圆锥曲线综合练习题及答案-

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圆锥曲线测试题及答案

圆锥曲线测试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 椭圆的离心率定义为：A. 长轴与短轴的比值B. 长轴的一半与焦距的比值C. 焦距与长轴的比值D. 焦距与长轴的一半的比值2. 抛物线的标准方程是：A. $ x^2 = 4py $B. $ y^2 = 4px $C. $ x^2 = 2py $D. $ y^2 = 2px $3. 双曲线的渐近线方程是：A. $ y = \pm \frac{b}{a}x $B. $ y = \pm \frac{a}{b}x $C. $ x = \pm \frac{a}{b}y $D. $ x = \pm \frac{b}{a}y $4. 椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是：A. 长轴的长度B. 短轴的长度C. 焦距的两倍D. 不确定5. 对于双曲线，如果 $ a > b $，则它是：A. 垂直轴双曲线B. 水平轴双曲线C. 焦点在x轴上D. 焦点在y轴上二、填空题（每题2分，共10分）6. 椭圆的方程 $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $ 中，$ a $ 和 $ b $ 分别代表______和______。

7. 抛物线 $ y^2 = 4px $ 的焦点坐标是______。

8. 双曲线 $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $ 的焦距是______。

9. 椭圆 $ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 $ 的离心率是______。

10. 如果一个点 $ P(x, y) $ 在双曲线 $ \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1 $ 上，那么 $ x $ 和 $ y $ 满足的关系是______。

三、简答题（每题5分，共20分）11. 描述椭圆的基本性质。

圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案

1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB的交点为Q 。

（1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋；（2）求证：112||||PC PD PQ +=.2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==⋅ （1）动点N 的轨迹方程；（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=⋅AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围.3. 如图，椭圆134:221=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角.4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W .（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；（Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；（Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。

6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=(1)求点P 的轨迹方程； (2)若2·1cos PM PN MPN-∠＝,求点P 的坐标.7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线1222=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3MON π∠=，双曲线的焦距为4。

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知圆经过椭圆的右焦点和上顶点．（1）求椭圆的方程；（2）过原点的射线与椭圆在第一象限的交点为，与圆的交点为，为的中点，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合、化归与转化及函数与方程等数学思想．第一问，数形结合，令y=0，x=0即可分别求出c和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出直线方程和P、Q点坐标，令直线与椭圆联立得到Q点横坐标，利用向量的数量积，将P、Q点坐标代入，得到关于k的表达式，利用导数求函数的最值；法二，将进行转化，变成，再利用配方法求最值.试题解析：（1）在中，令得，即，令，得，即， 2分由，∴椭圆：. 4分（2）法一：依题意射线的斜率存在，设，设 -5分得：，∴. 6分得：，∴， 7分∴. 9分．设，，令，得．又，∴在单调递增，在单调递减. 11分∴当时，，即的最大值为. 13分法二：依题意射线的斜率存在，设，设 5分得：，∴. 6分= 9分.设，则.当且仅当即.法三：设点，，6分= . 7分又，设与联立得： . 9分令. 11分又点在第一象限，∴当时，取最大值. 13分【考点】直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数.2.（本小题满分12分）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程；（2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.【答案】（1）.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析.【解析】（1）思路一：设为曲线上任意一点，依题意可知曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，得到曲线的方程为.思路二：设为曲线上任意一点，由，化简即得.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，得，应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线的方程为.由，得.由，得.根据，得圆心，半径，由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定.试题解析：解法一：（1）设为曲线上任意一点，依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，则，由，得切线的斜率，所以切线的方程为，即.由，得.由，得.又，所以圆心，半径，.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.解法二：（1）设为曲线上任意一点，则，依题意，点只能在直线的上方，所以，所以，化简得，曲线的方程为.（2）同解法一.【考点】抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.3.已知抛物线C:的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）x-y-1=0或x+y-1=0.【解析】（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，在根据抛物线的性质可得，解出p即可（2）设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，直线的方程为，将上式代入中，并整理得.A（x1,y1）,B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),根据二次函数根与系数的关系可得y1+y2=4m，y1y2=－4，.然后求出MN的中点为E和AB的中点为D坐标的表达式，计算的表达式,根据求出m即可.试题解析：（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，所以，由题设得，解得p=－2（舍去）或p=2.所以C的方程为.（2）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，设A（x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=4m，y1y2=－4，故AB的中点为D（2m2+1,2m），，有直线的斜率为－m，所以直线的方程为，将上式代入中，并整理得.设M(x3,y3),N(x4,y4),则.故MN的中点为E（）.由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于,从而,即，化简得m2-1=0，解得m=1或m=－1，所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.【考点】1.抛物线的性质和方程；2.直线方程以及直线与曲线的位置关系.4.如图，已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上任意一点，圆是以为直径的圆．（1）若圆过原点，求圆的方程；（2）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切,请写出你的探究过程．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）因为是圆的直径，所以当圆过原点时，一定有，由此可确定点的位置并进一步求出圆的标准方程；（2）设圆M的半径为,连结，显然有根据椭圆的标准方程知,所以，从而找到符合条件的定圆.解：（1）解法一：因为圆过原点，所以，所以是椭圆的短轴顶点，的坐标是或，于是点的坐标为或，易求圆的半径为所以圆的方程为或 6分解法二：设，因为圆过原点，所以所以，所以，所以点于是点的坐标为或，易求圆的半径所以圆的方程为或 6分（2）以原点为圆心，5为半径的定圆始终与圆相内切，定圆的方程为 8分探究过程为：设圆的半径为，定圆的半径为，因为，所以当原点为定圆圆心，半径时，定圆始终与圆相内切．（13分）【考点】1、椭圆的定义与标准方程；2、圆的定义与标准方程.5.已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】【解析】即双曲线的一条渐近线方程.过焦点且垂直渐近线的直线方程为：，与联立，解之可得故对称中心的点坐标为（）；由中点坐标公式可得对称点的坐标为，将其代入双曲线的方程可得结合化简可得，故．故选.【考点】双曲线的几何性质，直线方程，两直线的位置关系.6.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．7.抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【答案】B【解析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．8.已知椭圆和椭圆的离心率相同，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，过点作直线交椭圆于、两点，且恰为弦的中点。

圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)

圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．（1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解：（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系．解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ，即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =，即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠，由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。

圆锥曲线综合练习题(有答案)

圆锥曲线综合练习一、选择题：1.已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4,则m 等于( )A.4 Ｂ.5 C ．7 D.8【解析】由242(10)()2m m ---=，得8m =,故选：D2．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ )A B.12 C D ．23【解析】直线220x y -+=与坐标轴的交点为(20)(01)-，，，，依题意得21c b ==，,a所以e . 3.设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（）Ａ.４ B.３ C ．2 D ．１答案:C4．若m 是2和８的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ )A B D 答案:D５．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为( ）A 答案:Ｄ6.已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ )Ａ．0 Ｂ.1 C ．2 D ．答案:Ｃ7．双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为1２，则到另一个焦点的距离为（ )A ．22或２Ｂ.7 Ｃ．２２Ｄ.2【解析】由双曲线定义知，12||||||10PF PF -=,所以1||22PF =或2||2PF =，故选A ．8．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点,则||||PM PN -的最大值为（ ) Ａ．6 B ．７Ｃ．８ D.9【解析】设双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为12F F ，,则圆22(5)4x y ++=的圆心为1F ,半径12r =.圆22(5)1x y -+=的圆心为2F ,半径21r =．所以max 111||||||2PM PF r PF =+=+,min 222||||||1PN PF r PF =-=-．由双曲线定义得12||||6PF PF -=，所以max 12(||||)||2(||1)9PM PN PF PF -=+--=．故选:D9．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( )A ．2 B.４ C.8 D ．1６【解析】准线方程为x p =-,由已知得810p +=,所以2p =，所以焦点到准线的距离为24p =．1０．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，,向量12DE BC =，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为( ） AB1 C11 【解析】设正ABC △的边长为2，向量12DE BC =,则D E ，分别是AB AC ，的中点.由双曲线定义知||||2BE EC a -=，所以a 1c =所以离心率1ce a=．故选：Ｄ 11.两个正数a b ，的等差中项是92,一个等比中项是且a b >,则抛物线2by x a=-的焦点坐标是（ ) A ．5(0)16-，Ｂ.2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1(0)5，【解析】依题意得920a b ab a b +=⎧⎪=⎨⎪>⎩,解得54a b ==，,所以抛物线方程为254y x =-，其焦点坐标为1(0)5-，,故选：C1２.已知12A A ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点,椭圆C 上异于12A A ，的点P恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为( ）Ａ.49 B ．23 C ．595【解析】设00()P x y ，，则000049y y x a x a ⋅=-+-,化简得220022149x y a a+=，可以判断2249b a =，2451()19b e a =--故选:Ｄ13.已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点,点B 也在椭圆上,且满足0OA OB +=（O 为坐标原点)，2120AF F F ⋅=,若椭圆的离心率等于22，则直线AB 的方程是（ ) Ａ． 2y = B ．2y = Ｃ.3y = D ．3y 答案:A14.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(02)M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 A ．3 B 17 Ｃ5 D ．92答案:B15.若椭圆221x y m n+=与双曲线221(x y m n p q p q -=，，，均为正数)有共同的焦点F 1,F ２,Ｐ是两曲线的一个公共点,则12||||PF PF ⋅等于ﻩﻩ( ）A ．m p +ﻩB ．p m - C.m p - D ．22m p -答案：Ｃ16.若()P a b ，是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点,且满足20a b ->，20a b +>,则该点P 一定位于双曲线（ )A.右支上 B ．上支上 C ．右支上或上支上Ｄ．不能确定答案:Ａ１7.如图,在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=,AC BC ，边上的高分别为BD AE ，，则以A B ，为焦点,且过D E ，的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（） A.3 ﻩＢ.1 ﻩC ．32Ｄ.2答案:A【解析】设c AB 2||=，则在椭圆中,而在双曲线中,1８.221+=表示的曲线是（ )A.焦点在x 轴上的椭圆Ｂ.焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线【解析】即又方程表示的曲线是椭圆。

圆锥曲线的综合问题-练习

6.已知抛物线 y＝2px2(p>0)的焦点为 F，点 P1，14在抛物线上，过点 P 作 PQ 垂直于抛物线的准线，垂足为点 Q，若抛物线的准线与对称轴相交于点 M，则四 13 边形 PQMF 的面积为___8_____. 解析由 P1，14在抛物线上，得 p＝18，故抛物线的标准方程为 x2＝4y，焦点 F(0，1)，准线为 y＝－1， ∴FM＝2，PQ＝1＋41＝54，MQ＝1，则直角梯形 PQMF 的面积为21×45＋2×1＝183.
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3.已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x22－y2＝1 上的一点，F1，F2 分别是 C 的左、右两 →→
个焦点，若MF1·MF2<0，则 y0 的取值范围是( A )
A.－
33，
3 3
B.－
63，
3 6
C.－2
3
2，2
3
2
D.－2
3
3，2
3
3
解析因为 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，x220－y20＝1， →→
设圆心到直线 l 的距离为 d，
则 L＝2 4－d2≥455，
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解得 d2≤156.又因为 d＝ 1＋2 k2，所以1＋1 k2≤45，于是 e2＝ac22＝b2＋c2 c2＝1＋1 k2，所以 0＜e2≤45，解得 0＜e≤255.故选 ABC.
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5.(多选)已知直线 l：y＝kx＋2 过椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的上顶点 B 和左焦点 F，
且被圆 x2＋y2＝4 截得的弦长为 L，若 L≥455，则椭圆离心率 e 的取值可能是

圆锥曲线综合练习及答案

圆锥曲线综合练习及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021圆锥曲线综合练习例1、椭圆12322=+y x 内有一点P （1，1），一直线过点P 与椭圆相交于P 1、P 2两点，弦P 1P 2被点P 平分，求直线P 1P 2的方程。

（2x+3y-5=0）备份：1.过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线方程。

2.椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，求这弦所在直线的方程.变式1、若椭圆122=+by ax 与直线1=+y x 交于A 、B 两点，且22||=AB ，又M 为AB 的中点，若O 为坐标原点，直线OM 的斜率为22，求该椭圆的方程。

（132322=+y x ）变式2、斜率为1的直线与双曲线1222=-y x 相交于A 、B 两点，又AB 中点的横坐标为1。

（1）求直线的方程（2）求线段AB 的长（1）y=x+1(2)AB=62变式3、已知抛物线x y C 42=：的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。

（1）若的方程；求直线l ,316|AB |=（2）求|AB|的最小值变式4、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为23，且经过点()4,1M ，直线m x y l +=:交椭圆于不同的两点A ，B.（1）求椭圆的方程；（2）求m 的取值范围。

例2、已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ,离心率为2.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M,N.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)当△AMN 得面积为103时,求k 的值.解:(1)由题意得222222a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2b =.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. (2)由22(1)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4240k x k x k +-+-=.设点M,N 的坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y ,则11(1)y k x =-,22(1)y k x =-,2122412k x x k +=+,21222412k x x k -=+.所以|MN|=222121()()x x y y -+-=221212(1)[()4]k x x x x ++-=2222(1)(46)12k k k +++.由因为点A(2,0)到直线(1y k x =-）的距离212d k=+,所以△AMN 的面积为21||46||2k k S MN d +=⋅=.由22||4610123k k k +=+,解得1k =±. 变式1、已知21F F 分别是椭圆C :22a x +22by =1(0>>b a )的左、右焦点,A 是椭圆C 的上顶点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点,1260F AF ο∠=.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)已知1AF B ∆面积为403,求,a b 的值【解析】(I)1216022c F AF a c e a ο∠=⇔=⇔== (Ⅱ)设2BF m =;则12BF a m =-在12BF F ∆中,22212122122cos120BF BF F F BF F F ο=+-⨯⨯2223(2)5a m m a am m a ⇔-=++⇔=[来源:学|科|网Z|X|X|K]1AF B ∆面积211133sin 60()40310,5,53225S F F AB a a a a c b ο=⨯⨯⨯⇔⨯⨯+=⇔===变式2、已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解、（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=，由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=，直线l 与抛物线C 相切，2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=．由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又2212121||||1()4AB x x k x x x x =-=++-222214(1)11622k k k ⎛⎫=-⨯-=++ ⎪⎝⎭．22161168k k +∴=+，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．例3、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。

