射影几何的故事

射影空间对于应用领域也有重要的作用。 例如, 在编码和密码学中有很多利用射影空间 构造码的方法。
在计算数学中, 解多项式方程组首先就要 通过射影空间来判定解的个数。在符号计算 中也涉及射影空间。 前面说到的“参量空间”的思想, 在数论 等其他领域中起着重要的作用, 近年来在理论 物理中也成为一个重要的工具。
当然这样得到的是一条默比乌斯带 (参看下图)。由此可见射影平面是单侧的, 这当然和寻常的平面大不相同。
射影平面与寻常平面的另一个不同 之处是“紧致性”, 直观地说就是“封闭 的”, 不象寻常平面那样是开放的。
但射影平面也有很多和寻常平面一致之 处, 例如它也是光滑的, 具有解析的结构 (就是 说可以建立很好的坐标系)。还有, 在射影平 面上的任何一个圈都可以连续地收缩为一个 点, 不象环面 (见下图) 那样。
射影空间对于数论的影响是上个世纪开 始的, 这方面的影响非常广泛和深刻, 这里 无法全面介绍, 仅举一个例子: 前面说到的三 次射影曲线, 如果是光滑的, 就称为“椭圆曲 线”, 它是数论中的重要研究对象和强有力的 工具, 它对数论的影响可以追溯到 1930 年代, 著名的费尔马大定理的证明就依赖于椭圆曲 线, 千禧年悬赏百万美圆的 7 个数学问题中, “BSD 猜想”就是一个关于椭圆曲线的问题。
如果让点光 源的位置连续变 化，则圆的投影 如右边这样变化。
地平线:
如果地面很平, 朝着地面上远方望去 看到天地交界处是一条直线, 这就是所谓 地平线。由于地球是球体, 实际上地平线 是所能看到的最远地方。下图是一个夸张 的说明。 实际上, 即使地面完全是平的, 仍然可 以看到地平线。它是天空和地面投影到视 网膜上的图象的分界线, 直观上可以理解 为“地面上的无限远处”。
这两个定理看上去复杂, 却是非常基本的, 有时甚至作为公理。 请注意这两个图都有很强的对称性:德萨格 定理的图中有 10 个点, 10 条直线, 每条直线上 有 3 个点, 过每个点有 3 条直线;帕普斯定理的 图中有 9 个点, 9 条直线, 每条直线上有 3 个点, 过每个点有 3 条直线。 象这样的复杂且只与结合性有关的定理很 多, 一般都有很对称的图, 统称为“构形定理”。 例如下面的图都是构形定理的图。
先用一个小问题来说明射影空间在组合 学中的作用。有 7 个男生和 7 个女生, 每个男 生认识 3 个女生, 每个女生认识 3 个男生, 每两 个男生恰有一个共同认识的女生, 每两个女生 恰有一个共同认识的男生, 这样的组合可能吗? 如果可能, 能不能具体给出一个例子? 这是可能的, 具体例子可以用一个射影平 面给出, 不过这不是上面说的实的或复的射影 平面, 而是一个建立在“同余数”上的射影平 面, 限于时间我们不能详细介绍了, 但这是不 难懂的。
6. 射影空间在近代和现代 数学中
在历史上, 射影空间自从被发现和研 究以后, 逐渐渗入数学的很多其他领域, 以 及数学之外的一些领域 (如物理)。 前面已经看到射影空间在几何学、代 数学和拓扑学中的重要地位, 实际上射影 空间的影响远不止此, 要了解现代数学不 可不了解射影空间。
在风景照片上我们经常可以看到这样 的现象 (见下面的照片)。
