第四章 刚体转动解析
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第4章刚体的定轴转动剖析
I 2r3dr 1 MR2 2
质量dm=dS
ω
R r dr M
常用的几个刚体的转动惯量
质点： I Mr2
rM
均匀圆环： Ic mR 2
CR M
均匀圆盘：
J c垂 直
1 2
mR 2
CR M
均匀杆：
Ic
1 12
ML2
I
A
1 3
ML2
C A
M
ll 22
关于转动惯量的性质
可加
I Ii
i
平行轴定理
4.1刚体的运动
刚体：任何情况下形状和体积都不改变的物体 （理想化模型）。 说明：
*刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对 位置保持不变。
*有关质点系的规律均可用于刚体，且表达 形式较一般的质点系简单。
4.1刚体的运动
刚体的平动
在运动中，连接刚体内任意两点的直线在各个 时刻的位置都彼此平行
平动时，刚体上所有点运动都相同。
d( dt
ri mi vi )
d dt
(ri
mi vi
)
ri
ddt(mi
vi
)
ri Fi//
Miz M z
z
vi
O ri
Fi //
i
mi
刚体
刚体角动量定理
Mz
dLz dt
Lz＝Iz
刚体定轴转动定理
Mz
dLz dt
d (I z)
dt
Iz
对于确定的刚体角加速度与合力矩成正比
[例4－5]在图示的装置中求 ：T1, T2, a, β.
列方程
m1g T1 =m1a T2 m 2g = m2 a
质量dm=dS
ω
R r dr M
常用的几个刚体的转动惯量
质点： I Mr2
rM
均匀圆环： Ic mR 2
CR M
均匀圆盘：
J c垂 直
1 2
mR 2
CR M
均匀杆：
Ic
1 12
ML2
I
A
1 3
ML2
C A
M
ll 22
关于转动惯量的性质
可加
I Ii
i
平行轴定理
4.1刚体的运动
刚体：任何情况下形状和体积都不改变的物体 （理想化模型）。 说明：
*刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对 位置保持不变。
*有关质点系的规律均可用于刚体，且表达 形式较一般的质点系简单。
4.1刚体的运动
刚体的平动
在运动中，连接刚体内任意两点的直线在各个 时刻的位置都彼此平行
平动时，刚体上所有点运动都相同。
d( dt
ri mi vi )
d dt
(ri
mi vi
)
ri
ddt(mi
vi
)
ri Fi//
Miz M z
z
vi
O ri
Fi //
i
mi
刚体
刚体角动量定理
Mz
dLz dt
Lz＝Iz
刚体定轴转动定理
Mz
dLz dt
d (I z)
dt
Iz
对于确定的刚体角加速度与合力矩成正比
[例4－5]在图示的装置中求 ：T1, T2, a, β.
列方程
m1g T1 =m1a T2 m 2g = m2 a
大学物理第四章刚体转动
进动和章动在自然界中实例
陀螺仪
地球极移
陀螺仪的工作原理即为进动现象。当 陀螺仪受到外力矩作用时，其自转轴 将绕某固定点作进动，通过测量进动 的角速度可以得知外力矩的大小和方 向。
地球极移是指地球自转轴在地球表面 上的移动现象，其产生原因与章动现 象类似。地球极移的周期约为18.6年 ，且极移的幅度会受到地球内部和外 部因素的影响。
天体运动
许多天体的运动都涉及到进动和章动 现象。例如，月球绕地球运动时，其 自转轴会发生进动，导致月球表面的 某些特征（如月海）在地球上观察时 会发生周期性的变化。同时，行星绕 太阳运动时也会发生章动现象，导致 行星的自转轴在空间中的指向发生变 化。
感谢观看
THANKS
02
刚体定轴转动动力学
转动惯量定义及计算
转动惯量定义
刚体绕定轴转动时，其惯性大小的量度称为转动惯量，用字母$J$表示。它是一个与刚体质量分布和转轴位置有 关的物理量。
转动惯量计算
对于形状规则的均质刚体，可以直接套用公式计算其转动惯量；对于形状不规则的刚体，则需要采用间接方法， 如分割法、填补法等，将其转化为规则形状进行计算。
刚体性质
刚体是一个理想模型，它在力的作用 下，只会发生平动和转动，不会发生 形变。
转动运动描述方式
01
02
03
定轴转动
平面平行运动
ห้องสมุดไป่ตู้
定点转动
物体绕一固定直线（轴）作转动。
物体上各点都绕同一固定直线作 不同半径的圆周运动，同时物体 又沿该固定直线作平动。
物体绕一固定点作转动。此时物 体上各点的运动轨迹都是绕该固 定点的圆周。
非惯性系下刚体转动描述方法
欧拉角描述法
第四章 刚体的转动讲解
Δθ=ωt
4）角位置
＝0＋ t
2．匀变速转动(t=0，ω=ω0，θ=θ0)
1）角加速度 ＝const
2）角速度 ＝0 t
3）角位移 4）角位置
＝
0
t
1 2
＝ 0＋ 0
t
t2
1 2
t
2
四、角量与线量的关系
半径R，角位移
弧长 s R
线速度v: v lim
法向加速度：
an
t 0
v2
R
lim s
R
t t0 t
(R)2 R 2
R
R
切向加速度：
a
dv dt
d dt
(R)
R
d
dt
R
结论：刚体作定轴转动时，在某一时刻刚体上所有
各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的；
而各点的线位移、线速度和线加速度均与r成正比。
M i
M F1r1 sin1 F2 r2 sin 2 F3r3 sin 3
单位： N.m
注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。
与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的
轴的力矩。用M表示。
用矢量表示 M r F
或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个
力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。
第四部分刚体的转动教学-
y
y
dA
x
dy
hy
x
O
Q
O
解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积元 dA Ldy
作用在此面积元上的力
dFpdApLdy
h100m
L1000m
y
令大气压为 p 0 ，则
pp0g(hy) h y
d F [p 0 g (h y)]L d y O
dA dy
x
F 0 h [p 0g (h y )]L d yp 0 L h 1 2g L h 2
解 （1）0 5πrads1, t = 30 s 时， 0.
