透视图的另一种方法，开始了对圆锥曲线的研究，使得欧式几何中平行线在任何情况下都平行的特性，成为其他几何系统包括射影几何中的特例。
这一研究被法国数学家帕斯卡发现并进一步将其公式化，发展成为了帕斯卡定理。
射影几何的基础论述直到1822年才被法国数学家吉恩-维克托·彭赛列具体描述，彭赛列也因此被称为射影几何的创始人之一。
彭赛列发现了物体的不同类型的射影性质，并建立了射影性质与度量性质之间的关系。
射影几何的起源
射影几何的起源在欧洲文艺复兴时期，许多著名的画家，包括多才多艺的达·芬奇，以他们非凡的技巧和才能，为透视学的研究，作出了卓越的贡献。
他们的成果，很快地影响到几何学，并孕育出一门新的几何学分支——射影几何。
所谓射影是指：从中心O发出的光线投射锥，使平面Q上的图形Ω，在平面P上获得截景Ω1。
则Ω1称为Ω关于中心O在平面P上的射影。
射影几何就是研究在上述射影变换下不变性质的几何学。
为射影几何的诞生奠基的，是两位法国数学家：笛沙格（Desargues，1591～1661）和帕斯卡（Pascal，1623～1662）。
公元1636年，笛沙格发表了题为《用透视表示对象的一般方法》一书。
在这本书里，笛沙格首次给出了高度、宽度和深度“测尺”的概念，从而把绘画理论与严格的科学联系起来。
公元1639年，笛沙格在平面与圆锥相截的研究中，取得了新的突破。
他论述了三种二次曲线都能由平截面圆锥而得，从而可以把这三种曲线都看盾成是圆的透视图形。
这使有关圆锥曲线的研究，有了一种特别简捷的形式。
不过，笛沙格的上述著作后来竟不幸失传，直到200年后，公元1845年的一天，法国数学家查理斯，由于一个偶然的机会，在巴黎的一个旧书摊上，惊异地发现了笛沙格原稿的抄本，从而使笛沙格这一被埋没了的成果，得以重新发放光辉！笛沙格之所以能青史留名，还由于以下的定理：如果两个空间三角形对应顶点的三条联线共点，那么它们对应边直线的交点共线。
这个定理后来便以笛沙格的名字命名。
有趣的是：把笛沙格定理中的“点”改为“直线”，而把“直线”改为“点”，所得的命题依然成立。
即如果两个空间三角形的对应边直线的三个交点共线，那么它们对应顶点的联线共点。
在射影几何中，上述现象具有普遍性。
一般地，把一个已知命题或构图中的词语，按以下“词典”进行翻译：将得到一个“对偶”的命题。
两个互为对偶的命题，要么同时成立，要么同时不成立。
这便是射影几何中独有的“对偶原理”。
射影定理立体几何
射影定理立体几何射影定理是立体几何中非常重要的定理之一，它在许多问题的解决中起着关键的作用。
本文将介绍射影定理的概念、应用和证明过程。
射影定理是指：在平行于某一平面的平面上，被这个平面所截的直线的射影线段互相相等。
也就是说，如果一条直线与平面相交，它在这个平面上的两个截点到射影平面上的两个射影点的距离相等。
射影定理是由古希腊数学家欧几里得最早提出的。
射影定理在几何学中的应用非常广泛。
例如，在计算空间中两条直线之间的夹角时，可以利用射影定理将直线投影到一个平行于另一条直线的平面，然后计算投影线段的夹角。
此外，在解决立体几何问题中，常常需要利用射影定理来分析和推导各种关系。
下面，我们来证明射影定理。
假设有一条直线AB与平面CD相交，BC平行于平面CD。
取点E、F分别在直线AB上，使得AE=BF。
现要证明CE=DF。
首先，连接CF和DE，并设它们的交点为G。
由于BC平行于平面CD，所以CE平行于平面BCD。
而根据射影定理，射影线段CG与DE相等。
所以CG=DE。
同样的，根据射影定理，射影线段CG与CF相等。
所以CG=CF。
另一方面，由于AE=BF，所以射影线段AG与BF相等。
根据射影定理，射影线段AG与EF相等。
所以AG=EF。
由于CG=CF，而CG=DE，所以DE=CF。
又由于AG=EF，所以CE=DF。
因此，我们证明了射影定理。
通过射影定理，我们可以更方便地解决一些立体几何问题。
例如，在平行四边形中，如果一对对角线互相平行，则这个平行四边形是一个梯形。
利用射影定理，我们可以证明对角线的交点到平行边的距离相等，从而推导出对角线平行的结论。
总而言之，射影定理在立体几何中有着广泛的应用。