“平行线的投影可能交于一点”这个原 理很有用, 例如在上面的照片中, 太阳被云遮 住了, 但有几道光线射出来, 如果我们将两道 光线延长, 得到一个交点, 这个交点就是太阳 的位置。 习题 2: 可能有人会问: 太阳光线不是平行的 吗? 怎么能相交呢? 请你回答这样的问题。 下面的图说明圆在投影下的像是椭圆、 抛物线或双曲线的情形。
结束语 同学们可能注意到, 以往所学的很多数学 知识在上面都用到, 而且交织在一起。事实上 数学是一个整体, 而不是由一些彼此独立的学 科组成。希望同学们在今后的学习中注意各 个课题 (代数、几何、三角等) 之间的相互联 系, 而不要把它们相互孤立起来。
对投影的研究有很长的历史, 在古 代的绘画中已对此做了研究。简言之, 画风景画就是以人眼为中心, 将风景中 的物体投影在画板上。 直观上, 看东西“近大远小”, 反映 在绘画上, 就可以用例如人物的大小来 给出远近的感觉, 就是“立体感”。 对这方面的系统研究, 后来在西方艺术 中产生了“透视”的概念。这就是“画 法几何”中透视图的基本原理。
1. 什么是投影
“投影”亦称“射影”, 来源于物 体在点光源或平行光源照射下投下的影 子。
假定一张透明胶片上有一个图形, 那么它在光源照射下的影子是什么样的 呢? 例如在下面的图中, 某个平面上有 一个三角形 ABC, 在点光源 S 的照射下 投影到平面 P 上, 形成一个投影, 它也是 一个三角形。
射影平面的拓扑结构是最简单的单侧封闭 曲面, 它可以看做将一个默比乌斯带的边界粘到 一个圆盘的边界所得到的封闭曲面。 不难看到在现实的空间中是无法将默比乌 斯带和圆盘粘到一起的, 但这可以在四维空间中 做到。 如果硬要在三维空间中作出, 那就需要允许 曲面和自己相交, 这样得到的曲面如下图, 它的 结构可以理解为下面的“七面体” : 正八面体 的三个反射面连通四个互不相邻的面。
一个图形经过投影后变成什么样 子, 这是一个数学问题, 术语叫做“射 影变换”。
很容易从实验看到: 1. 直线的投影仍是直线。 2. (平面) 二次曲线的投影仍是二次曲 线。
习题 1: 证明上述事实。
但是: 1. 平行的直线经过投影后不一定是平行线; 反之, 不平行的直线经过投影后可能成 为平行线。 2. 圆在投影下的像可以是椭圆、抛物线或 双曲线。 3. 一组相互平行的直线的投影可能是相交 于同一点的一组直线, 反之亦然。
下面再来看射影空间的代数结构。 我们知道, 仿射平面上两条直线的交点个 数可能是 0 或 1, 但射影平面上两条直线的交 点个数只能是 1, 比仿射平面的情形简单。对 于一般的代数曲线的交点个数问题, 也是射影 平面比仿射平面简单。 例如, 在仿射平面上两条二次曲线的交点 个数可能是 0-4 (见下图)。
另一个意义: 将空间中 的物体投影在画面上。 例如: 小孔成像, 凸透 镜成像, 眼睛看物体等。
照Fra Baidu bibliotek与点光源照射的物理意义 不同: 不是发出光线, 而是接收光线。 但数学的理解是相同的, 就是将物体 上的任一点 X 与投影中心点 (点光源 或焦点) 连结一条直线, 与投影平面 交于一点 Y, 则 Y 点就是X 点在投影平 面上的投影。物体上所有点的投影 合起来就组成整个物体的投影。
在寻常的直线上加上一个无穷远点, 就 扩充成了“射影直线”; 在寻常的平面上 加上所有无穷远点, 就扩充成了“射影平 面”, 其中所有无穷远点组成无穷远直线。 在数学上怎样刻画射影平面呢?