100道圆锥曲线大题综合

圆锥曲线大题综合----学而思黎根飞老师一、轨迹方程（10道）1．动圆P 与定圆22:4320B x y y +--=相内切，且过点()02A -，，求动圆圆心P 的轨迹方程．【解析】如图所示，设动圆P 的半径为r ，圆B 的方程可化为()22236x y +-=．又动圆P 过点()02A -，，从而r PA =， 6PB PA +=．则点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，且26a =，24c =，即3a =，2c =，b =．故所求点P 的轨迹方程为22195y x +=．2．求到两不同定点距离之比为一常数(0)λλ≠的动点的轨迹方程．【解析】以两不同定点A B ，所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．设()P x y ，是轨迹上任一点，(0)(0)(0)A a B a a ->，，，．由题设得PA PB λ==∴22222(1)()(1)20x y a ax λλ-++++=．当1λ=时，方程0x =表示一条直线．当1λ≠时，方程为2222221211a x a y λλλλ⎛⎫+⎛⎫++= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，表示一个圆．所以当1λ=时，点的轨迹是一条直线；当1λ≠时，点的轨迹是一个圆．3．已知定点(30)，B ，点A 在圆221x y +=上运动，M 是线段AB 上的一点，且13AM MB =，则点M 的轨迹方程是___________．【解析】设11()()，，，M x y A x y ．∵13AM MB = ，∴111()(3)3，，x x y y x y --=--，∴111(3)313x x x y y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，∴1141343x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∵点A 在圆221x y +=上运动，∴22111x y +=，∴22441133x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2239416x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴点M 的轨迹方程是2239416x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．4．已知点A B ，分别是射线()1:0l y x x =≥，()2:0l y x x =-≥上的动点，O 为坐标原点，且OAB ∆的面积为定值2，求线段AB 中点M 的轨迹C 的方程．【解析】由题可设()11A x x ，，()22B x x -，，()M x y ，，其中1200x x >>，．则121222x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，①，②∵OAB ∆的面积为定值2，∴)121211222OAB S OA OB x x ∆=⋅===．22-①②，消去12x x ，，得：222x y -=．由于1200x x >>，，∴0x >，所以点M 的轨迹方程为222x y -=（0x >）．5．一条变动的直线l 与椭圆24x +22y =1交于P 、Q 两点，M 是l 上的动点，满足关系2MP MQ ⋅=．若直线l 在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M 的轨迹方程，并说明曲线的形状．【解析】设动点(,)M x y ，动直线l ：y x m =+，并设11(,)P x y ，22(,)Q x y 是方程组22,240y x m x y =+⎧⎨+-=⎩的解，消去y ，得2234240x mx m ++-=，其中221612(24)0m m ∆=-->，∴m <<且1243m x x +=-，212243m x x -=，又∵1MP x =-，2MQ x =-．由2MP MQ ⋅=，得121x x x x -⋅-=，也即21212()1x x x x x x -++=，于是有22424133mx m x -++=． ∵m y x =-，∴22243x y +-=．由22243x y +-=，得椭圆222177x x +=夹在直线y x =且不包含端点．由22243x y +-=-，得椭圆2221x y +=．6．已知点(30)P -，，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，且0PA AQ ⋅=．点M 在直线AQ 上，满足32AM MQ =-．当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程．【解析】设点M 的坐标为()x y ，，则由32AM MQ =- 得(0)2yA -，由0PA AM ⋅= 得23(3)()0422y x y y x -⋅=⇒=，，∴所求动点M 的轨迹C 的方程为24y x =．7．已知ABC ∆中，A B C ∠∠∠，，所对的边分别为a b c ，，，且a c b >>成等差数列，2AB =，求顶点C 的轨迹方程．【解析】由2c =，2a b c +=得：4a b +=，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中垂线所在的直线为y 轴建立直角坐标系，则A 点坐标为(10)-，，B 点坐标为(10)，，设()C x y ，，则有4AC BC +=，即4+=，4x =-，两边再次平方化简得：223412x y +=；要构成三角形，必须满足C 点不在x 轴上，即0y ≠，故2x ≠±，又a b >，即BC AC >>，解得0x <，故所求的C 点的轨迹方程为223412x y +=(0x <且2)x ≠-．8．设()0A a -，，()0B a ，()0a >，已知直线MA 与MB 的斜率乘积为定值m ，求动点M 的轨迹方程，并根据m 地不同值讨论曲线的形状．【解析】设动点M 的坐标为()x y ，，则直线MA 与MB 的斜率分别为MA yk x a=+， MB yk x a=-，依题意，得 222MA MBy y y k k m x a x a x a ⋅=⋅==+--，化简，得222mx y a m -=，即为所求．显然，当0m =时，方程表示直线0y =；当0m <时，方程可化为22221x y a a m +=；1m =-时，方程表示圆222x y a +=； 1m <-时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆； 10m -<<时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆．当0m >时，方程可化为22221x y a a m-=，方程表示焦点在x 轴上的双曲线．9．如图，过()24P ，作互相垂直的直线1l 、2l ，若1l 交x 轴于点A ，2l 交y 轴于点B ，求线段AB 的中点轨迹方程．【解析】解法一：（直接法）设()M x y ，是所求轨迹上任意一点，则A 、B 两点的坐标分别为()20A x ，、()02B y ，，∵M 为线段AB 的中点，连接PM ，∵PA PB ⊥，∴2PM AB =，∴=250x y +-=，即为所求轨迹方程．解法二：（直接法）设M 的坐标为()x y ，，∵M 为线段AB 的中点，∴A B 、两点的坐标分别为()20A x ，、()02B y ，，∵PA PB ⊥，∴1PA PB k k ⋅=-，即()404211220yx x --⋅=-≠-2-整理得：()2501x y x +-=≠，当1x =时，A 、B 两点的坐标分别为()20A ，、()04B ，，线段AB 的中点为()12，仍满足250x y +-=．综上所述，所求轨迹方程为250x y +-=．解法三：（直接法）设M 的坐标为()x y ，，∵PA PB ⊥，OA OB ⊥，且M 为线段AB 的中点，∴四边形OAPB 是圆内接四边形，且M 为圆心，∴OM MP =，∴x=，整理得：250x y +-=，即为所求轨迹方程．解法四：（相关点法）设M 的坐标为()x y ，，A 、B 两点的坐标分别为()0A a ，，()0B b ，，则22a xb y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴22a xb y =⎧⎨=⎩， ∵PA PB ⊥，∴222PA PB AB +=，∴()()()()22222222422422x y x y -+++-=+，整理得：250x y +-=，即为所求轨迹方程．解法五：（参数法）设直线1l 的方程为：()()420y k x k -=-≠，因为12l l ⊥，且2l 过点()24P ，，所以2l 的方程为：()142y x k -=--，所以420A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，、204B k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，设A B 、的中点M 的坐标为()x y ，，则42022242k x k y ⎧-+⎪=⎪⎪⎨⎪++⎪=⎪⎩，即2112x k y k⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去参数k 得：250x y +-=，即为所求轨迹方程．10．已知动点P 与双曲线221x y -=的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为13-，求动点P 的轨迹方程．【解析】∵221x y-=，∴c ．设1PF m =，2PF n =，则2m n a +=（常数0a >），所以点P 是以12F F 、为焦点，2a 为长轴的椭圆，22a c>=，∴a >．由余弦定理，有()222222121212224cos 122m n F F m n mn F F a F PF mn mn mn +=+---===-∠．∵222m n mn a +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，∴当且仅当m n -时，mn 取得最大值2a ．此时12cos F PF ∠取得最小值22241a a --．由题意2224113a a --=-，解得23a =． ∴222321b a c =-=-=．∴P 点的轨迹方程为2213x y +=．二、弦长面积（30道）11．已知椭圆22:14y C x +=，过点(03)M ，的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ．⑴若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程；⑵设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=(O 为坐标原点)．求当AB <时，实数λ的取值范围．【解析】 ⑴设11()A x y ，，因为A 为MN 的中点，且M 的纵坐标为3，N 的纵坐标为0，所以，又因为点11()A x y ，在椭圆C 上所以221114y x +=，即219116x +=，解得1x =，则点A的坐标为342⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或42⎛⎫3 ⎪ ⎪⎝⎭，，所以直线l的方程为7210y -+=或7210y +-=．⑵设直线AB 的方程为3y kx =+或0x =，11()A x y ，，22()B x y ，，33()P x y ，，当AB 的方程为0x =时，4AB => 当AB 的方程为3y kx =+时：由题设可得A 、B 的坐标是方程组22314y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的解，消去y 得22(4)650k x kx +++=，所以22(6)20(4)0k k =-+>△即25k >，则12264k x x k -+=+，12254x x k ⋅=+，1212224(3)(3)4y y kx kx k +=+++=+，因为AB =<<，解得216813k -<<，所以258k <<．因为OA OB OP λ+=，即112233()()()x y x y x y λ+=，，，，所以当0λ=时，由0OA OB +=，得122604k x x k -+==+，1222404y y k +==+，上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在；当0λ≠时，12326(4)x x k x k λλ+-==+，123224(4)y y y k λλ+==+，因为点33()P x y ，在椭圆上，所以222261241(4)4(4)k k k λλ⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，化简得22364k λ=+，因为258k <<，所以234λ<<，132y =则()22λ∈-，．综上，实数λ的取值范围为()22-，．12．设椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>∶，其相应于焦点(20)F ，的准线方程为4x =．⑴求椭圆C 的方程；⑵已知过点()120F -，倾斜角为θ的直线交椭圆C 于A B ，两点，求证：22cos AB θ=-；⑶过点()120F -，作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于A B 、和D E 、，求AB DE +的最小值．【解析】 ⑴由题意得：222224c a c a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩∴2284a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为22184x y +=⑵方法一：由⑴知()120F -，是椭圆C的左焦点，离心率e 设l 为椭圆的左准线．则4l x =-∶作1AA l ⊥于1A ，1BB l ⊥于1B ，l 与x 轴交于点H (如图) ∵点A 在椭圆上∴11AF =)11cos 2F H AF θ=+1cos θ=∴1AF =，同理1BF =∴1122cos AB AF BF θ=+=+=-．方法二：当π2θ≠时，记tan k θ=，则直线AB 方程为(2)y k x =+将其代入方程：2228x y +=得：2222(12)88(1)0k x k x k +++-= 设()11A x y ，，()22B x y ，，则1x ，2x 是此二次方程的两个根． ∴2122812k x x k +=-+，()21228112k x x k -=+AB ===)22112k k +==+① B A∵22tan k θ=，代入①式得AB =②当π2θ=时，AB =仍满足②式．∴AB = ⑶设直线AB 的倾斜角为θ，由于DE AB ⊥，由⑵可得AB =，DE =22sin 24AB DE θ+===+ 当π4θ=或3π4θ=时，AB DE +取得最小值3．13．设A 、B分别是直线5y x =和5y x =-上的两个动点，并且AB = 点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ．⑴ 求轨迹C 的方程；⑵ 若点D 的坐标为()016，，M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=，求实数λ的取值范围．【解析】 ⑴ 设()P x y ，，∵A ，B分别为直线5y x =和5y x =-上的点，故可设11A x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、22B x ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，． ∵OP OA OB =+ ，∴)1212x x x y x x =+⎧⎪⎨-⎪⎩，∴12122x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩又AB =∴()()2212124205x x x x -++=． ∴22542045y x +=，即轨迹C 的方程为2212516x y +=．⑵ 设()N s t ，，()M x y ，，则由DM DN λ=，可得()()1616x y s t λ-=-，，．故x s λ=，()1616y t λ=+-． ∵点M 、N 在曲线C 上， ∴()2222212516161612516s t t s λλλ⎧+=⎪⎪⎨-+⎪+=⎪⎩ 消去s 得()()22216161611616t t λλλ--++=．由题意知0λ≠，且1λ≠，得17152t λλ-=．又4t ≤， ∴171542λλ-≤，解得()35153λλ≠≤≤．故实数λ的取值范围是()35153λλ≠≤≤．14．已知：圆221x y +=过椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点；直线y kx m =+与圆221x y +=相切，与椭圆22221x y a b+=相交于A ，B 两点．记OA OB λ=⋅ ，且2334λ≤≤．（1）求椭圆的方程；（2）求k 的取值范围；（3）求OAB △的面积S 的取值范围．【解析】（Ⅰ）由题意知22c =，1c =，因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而1b =．故a所求椭圆方程为2212x y +=（Ⅱ）因为直线l ：y kx m =+与圆221x y +=相切所以原点O 到直线l1=，即：221m k =+又由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，()222124220k x kmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122412km x x k -+=+，21222212m x x k -=+()()22121212121OA OB x x y y k x x km x x m λ=⋅=+=++++22112k k λ+=+，且2334λ≤≤，故2112k ≤≤，即k的范围为1122⎡⎤--⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∪，（Ⅲ）()()()()222221212121214AB x x y y k x x x x ⎡⎤=-+-=++-⎣⎦()222221k =-+，由2112k ≤≤，得：423AB ≤ 1122S AB d AB ==，所以：243S ≤≤ 15．已知点M 、N的坐标分别是()0、)0，直线PM 、PN 相交于点P ，且它们的斜率之积是12-．⑴ 求点P 的轨迹方程；⑵ 直线:l y kx m =+与圆22:1O x y +=相切，并与点P 的轨迹交于不同的两点A 、B．当43AB ⎫∈⎪⎪⎣⎭，时，求OA OB ⋅ 的取值范围．【解析】 ⑴设()P x y ，，则(12MP NP k k x ⋅==-≠，整理得(2212x y x +=≠⑵∵圆O 与直线l 相切，1=，即221m k =+当直线l 过M 或N点时，有0k m +=，由2201k m m k ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，，解得1k =±， ∵直线l 与点P 的轨迹交于不同的两点A 、B ，且M 、N 不在点P 的轨迹上， ∴1k ≠± ①由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得222(12)4220k x kmx m +++-=，设11()A x y ，，22()B x y ，，122412km x x k +=-+，21222212m x x k -⋅=+，AB ===将221m k =+代入上式得AB =又43AB ⎫∈⎪⎪⎣⎭，，424238()1624()19k k k k +<++≤，得 424242428()164()198()34()12k k k k k k k k ⎧+<⎪++⎪⎨+⎪⎪++⎩，，≥22220(2)(1)0(21)(23)k k k k ⎧+-<⎪⇒⎨-+⎪⎩，，≥2112k ⇒<≤．② 由①和②得2112k <≤，22121212121212()()(1)()+OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=+++22222224(1)1212m mkk km m k k--=+⋅+⋅+++，将221m k =+代入，得 222111112221k OA OB k k +⎛⎫⋅==+ ⎪++⎝⎭，∵2112k <≤∴2334OA OB ⎛⎤⋅∈ ⎥⎝⎦，．16．已知圆C 的方程为224x y +=，过点(24)M ，作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B 直线恰好经过椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>的右顶点和上顶点．⑴ 求椭圆T 的方程⑵已知直线:0)l y kx k =+>与椭圆T 相交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，求OPQ △面积的最大值．【解析】 ⑴由题意:一条切线方程为:2x =，设另一条切线方程为:4(2)y k x -=-则2=，解得:34k =，此时切线方程为:3542y x =+切线方程与圆方程联立得:65x =-，85y =，则直线AB 的方程为22x y +=令0x =，解得1y =，∴1b =；令0y =，得2x =，∴2a = 故所求椭圆方程为2214x y +=⑵联立221.4y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩整理得22(14)80k x +++=，令11()P x y ，，22()Q x y ，，则12214x x k -+=+，122814x x k=+，()2232(14)0k =-+>△，即:2210k ->原点到直线l的距离为d =，12PQ x =-，∴1212OPQS PQ d x =⋅=-==△1==当且仅当2k =时取等号，则OPQ △面积的最大值为117．如图，已知定点(10)F -，，(10)N ，，以线段FN为对角线作周长是边形MNEF ．平面上的动点G 满足2OG =(O 为坐标原点)． ⑴ 求点E 、M 所在曲线1C 的方程及动点G 的轨迹2C 的方程；⑵ 已知过点F 的直线l 交曲线1C 于点P 、Q ，交轨迹2C 于点A 、B，若(||AB ∈，求NPQ △的内切圆的半径的取值范围．【解析】 ⑴因为四边形MNEF为周长为E 到点F 、N的距离之和是又2NF =<，故由椭圆的定义知，曲线1C为椭圆，a 1c =，1b =．故曲线1C 的方程为2212x y +=．由2OG =，动点G 的轨迹为以坐标原点O 为圆心，2为半径的圆，其方程为224x y +=．⑵当l x ⊥轴时，将1x =-代入224x y +=得y =所以(AB =，所以直线l 不垂直于x 轴，设直线l 的方程为(1)y k x =+，圆2C 的圆心(00)O ，到直线l的距离d =，由圆的几何性质得，||AB ===由(||AB ∈，解得213k >．联立方程22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得2212210y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭．设11()P x y ，，22()Q x y ，，NPQ 内切圆半径为R ，则1222221122k ky y k k +==++，2122211122k y y k k-=-=++，因为()121122NF y y R PN PQ QN ⋅-=⋅⋅++，其中，2NF =，PN PQ QN ++=，所以12R y -．而12y y -=== 因为213k >，所以221161(12)25k ->+，所以，NPQ △的内切圆半径的取值范围为2152⎛⎫⎪⎝⎭，．18．已知1F 、2F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，且离心率12e =，点P 为椭圆上的一个动点，12PF F △的内切圆面积的最大值为4π3． ⑴ 求椭圆的方程；⑵ 若A 、B 、C 、D 是椭圆上不重合的四个点，满足向量1F A 与1FC共线，1F B 与1F D 共线，且0AC BD ⋅=，求AC BD + 的取值范围．【解析】 ⑴由几何性质可知:当12PF F △内切圆面积取最大值时，即12PF F S △取最大值，且12max 1()22PF F S c b bc ⋅⋅=△．由24ππ3r =得3r =又1222PF F C a c =+△为定值，12122PF F PF F rS C =△△，综上得22bc a c =+；又由12c e a ==，可得2a c =，即b =，经计算得2c =，b =4a =，故椭圆方程为2211612x y +=．①⑵当直线AC 与BD 中有一条直线垂直于x 轴时，6814AC BD +=+=． ②当直线AC 斜率存在但不为0时，设AC 的方程为:(2)y k x =+，由22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222(34)1616480k x k x k +++-=，代入弦长公式得:2224(1)34k AC k +=+ ，同理由221(2)11612y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 可得2222111341616480x x k k k ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，代入弦长公式得:2224(1)34k BD k +=+ ，所以2222222168(1)16811(34)(43)121(1)k AC BD k k k k ++==+++-++ 令21(01)1t k =∈+，，则24912124t t ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦，，所以96147AC BD ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，，由①②可知，AC BD + 的取值范围是96147⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．19．已知点A是圆(221:16F x y ++=上任意一点，点2F 与点1F 关于原点对称．线段2AF 的中垂线m 分别与12,AF AF 交于M 、N 两点．⑴ 求点M 的轨迹C 的方程；⑵ 设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P 、Q 两点，满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，求OPQ △面积的取值范围．【解析】 ⑴由题意得，()10F，)20F ，圆1F 的半径为4，且2MF MA =从而121112||||||||||4||MF MF MF MA AF F F +=+==>∴点M 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的椭圆，其中长轴24a =，得到2a =，焦距2c =1b =，椭圆方程为：2214x y +=⑵由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠，11()P x y ，，22()Q x y ，，由22440y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩，消去y 得222(14)8km 4(1)0k x x m +++-=，则22222226416(14)(1)16(41)0k m k m m k m =-+-=-+>△，且122814km x x k -+=+，21224(1)14m x x k -=+，故2212111212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以2221212121212()y y k x x km x x m k x x x x +++⋅==，即22228014k m m k-+=+，又0m ≠，所以214k =，即12k =±，由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且0>△，得202m <<且21m ≠，原点到O 到PQ的距离d，1122OPQ S PQ d =⋅⋅=△12m ==202m <<∵且21m ≠，∴OPQ S △的取值范围为(01)，.综上所述OPQ S △的取值范围为(]01，.20．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率2e =，以坐标原点O 为圆心，半径为c （c 为椭圆的半焦距）的圆与直线l：3y =+相切．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l 与圆O 的公共点为M ，与椭圆C 的公共点为N ，求OMN △的面积．【解析】根据题意，圆的方程为222x y c +=．于是可得圆心()00O ，到直线l30y +-=的距离为c ， 2分c =，c =．又∵c e a ==，∴2a =． 4分 ∴2221b a c =-=．6分 ∴椭圆的方程为2214x y +=．6分（Ⅱ）由22314y x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，得29320x -+=．8分设()11N x y ，，则13x =，113y =，即直线与椭圆相切，N 为切点．∴3ON =．又OM =∴3MN ===， 10分∴112232OMN S MN OM =⋅⋅=⨯=△．12分21．已知点()44P ，，圆C ：()()2253x m y m -+=<与椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）有一个公共点()31A ，，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，直线1PF 与圆C 相切．（Ⅰ）求m 的值与椭圆E 的方程；（Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP AQ ⋅的范围．【解析】（Ⅰ）点A 代入圆C 方程，得()2315m -+=．∵3m <，∴1m =圆C ：()2215x y -+=．设直线1PF 的斜率为k ，则1PF ：()44y k x =-+，即440kx y k --+=． ∵直线1PF 与圆C=．解得112k =，或12k =．当112k =时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意舍去．当12k =时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为4-， ∴4c =．()140F -，，()240F ，．122a AF AF =+==，a =，218a =，22b =．椭圆E 的方程为：221182x y += （Ⅱ）()13AP = ，，设()Q x y ，，()()33136AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-．∵221182x y +=,即()22318x y +=，而()22323x y x y +⋅≥，∴18618xy -≤≤．则()()22336186x y x y xy xy 2+=++=+的取值范围是[]036，3x y +的取值范围是[]66-，．∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是[]120-，22．已知椭圆22:14y C x +=，过点(01)M ，的直线l 与椭圆C 相交于两点A 、B ．⑴若l 与x 轴相交于点P ，且P 为AM 的中点，求直线l 的方程；⑵设点102N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求NA NB + 的最大值．【解析】 ⑴设11()A x y ，，因为P 为AM 的中点，且P 的纵坐标为0，M 的纵坐标为1，所以1102y +=，解得11y =-，又因为点11()A x y ，在椭圆C 上，所以221114y x +=，即21114x +=，解得12x =，则点A的坐标为1⎫-⎪⎪⎝⎭或1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以直线l的方程为330y -+=，或330y +-=．⑵设11()A x y ，，22()B x y ，，则1112NA x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，2212NB x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，所以1212(1)NA NB x x y y +=++-，，则NA NB +=，当直线AB 的斜率不存在时，其方程为0x =，(02)A ，，(02)B -，，此时1NA NB +=；当直线AB 的斜率存在时，设其方程为1y kx =+，由题设可得A 、B 的坐标是方程组22114y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的解，消去y 得22(4)230k x kx ++-=所以22(2)12(4)0k k =++>△，12224kx x k -+=+，则121228(1)(1)4y y kx kx k +=+++=+，所以22222222281211144(4)k k NA NB k k k --⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭≤，当0k =时，等号成立,即此时NA NB +取得最大值1．综上，当直线AB 的方程为0x =或1y =时，NA NB +有最大值1．23．如图，四边形ABCD 的顶点都在椭圆22163x y +=上，对角线AC 、BD 互相垂直且平分于原点O ．⑴若点A 在第一象限，直线AB 的斜率为1，求直线AB 的方程； ⑵求四边形ABCD 面积的最小值．【解析】 ⑴设()11A x y ，，()22B x y ，，直线AB 的方程为y x b =+∵四边形ABCD 的顶点都在椭圆22163x y +=上∴2226y x b x y =+⎧⎨+=⎩，∴()2226x x b ++=，即2234260x bx b ++-=则()()222161226890b b b ∆=--=-> 1243b x x +=-，212263b x x -=∴()()()212121212y y x b x b x x b x x b =++=+++ 2222264633b b b b ---=+=又OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=∴231203b -=∴24b =，2b =±∵点A 点在第一象限∴2b =- 所以直线AB 的方程为2y x =-⑵①若直线AB x ⊥轴，设其方程为0x x =，此时易知直线AC 、BD 的方程分别为y x =，y x =-，且四边形ABCD 是正方形，则()00A x x ，，()00B x x -，，2200163x x +=，202x =，四边形ABCD 的面积()2200248S x x ===②若直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，()11A x y ，，()22B x y ，，2226y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，∴()2226x kx m ++=，即()222214km 260k x x m +++-=则()()()2222222222164212682263k m k m k m k m m k ⎡⎤∆=-+-=-+--⎣⎦()228630k m =+->122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+∴()()()2212121212km y y kx m kx m k x x x x m =++=+++()22222222222264262121k m k m k m m m k k k --++-==++又OA OB ⊥，所以2222212122226636602121m m k m k OA OB x x y y k k -+---⋅=+===++∴2222m k =+所以12AB x x ==-===直角三角形OAB 斜边AB 上的高h =所以12OABS h AB ∆===2==，当且仅当0k =时取得此最小值，此时min 8S =综上所述，四边形ABCD 面积的最小值为8．24．已知椭圆2222:1x y M a b +=(0)a b >>的离心率为3，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+．⑴求椭圆M 的方程；⑵设直线l 与椭圆M 交于A B ，两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC △面积的最大值．【解析】 ⑴因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+所以226a c +=+，又椭圆的离心率为3，即3c a =，所以3c =，所以3a =，c =所以1b =，椭圆M 的方程为2219x y +=．⑵法一：不妨设BC 的方程()()30y n x n =->，，则AC 的方程为1(3)y x n=--．由22(3),19y n x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222169109n x n x n ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，设()11A x y ，，()22B x y ，，因为222819391n x n -=+，所以22227391n x n -=+，同理可得2122739n x n -=+，所以26||91BC n =+，22266||99n AC n n =++， 2222121136(1)||||22(91)(9)1649ABC n n n n S BC AC n n n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=⋅⋅=⋅=++⎛⎫++⎪⎝⎭△，设12t n n =+≥，则22236464899t S t t t ==++≤，当且仅当83t =时取到等号，所以ABC △面积的最大值为38．法二：不妨设直线AB 的方程x ky m =+．由2219x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得222(9)290k y kmy m +++-=，设11()A x y ，，22()B x y ，，则有12229km y y k +=-+，212299m y y k -=+． ①因为以AB 为直径的圆过点C ，所以 0CA CB ⋅=．由 ()()112233CA x y CB x y =-=- ，，，，得 1212(3)(3)0x x y y --+=．将1122x ky m x ky m =+=+，代入上式，得 221212(1)(3)()(3)0k y y k m y y m ++-++-=．将 ① 代入上式，解得 125m =或3m =（舍）所以125m =（此时直线AB 经过定点1205D ⎛⎫⎪⎝⎭，，与椭圆有两个交点），所以121||||2ABC S DC y y ∆=-12= 设211099t t k =<+，≤，则ABC S ∆．所以当25102889t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，时，ABC S △取得最大值38．25．已知椭圆W 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为3，两条准线间的距离为6．椭圆W 的左焦点为F ，过左准线与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆W 交于不同的两点A 、B ，点A 关于x 轴的对称点为C ． ⑴求椭圆W 的方程；⑵求证：CF FB λ=(λ∈R )； ⑶求MBC ∆面积S 的最大值．【解析】 ⑴ 设椭圆W 的方程为22221x y a b+=，由题意可知2222,26,c a a b c a c ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪⋅=⎪⎩解得a =，2c =，b ，所以椭圆W 的方程为22162x y +=．⑵ 解法1：因为左准线方程为23a x c=-=-，所以点M 坐标为(30)-，．于是可设直线l 的方程为(3)y k x =+．22(3),162y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(13)182760k x k x k +++-=．由直线l 与椭圆W 交于A 、B 两点，可知2222(18)4(13)(276)0k k k ∆=-+->，解得223k <．设点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则21221813k x x k -+=+，212227613k x x k-=+，11(3)y k x =+，22(3)y k x =+．因为(2,0)F -、11(,)C x y -，所以11(2,)FC x y =+- ，22(2,)FB x y =+．又因为1221(2)(2)()x y x y +-+- 1221(2)(3)(2)(3)x k x x k x =+++++ 1212[25()12]k x x x x =+++2222541290[12]1313k k k k k --=++++2222(5412901236)013k k k k k --++==+，所以CF FB λ=．解法2：因为左准线方程为23a x c=-=-，所以点M 坐标为(30)-，．于是可设直线l 的方程为(3)y k x =+，点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则点C 的坐标为11(,)x y -，11(3)y k x =+，22(3)y k x =+．由椭圆的第二定义可得 22113||||||3||x y FB FC x y +==+，所以B ，F ，C 三点共线，即CF FB =． ⑶ 由题意知1211||||||||22S MF y MF y =+121||||2MF y y =⋅+ 121|()6|2k x x k =++ 23||13k k =+313||||k k =≤=+，当且仅当213k =时“=”成立，所以MBC ∆面积S的最大值为2．26．如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60︒． ⑴ 求该椭圆的离心率；⑵ 设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D 、E 两点，记GFD △的面积为1S ，OED △（O 为原点）的面积为2S ，求12S S 的取值范围．【解析】 ⑴依题意，当直线AB 经过椭圆的顶点(0,)b 时，其倾斜角为60︒设 (,0)F c -，则tan 60bc︒==．将 b = 代入 222a b c =+，解得 2a c =．所以椭圆的离心率为 12c e a ==．⑵由⑴，椭圆的方程可设为2222143x y c c+=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ．依题意，直线AB 不能与,x y 轴垂直，故设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其代入2223412x y c +=，整理得222222(43)84120k x ck x k c c +++-=．则 2122843ck x x k -+=+， 121226(2)43ck y y k x x c k +=++=+，22243(,)4343ck ckG k k -++．因为 GD AB ⊥，所以 2223431443Dck k k ck x k +⨯=---+，2243D ck x k -=+．因为 △GFD ∽△OED ，所以 2222222212222243()()||434343||()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k ---++++==-+ 222242222242(3)(3)99999()ck ck c k c k ck c k k ++===+>．所以12S S 的取值范围是(9,)+∞． 27．已知1F ,2F 分别是椭圆15:22=+y x E 的左、右焦点，1F ,2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点.⑴求圆C 的方程;⑵设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ,b .当ab 最大时,求直线l 的方程.【解析】 ⑴ 先求圆C 关于直线02=-+y x 对称的圆D,由题知圆D 的直径为12F F ，所以圆D 的圆心0,0D （），半径2r c ===，圆心0,0D （）与圆心C 关于直线02=-+y x 对称(2,2)C ⇒⇒圆C 的方程为：22(2)(2)4x y -+-=.⑵由⑴知2F (2,0), ,据题可设直线l 方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线l 可被圆和椭圆截得2条弦,符合题意.圆C:4)2()2(22=-+-y x 到直线l 的距离=.⇒在圆中，有勾股定理得： 22222444(41m 1m m b =-=++.设直线与椭圆相交于点1122(,),(,)E x y F x y ，联立直线和椭圆方程，整理得：5204544)(0145(22212122+=++-=++=+⇒=-++m m m my y m x x my y m ）由椭圆的焦半径公式得:51525)(210)(5252222121++⋅=+-=+-=m m x x x x a5158m 14515222222++⋅=+⋅++⋅=∴m m m m ab .令()0()5f x x y f x x =≥⇒=+在[0,3]上单调递增，在[3,)+∞上单调递减令()(3)f x f ≤⇒当23m =时，ab 取最大值，这时直线方程为： 2.x =+所以当ab 取最大值，直线方程为2x =+。