设 t = 0 s 时， 0 0 .飞轮做匀减速运动
0 0 5 π ra d s 1 π ra d s 2
t 3 0
6
飞轮 30 s 内转过的角度
22 0 22 ((5 π π)26)75πrad
mB B
FT1
FT2
mAmBg mA mB
（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率
v 2ay
2mBgy
mAmBmC/2
（3） 考虑滑轮与轴承间的摩
擦力矩 M f ，转动定律
RF T2RF T1M f J
F T1
结合（1）中其它方程
Mf
F T2
FT 1mAa
m BgF T2 m Ba
NmR 784N
0
解：飞轮匀减速制动时有角加速度
0
t
01000r/m in2000/60104.7rad/s
0 t5s 0020.9rad/s2
t
fr
N
外力矩是摩擦阻力矩，
角加速度为负值。
第04章 刚体的转动
t dv ∫v0 v = 1.0∫0 dt , v
dv a= = 1.0 v dt
v = v0 e
t 0
1.0 t
o
v v0
y dy 1.0 t v= = v0e dy = v0 0 dt y = 10(1 e 1.0 t ) m
∫
∫e
1.0t
dt
y
v = v0 e
v0
0
1.0 t
y = 10(1 e
r r r r 相同， （2）任一质点运动的 θ , ω , α 相同，但 v , a 不同
2．角量与线量的关系 ．
dθ ω= dt 2 dω d θ α= = 2 dt dt
ω
v
v a
v v an r
v v v = rω et
a t = rα a n = rω
2
v et v vv a
t
v v 2v a = rα et + rω en
发生变化的物体。 任意两质点间 发生变化的物体。(任意两质点间 距离保持不变的特殊质点组) 距离保持不变的特殊质点组 刚体运动的基本形式：平动、转动。 刚体运动的基本形式：平动、转动。
平动： 平动：若刚体中所有
点的运动轨迹都保持完 全相同。 全相同。
刚体平动 质点运动
刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运 转动： 转动： 动。转动又分定轴转动和非定轴转动 .
v (bt ) an = = r r 2 4 b t 2 2 12 12 = b ( 2 + 1) （3） a = ( a t + a n ) ） r 2 4 at b t 1 2 tan = = ( 2 + 1) a r
dv dv =b （2） at = ） dt
dv a= = 1.0 v dt
v = v0 e
t 0
1.0 t
o
v v0
y dy 1.0 t v= = v0e dy = v0 0 dt y = 10(1 e 1.0 t ) m
∫
∫e
1.0t
dt
y
v = v0 e
v0
0
1.0 t
y = 10(1 e
r r r r 相同， （2）任一质点运动的 θ , ω , α 相同，但 v , a 不同
2．角量与线量的关系 ．
dθ ω= dt 2 dω d θ α= = 2 dt dt
ω
v
v a
v v an r
v v v = rω et
a t = rα a n = rω
2
v et v vv a
t
v v 2v a = rα et + rω en
发生变化的物体。 任意两质点间 发生变化的物体。(任意两质点间 距离保持不变的特殊质点组) 距离保持不变的特殊质点组 刚体运动的基本形式：平动、转动。 刚体运动的基本形式：平动、转动。
平动： 平动：若刚体中所有
点的运动轨迹都保持完 全相同。 全相同。
刚体平动 质点运动
刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运 转动： 转动： 动。转动又分定轴转动和非定轴转动 .
v (bt ) an = = r r 2 4 b t 2 2 12 12 = b ( 2 + 1) （3） a = ( a t + a n ) ） r 2 4 at b t 1 2 tan = = ( 2 + 1) a r
dv dv =b （2） at = ） dt
第四章 刚体解析
刚体的运动分为：平动(3)、定轴转动(1)、平面平行运动(3)、 定点转动(3)和一般运动(6) ，五种类型。
二、定点转动和欧拉角
刚体的定点转动可用欧拉角来描述：
Φ，θ，Ψ称为欧拉角。其中Φ称为进动角， θ称为章动角，
刚Ψ体称定为点自转转动角的。角速度ω可用欧拉角表示为：
欧拉运动学方程:(在体坐标系O-xyz中)
四、惯量椭球与惯量主轴
惯量椭球是描述惯量张量的几何方法。与O点联系的惯量 椭球方程为：
I11x2 I22 y2 I33z2 2I12 xy 2I13xz 2I32 yz 1
使惯量积等于零的坐标轴称为惯量主轴。
惯量主轴垂直于惯量椭球面，如以惯量主轴为坐标轴，则椭球 面的方程可写为标准形式的椭球方程：
设P滚过角度为 ,则S滚过角度为 r1
则P的角速度
s'
r1 r2
p
k
，而S自转角r速2 度
,S相对P的角速度
sp
k
S角速度为：
s sp s'
k
r1 r2
k
(1
r1 r2
)
r1 r2
k
(3) 因为S与P,P与地面之间绝对光滑,则两圆柱体只受重力和中心力 的作用,无力矩,所以S和P的角速度均为常数.