它的概念简单易懂，应用广泛且实用。
通过射影定理，我们可以更加方便地解决各种立体几何问题，推导和证明各种几何关系，为我们的几何学习和研究提供了一个重要的工具。
射影定理是立体几何中不可或缺的一环，我们应该充分理解其概念，掌握其应用，以提升我们的数学水平。
射影几何定理
射影几何定理（原创实用版）目录1.射影几何定理的概述2.射影几何定理的证明方法3.射影几何定理的应用领域4.射影几何定理的意义和影响正文射影几何定理是射影几何中的一个基本定理，它对射影空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系进行了深入的研究。
射影几何定理的内容主要包括以下几个方面：首先，射影几何定理对射影空间中的直线与直线的位置关系进行了详细的描述。
在射影空间中，一条直线可以看作是一个二维子空间，两条直线的位置关系可以分为相交、平行和重合三种情况。
射影几何定理通过引入射影矩阵的概念，给出了判断两条直线位置关系的方法。
其次，射影几何定理对射影空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系进行了探讨。
在射影空间中，一条直线与一个平面的位置关系可以分为直线在平面上、直线与平面相交、直线与平面平行和直线在平面内四种情况；两个平面的位置关系可以分为相交、平行和重合三种情况。
射影几何定理通过射影矩阵的运算，给出了判断这些位置关系的方法。
射影几何定理在实际应用中具有广泛的应用领域。
在计算机图形学中，射影几何定理可以用来判断物体之间的遮挡关系；在计算机视觉中，射影几何定理可以用来检测图像中的特征点；在机器学习中，射影几何定理可以用来解决线性分类问题。
射影几何定理在射影几何中具有重要的意义和影响。
它不仅丰富了射影几何的研究内容，而且为射影几何在实际应用中提供了有力的理论支持。
射影几何定理的研究还推动了射影代数和射影几何其他领域的发展，为数学和工程学科的交叉融合做出了贡献。
总之，射影几何定理是射影几何中的一个基本定理，它对射影空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系进行了深入的研究，并在实际应用中具有广泛的应用领域。
简述几何学的发展史
简述几何学的发展史发表时间：2011-03-14T09:37:38.280Z 来源：《新校园》理论版2010年第11期供稿作者：张镝[导读] 他们对射影几何作出了突出的贡献，但他们局限于将这种几何学作为欧氏几何的一部分来研究。
张镝（长春医学高等专科学校，吉林长春130031）摘要：本文简要的阐述了几何学思想的发展简史，包括欧氏几何的确立，射影几何的发展，解析几何、非欧几何的诞生与发展，直至几何学的统一。
关键词：几何学；发展史几何学是一门古老而实用的科学，是自然科学的重要组成部分。
在史学中，几何学的确立和统一经历了二千多年，数百位数学家做出了不懈的努力。
一、欧氏几何的创始公认的几何学的确立源自公元300 多年前，希腊数学家欧几里得著作《原本》。
欧几里得在《原本》中创造性地用公理法对当时所了解的数学知识作了总结。
全书共有13 卷，包括5 条公理，5 条公设，119 个定义和465 条命题。
这些公设和公理及基本定义成为《原本》的推理的基础。
欧几里得的《原本》是数学史上的一座里程碑，在数学中确立了推理的范式。
他的思想被称作“公理化思想”。
二、解析几何的诞生解析几何是变量数学最重要的体现。
解析几何的基本思想是在平面上引入“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对（x,y）建立一一对应的关系，于是几何问题就转化为代数问题。
解析几何的真正创立者应该是法国数学家迪卡儿和费马。
1637 年迪卡儿在《更好的指导推理和寻求科学真理的方法论》的附录《几何学》[1]中清晰的体现了解析几何的思想。
而费马则是在论平面和立体的轨迹引论中阐述了解析几何的原理，他在书中提出并使用了坐标的概念，同时建立了斜坐标系和直角坐标系。
三、非欧几何的诞生与发展非欧几何的诞生源于人们长久以来对欧几里得《原本》中第五公设即平行公设的探讨，但一直未得到公设的结论。
