平行四边形单元 易错题难题测试基础卷试卷

一、选择题

1．如图，菱形ABCD 的边长为4,60,A E ∠=是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，将线段EF 绕着E 逆时针旋转60，得到EG ，连接EG CG 、，则BG CG +的最小值为（ ）

A ．33

B ．27

C ．43

D ．223+

2．如图，在正方形ABCD 中，CE =MN ，∠MCE =35°，那么∠ANM 等于（ ）

A ．45°

B ．50°

C ．55°

D ．60°

3．如图，点O （0，0），B （0，1）是正方形OBB 1C 的两个顶点，以它的对角线OB 1为一边作正方形OB 1B 2C 1，以正方形OB 1B 2C 1的对角线OB 2为一边作正方形OB 2B 3C 2，再以正方形OB 2B 3C 2的对角线OB 3为一边作正方形OB 3B 4C 3，…，依次进行下去，则点B 6的坐标是（ ）

A ．(42,0)

B ．(42,0)-

C ．(8,0)-

D ．(0,8)-

4．如图的△ABC 中，AB>AC>BC,且D 为BC 上一点．现打算在AB 上找一点P ,在AC 上找一点Q,使得△APQ 与以P 、D 、Q 为顶点的三角形全等，以下是甲、乙两人的作法： 甲：连接AD,作AD 的中垂线分别交AB 、AC 于P 点、Q 点，则P 、Q 两点即为所求；

乙：过D作与AC平行的直线交AB于P点，过D作与AB平行的直线交AC于Q点，则P、Q两点即为所求；对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）

A．两人皆正确B．两人皆错误

C．甲正确，乙错误D．甲错误乙正确

5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O．过点O作EF∥BC交AB于E．交AC于F．过点O作OD⊥AC于D．下列五个结论：其中正确的有（）

（1） EF=BE+CF；（2）∠BOC=90°+1

2

∠A；（3）点O到△ABC各边的距离都相等；

（4）设OD=m．若AE十AF =n，则S△AEF= mn；（5）S△AEF=S△FOC．

A．2个B．3个C．4个D．5个

6．如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）

A．2.8 B．22C．2.4 D．3.5

7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点P在边AD上从点A到点D运动，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BD于点F，已知AB=3，AD=4，随着点P的运动，关于

PE+PF的值，下面说法正确的是（）

A．先增大，后减小B．先减小，后增大C．始终等于2.4 D．始终等于3

8．如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），

点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为234﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

9．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN,EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1、S2、S3、S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）

A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1+S3=S2+S4D．S1·S4=S2·S3 10．如图，己知正方形ABCD的边长为4， P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，

PF⊥CD于点F，连接AP， EF，给出下列结论：①PD=2EC；②四边形PECF的周长为8；

③△APD一定是等腰三角形；④AP=EF；⑤EF的最小值为22；⑥AP⊥EF，其中正确结论的序号为（）

A．①②④⑤⑥B．①②④⑤C．②④⑤D．②④

二、填空题

11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是直线AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连结AM、MN，若AC=6，AB=5，则AM-MN的最大值为________．

12．如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接

BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为_____．

△和等13．已知：点B是线段AC上一点，分别以AB，BC为边在AC的同侧作等边ABD

边BCE，点M，N分别是AD，CE的中点，连接MN．若AC=6，设BC=2，则线段MN的长是__________．

14．如图，在平行四边形ABCD，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论：①∠BCD＝2∠DCF；②EF＝CF；③S△CDF＝S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF，－定成立的是_________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)

15．如图，直线1l，2l分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y轴．OABC的顶点A，C 分别在直线1l和2l上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为_________．

16．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，以BC 为一边作正方形BDEC 设正方形的对称中心为O ，连接AO ，则AO ＝_____．

17．如图，?ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则2PB+ PD 的最小值等于______.

18．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若点D 是斜边AB 的中点，则CD ＝

1

2

AB ，运用：如图2，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED 连接BE ，CE ，DE ，则CE 的长为_____．

19．如图，长方形ABCD 中AB ＝2，BC ＝4，正方形AEFG 的边长为1．正方形AEFG 绕点A 旋转的过程中，线段CF 的长的最小值为_____．

20．如图，在平行四边形ABCD 中，5

3AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点

E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．

三、解答题

21．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．

（1）求证：AOE COF ???；

（2）四边形EGCF 是平行四边形吗？请说明理由；

（3）若四边形EGCF 是矩形，则线段AB 、AC 的数量关系是______．

22．如图，在ABC ?中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，EF 垂直平分BD ，分别交