圆锥曲线综合练习题(有答案)

圆锥曲线综合练习一、选择题：1．已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上,若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．82．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A B ．12 C D ．233．设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．14．若m 是2和8的等比中项,则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ )A B C D 5．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（）A B C D 6．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（）A ．0B ．1C ．2D ．7．双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为（）A ．22或2B ．7C ．22D ．28．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点，则||||PM PN -的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上,且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．1610．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（）A B 1 C 1 D 111．两个正数a b ，的等差中项是92,一个等比中项是a b >，则抛物线2by x a=-的焦点坐标是（）A ．5(0)16-， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1(0)5， 12．已知12A A ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点,椭圆C 上异于12A A ，的点P恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（）A ．49 B ．23 C ．59D 513．已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆上，且满足0OA OB +=(O 为坐标原点)，2120AF F F ⋅=2，则直线AB 的方程是( ) A ． 22y =B ．22y x =C ．3y =D ．3y = 14．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(02)M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A ．3B 17C 5D ．9215．若椭圆221x y m n+=与双曲线221(x y m n p q p q -=，，，均为正数）有共同的焦点F 1,F 2，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于 ( ）A ．m p +B ．p m -C ．m p -D ．22m p -16．若()P a b ，是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点，且满足20a b ->，20a b +>，则该点P 一定位于双曲线（ ) A ．右支上 B ．上支上 C ．右支上或上支上 D ．不能确定17．如图，在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=，AC BC ，边上的高分别为BD AE ，，则以A B ，为焦点，且过D E ，的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ) A ．3 B ．1 C ．32D ．218221sin 2sin 3cos 2cos 3=--表示的曲线是（）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线19．已知12F F ，是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,点P 在椭圆上,且122F PF π∠=记线段1PF 与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若1FOQ △与四边形2OF PQ 的面积之比为1:2,则该椭圆的离心率等于（） A ．23 B ．33 C ．43- D 3120．已知双曲线方程为2214y x -=，过(21)P -，的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的条数共有（）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 21．已知以1(20)F -，,2(20)F ，为焦点的椭圆与直线340x y +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（） A ．2 B ．6 C ．7 D ．222．双曲线22221x y a b-=与椭圆22221x y m b +=(00)a m b >>>，的离心率互为倒数，那么以a b m ，，为边长的三角形是（ )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形23．已知点(10)(10)A B -，，，及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（） A ．3 B ．2 CD24．设12F F ，是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32x a =上一点,21F PF △是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为( ）A ．12B ．23C ．34D ．4525．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A B ，两点，||AB =则C 的实轴长为（）AB． C ．4 D ．826．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A B ，两点,||12AB =，P 为C 准线上一点，则ABP △的面积为（ )A ．18B ．24C ．36D ．48 27．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(42)-，，则它的离心率为（） ABCD28．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A B ，两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则ab的值为（） AB. C.29．若椭圆221(00)x y m n m n +=>>，与曲线22||x y m n +=-无焦点,则椭圆的离心率e 的取值范围是（ )A．1) B．(0 C．1) D．(0 30．已知12F F ，分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(0)M t ，为一个切点,则（）A ．2t =B ．2t >C ．2t <D ．t 与2的大小关系不确定31．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B ，,交其准线于点C ，若||2||BC BF =，且||3AF =，则此抛物线方程为（）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x = D．2y32．已知椭圆2214x y +=的焦点为12F F 、，在长轴12A A 上任取一点M,过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为( D ） ABC ．12D33．以O 为中心,12F F ，为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足12||2||2||MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为( ） AB ．23CD34．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（） A． B ．2 C ．1 D ．035．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为1242x x =-=，的两点,过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标为（ ) A ．(29)--， B ．(05)-， C ．(29)-， D ．(16)-，36．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（） A ．2 B ．3 C ．6 D ．837．直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆22(1)1x y +-=从左到右的交点依次为A B C D ，，，，则||||AB CD 的值为（ )A ．16B ．116 C ．4 D ．1438．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A C ，分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点,F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点DBDF 的余弦是（）ABC D39．设双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( ）A ．(12]，B ．2]C ．2)D ．(12)，40．已知11()A x y ，是抛物线24y x =上的一个动点，22()B x y ，是椭圆22143x y +=上的一个动点,(10)N ，是一个定点，若AB ∥x 轴,且12x x <，则NAB △的周长l 的取值范围为（ )A ．10(5)3，B ．8(4)，C ．10(4)3，D ．11(5)3，41．2=e ，右焦点(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个根分别为1x ，2x ，则点12()P x x ，在（）A ．圆1022=+y x 内 B ．圆1022=+y x 上 C ．圆1022=+y x 外 D ．以上三种情况都有可能42．过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ,若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是( )A B C ．2 D43．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP(O 为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（ )A ．)+∞B ．)+∞C ．D ．44．已知以椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A B C D 45的左准线l ，左．右焦点分别为F 1．F 2，抛物线C 2的准线为l ，焦点是F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则｜PF 2 ）A B C ．4 D ．846．已知F 1、F 2是双曲线 12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） A ．4+32 Ｂ．3+1 Ｃ．3—1 Ｄ．213+47．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左顶点、右焦点分别为A 、F,点B （0，b ）,-=+,则该双曲线离心率e 的值为（）A ．213+ B C ．215- D ．248．直线l 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右准线,以原点O 为圆心且过双曲线焦点的圆被直线l 分成弧长为2：1的两段，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．2D ．49．从双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MT MO -与a b -的大小关系为 A ．a b MT MO ->- B ．a b MT MO -=- C ．a b MT MO -<-D ．不确定．50．点P 为双曲线1C :()0,012222>>=-b a by a x 和圆2C :2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点,则双曲线1C 的离心率为( ） A ．3B ．21+C ．13+D ．251．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为12F F ，，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4：3：2，则曲线r 的离心率等于 A ．1322或B ．23或2C ．12或2 D ．2332或 52．已知点P 为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右交点，I 为22PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为( )AB C ．b a D ．ab二、填空题:53．已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A B ，两点．若22||||12F A F B +=，则||AB = ． 54．中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为4，离心率为12的椭圆的方程为． 55．9．已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直,则a = .56．已知P 为椭圆22194x y +=上的点,12F F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=，则12F PF △ 的面积是． 57．已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，和椭圆221169x y +=有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为．58．若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线与椭圆22143x y +=的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点,则双曲线的离心率为． 59．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过点2F 做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点P ，且1230PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为．60．已知12F F 、分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点,Q 是y 轴上的一个动点，若12||||4PF PF -=，则12()PQ PF PF ⋅-= 。

高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析

高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4．（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M(-4,0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点（B在M、C之间），N为BC中点．(ⅰ)证明：k·kON为定值；(ⅱ)是否存在实数k，使得F1N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）;（2）(ⅰ）;(ⅱ）不存在．【解析】（1）由于曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4，结合椭圆的定义可知曲线Ｃ是以两定点F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，从而可写出曲线C的方程；（2）由已知可设出过点直线l的方程，并设出直线l与曲线C所有交点的坐标；然后联立直线方程与曲线C的方程，消去y就可获得一个关于x的一元二次方程，应用韦达定理就可写出两交点模坐标的和与积；(ⅰ)应用上述结果就可以用k的代数式表示出弦的中点坐标，这样就可求出ON的斜率，再乘以k就可证明k·kON 为定值；(ⅱ）由F1N⊥AC，得kAC•kFN= -1，结合前边结果就可将此等式转化为关于k的一个方程，解此方程，若无解，则对应直线不存在，若有解，则存在且对应直线方程很易写出来.试题解析：（1）由已知可得：曲线Ｃ是以两定点F1(-1,0)和F2(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，所以，故曲线C的方程为：. 4分（2）设过点M的直线l的方程为y=k(x+4)，设B(x1, y1)，C(x2, y2）(x2>y2)．(ⅰ)联立方程组，得，则， 5分故，， 7分所以，所以k•kON=为定值. 8分(ⅱ)若F1N⊥AC，则kAC•kFN= -1，因为F1(-1,0)，故， 10分代入y2=k(x2+4)得x2=-2-8k2，y2="2k" -8k3，而x2≥-2，故只能k=0，显然不成立，所以这样的直线不存在． 13分【考点】1.椭圆的方程;2.直线与椭圆的位置关系.2.双曲线+=1的离心率，则的值为.【答案】-32【解析】由题意可得，a=2，又∵e==3，∴c=3a=6，∴b2=c2-a2=36-4=32，而k=-b2，∴k=-32【考点】双曲线离心率的计算.3.已知椭圆，直线是直线上的线段，且是椭圆上一点，求面积的最小值。

圆锥曲线综合练习及答案

圆锥曲线综合练习例1、椭圆12322=+y x 内有一点P （1，1），一直线过点P 与椭圆相交于P 1、P 2两点，弦P 1P 2被点P 平分，求直线P 1P 2的方程。

（2x+3y-5=0）备份：1.过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线方程。

（132322=+y x ）变式2、斜率为1的直线与双曲线1222=-y x 相交于A 、B 两点，又AB 中点的横坐标为1。

（1）求直线的方程（2）求线段AB 的长（1）y=x+1 (2)AB=62…变式3、已知抛物线x y C 42=：的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。

例2、已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ,离心率为22.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M,N.(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)当△AMN 得面积为103时,求k 的值.解:(1)由题意得222222a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2b =.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. (2)由22(1)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4240k x k x k +-+-=.`设点M,N 的坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y ,则11(1)y k x =-,22(1)y k x =-,2122412k x x k +=+,21222412k x x k -=+.所以|MN|=222121()()x x y y -+-=221212(1)[()4]k x x x x ++-=2222(1)(46)12k k k +++.由因为点A(2,0)到直线(1y k x =-）的距离212d k=+,所以△AMN 的面积为221||46||212k k S MN d k +=⋅=+. 由2||4610k k +=,解得1k =±. 变式1、1已知21F F 分别是椭圆C :22a x +22by =1(0>>b a )的左、右焦点,A 是椭圆C 的上顶点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点,1260F AF ο∠=.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率; (Ⅱ)已知1AF B ∆面积为403,求,a b 的值【解析】(I)1216022c F AF a c e a ο∠=⇔=⇔== (Ⅱ)设2BF m =;则12BF a m =-在12BF F ∆中,22212122122cos120BFBF F F BF F F ο=+-⨯⨯ 2223(2)5a m m a am m a ⇔-=++⇔= [来源:学|科|网Z|X|X|K])1AF B ∆面积211133sin 60()40310,5,53225S F F AB a a a a c b ο=⨯⨯⨯⇔⨯⨯+====变式2、已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解、（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=，由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=，直线l 与抛物线C 相切，`2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=．由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又2212121||||1()4AB x x kx x x x =-=++-222214(1)11622k k k ⎛⎫=-⨯-=++ ⎪⎝⎭．22161168k k +∴=+，解得2k =±．…即存在2k =±，使0NA NB =．例3、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。

(完整版)圆锥曲线练习题含标准答案(最新整理)

当 0 m 1 时，
y2 1
x2 1
1, e2
a2 b2 a2
1m
3,m 4
1 ,a2 4
1 m
4, a
2
m
20． x2 y2 1 20 5
设双曲线的方程为 x2 4 y2 , ( 0) ，焦距 2c 10, c2 25
5 /9
当
0 时，
x2
y2
1,
4
25,
20 ；
4
当
0
时，
y2
x2
1,
(
)
4
25,
20
4
21． (, 4) (1, ) (4 k)(1 k) 0, (k 4)(k 1) 0, k 1,或k 4
22． x 3 2 p 6, p 3, x p 3
2
22
23．1
焦点在 y 轴上，则 y2 x2 1, c2 5 1 4, k 1
28． ( 7, 0) 渐近线方程为 y m x ，得 m 3, c 7 ，且焦点在 x 轴上 2
29． b2 a2
设A( x1 ,y1), NhomakorabeaB(x2 ,
y2
)
，则中点
M
(
x1
2
x2
,
x
, 2
x2
8x
4
0,
x1
x2
8,
y1
y2
x1
x2
4
4
中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 ) (4, 2)
2
2
27． , 2
t2 设 Q(
,t) ，由
PQ
a
t2 得(

(完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)