直到数学家高斯、波约和俄国数学家罗巴切夫斯基在自己的论著中都描述了这样一种几何，以“从直线外一点可以引不止一条直线平行于已知直线”作为替代公式，进行推理而得出的新的一套几何学定理，并将它命名为非欧几何，一般称为“罗氏几何”。
射影几何的故事
再来看射影平面。设想我们站在射影平 面上, 沿着任何一条直线往前走, 在到达了无 穷远点后继续往前走, 都会回到了出发点。按 这样的理解, 射影平面的拓扑结构, 就颇有些 费解了。 可以这样设想 (见下图): 将一个圆盘的每 对对径点 (就是直径的两个端点) 粘合起来, 所 得的曲面就与射影平面有相同的拓扑结构, 不 过试一下就可见这样的粘合在寻常空间中是 不可能做到的, 事实上这可以在 4 维空间中做 到。
自从射影空间被发现以来, 很多深入的 研究揭示了射影空间的很多不平凡的性质 和结构, 内容极其丰富, 例如上面说到的射影 平面的拓扑性质和代数性质, 都可以推广到 高维射影空间。限于时间这里不能进一步 介绍了。
5. 构形定理与参量空间
现在我们回过头来看前面所说的构形 定理, 它们看上去都很复杂, 在历史上, 最 早的证明更是复杂得多。但是用今天的观 点, 都可以很简单地证明。前面我们已经 给出德萨格定理的证明。我们将利用下面 的一个定理来证明其他一些构形定理, 为 此先做一些准备。
这两个定理看上去复杂, 却是非常基本的, 有时甚至作为公理。 请注意这两个图都有很强的对称性:德萨格 定理的图中有 10 个点, 10 条直线, 每条直线上 有 3 个点, 过每个点有 3 条直线;帕普斯定理的 图中有 9 个点, 9 条直线, 每条直线上有 3 个点, 过每个点有 3 条直线。 象这样的复杂且只与结合性有关的定理很 多, 一般都有很对称的图, 统称为“构形定理”。 例如下面的图都是构形定理的图。
结束语 同学们可能注意到, 以往所学的很多数学 知识在上面都用到, 而且交织在一起。事实上 数学是一个整体, 而不是由一些彼此独立的学 科组成。希望同学们在今后的学习中注意各 个课题 (代数、几何、三角等) 之间的相互联 系, 而不要把它们相互孤立起来。
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在风景照片上我们经常可以看到这样 的现象 (见下面的照片)。
“平行线的投影可能交于一点”这个原 理很有用, 例如在上面的照片中, 太阳被云遮 住了, 但有几道光线射出来, 如果我们将两道 光线延长, 得到一个交点, 这个交点就是太阳 的位置。 习题 2: 可能有人会问: 太阳光线不是平行的 吗? 怎么能相交呢? 请你回答这样的问题。 下面的图说明圆在投影下的像是椭圆、 抛物线或双曲线的情形。
先用一个小问题来说明射影空间在组合 学中的作用。有 7 个男生和 7 个女生, 每个男 生认识 3 个女生, 每个女生认识 3 个男生, 每两 个男生恰有一个共同认识的女生, 每两个女生 恰有一个共同认识的男生, 这样的组合可能吗? 如果可能, 能不能具体给出一个例子? 这是可能的, 具体例子可以用一个射影平 面给出, 不过这不是上面说的实的或复的射影 平面, 而是一个建立在“同余数”上的射影平 面, 限于时间我们不能详细介绍了, 但这是不 难懂的。
站在地球表面看地平线
在风景中经常可以看到地平线, 不过 多半是在水边 (见下面的照片)。 如果朝着地面上一条很长的直线的 方向看去, 会看到直线与地平线交于一 点, 称为“消失点”, 一组相互平行的直 线有相同的消失点 (见下面的照片) 。
2. 投影构形
在平面几何中有一些只与“结合性” (即相交性) 有关的命题, 如“过两点存在唯 一直线”、“两平面或者平行或者交于一 条直线”, 等等。这些都是公理或简单的 定理, 但还有一些只与结合性有关的相当 复杂的定理, 例如:
下面再来看射影空间的代数结构。 我们知道, 仿射平面上两条直线的交点个 数可能是 0 或 1, 但射影平面上两条直线的交 点个数只能是 1, 比仿射平面的情形简单。对 于一般的代数曲线的交点个数问题, 也是射影 平面比仿射平面简单。 例如, 在仿射平面上两条二次曲线的交点 个数可能是 0-4 (见下图)。