x
y
s in s in
sin cos
cos sin
z cos
注意：这里的刚体角速度 是刚体相对空间坐标系的转动角速
度，只不过是用对体坐标系的投影形式来表示。
刚刚体体任任一一点点的的速加度速：度：vavaccddt
r
r
三、转动惯量与惯量张量
平行轴定理：刚体对于任一固定轴线的转动惯量I等于通
二、定点转动和欧拉角
刚体的定点转动可用欧拉角来描述：
Φ，θ，Ψ称为欧拉角。其中Φ称为进动角， θ称为章动角，
刚Ψ体称定为点自转转动角的。角速度ω可用欧拉角表示为：
欧拉运动学方程:(在体坐标系O-xyz中)
四、惯量椭球与惯量主轴
惯量椭球是描述惯量张量的几何方法。与O点联系的惯量 椭球方程为：
I11x2 I22 y2 I33z2 2I12 xy 2I13xz 2I32 yz 1
使惯量积等于零的坐标轴称为惯量主轴。
惯量主轴垂直于惯量椭球面，如以惯量主轴为坐标轴，则椭球 面的方程可写为标准形式的椭球方程：
设P滚过角度为 ,则S滚过角度为 r1
则P的角速度
s'
r1 r2
p
k
，而S自转角r速2 度
,S相对P的角速度
sp
k
S角速度为：
s sp s'
k
r1 r2
k
(1
r1 r2
)
r1 r2
k
(3) 因为S与P,P与地面之间绝对光滑,则两圆柱体只受重力和中心力 的作用,无力矩,所以S和P的角速度均为常数.
x
y
s in s in
sin cos
cos sin
z cos
注意：这里的刚体角速度 是刚体相对空间坐标系的转动角速
度，只不过是用对体坐标系的投影形式来表示。
刚刚体体任任一一点点的的速加度速：度：vavaccddt
r
r
三、转动惯量与惯量张量
平行轴定理：刚体对于任一固定轴线的转动惯量I等于通
第四章 刚体的转动
1 1 2 2 E k＝ E ki mi ri ＝ 2 2
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
第四章 刚体转动
第四章 刚体的转动 问题4-1 以恒定角速度转动的飞轮上有两个点，一个点在飞轮的边缘，另一个点在转轴与边缘之间的一半处。
试问：在t ∆时间内，哪一个点运动的路程较长？哪一个点转过的角度较大？哪一个点具有较大的线速度、角速度、线加速度和角加速度？ 解 在一定时间内，处于边缘的点，运动的路程较长，线速度较大；它们转动的角度、角速度都相等；线加速度、角加速度都为零。
考虑飞轮上任一点P ，它随飞轮绕转轴转动，设角速度为ω，飞轮半径为r 。
在t ∆内，点P 运动的路程为P P l r t ω=∆，对于任意点的角速度ω恒定，所以离轴越远的点（P r 越大）运动的路程越长。
又因为点P 的线速度P P v r ω=，即离轴越远，线速度也越大。
同理，点P 转动的角度P t θω=∆，对于飞轮上任一个点绕轴转动的角速度ω都相等，即在相等的时间内，飞轮上的点转动的角度都相等。
又角速度ω恒定，即线加速度0P Pd a r dtω==，角加速度0P d dtωα==.4-2 如果一个刚体所受合外力为零，其合力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否也一定为零？解 不一定。
如图（a ）轻杆（杆长为l ）在水平面内受力1F 与2F 大小相等方向相反，合力为零，但它们相对垂直平面内通过O 点的固定轴的力矩1M F l =不为零。
如图（b ），一小球在绳拉力作用下在水平面内绕固定轴作圆周运动，小球所受的合外力通过O 点，它所受的力矩为零。
4-3 有两个飞轮，一个是木制的，周围镶上铁制的轮缘，另一个是铁制的，周围镶上木制的轮缘，若这两个飞轮的半径相同，总质量相等，以相同的角速度绕通过飞轮中心的轴转动，哪一个飞轮的动能较大。
1F（a ） （b ）解 两飞轮的半径、质量都相同，但木制飞轮的质量重心靠近轮缘，其转动惯量要大于铁制轮缘。
飞轮的动能212k E J ω=，ω相同，转动惯量J 越大，动能越大。
即木制飞轮动能较大。
第四章 刚体转动 fhfdtgj解析
子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转
过多少转？
解:(1) 先求 ~ t 关系 由题意，令 ct，即 d ct，积分
dt
t
d c tdt
得 1 ct 2
0
0
2
当t=300s 时
18000 r min 1 600 π rad s1
所以
c
2
t2
2 600π 3002
0.105 m s2
an r2 0.2 (4 )2 m s2 31.6m s1
4 – 1 刚例体2 的在定高轴速转旋动转的微型电机里，有第一四章圆刚柱体形的转转子动可
绕垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速
度 0 0，经300s 后，其转速达到 18000r·min-1 . 已知转
解 （1）0 5π rad s1, t = 30 s 时， 0.