2、选择题:圆锥曲线综合练习2已知椭圆—10 A. 4 直线x 2y设双曲线1的长轴在 2 0经过椭圆 B .C .72y y J 5y 轴上，若焦距为4，则m 等于（D . 8 1(a b0）的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（2y_9 B . 31 (a 0）的渐近线方程为若m 是2和8的等比中项, 则圆锥曲线 x 23x 2y 0 ,则a 的值为（1的离心率是（已知双曲线点.若OM A .」已知点 F 1 , 2 2x y 2 2 1（aa b ON ，则双曲线的离心率为（ B .匚2 F 2是椭圆 2 x 25A . 22 或 2双曲线2P 为双曲线— 9的最大值为（ A . 6 已知点 0 , b 0），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M , N 两点，O 为坐标原2 2 x 2y2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点, uur 那么| PF ! PF, i 的最小值是1上的点到一个焦点的距离为 12,则到另一个焦点的距离为（ B . 2 y_ 16 7 C . 22 1的右支上一点， D . 2M , N 分别是圆(x 5)2 y 2 4 和(x 5)2 y 2 1上的点，则|PMIPN |2 P （8, a ）在抛物线y 4px 上，且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为 8 D . 16 uuur 1 uuu.在正△ ABC 中，D AB , E AC ，向量DE -BC ，则以B ,C 为焦点，且过D , 2A 」 3 9 .两个正数a 'b的等差中项是，一个等比中项是2.5，且a b ，则抛物线y 2E 的双曲线离心率为-x 的焦点坐标是（a2 B . ( 7,0)52x .已知A 1 , A 分别为椭圆C: p aA .(16，0) 1C . ( -, 0)52每1（a b 0）的左右顶点，椭圆C 上异于A , b恒满足k PA k%9，则椭圆C 的离心率为（1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.10 1112A . m pB . pm为Q , O 为坐标原点，若 △ FQQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1:2，则该椭圆的离心率等于（）C . 4 2 3D . 3 1220. 已知双曲线方程为x 2 丁 1，过P （2 , 1）的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线 |的条数共有（）A . 4条B . 3条C . 2条D . 1条21.已知以F 1（ 2 , 0） , F 2（2 , 0）为焦点的椭圆与直线 x 3y 4 0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）D . 4 2b 0）的离心率互为倒数，那么以 a , b , m 为边长的三角形是13.已知R 、 C . 5 922F 2分别是椭圆笃占 a b1(a b0）的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆上, 且满足 uur uunOA OB （O 为坐标原点），A - y fx B- y T xUUJU LULU — -2 AF 2 FF 2 0,若椭圆的离心率等于2，则直线AB 的方程是（2D 贞 D . y x214.已知点 P 是抛物线2x 上的一个动点, 则点 P 到点M （0 , 2）的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最A . 3C .9B ..5D .222 22215.若椭圆—y_ 1与双曲线— y_ 1（m , n , p , q 均为正数）有共冋的焦点m n p q小值为F 1, F 2, P 是两曲线的一个公共点,则 IPF 1IIPF 2I 等于 ()16.若 P(a , b)是双曲线 4x 216y 2m( m 0)上一点，且满足a 2b 0 , a 2b 0,则该点P 一定位于双曲线（A .右支上B .上支上C .右支上或上支上D .不能确定17.如图，在厶ABC 中，CABCBA 30o , AC , BC 边上的高分别为 BD , AE ,则以A , B 为焦点，且过D , E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（）B . 1C . 2,318方程2 xsin 2 sin .3 2——J 1表示的曲线是（cos 、2 cos < 3A .焦点在x 轴上的椭圆 C .焦点在y 轴上的椭圆2 219. 已知F 1, F 2是椭圆笃^2 1（a ba bB .焦点在x 轴上的双曲线 D .焦点在y 轴上的双曲线0）的左、右焦点，点 P 在椭圆上，且秆巳-记线段PF 1与y 轴的交点A . 3 2B .26 C . 2.7222 .双曲线务a 2丄 2 b21与椭圆x 2m2L2b 1 (a 0 , m()23 .已知点A （ 1 , 0）, B （1, 0）及抛物线y 2 2x ，若抛物线上点P 满足PA mPB ，则m 的最大值为（）实轴长为（A 是椭圆上一动点，圆 C 与F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以| AF | 3，则此抛物线方程为（ A. y 2 9x B. y 2 6x2C. y 3x2 230.已知F 1 , F 2分别是椭圆 ——1的左、右焦点，4 332,3 c9、3 23A.——B.C.D. --------23227229 .若椭圆— 2—1(m 0, n 0)与曲线x 2 y 2 |mn|无焦点，则椭圆的离心率 e 的取值范围是（)m n3 A .（〒，1）B . (0 , 34 2) C . ( 2 川) D . (0,()及线段AF 2相切，若 M （t , 0）为一个切点，则（C . t 2D . t 与2的大小关系不确定 31.如图，过抛物线2px(p 0）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ,B ，交其准线于点C ，若|BC | 2| BF |，且A .锐角三角形B •直角三角形C •钝角三角形D .等边三角形24 .设 F i , 三角形, 1 A .- 2F 2是椭圆E.p ra bE 的离心率为（2 B.-31(a0）的左、右焦点, 3P 为直线x ^a 上一点，△ F 2PF 1是底角为30°的等腰25.等轴双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 2x 轴上，C 与抛物线y16x 的准线交于A , B 两点,B . 2 2C . 4D . 826 .已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与则厶ABP 的面积为（）C 的对称轴垂直,l 与C 交于A , B 两点, | AB| 12 , P 为C 准线上一点,A . 18B . 24C . 3627.中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点D . 48（4 , 2），则它的离心率为（C .込228 .椭圆ax2by 1与直线 x 交于A , B 两点, 过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为D. y23x22uur uuu ，亠 2y 2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么| PF , PF 2I 的最小值是（A . 2.2| PF 1 | 3| PF 2 |，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为（）A . (1, 2]B . (2 ,2]C . (、一2 ,2)D . (1, 2)点，若AB // x 轴，且—1 X 2，则A NAB 的周长I 的取值范围为（）32 •已知椭圆 iur 使得PF , 2X二uuuPF 2 y 1的焦点为F ,、 0的M 点的概率为F 2，在长轴入A 上任取一点M ,过M 作垂直于AA 的直线交椭圆于 P ,则C .D . 33 .以 O 为中心, F i ,uuuF 2为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足|MF , |uui Luur2|MO | 2 | MF 21，则该椭圆的离心率为A . ( 2 ,9)B . (0,5)C . (2 , 9)D . (1, 6)36.若点0和点F2X 分别为椭圆-4 2' 1的中心和左焦点， 3点P 为椭圆上的任意一点，uuu 则0P uuu FP 的最大值为（）A . 2 B. 3 C . 6D . 837 .直线3x 4y4 0与抛物线 2 2x 4y 和圆x2(y 1)1从左到右的交点依次为 A , B , C ,D ，则I"!的值为条直线同时与抛物线和圆 5x 2 5y 2 36相切，则抛物线的顶点坐标为（ )( )34.已知点F i , F 2是椭圆35.在抛物线yx 2 ax 5(a0）上取横坐标为X 4 , X 2 2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一 A . 161638 .如图，双曲线的中心在坐标原点O , A , C 分别是双曲线虚轴的上、下端点, B 是双曲线的左顶点，F 是双曲线的左焦点, 直线 AB 与FC 相交于点 57 5 7 7工14 5 7 14239 .设双曲线 C : —2 a 2每1（a 0, b 0）的左、右焦点分别为 b F 2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得40 .已知A （X 1 , yj 是抛物线y 2 4x 上的一个动点,2 2B （X 2，祠是椭圆—乂 4 31上的一个动点,N （1, 0）是一个定D. F 1 ,BDF 的余弦是（2A . (10 ,5)B • (8 ,4)C • (!° ,4)D • (11 ,5)3 33 32 2XV241.设双曲线2y2 1(a 0 , b 0)的离心率e 2 ,右焦点F (c , 0),方程ax bx c 0的两个根分别为X i , x ,a b则点 P(X i , X 2)在()2 2 2 2A .圆x V 10内B .圆x V 10上C .圆x 2y 210外D .以上三种情况都有可能2 2X 42.过双曲线p a y 2 2 2詁 1（a 0,b 0）的右焦点F 作圆x y a 的切线FM （切点为M ）,交y 轴于点P ,若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是（)A . 2B . 3C . 2D . 5x 243 .若双曲线2a 2y 21 (a 0,b0)上不存在点 bP 使得右焦点 F 关于直线 O P （ O 为双曲线的中心）的对称点在y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为（)A . (2,)B . [ 2,)C . (1, 2]D . (1, 2)2 244.已知以椭圆一~ -V^ 1（a b 0）的右焦点F 为圆心, a b椭圆的离心率的取值范围是（）2 245.椭圆C 1 :— — 1的左准线I ，左.右焦点分别为 F 1. F 2，抛物线C 2的准线为|，焦点是F 2, C 1与C 2的一4 3个交点为P ,则|PF 2|的值等于（ )48A .B .C .4D . 83 32246.已知F 1、X F 是双曲线 y 1 (a > 0, b > 0）的两焦点，以线段 F 1F 2为边作正三角形 MF 1F 2,若边 MF 1a b 2的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A . 4+ 2、3B. 3 +1C. 3 — 1C . 5 1247 .已知双曲线 1(a 0,b 则该双曲线离心率 e 的值为（ 0）的左顶点、右焦点分别为） A 、F ,点 B (0, b )，若 BA BF BA BF48.直线l 是双曲线7 b 21（a 0,b 0）的右准线，以原点O 为圆心且过双曲线焦点的圆被直线l 分成弧长为a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该C . 5 1(丁 ,1)(0 ,D .2 2A .5B . . 3C .2 2D .22x 49 .从双曲线 2 a 2 y b 2 1(a 0,b 0）的左焦点 F 引圆x 22 2 y a2:1的两段，则双曲线的离心率为（) 于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点,的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支 MO MT b a C . MO| |MT| b a 50 .点P 为双曲线C i : 2 2xy 1 a—21 aa b2 PF 1F 2 PF 2F 1，其中F i , F 2为双曲线 51.设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F 1 , F 2 , 率等于则 |M0| MT 与 M0| |MT| b D .不确定. 0,b 0和圆C 2 C i 的两个焦点，则双曲线 b a 的大小关系为 x 2 y 2 a 2 b 2C i 的离心率为（若曲线r 上存在点P 满足|PF 1|:|F 1F2|:|PF 』 1或32 B . 或2C . 1 或 2D . 2或 32 23 2 3 2 A . 252 .已知点P 为双曲线的一个交点，且 =4:3:2 0）右支上一点，F 1 , F 2分别为双曲线的左、右交点，，则曲线r 的离心I PF 2F 2 的内心，若S |PF 1IPF%F1F 2成立，则的值为A .三 2aB .C . 二、填空题: 53 .已知R , F 2为椭圆 2 2 25 7 1的两个焦点, 过F 1的直线交椭圆于A , B 两点.若RAI |F 2B| 12 ,则|AB| 54.中心在原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 4,离心率为1的椭圆的方程为 255. 56 . 29.已知双曲线x 2工1 a 2 y_ 4 的一条渐近线与直线 x 2y 3 0垂直，则a 2x 已知P 为椭圆一91上的点，F 1 , F 2是椭圆的两个焦点，且 F 1PF 2 60° ,则厶F 1PF 2的面积2x 57.已知双曲线—a则双曲线的方程为2y_1(a 2 x0 , b 0)和椭圆一162才1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,58 .若双曲线笃爲1(a 0 , b 0)的一条渐近线与椭圆—-1的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点，则 a b4 3双曲线的离心率为2x59.已知双曲线ra265 .已知抛物线 C:y 2px(p 0)过点A(1, 2).(I)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；(H)是否存在平行于 OA ( O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线 OA 与L 的距离等于一5 ?若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.566 .已知抛物线x 22 py( p 0).1(a 0, b 0)的左、右焦点分别为F i , F 2 ,过点F 2做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点P ，且 PF 1F 2 30°, 则双曲线的渐近线方程为 60.已知 F-i > F 2分别为椭圆 2x25 y2uuir umu£ 1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，Q 是y 轴上的一个动点，若| PF | |PF 2 | 4 ,9umr 则PQ uur (PR ULUDPF ) 61 .已知圆 C :x 2 6x 8y 21 0，抛物线y 2 8x 的准线为I ，设抛物线上任意一点 P 到直线I 的距离为m ,则m |PC|的最小值为 _________________ . 2 262 .设双曲线—壬1的右顶点为A ，右焦点为F .过点 9 16则厶AFB 的面积为 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点63 .已知直线l i :4x 3y三、解答题:64 .已知椭圆 2y_ b 2(I)求椭圆 (n)若直线2 C ：笃 a C 的方程；l 过点M (1(a b 0)的两个焦点为F i , F 2,414 点 P 在椭圆 C 上，且 PF 1 PF 2, IPF 1I, |PF 2| 332,1)，交椭圆C 于A , B 两点，且点M 恰是线段AB 的中点，求直线l 的方程.2的距离之和的最小值6 0和直线l 2 :x 0 ,抛物线y 2(I)已知值是(i)(ii)P点为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影是点M，点A的坐标是(4 , 2)，且|PA| |PM |的最小4.求抛物线的方程；设抛物线的准线与y轴的交点为点(n)设过抛物线焦点F的动直线l交抛物线于求证：以CD为直径的圆过焦点F . E，过点E作抛物线的切线，求此切线方程；A , B两点，连接AO , BO并延长分别交抛物线的准线于C , D两点,2 2定点的坐标；如果不是，请说明理由.67.如图所示，已知椭圆 C:% 占1(a b 0), A i , A 2分别为椭圆C 的左、右顶点. a b(I)设F i , F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，证明：当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的左、右顶点时，|PF i |取得最小值与最大值;(H)若椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为 (川)若直线l :y kx m 与(H)中所述椭圆证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.2y是该椭圆的一个顶点. (I)求椭圆C 的方程； 2x68 .已知椭圆C : ja(H)已知圆o ：x 2y 22的切线l 与椭圆相交于3B 两点，那么以 AB 为直径的圆是否经过定点？如果时，求出3,最小值为1,求椭圆C 的标准方程;1(a b 0)的离心率。