实际上情况还要更复杂, 因为可能出现 两条二次曲线相切的情形。 可能出现的情况有: 两曲线有一个交点 且交点为切点; 两曲线有两个交点且其中一 个交点为切点; 两曲线有三个交点且其中一 个交点为切点; 两曲线有两个交点且都是切 点 (见下图, 其中最后一张图下面还要进一步 解释)。
注意定理中所涉及的交点的坐标可能 是复数, 这是画不出来的, 我们通常画的只是 示意图。
这些例外情形使定理的叙述甚为复杂, 一方 面要排除各种平行的情形以得到对一般情形的陈 述, 另一方面对每个特殊情形将陈述作适当修改 仍能成立。 人们发现, 若 (作为公理) 对每条直线加上一 个“无穷远点”, 并规定相互平行的直线交于无 穷远点, 所有无穷远点组成一条“无穷远直线”, 则所有构形定理仍成立而没有了例外情形。直观 地, 这个“无穷远点”就是透视图上的消失点, 而 无穷远直线就是地平线。
射影空间对于应用领域也有重要的作用。 例如, 在编码和密码学中有很多利用射影空间 构造码的方法。
在计算数学中, 解多项式方程组首先就要 通过射影空间来判定解的个数。在符号计算 中也涉及射影空间。 前面说到的“参量空间”的思想, 在数论 等其他领域中起着重要的作用, 近年来在理论 物理中也成为一个重要的工具。
另一个意义: 将空间中 的物体投影在画面上。 例如: 小孔成像, 凸透 镜成像, 眼睛看物体等。
照相与点光源照射的物理意义 不同: 不是发出光线, 而是接收光线。 但数学的理解是相同的, 就是将物体 上的任一点 X 与投影中心点 (点光源 或焦点) 连结一条直线, 与投影平面 交于一点 Y, 则 Y 点就是X 点在投影平 面上的投影。物体上所有点的投影 合起来就组成整个物体的投影。
射影空间对于数论的影响是上个世纪开 始的, 这方面的影响非常广泛和深刻, 这里 无法全面介绍, 仅举一个例子: 前面说到的三 次射影曲线, 如果是光滑的, 就称为“椭圆曲 线”, 它是数论中的重要研究对象和强有力的 工具, 它对数论的影响可以追溯到 1930 年代, 著名的费尔马大定理的证明就依赖于椭圆曲 线, 千禧年悬赏百万美圆的 7 个数学问题中, “BSD 猜想”就是一个关于椭圆曲线的问题。
对二次曲线也有类似的构形定理, 如
上面的几个定理绝非仅仅是一种游戏 (“有 观赏价值”), 恰恰相反, 它们都是有关学科中重 要的基本定理。 这些定理的图有一个共同点, 就是如果把它 们投影到另一个平面上, 仍然是同一个定理的图, 所以常称为“投影构形”。 但我们前面看到, 原来相交的直线, 在投影 后可能变成相互平行的了，而原来相互平行的 直线在投影后则可能变成相交的。此时构形定 理的叙述需要改变。
对投影的研究有很长的历史, 在古 代的绘画中已对此做了研究。简言之, 画风景画就是以人眼为中心, 将风景中 的物体投影在画板上。 直观上, 看东西“近大远小”, 反映 在绘画上, 就可以用例如人物的大小来 给出远近的感觉, 就是“立体感”。 对这方面的系统研究, 后来在西方艺术 中产生了“透视”的概念。这就是“画 法几何”中透视图的基本原理。
射影平面的拓扑结构是最简单的单侧封闭 曲面, 它可以看做将一个默比乌斯带的边界粘到 一个圆盘的边界所得到的封闭曲面。 不难看到在现实的空间中是无法将默比乌 斯带和圆盘粘到一起的, 但这可以在四维空间中 做到。 如果硬要在三维空间中作出, 那就需要允许 曲面和自己相交, 这样得到的曲面如下图, 它的 结构可以理解为下面的“七面体” : 正八面体 的三个反射面连通四个互不相邻的面。
自从射影空间被发现以来, 很多深入的 研究揭示了射影空间的很多不平凡的性质 和结构, 内容极其丰富, 例如上面说到的射影 平面的拓扑性质和代数性质, 都可以推广到 高维射影空间。限于时间这里不能进一步 介绍了。
5. 构形定理与参量空间
现在我们回过头来看前面所说的构形 定理, 它们看上去都很复杂, 在历史上, 最 早的证明更是复杂得多。但是用今天的观 点, 都可以很简单地证明。前面我们已经 给出德萨格定理的证明。我们将利用下面 的一个定理来证明其他一些构形定理, 为 此先做一些准备。
1. 什么是投影