设 t = 0 s 时，0 0 .飞轮做匀减速运动
0 0 5π rad s1 π rad s2
t
30
6
飞轮 30 s 内转过的角度
2
2 0
(5π )2
75π rad
2 2 (π 6)
4 – 1 刚体的定轴转动
z (t)
x
角位移
(t t) (t)
角速度矢量
lim d
t t0 dt
方向: 右手螺旋方向
转动平面
参考方向
4 刚– 1体刚定体轴的转定动轴（转一动维转动）
的转动方向可以用角速度的
正负来表示 . 角加速度
d
dt
第z四章 z 刚体的转动
>0 <0
定轴转动的特点
1） 2）
每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
过多少转？
解:(1) 先求 ~ t 关系 由题意，令 ct，即 d ct，积分
dt
t
d c tdt
得 1 ct 2
0
0
2
当t=300s 时
18000 r min 1 600 π rad s1
所以
c
2
t2
2 600π 3002
0.105 m s2
an r2 0.2 (4 )2 m s2 31.6m s1
4 – 1 刚例体2 的在定高轴速转旋动转的微型电机里，有第一四章圆刚柱体形的转转子动可
绕垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速
度 0 0，经300s 后，其转速达到 18000r·min-1 . 已知转
解 （1）0 5π rad s1, t = 30 s 时， 0.
设 t = 0 s 时，0 0 .飞轮做匀减速运动
0 0 5π rad s1 π rad s2
t
30
6
飞轮 30 s 内转过的角度
2
2 0
(5π )2
75π rad
2 2 (π 6)
4 – 1 刚体的定轴转动
z (t)
x
角位移
(t t) (t)
角速度矢量
lim d
t t0 dt
方向: 右手螺旋方向
转动平面
参考方向
4 刚– 1体刚定体轴的转定动轴（转一动维转动）
的转动方向可以用角速度的
正负来表示 . 角加速度
d
dt
第z四章 z 刚体的转动
>0 <0
定轴转动的特点
1） 2）
每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
第四章刚体的转动
第第四四章章 刚刚体体的的转转动动
4-1 刚体的定轴转动定律 4-2 力矩 转动定律 转动惯量 4-3角动量 角动量守恒定律 4-4力矩作功 定轴转刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量 的关系.
二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转 动定理.
三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕 定轴转动情况下的角动量守恒问题.
四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定 轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律 能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系
统的力学问题.
4-1 刚体的定轴转动定律 4-2 力矩 转动定律 转动惯量 4-3角动量 角动量守恒定律 4-4力矩作功 定轴转刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量 的关系.
二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转 动定理.
三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕 定轴转动情况下的角动量守恒问题.
四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定 轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律 能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系
统的力学问题.
大学物理第四章 刚体的转动(3课时)讲解
c
2
t2
2 600π 3002
π 75
rad s3
1 ct 2 π t 2
2 150
4-1 刚体的定轴转动
由 dq π t 2
dt 150
得
q
dq
π
t t 2dt
0
150 0
q π t 3 rad
450
在 300 s 内转子转过的转数
N q π (300)3 3104
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
4-0 教学基本要求
四 理解刚体定轴转动的转动动能概 念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确 地应用机械能守恒定律．
能运用以上规律分析和解决包括质点 和刚体的简单系统的力学问题．
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
第一节
第四章 刚体的转动
4-1 刚体的定轴转动
刚体：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组．)
18 000 r·min-1 ．转子的角加速度与时间成正
比．问在这段时间内，转子转过多少转？
解 令 ct，即 d ct ，积分
dt
t
d c tdt
得 1 ct 2
0
0
2
4-1 刚体的定轴转动
1 ct 2
2
当 t =300 s 时
18 000 r min 1 600 π rad s1
位置及方向 不变。
பைடு நூலகம்
该平面且通 过质心
刚体上 各质点都 以某一定 点为球心 的各个球 面上运动
复杂 的运动 与平动 的混合。
04 刚体的转动S
§4-3 转动定律
解得
m1R1 m2 R2 g 2 2 J m1R1 m2 R2
2
m1 g T1 m1a1 T2 m2 g m2 a2 T1R1 T2 R2 J a1 R1 a2 R2
§4-1 刚体的定轴转动
一、刚体模型 刚体：在外力作用下，大小和形状都不变 的物体 二、刚体的运动 平动：刚体运动时，其内部任一直线的方 向始终不变 特点：各点位移、速度、加速度均相同 ——可视为质点