【2023届新高考必刷题目】高中数学圆锥曲线大题综合

【2023届新高考必刷】圆锥曲线大题综合1.(2023春·江苏扬州·高三统考开学考试)已知AB 为抛物线G :y 2=2px (p >0)的弦，点C 在抛物线的准线l 上.当AB 过抛物线焦点F 且长度为8时，AB 中点M 到y 轴的距离为3.(1)求抛物线G 的方程；(2)若∠ACB 为直角，求证：直线AB 过定点.【答案】(1)y 2=4x(2)证明见解析【分析】(1)利用抛物线弦长公式，以及中点到y 轴的距离公式，计算出p 即可；(2)先设C -1,c ,A y 214,y 1 ,B y 224,y 2，直线AB 的方程：x =ty +n ，联立方程组，由韦达定理可得y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4n ，又因为∠ACB 为直角可得CA ⋅CB=0，化简求解可得n =1，所以得出直线过定点1,0 .【详解】(1)设A x A ,y A ,B x B ,y B ，则由题意得|AB |=x A +x B +p =8x A +x B 2=3，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x (2)直线AB 过定点1,0 ，证明如下：设C -1,c ,A y 214,y 1 ,B y 224,y 2，直线AB 的方程：x =ty +n ，将x =ty +n 代入y 2=4x 得y 2-4ty -4n =0，则Δ>0，得t 2+n >0，由韦达定理可得y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4n ，所以CA =y 214+1,y 1-c ,CB =y 224+1,y 2-c，因为∠ACB =90∘，所以CA ⋅CB =0，即y 21y 2216+y 21+y 224+1+y 1y 2-c y 1+y 2 +c 2=0，即n 2+4t 2+2n +1-4n -4tc +c 2=0，即(n -1)2+(2t -c )2=0，所以n =1，所以直线AB 过定点1,0 .2.(2023·江苏泰州·统考一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，过左焦点F 的直线与C 交于P ,Q 两点.当PQ ⊥x 轴时，PA =10，△PAQ 的面积为3.(1)求C 的方程；(2)证明：以PQ 为直径的圆经过定点.【答案】(1)x2-y23=1(2)证明见解析【分析】(1)根据题意，可得PF=b2a，b2a2+c-a2=10212⋅2b2a⋅c-a=3c2=a2+b2，进而求解；(2)设PQ方程为x=my-2，P x1,y1,Q x2,y2，联立直线和双曲线方程组，可得3m2-1y2-12my+9 =0，以PQ为直径的圆的方程为x-x1x-x2+y-y1y-y2=0，由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点，进而得到x2-x1+x2x+x1x2+y1y2=0，进而求解.【详解】(1)当PQ⊥x轴时，P,Q两点的横坐标均为-c，代入双曲线方程，可得y P=b2a，y Q=-b2a，即PF=b2a，由题意，可得b2a2+c-a2=10212⋅2b2a⋅c-a=3c2=a2+b2，解得a=1，b=3，c=2，∴双曲线C的方程为：x2-y23=1；(2)方法一：设PQ方程为x=my-2，P x1,y1,Q x2,y2，x=my-2 3x2-y2=3⇒3m2y2-4my+4-y2=3⇒3m2-1y2-12my+9=0,以PQ为直径的圆的方程为x-x1x-x2+y-y1y-y2=0，x2-x1+x2x+x1x2+y2-y1+y2y+y1y2=0,由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点，令y=0，可得x2-x1+x2x+x1x2+y1y2=0，而x1+x2=m y1+y2-4=12m23m2-1-4=43m2-1，x1x2=my1-2my2-2=m2y1y2-2m y1+y2+4=-3m2-4 3m2-1，∴x2-43m2-1x+-3m2-43m2-1+93m2-1=0⇒3m2-1x2-4x+5-3m2=0⇒3m2-1x+3m2-5x-1=0对∀m∈R恒成立，∴x=1，∴以PQ为直径的圆经过定点1,0；方法二：设PQ方程为x=my-2,P x1,y1,Q x2,y2，x=my-2 3x2-y2=3⇒3m2-1y2-12my+9=0,由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点.设以PQ 为直径的圆过E t ,0 ，∴EP ⋅EQ=0⇒x 1-t x 2-t +y 1y 2=0⇒x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+y 1y 2=0，而x 1x 2=my 1-2 my 2-2 =m 2y 1y 2-2m y 1+y 2 +4=m 2⋅93m 2-1-2m ⋅12m 3m 2-1+4=-3m 2-43m 2-1，x 1+x 2=m y 1+y 2 -4=12m 23m 2-1-4=43m 2-1∴-3m 2-43m 2-1-4t 3m 2-1+t 2+93m 2-1=0，3m2-1 t 2-4t +5-3m 2=0，即3m 2-1 t +3m 2-5 t -1 =0对∀m ∈R 恒成立，∴t =1，即以PQ 为直径的圆经过定点1,0 .3.(2023秋·浙江绍兴·高三期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-2,0),B (2,0)，直线PA 与直线PB 的斜率之积为-14，记动点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l :y =kx +m 与曲线C 交于M ，N 两点，直线MA ，NB 与y 轴分别交于E ，F 两点，若EO=3OF ，求证：直线l 过定点．【答案】(1)x 24+y 2=1(x ≠±2)(2)证明见解析【分析】(1)设P 点坐标为(x ,y )，由y x +2⋅y x -2=-14可得结果；(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，联立y =kx +m x 24+y 2=1，得x 1+x 2和x 1x 2，再求出E ,F 的坐标，根据EO =3OF得k =m ，从而可得结果.【详解】(1)设P 点坐标为(x ,y )，则y x +2⋅y x -2=-14，即x 24+y 2=1(x ≠±2)，所以曲线C 的方程为x 24+y 2=1(x ≠±2).(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，由y =kx +mx 24+y 2=1，消去y 并整理得4k 2+1 x 2+8km x +4m 2-4=0，由Δ=64k 2m 2-4(4k 2+1)(4m 2-4)>0，得4k 2+1>m 2,所以x 1+x 2=-8km 4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1．MA :y =y 1x 1+2(x +2)⇒E 0,2y 1x 1+2 ，NB :y =y 2x 2-2x -2 ⇒F 0,-2y 2x 2-2 ，因为EO =3OF ，所以-2y 1x 1+2=3⋅-2y 2x 2-2，即y 1(x 2-2)=3y 2(x 1+2)，∴kx 1+m x 2-2 =3kx 2+m x 1+2 ，∴2kx 1x 2+(2k +3m )x 1+x 2 +4(k -m )x 2+8m =0，所以2k ⋅4m 2-44k 2+1+(2k +3m )⋅-8km4k 2+1+4(k -m )x 2+8m =0，所以(k -m )4km -2+4k 2+1 x 2 =0对任意x 2都成立，∴k =m ，故直线l 过定点(-1,0)．4.(2023秋·浙江·高三期末)已知点A 463,233 是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点，B 与A 关于原点对称，F 是右焦点，∠AFB =π2．(1)求双曲线的方程；(2)已知圆心在y 轴上的圆C 经过点P (-4,0)，与双曲线的右支交于点M ，N ，且直线MN 经过F ，求圆C 的方程．【答案】(1)x 28-y 24=1(2)x 2+(y ±26)2=40【分析】(1)由已知条件列方程求出a ,b ,c ，即可求出双曲线的方程；(2)讨论直线MN 的斜率不存在时不满足题意；当斜率存在时设直线MN 的方程为y =kx +m ，联立双曲线的方程，由韦达定理求出MN 的中点Q 的坐标以及C 的坐标，根据勾股定理有CN 2=CP 2=CQ 2+12MN2，代入解方程即可得出答案.【详解】(1)由已知条件得：463+c ,233 ⋅463-c ,233 =0323a 2-43b 2=1a 2+b 2=c 2⇒a 2=8b 2=4c =23双曲线方程为：x 28-y 24=1．(2)若直线MN 的斜率不存在，则圆C 的圆心不在y 轴上，因此不成立．设直线MN 的方程为y =kx +m ，由y =k (x -23)x 28-y 24=1消元得：2k 2-1 x 2-83k 2x +24k 2+8 =0⇒2k 2-1≠0Δ=32k 2+1 >0x 1+x 2=83k 22k 2-1,y 1+y 2=k x 1+x 2 -43k =83k 32k 2-1-43k =43k2k 2-1∴MN 的中点Q 的坐标为43k 22k 2-1,23k2k 2-1．设C (0,m )，直线CQ :y =-1k x +m ，得C 0,63k2k 2-1，又|MN |=k 2+1⋅82⋅-8k 2+4+12k 28k 2-4 =42k 2+1 2k 2-1，根据勾股定理有CN 2=CP 2=CQ 2+12MN2∴63k 2k 2-1 2+42=43k 22k 2-1 2+23k 2k 2-1-63k 2k 2-1 2 +22k 2+1 2k 2-12．化简得2k 4-5k 2+2=0解得k 2=2或k 2=12(舍)∴C (0,±26)，∴圆C 的方程为x 2+(y ±26)2=40．5.(2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习)已知抛物线E :y 2=2px p >0 的焦点为F ，点F 关于直线y =12x +34的对称点恰好在y 轴上．(1)求抛物线E 的标准方程；(2)直线l :y =k x -2 k ≥6 与抛物线E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，若D 6,0 ，求AB CD的最大值．【答案】(1)y 2=4x(2)2915【分析】(1) 由题意得F p 2,0 ，设F 关于直线y =12x +34的对称点为F 0,m ，根据题意列出方程组，解之即可求解；(2)将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式，并求得线段AB 的垂直平分线方程为y -2k =-1k x -2k 2+2k 2 ，进而得到AB CD=22+49t +36t-12，利用函数的单调性即可求解.【详解】(1)由题意得F p 2,0 ，设F 关于直线y =12x +34的对称点为F0,m ，则m -p 2=-2m 2=18p +34 ，解得m =p =2，∴抛物线E 的标准方程为y 2=4x ．(2)由y =k x -2 y 2=4x 可得k 2x 2-4k 2+4 x +4k 2=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=4k 2+4k 2，x 1x 2=4，∴AB =1+k 2⋅x 1-x 2 =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+k 2⋅4k 2+4k 22-16=42k 4+3k 2+1k 2，y 1+y 2=k x 1+x 2 -4k =4k ，∴线段AB 的中点坐标为2k 2+2k 2,2k ，则线段AB 的垂直平分线方程为y-2k =-1k x -2k 2+2k 2 ，令y =0，得x =4+2k2，故C 4+2k 2,0 ，又D 6,0 ，得CD =4+2k 2-6=2-2k 2．∴ABCD =22k 4+3k 2+1k 2-1=22+7k 2-1k 4-2k 2+1，令t =7k 2-1k ≥6 ，则k 2=17t +1 ，t ≥41，∴AB CD=22+t 149t +1 2-27t +1+1=22+49t +36t-12，易知函数f t =t +36t在41,+∞ 上单调递增，∴当t =41时，f t 取得最小值，此时k =6，故AB CD的最大值为22+4136-12+1=2915．6.(2023·湖南邵阳·统考二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=10<a 10,b 0 的右顶点为A ，左焦点F -c ,0 到其渐近线bx +ay =0的距离为2，斜率为13的直线l 1交双曲线C 于A ，B 两点，且AB=8103．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点T 6,0 的直线l 2与双曲线C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与直线x =6相交于M ，N 两点，试问：以线段MN 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)x 29-y 24=1(2)以线段MN 为直径的圆过定点6-23,0 和6+23,0 ．【分析】(1)根据点到直线的距离公式即可求解b =2，进而联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解a =3，(2)联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在x 轴上，进而根据垂直关系得向量的坐标运算，即可求解.【详解】(1)∵双曲线C 的左焦点F -c ,0 到双曲线C 的一条渐近线bx +ay =0的距离为d =bca 2+b2=b ，而d =2，∴b =2．∴双曲线C 的方程为x 2a2-y 24=10<a <10 ．依题意直线l 1的方程为y =13x -a ．由x 2a 2-y 24=1,y =13x -a ,消去y 整理得：36-a 2 x 2+2a 3x -a 2a 2+36 =0，依题意：36-a 2≠0，Δ>0，点A ，B 的横坐标分别为x A ,x B ，则x A x B =a 2a 2+36a 2-36．∵x A =a ，∴x B =a a 2+36a 2-36．∴AB =1+132x A -x B =103x A -x B =8103，∴x A -x B =8．即a -a a 2+36a 2-36=8，解得a =3或a =12(舍去)，且a =3时，Δ>0，∴双曲线C 的方程为x 29-y 24=1．(2)依题意直线l 2的斜率不等于0，设直线l 2的方程为x =my +6．由x =my +6,x 29-y 24=1,消去x 整理得：4m 2-9 y 2+48my +108=0，∴4m 2-9≠0，Δ1>0．设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-48m 4m 2-9，y 1y 2=1084m 2-9．直线AP 的方程为y =y 1x 1-3x -3 ，令x =6得：y =3y 1x 1-3，∴M 6,3y 1x 1-3 ．同理可得N 6,3y 2x 2-3．由对称性可知，若以线段MN 为直径的圆过定点，则该定点一定在x 轴上，设该定点为R t ,0 ，则RM =6-t ,3y 1x 1-3 ，RN =6-t ,3y 2x 2-3 ，故RM ⋅RN =6-t 2+9y 1y 2x 1-3 x 2-3 =6-t 2+9y 1y 2my 1+3 my 2+3 =6-t 2+9y 1y 2m 2y 1y 2+3m y 1+y 2 +9=6-t 2+9×1084m 2-9m 2×1084m 2-9-3m ×48m 4m 2-9+9=6-t 2-12=0．解得t =6-23或t =6+23．故以线段MN 为直径的圆过定点6-23,0 和6+23,0 ．【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据圆的对称性可判断定点在坐标轴上，结合向量垂直的坐标运算化简求解就可，对计算能力要求较高.7.(2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)定义：一般地，当λ>0且λ≠1时，我们把方程x 2a 2+y 2b 2=λ(a >b >0)表示的椭圆C λ称为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的相似椭圆.(1)如图，已知F 1-3,0 ,F 23,0 ,M 为⊙O :x 2+y 2=4上的动点，延长F 1M 至点N ，使得MN =MF 1 ,F 1N 的垂直平分线与F 2N 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程；(2)在条件(1)下，已知椭圆C λ是椭圆C 的相似椭圆，M 1,N 1是椭圆C λ的左､右顶点.点Q 是C λ上异于四个顶点的任意一点，当λ=e 2(e 为曲线C 的离心率)时，设直线QM 1与椭圆C 交于点A ,B ，直线QN 1与椭圆C 交于点D ,E ，求AB +DE 的值.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)5【分析】(1)由图可知OM 是△F 1NF 2的中位线，由此可得F 2N 长为定值，因为点P 在F 1N 的垂直平分线上，所以PF 1 +PF 2 =PF 2 +PN ，根据椭圆定义求解析式即可；(2)假设出点Q 坐标，表示直线QM 1与直线QN 1的斜率，并找出两斜率关系，最后表示出两直线方程，分别与椭圆C 联立方程，利用弦长公式和韦达定理求出AB +DE 的值.【详解】(1)连接OM ，易知OM ∥12F 2N 且OM =12F 2N ，∴F 2N =4，又点P 在F 1N 的垂直平分线上，∴PF 1 =PN ，∴PF 1 +PF 2 =PF 2 +PN =NF 2 =4>23，满足椭圆定义，∴a =2,c =3,b =1，∴曲线C 的方程为x 24+y 2=1.(2)由(1)知椭圆C 方程为x 24+y 2=1，则离心率e =32⇒λ=34，∴楄圆C λ的标准方程为x 23+4y 23=1，设Q x 0,y 0 为椭圆C λ异于四个顶点的任意一点，直线QM 1,QN 1斜率k QM 1,k QN 1，则k QM1⋅k QN 1=y 0x 0+3⋅y 0x 0-3=y 2x 20-3，又x 203+4y 203=1⇒y 20=143-x 20 ，∴k QM 1⋅k QN 1=-14k QM 1≠±12.设直线QM 1的斜率为k ，则直线QN 1的斜率为-14k.∴直线QM 1为y =k x +3 ，由y =k x +3 ,x 24+y 2=1,得1+4k 2 x 2+83k 2x +12k 2-4=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-83k 21+4k 2,x 1x 2=12k 2-41+4k 2，∴AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=41+k 21+4k 2，同理可得DE =1+16k 21+4k 2，∴AB +DE =41+k 2 1+4k 2+1+16k 21+4k 2=5.8.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)过坐标原点O 作圆C :(x +2)2+y 2=3的两条切线，设切点为P ,Q ，直线PQ 恰为抛物E :y 2=2px ,(p >0)的准线.(1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点A ,B ,M ,N 满足：TA =2TM ,TB =2TN，设AB 中点为D .(i )求直线TD 的斜率；(ii )设△TAB 面积为S ，求S 的最大值.【答案】(1)y 2=2x(2)(i )0；(ii )48【分析】(1)设直线PQ 与x 轴交于P 0-p 2,0 ，由几何性质易得：CP 2=CP 0 ⋅CO ，即可解决；(2)设T x 0,y 0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，(i )中，由于TA 中点M 在抛物线E 上，得y 0+y 12 2=2⋅x 0+x 12，将A x 1,y 1,B x 2,y 2 ，代入联立得D 点纵坐标为y 1+y 22=y 0，即可解决；(ⅱ)由(i )得点D 3y 20-4x 02,y 0，S =12TD ⋅y 1-y 2 =322⋅y 20-2x 03，又点T 在圆C 上，得y 20=-x 20-4x 0-1，可得：S =322⋅-x 0+32+8 3即可解决.【详解】(1)设直线PQ 与x 轴交于P 0-p2,0 .由几何性质易得：△CPP 0与△OCP 相似，所以CP CP 0=CO CP，CP2=CP 0 ⋅CO ，即：3=-p2+2 ⋅2，解得：p =1. 所以抛物线E 的标准方程为：y 2=2x .(2)设T x0,y0,A x1,y1,B x2,y2(i)由题意，TA中点M在抛物线E上，即y0+y122=2⋅x0+x12，又y21=2x1，将x1=y212代入，得：y21-2y0y1+4x0-y20=0，同理：y22-2y0y2+4x0-y20=0，有y1+y2=2y0y1y2=4x0-y20，此时D点纵坐标为y1+y22=y0，所以直线TD的斜率为0.(ⅱ)因为x1+x22=y21+y224=y1+y22-2y1y24=3y20-4x02，所以点D3y20-4x02,y0 ，此时S=12TD⋅y1-y2，TD =3y20-4x02-x0=32y20-2x0，y1-y2=y1+y22-4y1y2=8y20-2x0，所以S=322⋅y20-2x03，又因为点T在圆C上，有x0+22+y20=3，即y20=-x20-4x0-1，代入上式可得：S=322⋅-x20-6x0-13=322⋅-x0+32+83，由-2-3≤x0≤-2+3，所以x0=-3时，S取到最大价322⋅83=48.所以S的最大值为48.9.(2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上的一点，直线MF的斜率为-1,△OFM的面积为1．(1)求C的方程；(2)过点F作一条直线l ，交C于A,B两点，试问在l上是否存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y2=4x(2)存在，-1,0或-1,-4【分析】(1)设点M的坐标为-p 2,a，根据直线MF的斜率为-1，得到a=p，再根据△OFM的面积为1求出p，即可得解；(2)假设存在点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方．设直线l 的方程为x=my+1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，N -1,t ，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，又k NF =-t2，k NA+k NB =y 1-t x 1+1+y 2-tx 2+1，化简k NA +k NB ，即可得到方程，求出t 的值，即可得解.【详解】(1)解：由题意知F p 2,0 ，设点M 的坐标为-p2,a ，则直线MF 的斜率为a -0-p 2-p 2=-ap ．因为直线MF 的斜率为-1，所以-ap =-1，即a =p ，所以△OFM 的面积S =12OF a =p 24=1，解得p =2或p =-2(舍去)，故抛物线C 的方程为y 2=4x ．(2)解：假设存在点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方．由(1)得F 1,0 ，抛物线C 的准线l 的方程为x =-1．设直线l 的方程为x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，N -1,t ，联立x =my +1y 2=4x得y 2-4my -4=0，所以Δ=16m 2+16>0，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4．因为k NF =0-t 1+1=-t 2，k NA +k NB =y 1-t x 1+1+y 2-tx 2+1=2my 1y 2+2-tm y 1+y 2 -4t m 2y 1y 2+2m y 1+y 2 +4=2m ⋅-4 +4m 2-tm -4t -4m 2+2m ⋅4m +4=-4t m 2+14m 2+1 =-t ，所以-t =-t22，解得t =0或t =-4．故存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方，其坐标为-1,0 或-1,-4 ．10.(2023·山东菏泽·统考一模)如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点分别为F 1-3,0,F 23,0 ,A 为椭圆C 上一点，△F 1AF 2的面积最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若B ､D 分别为椭圆C 的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于P ､Q (P 在上方，Q 在下方，且均不与B ,D 点重合)两点，直线PB ,QD 的斜率分别为k 1,k 2，且k 2=-3k 1，求△PBQ 面积的最大值.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)12【分析】(1)根据条件，得到关于a ,b ,c 的方程，即可得到结果；(2)根据题意设直线PQ 的方程为y =kx +m ，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，再由k 2=-3k 1列出方程，代入计算，即可得到结果.【详解】(1)S ΔF 1AF 2=12⋅23⋅b =3，∴b =1，a =b 2+3=2，故椭圆的方程为x 24+y 2=1；(2)依题意设直线PQ 的方程为y =kx +m ，P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程组y =kx +mx 24+y 2=1，消元得：1+4k 2 x 2+8km x +4m 2-4=0，∴x 1+x 2=-8km 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k2，Δ=64k 2m 2-41+4k 2 4m 2-4 =161+4k 2-m 2 >0，由k 2=-3k 1得：y 2+1x 2=-3⋅y 1-1x 1，两边同除x 1，y 2+1x 1x 2=-3⋅y 1-1x 21=-3⋅y 1-141-y 21 =341+y 1 ，即3x 1x 2-41+y 1 1+y 2 =0；将y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m 代入上式得：3x 1x 2-41+y 1 1+y 2 =3x 1x 2-4kx 1+m +1 kx 2+m +1 =3-4k 2 x 1x 2-4k m +1 x 1+x 2 -4m +1 2=3-4k 2 4m 2-41+4k 2-4k m +1 -8km 1+4k 2 -4m +1 2=0,整理得：m 2-m -2=0所以m =2或m =-1(舍)，S △PQB =12⋅1⋅x 1-x 2 =12x 1+x 2 2-4x 1x 2=12-8km 1+4k 2 2-44m 2-41+4k 2=24k 2-31+4k 2=24k 2-3+44k 2-3≤12,当k =±72时等号成立，满足条件，所以△PQB 面积的最大值为12.11.(2023·福建泉州·统考三模)已知椭圆C :x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A ，B ．直线l 与C 相切，且与圆O :x 2+y 2=4交于M ，N 两点，M 在N 的左侧．(1)若|MN |=455，求l 的斜率；(2)记直线AM ,BN 的斜率分别为k 1,k 2，证明：k 1k 2为定值．【答案】(1)k =±12；(2)证明过程见解析.