“投影”亦称“射影”, 来源于物 体在点光张透明胶片上有一个图形, 那么它在光源照射下的影子是什么样的 呢? 例如在下面的图中, 某个平面上有 一个三角形 ABC, 在点光源 S 的照射下 投影到平面 P 上, 形成一个投影, 它也是 一个三角形。
这两个定理看上去复杂, 却是非常基本的, 有时甚至作为公理。 请注意这两个图都有很强的对称性:德萨格 定理的图中有 10 个点, 10 条直线, 每条直线上 有 3 个点, 过每个点有 3 条直线;帕普斯定理的 图中有 9 个点, 9 条直线, 每条直线上有 3 个点, 过每个点有 3 条直线。 象这样的复杂且只与结合性有关的定理很 多, 一般都有很对称的图, 统称为“构形定理”。 例如下面的图都是构形定理的图。
再来看射影平面。设想我们站在射影平 面上, 沿着任何一条直线往前走, 在到达了无 穷远点后继续往前走, 都会回到了出发点。按 这样的理解, 射影平面的拓扑结构, 就颇有些 费解了。 可以这样设想 (见下图): 将一个圆盘的每 对对径点 (就是直径的两个端点) 粘合起来, 所 得的曲面就与射影平面有相同的拓扑结构, 不 过试一下就可见这样的粘合在寻常空间中是 不可能做到的, 事实上这可以在 4 维空间中做 到。
当然这样得到的是一条默比乌斯带 (参看下图)。由此可见射影平面是单侧的, 这当然和寻常的平面大不相同。
射影平面与寻常平面的另一个不同 之处是“紧致性”, 直观地说就是“封闭 的”, 不象寻常平面那样是开放的。
但射影平面也有很多和寻常平面一致之 处, 例如它也是光滑的, 具有解析的结构 (就是 说可以建立很好的坐标系)。还有, 在射影平 面上的任何一个圈都可以连续地收缩为一个 点, 不象环面 (见下图) 那样。
6. 射影空间在近代和现代 数学中
在历史上, 射影空间自从被发现和研 究以后, 逐渐渗入数学的很多其他领域, 以 及数学之外的一些领域 (如物理)。 前面已经看到射影空间在几何学、代 数学和拓扑学中的重要地位, 实际上射影 空间的影响远不止此, 要了解现代数学不 可不了解射影空间。
在寻常的直线上加上一个无穷远点, 就 扩充成了“射影直线”; 在寻常的平面上 加上所有无穷远点, 就扩充成了“射影平 面”, 其中所有无穷远点组成无穷远直线。 在数学上怎样刻画射影平面呢?
4. 射影空间的结构
如我们前面所说, 射影空间是与寻常 的空间大不相同的几何结构。 首先我们来看它们的拓扑结构。
如果让点光 源的位置连续变 化，则圆的投影 如右边这样变化。
地平线:
如果地面很平, 朝着地面上远方望去 看到天地交界处是一条直线, 这就是所谓 地平线。由于地球是球体, 实际上地平线 是所能看到的最远地方。下图是一个夸张 的说明。 实际上, 即使地面完全是平的, 仍然可 以看到地平线。它是天空和地面投影到视 网膜上的图象的分界线, 直观上可以理解 为“地面上的无限远处”。
结束语 同学们可能注意到, 以往所学的很多数学 知识在上面都用到, 而且交织在一起。事实上 数学是一个整体, 而不是由一些彼此独立的学 科组成。希望同学们在今后的学习中注意各 个课题 (代数、几何、三角等) 之间的相互联 系, 而不要把它们相互孤立起来。
一个图形经过投影后变成什么样 子, 这是一个数学问题, 术语叫做“射 影变换”。
很容易从实验看到: 1. 直线的投影仍是直线。 2. (平面) 二次曲线的投影仍是二次曲 线。
习题 1: 证明上述事实。
但是: 1. 平行的直线经过投影后不一定是平行线; 反之, 不平行的直线经过投影后可能成 为平行线。 2. 圆在投影下的像可以是椭圆、抛物线或 双曲线。 3. 一组相互平行的直线的投影可能是相交 于同一点的一组直线, 反之亦然。
我们先来看射影直线, 它是由寻常的直线 加一个无穷远点得到的, 如果沿着直线走, 无 论是向前走还是向后走, 最终都能到达同一个 无穷远点。为清楚起见, 假定我们沿着直线往 南走, 如果在到达了无穷远点后继续往前走, 那么我们走到哪里了呢? 我们发现走到了出发 点的北面, 如果再往南走就回到了出发点! 这就是说, 射影直线其实是个大圆圈, 那 么为什么它看上去不是弯曲的呢? 因为这个圆 圈的半径是无穷大!