§4-1 刚体的定轴转动
刚体质心的运动代表了刚体平动中每一质 元的运动
§4-1 刚体的定轴转动
y
R x
m
m
根据对称性有
Jx Jy
由垂直轴定理
J z J x J y 2J x
1 1 2 J x J z mR 2 2
d m R d r R cos
§4-2 转动惯量
[例3]长l、质量m的均匀细棒放在xOy平面内， 棒与x轴成30o角，其中心在O点。求它对x、y 和z轴的转动惯量。 解：细棒质量密度为 m l 在棒上取长为dl的质量元
v 角加速度 d d 2 dt dt 2
角量方向规定为沿轴方向， 指向用右手螺旋法则确定。
线速度与角速度的关系： d 加速转动 方向一致 减速转动 方向相反 dt
v r
§4-1 刚体的定轴转动
在刚体作匀变速转动（角加速度是 常量）时
三、角速度矢量
方向由右手螺旋法则确定
——角速度方向在转轴上
边缘一点 P v R 盘上任一点Pi vi ri 大小 vi ri ri sin ri
解得
m1R1 m2 R2 g 2 2 J m1R1 m2 R2
2
m1 g T1 m1a1 T2 m2 g m2 a2 T1R1 T2 R2 J a1 R1 a2 R2
§4-1 刚体的定轴转动
一、刚体模型 刚体：在外力作用下，大小和形状都不变 的物体 二、刚体的运动 平动：刚体运动时，其内部任一直线的方 向始终不变 特点：各点位移、速度、加速度均相同 ——可视为质点
§4-1 刚体的定轴转动
刚体质心的运动代表了刚体平动中每一质 元的运动
§4-1 刚体的定轴转动
y
R x
m
m
根据对称性有
Jx Jy
由垂直轴定理
J z J x J y 2J x
1 1 2 J x J z mR 2 2
d m R d r R cos
§4-2 转动惯量
[例3]长l、质量m的均匀细棒放在xOy平面内， 棒与x轴成30o角，其中心在O点。求它对x、y 和z轴的转动惯量。 解：细棒质量密度为 m l 在棒上取长为dl的质量元
v 角加速度 d d 2 dt dt 2
角量方向规定为沿轴方向， 指向用右手螺旋法则确定。
线速度与角速度的关系： d 加速转动 方向一致 减速转动 方向相反 dt
v r
§4-1 刚体的定轴转动
在刚体作匀变速转动（角加速度是 常量）时
三、角速度矢量
方向由右手螺旋法则确定
——角速度方向在转轴上
边缘一点 P v R 盘上任一点Pi vi ri 大小 vi ri ri sin ri
[分享]第四章刚体的转动问题与习题解答
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第四章 刚体的转动 问题与习题解答问题：4-2、4-5、4-94-2如果一个刚体所受合外力为零，其合力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否也一定为零？答：一个刚体所受合外力为零，其合力矩不一定为零，如图a 所示。
刚体所受合外力矩为零，其合外力不一定为零，例如图b 所示情形。
4-5为什么质点系动能的改变不仅与外力有关，而且也与内力有关，而刚体绕定轴转动动能的改变只与外力矩有关，而与内力矩无关？答：因为合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量；而质点系中内力一般也做功，故内力对质点系的动能的增量有贡献。
而在刚体作定轴转动时，任何一对内力对转轴的力矩皆为一对大小相等、方向相反的力矩，且因定轴转动时刚体转过的角度d θ都一样，故其一对内力矩所作的功()0inij ij ji ij ji W M d M d M M d θθθ=+=+=，其内力功总和也为零，因而根据刚体定轴转动的动能定理可知：内力矩对其转动动能的增量无贡献。
4-9一人坐在角速度为0ω的转台上，手持一个旋转的飞轮，其转轴垂直地面，角速度为ω'。
如果突然使飞轮的转轴倒转，将会发生什么情况？设转台和人的转动惯量为J ，飞轮的转动惯量为J '。
答：（假设人坐在转台中央，且飞轮的转轴与转台的转轴重合）视转台、人和飞轮为同一系统。
（1）如开始时飞轮的转向与转台相同，则系统相对于中心轴的角动量为：10L J J ωω''=+飞轮转轴快速倒转后，飞轮的角速度大小还是ω'，但方向与原来相反；如设转台此时的角速度为1ω，则系统的角动量为：21L J J ωω''=-在以上过程中，外力矩为零，系统的角动量守恒，所以有：10J J J J ωωωω''''-=+即 102J Jωωω''=+，转台的转速变大了。
（2）如开始时飞轮的转向与转台相反，则系统相对于中心轴的角动量为：10L J J ωω''=-飞轮转轴快速倒转后，飞轮的角速度大小还是ω'，但方向与原来相反；如设转台此时的角速度为1ω，则系统的F 1F 3ab角动量为：21L J J ωω''=+在以上过程中，外力矩为零，系统的角动量守恒，所以有：10J J J J ωωωω''''+=-即 102J Jωωω''=-，转台的转速变慢了。
大学物理一复习第四章刚体的转动
[A]
期中考题
8、在光滑的水平面上，一根长L=2m的绳子，一端固定于O点，另一端系一质量为m=0.5kg的物体，开始时，物体位于位置A，OA间距离d=0.5m,绳子处于松弛状态，现在使物体以初速度VA =4m /s垂直于OA向右滑动，设在以后的运动中物体到达位置B，此时物体速度的方向与绳垂直。
O
A
受力分析：
物体从静止下落时满足
m：
h
M：
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度．
书例3 一长为 l 、质量为 m 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动．由于此竖直放置的细杆处于非
m,l
二、转动定律
三、转动定律应用举例
1. 矢量式（定轴转动中力矩只有两个方向）；
2. 具有瞬时性且M、J、 是对同一轴而言的。
解题方法及应用举例
1.确定研究对象。
2.受力分析（只考虑对转动有影响的力矩）。
3.列方程求解(平动物体列牛顿定律方程，转动刚体列转动定律方程，并利用角量与线量关系)。
熟练掌握
角动量定理
03
角动量守恒定律
04
条件：M=0
05
熟练掌握
06
熟练掌握
07
二、基本定理、定律
1 如图：一定滑轮两端分别悬挂质量都是m的物块A和B，图中R和r，已知滑轮的转动惯量为J，求A、B两物体的加速度及滑轮的角加速度．
解
r
R
β
FT1
FT2
mg
mg
A
B
解得