4. 射影空间的结构
如我们前面所说, 射影空间是与寻常 的空间大不相同的几何结构。 首先我们来看它们的拓扑结构。
再来看射影平面。设想我们站在射影平 面上, 沿着任何一条直线往前走, 在到达了无 穷远点后继续往前走, 都会回到了出发点。按 这样的理解, 射影平面的拓扑结构, 就颇有些 费解了。 可以这样设想 (见下图): 将一个圆盘的每 对对径点 (就是直径的两个端点) 粘合起来, 所 得的曲面就与射影平面有相同的拓扑结构, 不 过试一下就可见这样的粘合在寻常空间中是 不可能做到的, 事实上这可以在 4 维空间中做 到。
自从射影空间被发现以来, 很多深入的 研究揭示了射影空间的很多不平凡的性质 和结构, 内容极其丰富, 例如上面说到的射影 平面的拓扑性质和代数性质, 都可以推广到 高维射影空间。限于时间这里不能进一步 介绍了。
5. 构形定理与参量空间
现在我们回过头来看前面所说的构形 定理, 它们看上去都很复杂, 在历史上, 最 早的证明更是复杂得多。但是用今天的观 点, 都可以很简单地证明。前面我们已经 给出德萨格定理的证明。我们将利用下面 的一个定理来证明其他一些构形定理, 为 此先做一些准备。
对二次曲线也有类似的构形定理, 如
上面的几个定理绝非仅仅是一种游戏 (“有 观赏价值”), 恰恰相反, 它们都是有关学科中重 要的基本定理。 这些定理的图有一个共同点, 就是如果把它 们投影到另一个平面上, 仍然是同一个定理的图, 所以常称为“投影构形”。 但我们前面看到, 原来相交的直线, 在投影 后可能变成相互平行的了，而原来相互平行的 直线在投影后则可能变成相交的。此时构形定 理的叙述需要改变。
站在地球表面看地平线
在风景中经常可以看到地平线, 不过 多半是在水边 (见下面的照片)。 如果朝着地面上一条很长的直线的 方向看去, 会看到直线与地平线交于一 点, 称为“消失点”, 一组相互平行的直 线有相同的消失点 (见下面的照片) 。
2. 投影构形
在平面几何中有一些只与“结合性” (即相交性) 有关的命题, 如“过两点存在唯 一直线”、“两平面或者平行或者交于一 条直线”, 等等。这些都是公理或简单的 定理, 但还有一些只与结合性有关的相当 复杂的定理, 例如:
这些例外情形使定理的叙述甚为复杂, 一方 面要排除各种平行的情形以得到对一般情形的陈 述, 另一方面对每个特殊情形将陈述作适当修改 仍能成立。 人们发现, 若 (作为公理) 对每条直线加上一 个“无穷远点”, 并规定相互平行的直线交于无 穷远点, 所有无穷远点组成一条“无穷远直线”, 则所有构形定理仍成立而没有了例外情形。直观 地, 这个“无穷远点”就是透视图上的消失点, 而 无穷远直线就是地平线。
实际上情况还要更复杂, 因为可能出现 两条二次曲线相切的情形。 可能出现的情况有: 两曲线有一个交点 且交点为切点; 两曲线有两个交点且其中一 个交点为切点; 两曲线有三个交点且其中一 个交点为切点; 两曲线有两个交点且都是切 点 (见下图, 其中最后一张图下面还要进一步 解释)。
注意定理中所涉及的交点的坐标可能 是复数, 这是画不出来的, 我们通常画的只是 示意图。
采用这种方法就不需要讨论上面那样的退 化情形了。道理十分简单: 如果出现有两条直 线平行的情形, 就通过投影 (射影变换) 将它变 为没有两条直线平行的一般情形, 这样就只需 考虑这样的一般情形了。 这当然有了很多方便, 但更重要的是由此 发现了一种重要的几何结构 ------ 射影空间。
3. 射影空间
我们先来看射影直线, 它是由寻常的直线 加一个无穷远点得到的, 如果沿着直线走, 无 论是向前走还是向后走, 最终都能到达同一个 无穷远点。为清楚起见, 假定我们沿着直线往 南走, 如果在到达了无穷远点后继续往前走, 那么我们走到哪里了呢? 我们发现走到了出发 点的北面, 如果再往南走就回到了出发点! 这就是说, 射影直线其实是个大圆圈, 那 么为什么它看上去不是弯曲的呢? 因为这个圆 圈的半径是无穷大!
再讲一点射影空间与群论的关系。群论 的产生在数学的历史上有极其重要的意义, 但 在刚开始时人们所知道的群少得可怜, 后来发 现了建立在射影空间上的群, 大大丰富了对群 的认识。 在 1872 年克莱因 (F. Klein) 就指出变换群 与几何学的密切关系 (即所谓艾尔朗根纲领), 当时所研究的最“大”的空间就是射影空间, 最“大”的群就是射影群。多年来在这个方 向的研究已经非常深入, 形成了数学的一个重 要支柱。