【分析】(1)根据圆弦长公式，结合点到直线距离公式、椭圆切线的性质进行求解即可；(2)根据直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】(1)当直线l 不存在斜率时，方程为x =±2，显然与圆也相切，不符合题意，设直线l 的斜率为k ，方程为y =kx +m ，与椭圆方程联立，得x 24+y 23=1y =kx +m⇒(3+4k 2)x 2+8km x +4m 2-12=0，因为直线l 与C 相切，所以有Δ=64k 2m 2-43+4k 2 4m 2-12 =0⇒m 2=4k 2+3，圆O :x 2+y 2=4的圆心坐标为0,0 ，半径为2，圆心0,0 到直线y =kx +m 的距离为mk 2+-12，因为|MN |=455，所以有455=2×4-mk 2+-1 22⇒45=4-4k 2+3k 2+1⇒k =±12；(2)A -2,0 ,B 2,0 ，由x 2+y 2=4y =kx +m ⇒1+k 2 x 2+2km x +m 2-4=0，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,x 1<x 2，则有x 1+x 2=-2km k 2+1,x 1x 2=m 2-4k 2+1=4k 2-1k 2+1，x 1=-km -11+k 2,x 2=-km +11+k 2，k 1k 2=y 1x 1+2⋅y 2x 2-2=kx 1+m kx 2+m x 1x 2-2x 1+2x 2-4=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2x 1x 2-2x 1+2x 2-4，把x 1+x 2=-2km k 2+1,x 1x 2=m 2-4k 2+1=4k 2-1k 2+1，x 1=-km -11+k 2,x 2=-km +11+k 2代入上式，得k 1k 2=k 24k 2-1k 2+1+km -2km k 2+1+m 24k 2-1k 2+1-2⋅-km -1k 2+1+2⋅-km +1k 2+1-4=m 2-4k 2m 2-4-4k2，而m 2=4k 2+3，所以k 1k 2=4k 2+3-4k 24k 2+3-4-4k 2=-3.【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系，结合椭圆切线的性质进行求解是解题的关键.12.(2023·江苏南通·统考模拟预测)已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C x 3,y 3 三个点在椭圆x 22+y 2=1，椭圆外一点P 满足OP =2AO ，BP =2CP，(O 为坐标原点).(1)求x 1x 2+2y 1y 2的值；(2)证明：直线AC 与OB 斜率之积为定值.【答案】(1)12(2)证明见解析【分析】(1)设P x ,y ，根据向量关系用x 1,x 2,y 1,y 2表示x 3,y 3，代入椭圆方程即可求解；(2)用x 1,x 2,y 1,y 2表示x 3,y 3，代入斜率公式即可求解.【详解】(1)设P x ,y ，因为OP =2AO ，所以x ,y =2-x 1,-y 1 解得x =-2x 1y =-2y 1 ，又因为BP =2CP ，所以-2x 1-x 2,-2y 1-y 2 =2-2x 1-x 3,-2y 1-y 3 解得x 3=-x 1+12x 2y 3=-y 1+12y 2，因为点C 在椭圆上，所以-x 1+12x 2 22+-y 1+12y 2 2=1⇒x 212+y 21+14x 222+y 22-12x 1x 2-y 1y 2=1，即x 1x 2+2y 1y 2=12.(2)设直线AC 与OB 斜率分别为k AC ,k OB ，k AC k OB =y 3-y 1x 3-x 1×y 2x 2=-y 1+12y 2-y 1-x 1+12x 2-x 1×y 2x 2=-2y 1y 2+12y 22-2x 1x 2+12x 22=x 1x 2-12+121-12x 22 -2x 1x 2+12x 22=x 1x 2-14x 22-2x 1x 2+12x 22=-12是定值.13.(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)已知抛物线C :y 2=2px p >0 ，过焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且AB =AF ⋅BF .(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P 4,4 ，直线PA ，PB 分别交准线l 于M ，N 两点，证明：以线段MN 为直径的圆过定点.【答案】(1)y 2=4x (2)证明见解析【分析】(1)设AB :x =my +p2m ∈R ，联立抛物线方程，由根与系数的关系及抛物线的定义，根据AB =AF ⋅BF 建立方程求出p 得解；(2)由直线方程求出M ,N 的坐标，计算y M ⋅y N =-4，设Q x ,y 是以线段MN 为直径的圆上任意一点，根据MQ ⋅NQ=0化简0=x +1 2+y -y M y -y N ，根据对称性令y =0可得解.【详解】(1)设AB :x =my +p2m ∈R ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则联立y 2=2pxx =my +p 2得y 2-2pmy -p 2=0，所以Δ=4p 2m 2+4p 2>0y 1+y 2=2pm y 1y 2=-p 2，所以x 1+x 2=2m 2+1 px 1x 2=p 24，又AF =x 1+p 2，BF =x 2+p2，所以AB =AF +BF =x 1+x 2+p 由AB =AF ⋅BF 得x 1+x 2+p =x 1+p 2 x 2+p2 ，即x 1+x 2+p =x 1x 2+p 2x 1+x 2 +p 24所以2m 2+1 p +p =p 22m 2+1 p +p 22，化简得m 2+1 p p -2 =0，又p >0，所以p =2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x .(2)由(1)知AB :x =my +1m ∈R ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，所以y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4，易得x 1+x 2=4m 2+2，x 1x 2=1，由题意知AP :y -4=y 1-4x 1-4x -4 ，BP :y -4=y 2-4x 2-4x -4 ，所以令x =-1得y M =-5y 1-4 my 1-3+4，y N =-5y 2-4my 2-3+4，即M -1,-5y 1-4 x 1-4+4，N -1,-5y 2-4 x 2-4+4，所以y M ⋅y N =-5y 1-4my 1-3+4-5y 2-4 my 2-3+4=4m -5 y 1+8 4m -5 y 2+8my 1-3 my 2-3=4m -52y 1y 2+84m -5 y 1+y 2 +64m 2y 1y 2-3m y 1+y 2 +9=-44m -5 2+32m 4m -5 +64-4m 2-12m 2+9=64m 2-36-16m 2+9=-4设Q x ,y 是以线段MN 为直径的圆上得任意一点，则有MQ ⋅NQ=0，即0=x +1 2+y -y M y -y N ，由对称性令y =0得0=x +1 2+y M y N =x +1 2-4，所以x =1或x =-3所以以线段MN 为直径的圆经过定点，定点坐标为-3,0 与1,0 .【点睛】关键点点睛：求出M ,N 的点的坐标，计算出y M ⋅y N 为定值-4，是解题的关键之一，其次写出以MN 为直径的圆的方程，根据圆的方程0=x +1 2+y -y M y -y N ，由对称性，令y =0求定点是解题的关键.14.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦距为23，且经过点P -3,12 ．(1)求椭圆E 的标准方程：(2)过椭圆E 的左焦点F 1作直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点(点A 在x 轴上方)，过点A ，B 分别作椭圆的切线，两切线交于点M ，求AB MF 1的最大值．【答案】(1)x 24+y 2=1(2)2【分析】(1)由待定系数法求解析式；(2)设出直线方程，由韦达定理法及导数法求得两切线方程，即可联立两切线方程解得交点M ，再由弦长公式及两点距离公式表示出AB MF 1，进而讨论最值.【详解】(1)由题意得2c =233a 2+14b 2=1a 2=b 2+c2 ，所以a =2b =1 ，即椭圆方程为x24+y 2=1；(2)当直线l 斜率为0时，A ，B 分别为椭圆的左右顶点，此时切线平行无交点．故设直线l ：x =ty -3，由x 24+y 2=1x =ty -3，得t 2+4 y 2-23ty -1=0．Δ=16t 2+16>0，y 1+y 2=23t t 2+4，y 1y 2=-1t 2+4.AB =1+t 2y 1-y 2 =1+t 2y 1+y 22-4y 1y 2=1+t212t 2t 2+42+4t 2+4=4t 2+1t 2+4不妨设A x 1,y 1 在x 轴上方，则B x 2,y 2 在x 轴下方．椭圆在x 轴上方对应方程为y =1-x 24，y =-x41-x 24，则A 处切线斜率为-x 141-x 214=-x 14y 1，得切线方程为y -y 1=-x 14y 1x -x 1 ，整理得x 1x4+y 1y =1.同理可得B 处的切线方程为x 2x4+y 2y =1．由x 1x 4+y 1y =1①x 2x 4+y 2y =1②得x M =4y 2-y 1 x 1y 2-x 2y 1=4y 2-y 1 ty 1-3 y 2-ty 2-3 y 1=4y 2-y 1 3y 1-y 2 =-433，代入①得y M =1+33x 1y 1=1+33ty 1-3 y 1=3t 3，所以M -433,3t 3．因为MF 1 =-433+3 2+t 23=1+t 23，所以AB MF 1 =4t 2+1t 2+41+t 23=43t 2+1t 2+4设m =t 2+1≥1，则t 2=m 2-1，则AB MF 1=43m m 2+3=43m +3m≤4323=2，当且仅当m 2=3，即t =±2时，ABMF 1的最大值是2．另解：当直线l 的斜率存在时，设l ：y =k x +3 ，由x 24+y 2=1y =k x +3得1+4k 2 x 2+83k 2x +12k 2-4=0，所以Δ=k 2+1>0，x 1+x 2=-83k 21+4k 2，x 1x 2=12k 2-41+4k 2，AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+k 2⋅64×3k 21+4k 22-412k 2-41+4k 2=41+k 21+4k 2椭圆在x轴上方的部分方程为y=1-x24，y'=-x41-x24，则过A x1,y1y1>0的切线方程为y-y1=-x14y1x-x1，即x1x4+y1y=x214+y21=1，同理可得过B x2,y2y2<0的切线方程为x2x4+y2y=1.由x1x4+y1y=1x2x4+y2y=1得x M=4y2-y1x1y2-x2y1=4y2-y1y1k-3y2-y2k-3y1=4y2-y13y1-y2=-433设M-43 3,t，则-3x13+ty1=1-3x23+ty2=1 ，所以直线l的方程为-33x+ty=1，所以t=33k.MF1=-433+32+t2=1+k23k2，AB MF1=41+k21+4k2⋅3k21+k2=43k21+k21+4k22令n=1+4k2≥1，则k2=n-14，所以ABMF1=3-3⋅1n2+2⋅1n+1，当1n=-22×-3⇒n=3时，即k=±22时，ABMF1取得最大值，为2．【点睛】直线与圆锥曲线问题，一般设出直线，联立直线与圆锥曲线方程，结合韦达定理表示出所求的内容，进而进行进一步讨论.15.(2023春·江苏常州·高三校联考开学考试)已知点P2,-1在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，C的长轴长为42，直线l:y=kx+m与C交于A,B两点，直线PA,PB的斜率之积为14.(1)求证：k为定值；(2)若直线l与x轴交于点Q，求QA|2+QB|2的值.【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】(1)根据题意求出椭圆方程为:x28+y22=1，将椭圆，及相关直线、点进行平移，将y1x1,y2x2看作方程8n-4X2+8t-4nX-4t+1=0的两不等实根，进而可得n=-2t，代入直线方程化简即可；(2)联立直线与椭圆方程，结合韦达定理得y3+y4=m，y3y4=m2-22，化简QA|2+QB|2=5y3+y42-2y3y4，代入韦达定理即可求解.【详解】(1)由题意知2a=424a2+1b2=1⇒a=22b=2,∴椭圆方程为:x28+y22=1.将椭圆平移至(x +2)28+(y -1)22=1即x 2+4y 2+4x -8y =0，此时P 点平移至P 0,0 ,A ,B 分别平移至A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，设直线A B 方程为tx +ny =1代入椭圆⇒x 2+4y 2+4x -8y tx +ny =0，整理得8n -4 y 2+8t -4n xy -4t +1 x 2=0，两边同除以x 2⇒8n -4 ⋅y x2+8t -4n ⋅y x-4t +1 =0，∴k PA ⋅k PB=k PA ⋅k PB =14⇒y 1x 1⋅y 2x 2=14令y x =X ，则y 1x 1,y 2x 2可看作关于X 的一元二次方程，8n -4 X 2+8t -4n X -4t +1 =0的两不等实根，∴y 1x 1⋅y 2x 2=X 1X 2=-4t +1 8n -4=14,∴4t =-2n ，即n =-2t ，∴直线A B 方程为tx -2ty =1t ≠0 ,∴y =12x -12t，∴A B 的斜率为定值12，即k 的定值12.(2)设A x 3,y 3 ,B x 4,y 4 ，y =12x +m x 2+4y 2=8⇒8y 2-8my +4m 2-8=0，即2y 2-2my +m 2-2=0,Δ>0，故y 3+y 4=m ，y 3y 4=m 2-22，∴QA |2+ QB 2=1+4⋅y 3 2+1+4⋅y 4 2=5y 23+y 24 =5y 3+y 4 2-2y 3y 4=5m 2-2×m 2-22=10，∴QA |2+ QB |2=1016.(2023春·江苏苏州·高三统考开学考试)已知抛物线y 2=a 2x 的焦点也是离心率为32的椭圆x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 的一个焦点F ．(1)求抛物线与椭圆的标准方程；(2)设过F 的直线l 交抛物线于A 、B ，交椭圆于C 、D ，且A 在B 左侧，C 在D 左侧，A 在C 左侧．设a =AC ，b =μCD ，c =DB ．①当μ=2时，是否存在直线l ，使得a ，b ，c 成等差数列？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由；②若存在直线l ，使得a ，b ，c 成等差数列，求μ的范围．【答案】(1)抛物线的标准方程是y 2=12x ，椭圆的标准方程为x 212+y 23=1(2)①不存在，理由见解析；②μ∈43-12,+∞【分析】(1)根据相同焦点得到a 24=32a ，解得a =23，得到答案.(2)设l ：x =my +3和各点坐标，联立方程利用韦达定理得到根与系数的关系，计算AB =12m 2+1 ，CD =43m 2+1m 2+4，根据等差数列的性质得到方程，方程无解得到答案；整理得到m 2=3+23μ-123>0，解不等式即可.【详解】(1)抛物线的焦点F a 24,0 ，椭圆的焦点F c ,0 ，由于e =c a =32，即F 32a ,0 ，则有a 24=32a ，因此a =23，c =3，b =a 2-c 2=3，故椭圆的标准方程为x 212+y 23=1，抛物线的标准方程是y 2=12x ．(2)①设l ：x =my +3，m ≠0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C x 3,y 3 ，D x 4,y 4 ，将直线与抛物线联立，则有y 2=12xx =my +3 ，y 2-12my -36=0，Δ=144m 2+36×4>0，则y 1+y 2=12m y 1y 2=-36，于是x 1x 2=my 1+3 my 2+3 =m 2y 1y 2+3m y 1+y 2 +9=9，将直线与椭圆联立，则有x 2+4y 2-12=0x =my +3，得到二次方程m 2+4 y 2+6my -3=0，Δ>0，则有y 3+y 4=-6m m 2+4y 3y 4=-3m 2+4，则AB =x 1-x 22+y 1-y 2 2=1+m 2⋅y 1+y 22-4y 1y 2=12m 2+1 ，CD =x 3-x 42+y 3-y 4 2=1+m 2⋅y 3+y 4 2-4y 3y 4=1+m236m 2m 2+4 2+12m 2+48m 2+42=43m 2+1 m 2+4，AC +DB =AB -CD =12m 2+1 -43m 2+1m 2+4，假设存在直线l ，使得a ，b ，c 成等差数列，即AC +DB =4CD 即有12m 2+1 -43m 2+1 m 2+4=2×2×43m 2+1m 2+4，整理得到12m 2=203-48，方程无解，因此不存在l 满足题设．②只需使得方程12m 2+1 -43m 2+1 m 2+4=2μ×43m 2+1m 2+4有解即可．整理得到m 2=3+23μ-123，故m 2=3+23μ-123>0，解得μ∈43-12,+∞【点睛】关键点睛：本题考查了抛物线和椭圆的标准方程，等差数列性质，直线和抛物线，椭圆的位置关系，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用韦达定理得到根与系数的关系，根据设而不求的思想，可以简化运算，是解题的关键，需要熟练掌握.17.(2023秋·江苏无锡·高三统考期末)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的右焦点F 和抛物线C 2:y 2=2px p >0 的焦点重合，且C 1和C 2的一个公共点是23,263．(1)求C 1和C 2的方程；(2)过点F 作直线l 分别交椭圆于A ，B ，交抛物线C 2于P ，Q ，是否存在常数λ，使1AB -λPQ为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1， y 2=4x (2)存在，λ=13【分析】(1)先求出抛物线的方程，进而求出焦点，再根据椭圆的右焦点与其重合，列出方程组求解即可；(2)利用弦长公式分别表示出AB ,PQ ，然后代入1AB -λPQ ，可求出使1AB -λPQ为定值的常数λ.【详解】(1)解：由题意知2632=2p ⋅23⇒p =2，∴y 2=4x ，抛物线焦点1,0 ，∴c =149a 2+83b 2=1a 2=b 2+c2 ⇒a =2b =3 ⇒C 1方程：x 24+y 23=1，C 2方程：y 2=4x ．(2)解：方法一：假设存在这样的l ，设直线l 的方程为：x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，x =my +13x 2+4y 2=12⇒3m 2y 2+2my +1 +4y 2=12，3m 2+4 y 2+6my -9=0．Δ=36m 2+363m 2+4 =144m 2+1 ，∴AB =1+m 2⋅y 1-y 2 =1+m 2⋅144m 2+1 3m 2+4=12m 2+13m 2+4．设P x 3,y 3 ，Q x 4,y 4 ，x =my +1y 2=4x⇒y 2=4my +4，y 2-4my -4=0，Δ=16m 2+16，∴PQ =1+m 2⋅y 3-y 4=1+m 2⋅16m 2+16=4m 2+1 ，∴1AB -λPQ =3m 2+412m 2+1 -λ4m 2+1 =3m 2+4-3λ12m 2+1 为定值．∴312=4-3λ12⇒λ=13，∴存在常数λ=13使1AB -λPQ为定值14．方法二：1AB -λPQ =1-14cos 2θ3-λ1-cos 2θ4对比cos 2θ前系数λ=13．方法三：设l 倾斜角为θ，∴AB =2ab 2a 2-c 2cos 2θ=2×2×34-cos 2θ=124-cos 2θ，PQ =2p sin 2θ=4sin 2θ，∴1AB -λPQ =4-cos 2θ12-λsin 2θ4=4-3λsin 2θ-cos 2θ12为定值，∴3λ=1，λ=13，此时定值为14．18.(2023秋·江苏·高三统考期末)如图，已知椭圆x 24+y 2=1的左､右顶点分别为A ,B ，点C 是椭圆上异于A ,B 的动点，过原点O 平行于AC 的直线与椭圆交于点M ,N ,AC 的中点为点D ，直线OD 与椭圆交于点P ,Q ，点P ,C ,M 在x 轴的上方.(1)当AC =5时，求cos ∠POM ；(2)求PQ ⋅MN 的最大值.【答案】(1)-35(2)10【分析】(1)根据题意求出k AC ⋅k OD =-14，根据AC =5分析出点C 满足的方程，求出点C 坐标，进而求出cos ∠POM ；(2)利用弦长公式求出PQ 和MN ，再利用基本不等式求出最值.【详解】(1)由题知A -2,0 ,设C x 0,y 0 ，则D x 0-22,y 02，则k AC ⋅k OD =y 0x 0+2⋅y 0x 0-2=1-14x 2x 20-4=-14.因为AC =5，所以C 在圆(x +2)2+y 2=5上，又C 在椭圆x 24+y 2=1上，所以C x 0,y 0 满足(x +2)2+y 2=5x 24+y 2=1，所以(x +2)2+1-x 24=5，34x 2+4x =0，所以x 0=0或x 0=-163<-2(舍去)，又C 在x 轴上方，所以C 0,1 ，所以直线AC 的斜率为12，故直线OD 的斜率为-12，所以直线AC 与直线OD 关于y 轴对称.设直线AC 的倾斜角θ，cos ∠POM =cos2π2-θ=-cos2θ=sin 2θ-cos 2θ=sin 2θ-cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ-1tan 2θ+1=-35(2)当直线MN 斜率为k ,k >0，则直线MN :y =kx ，直线PQ :y =-14k x ，M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 满足y =kxx 24+y 2=1，所以4k 2+1 x 2=4,x 2=44k 2+1，所以MN 2=1+k 2 164k 2+1，同理PQ 2=1+116k 2 114k 2+1=416k 2+1 4k 2+1，所以MN 2⋅PQ 2=164k 2+4 16k 2+1 4k 2+1 2≤164k 2+4+16k 2+12 24k 2+1 2=420k 2+5 24k 2+12=100所以MN ⋅PQ ≤10，当且仅当4k 2+4=16k 2+1，即k ≤12时取“=”，所以PQ ⋅MN 的最大值为10.【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19.(2023·浙江·校联考模拟预测)设双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的右焦点为F 3,0 ，F 到其中一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C 的方程；(2)过F 的直线交曲线C 于A ，B 两点(其中A 在第一象限)，交直线x =53于点M ，(i )求|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |的值；(ii )过M 平行于OA 的直线分别交直线OB 、x 轴于P ，Q ，证明：MP =PQ .【答案】(1)x 25-y 24=1(2)(i )1；(ii )证明见解析【分析】(1)结合点F 到其中一条渐近线的距离为2和a 2+b 2=c 2，即可求得本题答案；(2)(i )设AB 直线方程为x =my +3，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，得y M =-43m，直线方程与双曲线方程联立消x ，然后由韦达定理得y 1+y 2=-24m 4m 2-5，y 1y 2=164m 2-5，把|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |逐步化简，即可求得本题答案；(ii )把QM 和OB 的直线方程分别求出，联立可得到点P 的坐标，由此即可得到本题答案.【详解】(1)因为双曲线其中一条渐近线方程为bx +ay =0，又点F 3,0 到它的距离为2，所以3b b 2+a2=3bc =2，又c =3，得b =2，又因为a 2+b 2=c 2，所以a 2=5，所以双曲线C 的方程为x 25-y 24=1.(2)(2)设AB 直线方程为x =my +3，则y M =-43m，代入双曲线方程整理得：4m 2-5 y 2+24my +16=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-24m 4m 2-5，y 1y 2=164m 2-5，(i )|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |=y 1 ⋅y 2-y M y M -y 1 ⋅y 2 =y 1y 2-y 1y My 2y M -y 2y 1 而y 1y 2-y 1y M -y 2y M -y 2y 1 =2y 1y 2-y M y 1+y 2 =324m 2-5--24m 4m 2-5⋅-43m =0，所以y 1y 2-y 1y M =y 2y M -y 2y 1，，则y 1y 2-y 1y M =y 2y M -y 2y 1 ，所以|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |=1 ；(ii )过M 平行于OA 的直线方程为y +43m =y 1my 1+3x -53，直线OB 方程为y =y 2my 2+3x 与y +43m =y 1my 1+3x -53联立，得y +43m =y 1my 1+3my 2+3y 2y -53，即y 2my 1+3 y +43m my 1+3 y 2=y 1my 2+3 y -53y 1y 2，则3y 2-y 1 y =-3y 1y 2-4my 2，所以y P =-3y 1y 2-4my 23y 2-y 1 ，由y 1+y 2=-24m 4m 2-5，y 1y 2=164m 2-5两式相除得，y 1y 2y 1+y 2=2-3m ，则y 1y 2=-23m y 1+y 2 ，所以y P =-3y 1y 2-4m y 23y 2-y 1 =2m y 1+y 2 -4m y 23y 2-y 1 =2m y 1-y 2 3y 2-y 1 =-23m ，因为y Q =0，所以y P =y M +y Q2，故P 为线段MQ 的中点，所以|MP |=|PQ |.【点睛】关键点点睛：本题第二小题第一问考了|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |如何用y 1,y 2,y M 表示出来，进而利用韦达定理进行化简求值，考查了学生的转化能力以及对复杂运算的求解能力20.(2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24+y 2=1,B 1,0 .(1)设P 是椭圆C 上的一个动点，求PO ⋅PB的取值范围；(2)设与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ,N 两点，试问：是否存在满足条件的直线l ，使得△MB N 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【答案】(1)23,6(2)y =54x -355或y =-54x +355【分析】(1)设点P (x 0,y 0)，将PO ⋅PB转化为坐标表示，求取值范围；(2)设直线方程，与椭圆方程联立，设MN 中点为D ，若△MB N 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，则BM ⊥BN ，BD ⊥MN ，解出直线方程.【详解】(1)设点P (x 0,y 0)，则x 204+y 20=1，PO ⋅PB =(-x 0,-y 0)⋅(1-x 0,-y 0)=x 0(x 0-1)+y 20=34x 0-23 2+23，因为-2≤x 0≤2，所以当x 0=-2时，PO ⋅PB max =34×-2-23 2+23=6，当x 0=23时，PO ⋅PB min =34×23-23 2+23=23，所以PO ⋅PB ∈23,6 .(2)设直线l ：y =kx +m (k ≠0)，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，y =kx +mx 24+y 2=1，消去y 得，(4k 2+1)x 2+8km x +4m 2-4=0，由题，Δ=64k 2m 2-4(4k 2+1)(4m 2-4)>0，x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1，y 1+y 2=kx 1+m +kx 2+m =2m 4k 2+1，y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=m 2-4k 24k 2+1，若△MB N 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，则BM ⊥BN ， BM ⋅BN=(x 1-1,y 1)⋅(x 2-1,y 2)=x 1x 2-(x 1+x 2)+1+y 1y 2=8km +5m 2-34k 2+1=0，所以8km +5m 2-3=0，①设MN 中点为D ，则D -4km 4k 2+1,m4k 2+1，因为BD ⊥MN ，。

