中国数学奥林匹克(CMO)试题(含答案)

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题

第一天

1. 如图1，在圆内接ABC V 中，A ∠为最大角，不含点A 的弧»BC

上两点D 、E 分别为弧¼ABC 、¼ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O e ，过点A 、E 且与AD

相切的圆为2O e ，1O e 与2O e 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。

2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ⨯的矩阵，满足2

{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤=L 、。 允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列，将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1.若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵”。求好矩阵A 的个数。

3.证明：对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,,a a L ：

（1） 对每个正整数i ，有i

i a M >；

（2） 当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈-L 使得

1122m m n b a b a b a =+++L .

4.设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足

121n x x x +++=L 的非负实数12,,,n x x x L ，求1min{(),()}i j i j n

F f x f x ≤<≤=

∑

的最大值。

5.设n 为无平方因子的正偶数，k 为整数，p 为质数，满足

|p p <2,|()n p n k +.

证明：n 可以表示为ab bc ca ++，其中，,,a b c 为互不相同的正整数。

6.求满足下面条件的最小正整数k ：对集合{1,2,,2012}S =L 的任意一个k 元子集A ，都存在S 中的三个互不相同的元素a 、b 、c ，使得a b +、b c +、c a +均在集合A 中。

第一天

1. 如图2，联结EP 、BE 、BP 、CD 。

分别记BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠为A ∠、B ∠、C ∠，X 、Y 分别为CA 延长线、DA 延长线上的任意一点。 由已知条件易得,AD DC AE EB ==。结合A 、B 、D 、

E 、C 五点共圆得

1909022C

BAE AEB ∠∠=-∠=-

o o ， 1909022

B

CAD ADC ∠∠=-∠=-

o o 。 由AC 、AD 分别切1O e 、2O e 于点A 得180,APB BAX A ABP CAP ∠=∠=-∠∠=∠o

， 及180180()APE EAY DAE BAE CAD A ∠=∠=-∠=-∠+∠-∠o

o

180(90)(90)90222

C B A

A ∠∠∠=--

---∠=+

o o o o 故360902

A BPE AP

B APE APE ∠∠=-∠-∠=+=∠o o

在APE V 与BPE V 中，分别运用正弦定理并结合AE BE =，得 sin sin sin sin PAE PE PE PBE

APE AE BE BPE

∠∠===∠∠，故sin sin PAE PBE ∠=∠，又因为APE ∠、BPE

∠均为钝角，所以，PAE ∠、PBE ∠均为锐角，于是，PAE PBE ∠=∠， 故BAP BAE PAE ABE PBE ABP CAP ∠=∠-∠=∠-∠=∠=∠。

2. 由加减法的交换律和结合律可以将针对同一行或同一列的操作合并进行，并且无需考虑各操作间的次序。

假设所有操作的最终结果是对第i 行每个数减去i x ，对第j 列每个数减去j y ，其中

,(1)i j x y i j p ≤≤、可以是任意整数。

由题设知ij i j a x y =+对所有的(1j )i j i p ≤≤、、成立。

由于表中各数互不相同，则12,,,p x x x L 互不相同，12,,,p y y y L 互不相同。不妨设

12p x x x <<

不改变结论。同样，不妨设12p y y y <<

由上面的讨论知11121,2a a ==或212a =，不妨设122a =。否则，将整个数表关于主对

角线作对称，不改变题设也不改变结论。

下面用反证法证明：1,2,,p L 全在第一行中。

假设1,2,,(2)k k p ≤

如若不然，设前n 组k 个数均为块，但之后的k 个数不成为块（或之后不足k 个数），由此知对(1)1(1)21,2,,,,,,j k j k jk j n y y y -+-+=L L 构成块。从而，表格的前nk 列共可分成pn 个

1k ⨯的子表格,(1)1,(1)2,,,,(1,2,,;1,2,,)i j k i j k i jk a a a i p j n -+-+==L L L ，每个子表格中的k

个数构成块。

现假设2,11,1212111nk nk a a x x a a k ++-=-=-=，故2,1nk a a k +=+。从而a b +必定在前nk 列中。这样a b +含在某个前面所说的1k ⨯的块中，但a 、a k +都不在该块中，矛盾。

于是，第一行恰由若干个块构成。

特别地，有|k p 。但1k p <<，而p 是质数，这导致矛盾。

于是，数表的第一行恰为1,2,,p L ，而第k 行必定为(1)1,(1)2,,.k p k p kp -+-+L 因此，好矩阵A 在交换行，交换列，以及关于主对角线作对称下总可转化为唯一的形式。 所以，好矩阵的个数等于2

2(!).p

3. 递推地构造正整数序列{}n a 如下：取整数2

1a M >，以及211a a =+。对2k ≥，取整

数22

21

22121

1

,k k k

k i k

i i i a M

a a

k a ---==>+

=+∑∑。下面证明这一序列满足条件。

由定义知121m m m a a a a -->+++L 对1m >均成立，且对任意正整数k 有

2221k k k a a M ->>。

于是，这一序列是严格递增的正整数序列且满足条件（1）。

对任意正整数n 有21

21

n i n

i n a a

-==-

+∑及21

21

n i n i n a a

-=-=

-∑。

最后只需说明：0不能表示成1122m m b a b a b a +++L 的形式，其中，

12,,,{1,1}m b b b ∈-L 。

当1m =时，110b a >。