例2：光滑斜面倾角为 ，顶端固定一半径为 R ，质量为 M 的定滑轮，质量为 m 的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面下滑，求:下滑的加速度 a 。 解：物体系中先以物体 m 研究对象，受力分析, 在斜面 x 方向上
第四章刚体的定轴转动
L 2
x2dx
1
ML2
L L2
12
z
(2) 由平行轴定理：
zc L/2
C
I
I C M (
L 2
)2
1 12
ML2
1 4
ML2
1 3
ML2
例题4-2： 求密度均匀的圆盘对通过中心并与盘面垂直的转轴 的转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为M。
在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的圆环，环的面积为2rdr，
环的质量为：
dm
2rdr
M
R2
2rdr
2M R2
rdr
转动惯量：
M
dr
I
r 2dm
2M R2
R r 3dr 1 MR 2
0
2
r p
§4-4 刚体的转动定理
1、力矩：
外力在平行于转轴方向的分力对刚体定轴转动不起作用，
所以只需考虑外力在垂直于轴的平面内的分力。
M
f
定义：外力相对于某固定轴的力矩为：
开始运动时的角速度；
(1)棒和子弹的转动惯量：
IM
1 3
Ml 2
,
Im
m(
3 4
l
)2
9 16
ml 2
由角动量守恒：
o θ0
3l
4C
mv 3 l ( 1 Ml 2 9 ml 2 )
A
43
16
求得：
36 mv
8.88 ( rad / s )
( 16 M 27 m )l
习题4-23 一匀质木棒l = 0.40m，M=1.00kg，可绕轴o在竖直面内 无摩擦转动，开始棒处于竖直位置，一质量m=8g，
大学物理学第四章 刚体的定轴转动
加速度及绳中张力。
解： 分别对 m1 m2 和 m 分析运动、受力，设各量如图所示
m
f
R
、
m1 m2
例题4-5图
因绳不伸长 a1 a2 a
因轻绳
T1 T1, T2 T2
对m1有
T1 m1g m1a
对m2有
m2 g T2 m2a
对滑轮 m 由转动方程 再从运动学关系上有
求导数 求积分
如果 为恒量
相应公式
0 t
0
0t
1 2
t2
2
2 0
2(
0
)
【例题4-1】 一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s内角 速度由15rad/s 匀减速地降到10rad/s 。求：(1)角加速度；(2) 在此5s内转过的圈数；(3)还需要多少时间轮子停止转动。
i
B mi
i i
A dC x
由图 i2 i2 d 2 2id cosi
J A
2
i
mi
mi (i2 d 2 2id cosi )
mi i2 mid 2 mi i cosi 2d
mi i cosi mi xi mx c 0
5、转动惯量与质量
任何刚体都有质量，无论是作平动，还是作转动，刚 体的质量都是固有属性，不会消失也不会变化（指低 速而言）。但转动惯量只在转动时才有意义，对于平 动是无转动惯量可言的 。
一定形状的刚体其质量是恒定的，但其转动惯量却 不是惟一的，它不仅取决于总质量，还取决于质量 的分布和转轴的位置。对于不同的转轴来说，由于 质量对转轴的分布情况不停，转动惯量值就不相同 了。因此，必须建立起这样的概念：一提到转动惯 量，马上应想到它是对哪个转轴而言的。
解： 分别对 m1 m2 和 m 分析运动、受力，设各量如图所示
m
f
R
、
m1 m2
例题4-5图
因绳不伸长 a1 a2 a
因轻绳
T1 T1, T2 T2
对m1有
T1 m1g m1a
对m2有
m2 g T2 m2a
对滑轮 m 由转动方程 再从运动学关系上有
求导数 求积分
如果 为恒量
相应公式
0 t
0
0t
1 2
t2
2
2 0
2(
0
)
【例题4-1】 一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s内角 速度由15rad/s 匀减速地降到10rad/s 。求：(1)角加速度；(2) 在此5s内转过的圈数；(3)还需要多少时间轮子停止转动。
i
B mi
i i
A dC x
由图 i2 i2 d 2 2id cosi
J A
2
i
mi
mi (i2 d 2 2id cosi )
mi i2 mid 2 mi i cosi 2d
mi i cosi mi xi mx c 0
5、转动惯量与质量
任何刚体都有质量，无论是作平动，还是作转动，刚 体的质量都是固有属性，不会消失也不会变化（指低 速而言）。但转动惯量只在转动时才有意义，对于平 动是无转动惯量可言的 。
一定形状的刚体其质量是恒定的，但其转动惯量却 不是惟一的，它不仅取决于总质量，还取决于质量 的分布和转轴的位置。对于不同的转轴来说，由于 质量对转轴的分布情况不停，转动惯量值就不相同 了。因此，必须建立起这样的概念：一提到转动惯 量，马上应想到它是对哪个转轴而言的。
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4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
4-1 刚体的定轴转动
4 §– 14.刚1体刚的体定定轴轴转转动动
第四章 刚体的转动
刚体：a. 在外力作用下，形状和大小都不发生变化的 物体（考虑大小、形状，忽略形变）
b. 任意两质点间距离保持不变的质点组
说明：⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
v,
a
不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
4 ➢–
1 刚刚体体的定定轴轴转转动动的角量描述：
角坐标 (t)
角位移 (t t)
(t)
第四章
刚体的转动
角速度 lim d
t t0 dt
角加速度 d
dt
方向：沿转轴，右手螺旋法则，习惯上取为正方向
方向：沿转轴， 与 同向为正，反之为负
质量为体分布时， dm dV
、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
例1 长 l、质量m 的均匀细棒绕垂直轴的转动惯量。
解： 取一小段 dx ，则 dm dx m dx J r 2dm l
轴位于端点A：
JA
l x2 m dx 1 ml2
0l
J mi ri2 m1r12 m2r22
i
（2）质量连续分布刚体的转动惯量
r
dm
O
J miri2 r2dm i
