第四章 刚体转动解析

的作用点的位置对物体的运动有影响吗？
F
F
Fi 0 , Mi 0
圆盘静止不动
F
Fi 0 , Mi 0
F
圆盘绕圆心转动
力的作用点的位置对物体转动会产生影响.
4一– 1、刚力体矩的(定M轴 转动
F
)
第四章 刚体的转动
力 改变质点的运动状态 质点获得加速度
改变刚体的转动状态
➢ 作用：改变刚体的转动状态
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
4-1 刚体的定轴转动
4 §– 14.刚1体刚的体定定轴轴转转动动
第四章 刚体的转动
刚体：a. 在外力作用下，形状和大小都不发生变化的 物体（考虑大小、形状，忽略形变）
b. 任意两质点间距离保持不变的质点组
说明：⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
➢ 特点：只有垂直于转轴的力
对固定 转轴才有力矩 F F F
刚体获得角加速度
z
k
F
F
O r
F
平行转轴的分力不能改变定轴转动状态，只讨论 垂直转轴的力对转轴的力矩。
4 ➢–
1定刚义体式的：定轴M转动r
F
M rF sin Fd
➢ 方向：沿转轴
z第四章 刚体的转 动
F
M
r O d
*
P
➢ 合力矩：等于各分力矩的矢量和
➢ 角量与线量的关系： v r at r
an rω2
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
4 – 1 刚问体：的在定质轴点转问动题中，我们将物体所第四受章的刚力体均的作转动
用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作
用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理？力
圆盘半径为R、质量为m2）
解：直杆部分对O轴转动惯量
I1
1 3
m1L2
圆盘部分对O轴转动惯量 I2 I20 m2d 2
I
I1
I2
1 3
m1L2
1 2
m2 R 2
m2 (L
R)2
如果圆盘为质点：
I
I1 I2
1 3
m1L2
m2
L2
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
三、定轴转动定律（刚体中的牛二律）
3
轴位于中心C：
JC
l
2 l
2
x2
m l
dx
1 12
ml2
dx
A
B
l
x
A
C dx B
l2
l2
x
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
例2 均质圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J L R2dm 2πR R2dl
0
0
R2
2 πR
dl
2πR3
m
mR2
0
2πR
dl m
R
O
例3 均质圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
刚体的运动形式：平动、转动，一般运动．
4 平– 1动刚：体刚的体定中轴所转有动点的 运动轨迹都保持完全相 同．（或刚体内任意两 点连线的方向保持不变）
第四章 பைடு நூலகம்体的转动
平态动一特样点 ，： 如：各v点、运a动状等
都相同．
结论：刚体平动时，各质元的轨迹都一样，故可用体内 任意一点的运动来代表整体的运动。
（2）对于几何形状不规则刚体， 可以通过设计实验来测定其转动 惯量。
（3）物体改变其转动惯量，可 以改变其转动状态。
4 – 1 刚体的定轴转动
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
第四章 刚体的转动
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
4 –➢1 刚平体行的轴定定轴理转动
质量为m 的刚体，如果对
其对质任心一轴与的该转轴动平惯行量，为相距IC为，则d
的转轴的转动惯量
I IC md 2
例：圆盘对P 轴的转动惯量
IP
1 2
mR2
mR2
第四章 刚体的转动
d
C mO
P R Om
4例– 1: 右刚图体所的示定刚轴体转对动经过棒端且 O 第四章 刚体的转动 与棒垂直的轴的转动惯量如何
计算？(棒长为L、质量为m1 ,
质量为体分布时， dm dV
、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
例1 长 l、质量m 的均匀细棒绕垂直轴的转动惯量。
解： 取一小段 dx ，则 dm dx m dx J r 2dm l
轴位于端点A：
JA
l x2 m dx 1 ml2
0l
刚体平动 质点运动
4 –转1 刚动体：的刚定体轴中转所动有点都绕同一直线做第圆四周章运刚动体的转动
刚体的一般运动可看作：
+ 随质心的平动
绕质心的转动
的合成
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
➢ 刚体定轴转动的特点：
1） 2）
每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
任一质点运动 ,,
均相同，但
v,
a
不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
4 ➢–
1 刚刚体体的定定轴轴转转动动的角量描述：
角坐标 (t)
角位移 (t t)
(t)
第四章
刚体的转动
角速度 lim d
t t0 dt
角加速度 d
dt
方向：沿转轴，右手螺旋法则，习惯上取为正方向
方向：沿转轴， 与 同向为正，反之为负
阻力矩：M与 反向, M 0
（3）合力矩： M M动 M阻
F1
r1
or2
F2
M 2 r F2 0
M1 r F1 0
M M2 M1
4二– 1、刚转体动的惯定量轴转（动J
m ） 第四章 刚体的转动
➢ 物理意义：转动惯性大小的量度 .
➢ 定义： （1）质量离散分布刚体的转动惯量
ds 2πrdr
Rm dr
dm ds
m πR2
2πrdr
2mr R2
dr
r O
J
m r2dm
0
R 0
2m R2
r 3dr
m 2
R2
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
➢ 影响转动惯量的因素：
（1）刚体的总质量 （2）质量分布 （3）转轴的位置
➢ 注意：（1）只有对于几何形
状规则、质量连续且均匀分布的 刚体，才能用积分计算出刚体的 转动惯量。
J mi ri2 m1r12 m2r22
i
（2）质量连续分布刚体的转动惯量
r
dm
O
J miri2 r2dm i
r 质量元：dm 转动半径：
4
–➢1
刚体的定轴转动
连续分布刚体转动惯量的计算：J
第四r章2dm刚体的转动
dl
ds
线分布
面分布
体分布
质量为线分布时，dm dl
质量为面分布时， dm ds
M M1 M2 M3
➢ 注意：内力矩的矢量和为零
r1 F1 r2 F2 F1d F2d 0 M内 0
O
r2
r1
d
F2 F1
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
➢ 实际计算：矢量合成变为代数量计算。
（1）习惯上取 为正方向
（2）动力矩： M与 同向, M 0