圆锥曲线的综合经典例题(有答案)

经典例题精析种类一：求曲线的标准方程1. 求中心在原点 ,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程.思路点拨：先确立椭圆标准方程的焦点的地点（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确立、（定量）.分析：方法一：因为有焦点为，因此设椭圆方程为，,由，消去得，因此解得故椭圆标准方程为方法二：设椭圆方程,,,因为弦 AB 中点,因此，由得,（点差法）因此又故椭圆标准方程为.贯通融会：【变式】已知椭圆在x 轴上的一个焦点与短轴两头点连线相互垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.【答案】依题意设椭圆标准方程为()，并有，解之得∴椭圆标准方程为2．依据以下条件，求双曲线的标准方程.（ 1）与双曲线有共同的渐近线，且过点（ 2）与双曲线有公共焦点，且过点分析：，；,（ 1）解法一：设双曲线的方程为由题意，得，解得，因此双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为（），将点代入得，因此双曲线方程为即（ 2）解法一：设双曲线方程为－=1由题意易求又双曲线过点，∴又∵，∴，故所求双曲线的方程为.解法二：设双曲线方程为，将点代入得，因此双曲线方程为.总结升华：先依据已知条件确立双曲线标准方程的焦点的地点（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确立、.在第（ 1）小题中第一设出共渐近线的双曲线系方程.而后辈点坐标求得方法简易.第（ 2）小题实轴、虚轴没有独一给出.故应答两个标准方程.(1)求双曲线的方程，重点是求、，在解题过程中应熟习各元素（、、、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.(2) 若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（） .贯通融会：【变式】求中心在原点，对称轴在座标轴上且分别知足以下条件的双曲线的标准方程.（ 1）一渐近线方程为，且双曲线过点.（ 2）虚轴长与实轴长的比为，焦距为10.【答案】（ 1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方程为，∵点在双曲线上，∴，解得，∴所求双曲线方程为.（ 2）由已知设,,则()依题意，解得.∴双曲线方程为或.3．求知足以下条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（ 1）过点；（ 2）焦点在直线：上思路点拨：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确立一次项系数；从实质剖析，一般需联合图形确立张口方向和一次项系数两个条件，不然，应睁开相应的议论分析：（ 1）∵点在第二象限，∴抛物线张口方向上或许向左当抛物线张口方向左时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，当抛物线张口方向上时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.（2）令得，令得，∴抛物线的焦点为或当焦点为时，，∴，此时抛物线方程；焦点为时，，∴，此时抛物线方程为∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.总结升华：这里易犯的错误就是缺乏对张口方向的议论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，致使失掉一解.求抛物线的标准方程重点是依据图象确立抛物线张口方向，选择适合的方程形式，正确求出焦参数P.贯通融会：【变式 1】分别求知足以下条件的抛物线的标准方程.（1）焦点为 F(4,0)；（ 2）准线为；（3）焦点到原点的距离为 1；（4）过点（ 1，－ 2）；（5）焦点在直线 x-3y+6=0 上 .【答案】（1）所求抛物线的方程为 y2=16x；（2）所求抛物线的标准方程为x2=2y；（ 3）所求抛物线的方程y2=± 4x 或 x2=± 4y；（ 4）所求抛物线的方程为或；（ 5）所求抛物线的标准方程为y2=－ 24x 或 x2=8y.【变式 2】已知抛物线的极点在原点，焦点在轴负半轴上，过极点且倾角为的弦长为，求抛物线的方程.【答案】设抛物线方程为()，又弦所在直线方程为由，解得两交点坐标,∴，解得.∴抛物线方程为.种类二：圆锥曲线的焦点三角形4．已知、是椭圆（）的两焦点，P 是椭圆上一点，且，求的面积.思路点拨：如图求的面积应利用，即.重点是求.由椭圆第必定义有,由余弦定理有，易求之 .分析：设,,依题意有(1)2-(2)得，即.∴.贯通融会：【变式1】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】依照双曲线的定义有，由得、，又，则，即，因此，应选 A.【变式 2】已知双曲线实轴长6，过左焦点的弦交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.【答案】：由双曲线的定义有:，，两式左、右分别相加得 (.即∴.故的周长.【变式 3】已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.① 求椭圆的方程；②设点 P在椭圆上 ,且,求.【答案】①.②设则，又.【变式 4】已知双曲线的方程是.（ 1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（ 2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小【答案】（1）由得，∴，，.焦点、，离心率，渐近线方程为.（2），∴∴【变式5】中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和，且，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比.（ 1）求椭圆与双曲线的方程；（ 2）若为这两曲线的一个交点，求的余弦值.【答案】（ 1）设椭圆方程为()，双曲线方程，则，解得∵,∴,.故所求椭圆方程为，双曲线方程为.（ 2）由对称性不如设交点在第一象限.设、.由椭圆、双曲线的定义有:解得由余弦定理有.种类三：离心率5．已知椭圆上的点和左焦点，椭圆的右极点和上极点，当，（ O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.思路点拨：因为，因此此题应成立、的齐次方程，使问题得以解决.分析：设椭圆方程为（），，，则，即.∵，∴，即，∴.又∵，∴.总结升华：求椭圆的离心率，即求的比值，则可由以下方法求.（ 1）可直接求出、；（ 2）在不好直接求出、的状况下，找到一个对于、的齐次等式或、用同一个量表示；（ 3）若求的取值范围，则想方法找不等关系.贯通融会：【变式 1】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】连结，则是直角三角形，且，令，则，，即，，因此，应选 D.交于【变式 2】已知椭圆B 点， F 点是左焦点，且（）与 x 轴正半轴交于，求椭圆的离心率.A 点，与y 轴正半轴法一：∵,,, ∴,又,，代入上式，得，利用代入，消得,即由，解得,∵,∴.法二：在ABF 中，∵，∴，即【变式 3】如图，椭圆的中心在原点, 焦点在椭圆于 A、 B 两点 , 若椭圆上存在一点C, 使，下略）x 轴上 , 过其右焦点 F 作斜率为. 求椭圆的离心率1 的直线 .,交【答案】设椭圆的方程为（），焦距为,则直线 l 的方程为:,由，消去得,设点、,则∵＋, ∴C点坐标为.∵ C 点在椭圆上 ,∴.∴又∴∴∴【变式 4】设、为椭圆的两个焦点，点，则椭圆离心率为_____.【答案】如图，点知足，且是以为直径的圆与椭圆的交点，若.在∵中，有：，∴,令此椭圆方程为则由椭圆的定义有,,∴又∵，∴，，∴∴，∴，即.6．已知、为椭圆的两个焦点，为此椭圆上一点，且.求此椭圆离心率的取值范围；分析：如图，令,,,则在中，由正弦定理，∴，令此椭圆方程为(),则,,∴即（），∴, ∴,∵,且为三角形内角，∴，∴,∴, ∴即此椭圆离心率的取值范围为贯通融会：【变式 1】已知椭圆..，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围.【答案】△ F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，由余弦定理：4c2=|PF1| 2+|PF2| 2-2|PF 1||PF 2|cos120 °①又 |PF 1|+|PF 2|=2a②联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴【变式 2】椭圆为，若Ａ．【答案】由Ｂ．的焦点为，，两条准线与，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ｃ．Ｄ．得，即，解得轴的交点分别，故离心率.因此选 D.【变式 3】椭圆中心在座标系原点，焦点在x 轴上，过椭圆左焦点 F 的直线交椭圆P、Q 两点，且OP⊥ OQ，求其离心率 e 的取值范围．【答案】 e∈ [,1)【变式 4】双曲线(a＞ 1,b＞ 0)的焦距为 2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点 (-1,0)到直线的距离之和s≥c．求双曲线的离心率 e 的取值范围．【答案】直线的方程为bx+ay-ab=0．由点到直线的距离公式,且 a＞ 1,获得点 (1,0)到直线的距离．同理获得点 (-1,0)到直线的距离．=．由 s≥c,得≥ c,即 5a≥ 2c2．于是得 5≥ 2e2．即 4e4-25e2+25≤0．解不等式 ,得≤ e2≤5．因为 e＞ 1,因此 e 的取值范围是．种类五：轨迹方程7．已知中，,,为动点，若和为定值 15.求动点的轨迹方程.思路点拨：充足利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一解法一：设动点,且,、边上两中线长的.应给予重视则、边上两中点、的坐标分别为,.∵,∴,即.从上式知，动点到两定点故动点的轨迹是以,,的距离之和为常数为焦点且,30，,的椭圆，挖去点.∴动点解法二：设的轨迹方程是的重心，(,动点).,且，则∴点的轨迹是以且,,.,.为焦点的椭圆（挖去点），其方程为().又,代入上式，得()为所求.总结升华：求动点的轨迹，第一要剖析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反应这类联系的坐标形式，成立等式，利用直接法或间接法获得轨迹方程.贯通融会：【变式 1】求过定点且和圆:相切的动圆圆心的轨迹方程 .【答案】设动圆圆心, 动圆半径为,.（ 1）动圆与圆外切时，，（ 2）动圆与圆内切时，，由（ 1）、（ 2）有.∴动圆圆心M 的轨迹是以、为焦点的双曲线，且,,.故动圆圆心的轨迹方程为.【变式 3】已知圆的圆心为 M 1，圆的圆心为 M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程 .【答案】设动圆圆心 P（ x， y），动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，.∴.∴动圆圆心 P 的轨迹是以M1、M 2为焦点的双曲线的右支，此中 c=4，a=2，∴b2=12，故所求轨迹方程为.【变式4】若动圆与圆:相外切，且与直线:相切，求动圆圆心的轨迹方程 .法一：设,动圆半径，动圆与直线切于点，点.依题意点在直线的左边，故∵,∴.化简得, 即为所求 .法二：设,作直线：.过作于，交于，依题意有, ∴,由抛物线定义可知，点的轨迹是以为极点，为焦点，：为准线的抛物线.故为所求 .。

圆锥曲线的综合问题强化训练-2023届高三数学二轮专题复习(含解析)