r 质量元：dm 转动半径：
4
–➢1
刚体的定轴转动
连续分布刚体转动惯量的计算：J
第四r章2dm刚体的转动
dl
ds
线分布
面分布
体分布
质量为线分布时，dm dl
质量为面分布时， dm ds
刚体平动 质点运动
4 –转1 刚动体：的刚定体轴中转所动有点都绕同一直线做第圆四周章运刚动体的转动
刚体的一般运动可看作：
+ 随质心的平动
绕质心的转动
的合成
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
➢ 刚体定轴转动的特点：
1） 2）
每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
任一质点运动 ,,
均相同，但
➢ 特点：只有垂直于转轴的力
对固定 转轴才有力矩 F F F
刚体获得角加速度
z
k
F
F
O r
F
平行转轴的分力不能改变定轴转动状态，只讨论 垂直转轴的力对转轴的力矩。
4 ➢–
1定刚义体式的：定轴M转动r
F
M rF sin Fd
➢ 方向：沿转轴
z第四章 刚体的转 动
F
M
r O d
*
P
➢ 合力矩：等于各分力矩的矢量和
圆盘半径为R、质量为m2）
解：直杆部分对O轴转动惯量
I1
1 3
m1L2
圆盘部分对O轴转动惯量 I2 I20 m2d 2
I
I1
I2
1 3
m1L2
1 2
m2 R 2
m2 (L
R)2
如果圆盘为质点：
I
I1 I2
1 3
m1L2
m2
L2
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
三、定轴转动定律（刚体中的牛二律）
其对质任心一轴与的该转轴动平惯行量，为相距IC为，则d
的转轴的转动惯量
I IC md 2
例：圆盘对P 轴的转动惯量
IP
1 2
mR2
mR2
第四章 刚体的转动
d
C mO
P R Om
4例– 1: 右刚图体所的示定刚轴体转对动经过棒端且 O 第四章 刚体的转动 与棒垂直的轴的转动惯量如何
计算？(棒长为L、质量为m1 ,
M M1 M2 M3
➢ 注意：内力矩的矢量和为零
r1 F1 r2 F2 F1d F2d 0 M内 0
O
r2
r1
d
F2 F1
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
➢ 实际计算：矢量合成变为代数量计算。
（1）习惯上取 为正方向
（2）动力矩： M与 同向, M 0
阻力矩：M与 反向, M 0
（3）合力矩： M M动 M阻
F1
r1
or2
F2
M 2 r F2 0
M1 r F1 0
M M2 M1
4二– 1、刚转体动的惯定量轴转（动J
m ） 第四章 刚体的转动
➢ 物理意义：转动惯性大小的量度 .
➢ 定义： （1）质量离散分布刚体的转动惯量
ds 2πrdr
Rm dr
dm ds
m πR2
2πrdr
2mr R2
dr
r O
J
m r2dm
0
R 0
2m R2
r 3dr
m 2
R2
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
➢ 影响转动惯量的因素：
（1）刚体的总质量 （2）质量分布 （3）转轴的位置
➢ 注意：（1）只有对于几何形
状规则、质量连续且均匀分布的 刚体，才能用积分计算出刚体的 转动惯量。
3
轴位于中心C：
JC
l
2 l
2
x2
m l
dx
1 12
ml2
dx
A
B
l
x
A
C dx B
l2
l2
x
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
例2 均质圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J L R2dm 2πR R2dl
0
0
R2
2 πR
dl
2πR3
m
mR2
0
2πR
dl m
R
O
例3 均质圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
的作用点的位置对物体的运动有影响吗？
F
F
Fi 0 , Mi 0
圆盘静止不动
F
Fi 0 , Mi 0
F
圆盘绕圆心转动
力的作用点的位置对物体转动会产生影响.
4一– 1、刚力体矩的(定M轴 转动
F
)
第四章 刚体的转动
力 改变质点的运动状态 质点获得加速度
改变刚体的转动状态
➢ 作用：改变刚体的转动状态
➢ 角量与线量的关系： v r at r
an rω2
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
4 – 1 刚问体：的在定质轴点转问动题中，我们将物体所第四受章的刚力体均的作转动
用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作
用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理？力
刚体的运动形式：平动、转动，一般运动．
4 平– 1动刚：体刚的体定中轴所转有动点的 运动轨迹都保持完全相 同．（或刚体内任意两 点连线的方向保持不变）
第四章 刚体的转动
平态动一特样点 ，： 如：各v点、运a动状等
都相同．
结论：刚体平动时，各质元的轨迹都一样，故可用体内 任意一点的运动来代表整体的运动。
（2）对于几何形状不规则刚体， 可以通过设计实验来测定其转动 惯量。
（3）物体改变其转动惯量，可 以改变其转动状态。
4 – 1 刚体的定轴转动
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
第四章 刚体的转动
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
4 –➢1 刚平体行的轴定定轴理转动
质量为m 的刚体，如果对
第四章 刚体的转动
4-1 刚体的定轴转动
4 §– 14.刚1体刚的体定定轴轴转转动动
第四章 刚体的转动
刚体：a. 在外力作用下，形状和大小都不发生变化的 物体（考虑大小、形状，忽略形变）
b. 任意两质点间距离保持不变的质点组
说明：⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
v,
a
不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
4 ➢–
1 刚刚体体的定定轴轴转转动动的角量描述：
角坐标 (t)
角位移 (t t)
(t)
第四章
刚体的转动
角速度 lim d
t t0 dt
角加速度 d
dt
方向：沿转轴，右手螺旋法则，习惯上取为正方向
方向：沿转轴， 与 同向为正，反之为负
质量为体分布时， dm dV
、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
例1 长 l、质量m 的均匀细棒绕垂直轴的转动惯量。
解： 取一小段 dx ，则 dm dx m dx J r 2dm l
轴位于端点A：
JA
l x2 m dx 1 ml2
0l
J mi ri2 m1r12 m2r22
i
（2）质量连续分布刚体的转动惯量
r
dm
O
J miri2 r2dm i
r 质量元：dm 转动半径：
4
–➢1
刚体的定轴转动
连续分布刚体转动惯量的计算：J
第四r章2dm刚体的转动
dl
ds
线分布
面分布
体分布
质量为线分布时，dm dl
质量为面分布时， dm ds
刚体平动 质点运动
4 –转1 刚动体：的刚定体轴中转所动有点都绕同一直线做第圆四周章运刚动体的转动
刚体的一般运动可看作：
+ 随质心的平动
绕质心的转动
的合成
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
➢ 刚体定轴转动的特点：
1） 2）
每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
任一质点运动 ,,
均相同，但
➢ 特点：只有垂直于转轴的力
对固定 转轴才有力矩 F F F
刚体获得角加速度
z
k
F
F
O r
F
平行转轴的分力不能改变定轴转动状态，只讨论 垂直转轴的力对转轴的力矩。
4 ➢–
1定刚义体式的：定轴M转动r
F
M rF sin Fd
➢ 方向：沿转轴
z第四章 刚体的转 动
F
M
r O d
*
P
➢ 合力矩：等于各分力矩的矢量和
圆盘半径为R、质量为m2）
解：直杆部分对O轴转动惯量
I1
1 3
m1L2
圆盘部分对O轴转动惯量 I2 I20 m2d 2
I
I1
I2
1 3
m1L2
1 2
m2 R 2
m2 (L
R)2
如果圆盘为质点：
I
I1 I2
1 3
m1L2
m2
L2
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
三、定轴转动定律（刚体中的牛二律）
其对质任心一轴与的该转轴动平惯行量，为相距IC为，则d
的转轴的转动惯量
I IC md 2
例：圆盘对P 轴的转动惯量
IP
1 2
mR2
mR2
第四章 刚体的转动
d
C mO
P R Om
4例– 1: 右刚图体所的示定刚轴体转对动经过棒端且 O 第四章 刚体的转动 与棒垂直的轴的转动惯量如何
计算？(棒长为L、质量为m1 ,
M M1 M2 M3
➢ 注意：内力矩的矢量和为零
r1 F1 r2 F2 F1d F2d 0 M内 0
O
r2
r1
d
F2 F1
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
➢ 实际计算：矢量合成变为代数量计算。
（1）习惯上取 为正方向
（2）动力矩： M与 同向, M 0
阻力矩：M与 反向, M 0
（3）合力矩： M M动 M阻
F1
r1
or2
F2
M 2 r F2 0
M1 r F1 0
M M2 M1
4二– 1、刚转体动的惯定量轴转（动J
m ） 第四章 刚体的转动
➢ 物理意义：转动惯性大小的量度 .
➢ 定义： （1）质量离散分布刚体的转动惯量
ds 2πrdr
Rm dr
dm ds
m πR2
2πrdr
2mr R2
dr
r O
J
m r2dm
0
R 0
2m R2
r 3dr
m 2
R2
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
➢ 影响转动惯量的因素：
（1）刚体的总质量 （2）质量分布 （3）转轴的位置
➢ 注意：（1）只有对于几何形
状规则、质量连续且均匀分布的 刚体，才能用积分计算出刚体的 转动惯量。
3
轴位于中心C：
JC
l
2 l
2
x2
m l
dx
1 12
ml2
dx
A
B
l
x
A
C dx B
l2
l2
x
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
例2 均质圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J L R2dm 2πR R2dl
0
0
R2
2 πR
dl
2πR3
m
mR2
0
2πR
dl m
R
O
例3 均质圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
的作用点的位置对物体的运动有影响吗？
F
F
Fi 0 , Mi 0
圆盘静止不动
F
Fi 0 , Mi 0
F
圆盘绕圆心转动
力的作用点的位置对物体转动会产生影响.
4一– 1、刚力体矩的(定M轴 转动
F
)
第四章 刚体的转动
力 改变质点的运动状态 质点获得加速度
改变刚体的转动状态
➢ 作用：改变刚体的转动状态
➢ 角量与线量的关系： v r at r
an rω2
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
4 – 1 刚问体：的在定质轴点转问动题中，我们将物体所第四受章的刚力体均的作转动
用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作
用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理？力
刚体的运动形式：平动、转动，一般运动．
4 平– 1动刚：体刚的体定中轴所转有动点的 运动轨迹都保持完全相 同．（或刚体内任意两 点连线的方向保持不变）
第四章 刚体的转动
平态动一特样点 ，： 如：各v点、运a动状等
都相同．
结论：刚体平动时，各质元的轨迹都一样，故可用体内 任意一点的运动来代表整体的运动。
（2）对于几何形状不规则刚体， 可以通过设计实验来测定其转动 惯量。
（3）物体改变其转动惯量，可 以改变其转动状态。
4 – 1 刚体的定轴转动
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
第四章 刚体的转动
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
4 –➢1 刚平体行的轴定定轴理转动
质量为m 的刚体，如果对