冲刺2023年高考二轮圆锥曲线的综合问题强化训练（原卷+答案）考点一证明问题——等价转化，直击目标圆锥曲线中证明问题的两种常见类型圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上，某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．例 1已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0，－2)，B (32，－1)两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P (1，－2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明：直线HN 过定点．对点训练已知直线y ＝3与曲线C ：x 2＋2py ＝0的两个公共点之间的距离为4√6. (1)求C 的方程；(2)设P 为C 的准线上一点，过P 作C 的两条切线，切点为A ，B ，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，且直线P A ，PB 与y 轴分别交于M ，N 两点，直线AB 的斜率为k 0.证明：k 1·k 2为定值，且k 1，k 0，k 2成等差数列．考点二定点问题——目标等式寻定点解析几何中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)过定点的问题，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动，这类问题的求解一般分为以下三步：一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)．二求：求出定点坐标所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程．三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标．例 2 已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为√22，AB 为过椭圆右焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点P (2，0)，记直线PC 的斜率为k 1，直线PD 的斜率为k 2，当1k 1+1k 2＝1时，是否存在直线l 恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由．对点训练已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，S (t ，4)为C 上一点，直线l 交C 于M ，N 两点(与点S 不重合)．(1)若l 过点F 且倾斜角为60°，|FM |＝4(M 在第一象限)，求C 的方程；(2)若p ＝2，直线SM ，SN 分别与y 轴交于A ，B 两点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝8，判断直线l是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，请说明理由．考点三定值问题——巧妙消元寻定值定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题，其求解步骤一般为：一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等．二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量(或者有多个变量，若是能整体约分也可以)．三定值：化简式子得到定值．由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值．例 3 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，双曲线C 的右顶点A 在圆O ：x 2＋y 2＝3上，且AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－1.(1)求双曲线C 的方程；(2)动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，设O 为坐标原点．求证：△OMN 的面积为定值．对点训练已知F 1(－√3，0)，F 2(√3，0)分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 为双曲线在第一象限的点，△AF 1F 2的内切圆与x 轴交于点P (1，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)设圆O ：x 2＋y 2＝2上任意一点Q 处的切线l ，若l 与双曲线C 左、右两支分别交于点M 、N ，问：QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．考点四圆锥曲线中的最值、范围问题——巧设变量，引参搭桥圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 F 1，F 2为椭圆x 2a2+y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有：①|OP |∈________；②|PF 1|∈________；③|PF 1|·|PF 2|∈________；④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2.(2)双曲线中的最值F 1，F 2为双曲线x 2a 2−y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有：①|OP |≥________；②|PF 1|≥________． (3)抛物线中的最值点P 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的任一点，F 为焦点，则有：①|PF |≥________；②A (m ，n )为一定点，则|P A |＋|PF |有最小值；③点N (a ，0)是抛物线的对称轴上一点，则|PN |min ＝{|a |(a ≤p )，√2pa −p 2(a ＞p)．例 4如图，已知椭圆x 212＋y 2＝1.设A ，B 是椭圆上异于P (0，1)的两点，且点Q (0，12)在线段AB 上，直线P A ，PB 分别交直线y ＝－12x ＋3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值； (2)求|CD |的最小值．对点训练已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，且F 与圆M ：x 2＋(y ＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p ；(2)若点P 在M 上，P A ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求△P AB 面积的最大值．[典例] 已知圆(x ＋√3)2＋y 2＝16的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点N (√3，0)，点G 在线段MP 上，且满足(GN⃗⃗⃗⃗⃗ +GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥(GN ⃗⃗⃗⃗⃗ −GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )． (1)求点G 的轨迹C 的方程；(2)过点T (4，0)作斜率不为0的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．(1)因为(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，所以(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −GP ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝0，即GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2－GP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2＝0，所以|GP |＝|GN |，所以|GM |＋|GN |＝|GM |＋|GP |＝|MP |＝4>2√3＝|MN |，所以点G 在以M ，N 为焦点，长轴长为4的椭圆上，设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)，则2a ＝4，2c ＝2√3，即a ＝2，c ＝√3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以点G 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)依题意可设直线l ：x ＝my ＋4. 由{x =my +4，x 24+y 2=1消去x ，得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Δ＝64m 2－4×12×(m 2＋4)＝16(m 2－12)>0，得m 2>12. ①且y 1＋y 2＝－8mm 2+4，y 1y 2＝12m 2+4.②因为点A 关于x 轴的对称点为D ，所以D (x 1，－y 1)，可设Q (x 0，0)，所以k BD ＝y 2+y 1x 2−x 1＝y 2+y 1m (y 2−y 1)，所以BD 所在直线的方程为y －y 2＝y 2+y 1m (y2−y 1)(x －my 2－4)．令y ＝0，得x 0＝2my 1y 2+4(y 1+y 2)y 1+y 2. ③将②代入③，得x 0＝24m−32m−8m＝1，所以点Q 的坐标为(1，0)．因为S △ABQ ＝|S △TBQ －S △TAQ |＝12|QT ||y 2－y 1|＝32√(y 1+y 2)2−4y 1y 2＝6√m 2−12m 2+4，令t ＝m 2＋4，结合①得t >16，所以S △ABQ ＝6√t−16t＝ 6√−16t 2+1t ＝6√−16(1t −132)2+164.当且仅当t ＝32，即m ＝±2√7时，(S △ABQ )max ＝34. 所以△ABQ 面积的最大值为34.参考答案考点一[例1] 解析：(1)设椭圆E 的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．将点A (0，－2)，B (32，－1)的坐标代入，得{4n =1，94m +n =1，解得{m =13，n =14. 所以椭圆E的方程为x 23+y 24＝1. (2)证明：方法一设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由题意，知直线MN 与y 轴不垂直，设其方程为x －1＝t (y ＋2)．联立得方程组{x −1=t (y +2)，x 23+y 24=1. 消去x 并整理，得(4t 2＋3)y 2＋(16t 2＋8t )y ＋16t 2＋16t －8＝0，所以y 1＋y 2＝－16t 2+8t 4t 2+3，y 1y 2＝16t 2+16t−84t 2+3.设T (x 0，y 1)．由A ，B ，T 三点共线，得y 1+2x 0＝y 1+1x 0−32，得x 0＝32y 1＋3.设H (x ′，y ′)．由MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(32y 1＋3－x 1，0)＝(x ′－32y 1－3，y ′－y 1)，所以x ′＝3y 1＋6－x 1，y ′＝y 1，所以直线HN 的斜率k ＝y 2−y ′x 2−x ′＝y 2−y 1x 2+x 1−(3y 1+6)＝y 2−y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4，所以直线HN 的方程为y －y 2＝y 2−y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4·(x －x 2)．令x ＝0，得y ＝y 2−y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4·(－x 2)＋y 2＝(y 1−y 2)(ty 2+2t+1)t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4＋y 2＝(2t−3)y 1y 2+(2t−5)(y 1+y 2)+6y 1t (y 1+y 2)−3y 1+4t−4＝(2t−3)·16t 2+16t−84t 2+3+(5−2t )·16t 2+8t4t 2+3+6y 1−t(16t 2+8t)4t 2+3−3y 1+4t−4＝－2.所以直线NH 过定点(0，－2)．方法二由A (0，－2)，B (32，－1)可得直线AB 的方程为y ＝23x －2. a ．若过点P (1，－2)的直线的斜率不存在，则其直线方程为x ＝1.将直线方程x ＝1代入x 23+y 24＝1，可得N (1，2√63)，M (1，－2√63)．将y ＝－2√63代入y ＝23x －2，可得T (3－√6，－2√63)．由MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得H (5－2√6，－2√63)．此时直线HN 的方程为y ＝(2＋2√63)(x －1)＋2√63，则直线HN 过定点(0，－2)． b ．若过点P (1，－2)的直线的斜率存在，设此直线方程为kx －y －(k ＋2)＝0，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立得方程组{kx −y −(k +2)=0，x 23+y 24=1. 消去y 并整理，得(3k 2＋4)x 2－6k (2＋k )x ＋3k (k ＋4)＝0. 所以{x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4，x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，则{y 1+y 2=−8(2+k )3k 2+4，y 1y 2=4(4+4k−2k 2)3k 2+4，且x 1y 2＋x 2y 1＝−24k3k 2+4.①联立得方程组{y =y 1，y =23x −2，可得T (3y 12＋3，y 1)．由MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得H (3y 1＋6－x 1，y 1)．则直线HN 的方程为y －y 2＝y 1−y 23y 1+6−x 1−x2(x －x 2)．将点(0，－2)的坐标代入并整理，得2(x 1＋x 2)－6(y 1＋y 2)＋x 1y 2＋x 2y 1－3y 1y 2－12＝0.②将①代入②，得24k ＋12k 2＋96＋48k －24k －48－48k ＋24k 2－36k 2－48＝0，显然成立．综上可得，直线HN 过定点(0，－2)．对点训练解析：(1)将y ＝3代入x 2＋2py ＝0，得x 2＝－6p . 当p ≥0时，不合题意；当p <0时，x ＝±√−6p ，则2√−6p ＝4√6，解得p ＝－4，故C 的方程为x 2＝8y .(2)证明：由(1)可知C 的准线方程为y ＝－2，不妨设P (m ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设过点P 且与C 相切的直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －m )－2，且k ≠0，联立{y =k (x −m )−2，x 2=8y ，得x 2－8kx ＋8(km ＋2)＝0，则Δ＝64k 2－32(km ＋2)＝0，即k 2－12mk －1＝0，由题意知，直线P A ，PB 的斜率k 1，k 2为方程k 2－12mk －1＝0的两根，则k 1＋k 2＝m2，k 1k 2＝－1，故k 1·k 2为定值．又x 2－8kx ＋8(km ＋2)＝(x －4k )2＝0，则x 1＝4k 1，同理可得x 2＝4k 2，则k 0＝y 1−y 2x 1−x 2＝18x −1218x 22x 1−x 2＝x 1+x 28，因此k 0＝4(k 1+k 2)8＝k 1+k 22，故k 1，k 0，k 2成等差数列．考点二[例2]解析：(1)因为x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为√22，过椭圆右焦点的弦长的最小值为2b 2a＝2，所以a ＝2，c ＝√2，b ＝√2，所以椭圆M 的方程为x 24+y 22＝1. (2)设直线l 的方程为m (x －2)＋ny ＝1，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由椭圆的方程x 2＋2y 2＝4，得(x －2)2＋2y 2＝－4(x －2)．联立直线l 的方程与椭圆方程，得(x －2)2＋2y 2＝－4(x －2)[m (x －2)＋ny ]，即(1＋4m )(x －2)2＋4n (x －2)y ＋2y 2＝0，(1＋4m )(x−2y )2＋4n x−2y＋2＝0，所以1k 1+1k 2＝x 1−2y 1+x 2−2y 2＝－4n 1+4m＝1，化简得m ＋n ＝－14，代入直线l 的方程得m (x －2)＋(−14−m)y ＝1，即m (x －y －2)－14y ＝1，解得x ＝－2，y ＝－4，即直线l恒过定点(－2，－4)．对点训练解析：(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (p2，0)，因为l 过点F 且倾斜角为60°，所以l ：y ＝√3(x －p2)，联立y 2＝2px (p >0)，可得12x 2－20px ＋3p 2＝0，解得x ＝32p 或x ＝p6，又M 在第一象限，所以x M ＝32p ，因为|FM |＝4，所以32p ＋p2＝4，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ；(2)由已知可得抛物线C 的方程为y 2＝4x ，点S (4，4)，设直线l 的方程为x ＝my ＋n ，点M (y 12 4，y1)，N (y 22 4，y2)，将直线l 的方程与抛物线C ：y 2＝4x 联立得y 2－4my －4n ＝0，所以Δ＝16m 2＋16n >0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n (*)，直线SM 的方程为y －4＝y 1−4y 12 4－4(x －4)，令x ＝0求得点A 的纵坐标为4y 1y 1+4，同理求得点B 的纵坐标为4y 2y2+4，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝16y 1y 2y 1y 2+4(y 1+y 2)+16＝8，化简得y 1y 2＝4(y 1＋y 2)＋16，将上面(*)式代入得－4n ＝16m ＋16，即n ＝－4m －4，所以直线l 的方程为x ＝my －4m －4，即x ＋4＝m (y －4)，所以直线l 过定点(－4，4)．考点三[例3] 解析：(1)不妨设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0), 因为A (a ，0)，从而AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−c −a ，0)，AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(c －a ，0) ，故有 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a 2－c 2＝－1, 又因为a 2＋b 2＝c 2, 所以 b ＝1，又因为A (a ，0) 在圆 O ：x 2＋y 2＝3 上，所以 a ＝√3，所以双曲线C的标准方程为x 23－y 2＝1.(2)证明：设直线l 与x 轴交于D 点，双曲线的渐近线方程为y ＝±√33x ，由于动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，当动直线l 的斜率不存在时， l ：x ＝±√3，|OD |＝√3，|MN |＝2，S △OMN ＝12×√3×2＝√3，当动直线l 的斜率存在时，且斜率k ≠±√33，不妨设直线 l ：y ＝kx ＋m,故由{y =kx +m x 23−y 2=1⇒(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0，依题意，1－3k 2≠0且m ≠0，Δ＝(－6mk )2－4(1－3k 2)(－3m 2－3)＝0, 化简得 3k 2＝m 2＋1，故由{y =kx +my =√33x ⇒x M ＝√33−k ，同理可求，x N ＝－√33+k，所以|MN |＝√1+k 2|xM−x N |＝2√3|m|√k 2+1|1−3k 2|，又因为原点O 到直线l ：kx －y ＋m ＝0的距离d ＝√k 2+1，所以S △OMN ＝12|MN |d ＝√3m 2|1−3k 2|，又由3k 2＝m 2＋1，所以S △OMN ＝√3|m|√k 2+1|1−3k 2|＝√3，故△OMN 的面积为定值，定值为√3.对点训练解析：(1)如图，设AF 1，AF 2与△AF 1F 2的内切圆分别交于G ，H 两点，则2a ＝|AF 1|−|AF 2|＝|F 1P |−|PF 2| ＝(1＋√3)－(√3－1)＝2，所以a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝2，则双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)由题意得，切线l 的斜率存在．设切线l 的方程为y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．因为l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，所以√1+k 2＝√2，即m 2＝2k 2＋2.联立{y =kx +m ，x 2−y 22=1，消去y 并整理得(2－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2km2−k 2，x 1x 2＝−m 2−22−k 2.又QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(QO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(QO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|ON ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠QON －|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠QOM ＋ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |+ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2－|QO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2＋ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2. 又OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(k 2+1)(−m 2−2)2−k 2+2k 2m 22−k2＋m 2＝m 2−2k 2−22−k 2，将m 2＝2k 2＋2代入上式得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0.所以QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0－|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2＝－2. 综上所述，QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，且QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2.考点四(1)[b ，a ] [a －c ，a ＋c ] [b 2，a 2] (2)a c －a (3)p2[例4] 解析：(1)设M (2√3cos θ，sin θ)是椭圆上一点，P (0，1)，则|PM |2＝12cos 2θ＋(1－sin θ)2＝13－11sin 2θ－2sin θ＝14411－11(sin θ＋111)2≤14411.故|PM |的最大值为12√1111.(2)由题意，知直线AB 的斜率存在，故设直线AB 的方程为y ＝kx ＋12.将直线方程与椭圆方程联立，得{y =kx +12，x 212+y 2=1.消去y 并整理，得(k 2＋112)x 2＋kx －34＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－kk 2+112，x 1x 2＝－34(k 2+112).直线P A ：y ＝y 1−1x 1x ＋1与直线y ＝－12x ＋3交于点C ，则x C ＝4x 1x1+2y 1−2＝4x 1(2k+1)x 1−1. 同理可得，x D ＝4x 2x 2+2y 2−2＝4x 2(2k+1)x 2−1，则|CD |＝ √1+14|x C －x D | ＝√52|4x1(2k+1)x1−1−4x2(2k+1)x2−1|＝2√5|x 1−x 2[(2k+1)x1−1][(2k+1)x 2−1]|＝2√5|x 1−x 2(2k+1)2x 1x 2−(2k+1)(x 1+x 2)+1|＝3√52·√16k 2+1|3k+1|＝6√55·√16k 2+1· √916+1|3k+1| ≥6√55，当且仅当k ＝316时等号成立．故|CD |的最小值为6√55.对点训练解析：(1)由题意知M (0，－4)，F (0，p2)，圆M 的半径r ＝1，所以|MF |－r ＝4，即p2＋4－1＝4，解得p ＝2.(2)由(1)知，抛物线方程为x 2＝4y ，由题意可知直线AB 的斜率存在，设A (x 1，x 12 4)，B (x2，x 22 4)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，联立得{y =kx +bx 2=4y，消去y 得x 2－4kx －4b ＝0，则Δ＝16k 2＋16b >0(※)，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以|AB |＝√1+k 2|x 1－x 2|＝√1+k 2·√(x 1+x 2)2−4x 1x 2＝4√1+k 2·√k 2+b . 因为x 2＝4y ，即y ＝x 24，所以y ′＝x 2，则抛物线在点A 处的切线斜率为x12，在点A 处的切线方程为y −x 12 4＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x −x 12 4，同理得抛物线在点B 处的切线方程为y ＝x 22x −x 22 4，联立得{y =x 12x −x 124y ＝x22x －x 22 4，则{x =x 1+x 22=2ky =x 1x 24=−b ，即P (2k ，－b )．因为点P 在圆M 上，所以4k 2＋(4－b )2＝1 ①，且－1≤2k ≤1，－5≤－b ≤－3，即－12≤k ≤12，3≤b ≤5，满足(※)．设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝2√1+k 2，所以S △P AB ＝12|AB |·d ＝4√(k 2+b )3.由①得，k 2＝1−(4−b )24＝−b 2+8b−154，令t ＝k 2＋b ，则t ＝−b 2+12b−154，且3≤b ≤5. 因为t ＝−b 2+12b−154在[3，5]上单调递增，所以当b ＝5时，t 取得最大值，t max ＝5，此时k ＝0，所以△P AB 面积的最大值为20√5.。

完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)

完整版)圆锥曲线综合练习题(有答案)圆锥曲线综合练1.已知椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的长轴在 $y$ 轴上，焦距为 4，则 $m$ 等于（）A。

4B。

5C。

7D。

82.直线 $x-2y+2=0$ 经过椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$ 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为frac{\sqrt{5}}{2}3.设双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0)$ 的渐近线方程为$3x\pm 2y=0$，则 $a$ 的值为24.若 $m$ 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线$x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的离心率是frac{\sqrt{5}}{2}5.已知双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)$，$N$ 两点，$O$ 为坐标原点，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 $M$ 点。

若 $OM\perp ON$，则双曲线的离心率为frac{\sqrt{5}+1}{2}6.已知点$F_1,F_2$ 是椭圆$x^2/2+y^2/2=1$ 的两个焦点，点 $P$ 是该椭圆上的一个动点，则 $|PF_1+PF_2|$ 的最小值是sqrt{2}7.双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 上的点到一个焦点的距离为 12，则到另一个焦点的距离为2\sqrt{5}8.$P$ 为双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ 的右支上一点，$M$，则 $|PM|-|PN|$ 分别是圆 $(x+5)^2+y^2=4$ 和 $(x-5)^2+y^2=1$ 上的点，的最大值为99.已知点 $P(8,a)$ 在抛物线 $y^2=4px$ 上，且 $P$ 到焦点的距离为 10，则焦点到准线的距离为210.在正三角形 $ABC$ 中，$D\in AB$，$E\in AC$，$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BC}$，则以 $B$，$C$ 为焦点，且过 $D$，$E$ 的双曲线离心率为frac{3+\sqrt{5}}{2}11.两个正数 $a$，$b$ 的等差中项是 $5$，一个等比中项是 $25$，且 $a>b$，则抛物线 $y^2=-x$ 的焦点坐标是left(-\frac{5\sqrt{21}}{21},0\right)12.已知 $A_1$，$A_2$ 分别为椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$ 的左右顶点，椭圆 $C$ 上异于$A_1$，$A_2$ 的点 $P$ 恒满足 $k\cdot PA_1\cdot k\cdotPA_2=-1$，则椭圆 $C$ 的离心率为frac{3}{5}13.已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，点 $A$ 在第一象限内且在椭圆上，点 $B$ 也在椭圆上。

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一、单选题（每题6分共36分）1. 椭圆221259x y +=的焦距为。

（） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为（）A ．221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 221610x y -= 3．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于（） A ．67 B. 37 C. 185 D 1654.椭圆22143x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为（） A ． 1 B. 2 C. 3 D 45．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。

（）A ．22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ︒∠=且123AF AF =,则双曲线的离心率为（） A ．52 B. 102 C. 152D 5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4 B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.37169．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8二．填空题。

（每小题6分，共24分）7.椭圆2211625x y +=的准线方程为___________。

8.双曲线2214x y -=的渐近线方程为__________。

9.若椭圆2221x y a+=（a >0）的一条准线经过点(2,0)-，则椭圆的离心率为__________。

10.已知抛物线型拱的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升12米后，水面的宽度是________．三．解答题11．已知椭圆的两个焦点分别为12(0,F F -,离心率3e =。

（15分）（1）求椭圆的方程。

（2）一条不与坐标轴平行的直线l 与椭圆交于不同的两点,M N ，且线段MN 的中点的横坐标为12-，求直线l 的斜率的取值围。

12.设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值围：（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125=求a 的值.13．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，两个焦点分别为1F 、2F ，斜率为k 的直线l 过右焦点2F 且与椭圆交于A 、B 两点，设l 与y 轴交点为P ，线段2PF 的中点恰为B 。

（25分）（1）若k ≤，求椭圆C 的离心率的取值围。

（2）若k 5=，A 、B 到右准线距离之和为95，求椭圆C 的方程。

14．(2010·)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于55？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．三、解答题11．(1)设椭圆方程为22221x y a b+=，由已知c c a ==3,1a b ∴==，∴椭圆方程为2219y x +=。

（2）设l 方程为(0)y kx b k =+≠，联立2219y kx b y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(9)290.........(1)k x kbx b +++-= 222222290,44(9)(9)4(9)0......(2)k k b k b k b +>∆=-+-=-+>1222 1........(3)9kbx x k -+==-+ 由（3）的29(0)2k b k k+=≠代入（2）的42262703k k k +->⇒>k ∴>k <12．（1）设右焦点2(,0),:()F c l y k x c =-则(0,)P ck -B 为2F P 的中点，(,)22c ckB ∴-，B 在椭圆上，22222144c c k a b ∴+=22222222224414(1)(4)54b a c k e e c a e e-∴==--=+- 222544555k e e ≤∴+-≤，2224(54)(5)0,1,[55e ee e ∴--≤∴≤<∴∈ （2）55k e =∴=，则222222451,,544c a c b c a =∴== 椭圆方程为22221,5144x y c c +=即222554xy c += 直线l 方程为(),(,)525c y x c B =--，右准线为54x c = 设00(,)A x y 则0559()()4425c c x c -+-=，00992,)555xc y c ∴=-=- 又A 在椭圆上，222995(2))]554c c c ∴-+-=，即(2)(56)0,2c c c --=∴=或65c =所求椭圆方程为2215x y +=或22525199x y +=解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2. 故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ，由224y x t y x=-+⎧⎨=⎩得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.椭圆、双曲线、抛物线专题训练（二）一、选择题(每小题5分，共60分) 1．直线x ＝－2的倾斜角为( )A ．0°B ．180°C ．90°D ．不存在 2．若直线l 1：ax ＋2y －1＝0与l 2：3x －ay ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．23．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．14．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝05．经过圆x 2＋2x ＋y 2－4＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0图16．如图1所示，F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，双曲线C 上的点P i 与P 7－i (i ＝1,2,3)关于y 轴对称，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |－|P 4F |－|P 5F |－|P 6F |的值为( ) A ．9 B ．16 C ．18 D ．277．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率是( )A. 5B.62 C ．2 D.2338．对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a,0)都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，2] C ．[0,2] D ．(0,2)9．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)10．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 11．已知两点A (1，－2)，B (－4，－2)及下列四条曲线：①4x ＋2y ＝3 ②x 2＋y 2＝3 ③x 2＋2y 2＝3 ④x 2－2y 2＝3 其中存在点P ，使|PA |＝|PB |的曲线有( )A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④12．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2) 二、填空题(每小题5分，共20分)13．以点(1,0)为圆心，且过点(－3,0)的圆的标准方程为________．14．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，对原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab 的值为________． 15．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF →1·PF →2＝0，则|PF →1＋PF →2|＝________.16．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)是两个定点，O 为坐标原点，圆M 的方程是(x －54c )2＋y2＝9c 216，若P 是圆M 上的任意一点，那么|PF 1||PF 2|的值是________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R)． (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若a >－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，求△OMN 面积取最大值时，直线l 对应的方程．18．已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，数a 的取值围；(2)设AM 、AN 为圆C 的两条切线，M 、N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．19．如图4，设椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的右顶点与上顶点分别为A 、B ，以A 为圆心、OA 为半径的圆与以B 为圆心、OB 为半径的圆相交于点O 、P .(1)若点P 在直线y ＝32x 上，求椭圆的离心率； (2)在(1)的条件下，设M 是椭圆上的一动点，且点N (0,1)到M 点的距离的最小值为3，求椭圆的方程．图420．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,0)、B (1,0)，动点C 满足条件：△ABC 的周长为2＋2 2.记动点C 的轨迹为曲线W . (1)求W 的方程；(2)经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与曲线W 有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值围；(3)已知点M (2，0)，N (0,1)，在(2)的条件下，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与MN →共线？如果存在，求出k 的值，如果不存在，说明理由．21．已知圆M 的方程为：x 2＋y 2－2x －2y －6＝0，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切． (1)求圆N 的方程；(2)圆N 与x 轴交于E 、F 两点，圆的动点D 使得|DE |、|DO |、|DF |成等比数列，求DE →·DF →的取值围．DAABCBBAAC一、选择题1．D 5,3,4a b c === 28c ∴= 2. A2222,4,2,12cc a b c a a==∴==-= 3. A 22a c =4．B 36PF e PA PA e=⇒==，左准线方程为4x =-5．C25,3a cb ==,222252,3,1325,13a mb mc m m ==∴==∴=，22100225,1313a b == 6．B 2221212124,2,3AF AF c AF AF a AF AF +=-==, 21,3AF a AF a ∴==22104,c a c a ∴== BA AC 解析：y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0.过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，令x ＝0得：y ＝－a 2.∴12×|a |4·|a |2＝4，∴a 2＝64，yxx=2F （1,0）A∴a ＝±8，故选B.答案：B2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.3716解析：如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为P 到F 的距离，由图可知，距离和的最小值即F 到直线l 1的距离d ＝|4＋6|32＋42＝2，故选A.A ．2B ．3 C.115D.3716解析：如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为P 到F 的距离，由图可知，距离和的最小值即F 到直线l 1的距离d ＝|4＋6|32＋42＝2，故选A.答案：A3．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为l ：x ＝－1，经过F 且斜率为3的直线y ＝3(x －1)与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A (3,23)，AK ⊥l ，垂足为K (－1,23)，∴△AKF 的面积是4 3.故选C.面积是( ) 二、填空题7．253y =±。

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