AB ，BC ，BD 于点E ，F ，G ，连接DE ，DF ．

（1）求证：四边形BEDF 是菱形；

（2）若15BDE ∠=?，45C ∠=?，2DE =，求CF 的长； （3）在（2）的条件下，求四边形BEDF 的面积．

23．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接

DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．

（1）求证：GF GC =；

（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．

24．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC ，AD 于点E ，F ，连接BF ．

（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE ＝OF ；

（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF 的形状，并证明你的结论； （3）若AB ＝1，BC ＝5，且BF ＝DF ，求旋转角度α的大小．

25．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，AE =AD ，作DF ⊥AE 于点F ． （1）求证：AB ＝AF ； （2）连BF 并延长交DE 于G ． ①EG ＝DG ；

②若EG ＝1，求矩形ABCD 的面积．

26．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接,CP 将线段CP 绕点C 顺时针旋转90,?得到线段,CQ 连接,BP DQ .

()1如图甲，求证：CBP CDQ ∠=∠；

()2如图乙，延长BP交直线DQ于点E.求证：BE DQ

⊥；

()3如图丙，若BCP为等边三角形，探索线段,

PD PE之间的数量关系，并说明理由.

27．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，∠A的角平分线交边CD于点E．点P从点A出发沿射线AE以每秒2个单位长度的速度运动，Q为AP的中点，过点Q作QH⊥AB于点H，在射线AE的下方作平行四边形PQHM（点M在点H的右侧），设P点运动时间为t秒．

（1）直接写出AQH 的面积（用含t 的代数式表示）． （2）当点M 落在BC 边上时，求t 的值．

（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t 的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）． 28．（解决问题）如图1，在ABC ?中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是

BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．

（1）若3PE =，5PF =，则ABP ?的面积是______，CG =______． （2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．

（3）（变式探究）如图2，在ABC ?中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ?内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求

PE PF PG ++的值．

（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．

29．已知：如下图，ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=，E 为BC 的中点，连接DE AE 、.若DC

AE ，在DC 上取一点F ，使得DF DE =，连接EF 交AD 于O .

（1）求证：EF DA ⊥.

（2）若4,23BC AD ==，求EF 的长.

30．已知三角形纸片ABC 的面积为48，BC 的长为8．按下列步骤将三角形纸片ABC 进行裁剪和拼图：

第一步：如图1，沿三角形ABC 的中位线DE 将纸片剪成两部分．在线段DE 上任意．．取一点F ，在线段BC 上任意．．

取一点H ，沿FH 将四边形纸片DBCE 剪成两部分； 第二步：如图2，将FH 左侧纸片绕点D 旋转180°，使线段DB 与DA 重合；将FH 右侧纸片绕点E 旋转180°，使线段EC 与EA 重合，再与三角形纸片ADE 拼成一个与三角形纸片ABC 面积相等的四边形纸片．

图1 图2

（1）当点F ，H 在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形；

（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为_________．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：B

【解析】

【分析】

取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B，此时CE的长就是GB+GC的最小值；先证明E点与E'点重合，再在Rt△EBC中，EB=23，BC=4，求EC的长.

【详解】

取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B

，

此时CE的长就是GB+GC的最小值；

∵MN∥AD，

∴HM=1

2 AE，

∵HB⊥HM，AB=4，∠A=60°，

∴MB=2，∠HMB=60°，

∴HM=1，

∴AE'=2，

∴E点与E'点重合，

∵∠AEB=∠MHB=90°，

∴∠CBE=90°，

在Rt△EBC中，3BC=4，

∴7，

故选A.

【点睛】

本题考查菱形的性质，直角三角形的性质；确定G点的运动轨迹，是找到对称轴的关键．2．C

解析：C

【分析】

过B作BF∥MN交AD于F，则∠AFB＝∠ANM，根据正方形的性质得出∠A＝∠EBC＝

90°，AB ＝BC ，AD ∥BC ，推出四边形BFNM 是平行四边形，得出BF ＝MN ＝CE ，证Rt △ABF ≌Rt △BCE ，推出∠AFB ＝∠ECB 即可． 【详解】 解：

过B 作BF ∥MN 交AD 于F ， 则∠AFB ＝∠ANM ， ∵四边形ABCD 是正方形，

∴∠A ＝∠EBC ＝90°，AB ＝BC ，AD ∥BC ， ∴FN ∥BM ，BF ∥MN ， ∴四边形BFNM 是平行四边形， ∴BF ＝MN ， ∵CE ＝MN ， ∴CE ＝BF ，

在Rt △ABF 和Rt △BCE 中

BF CE

AB BC =??

=?

∴Rt △ABF ≌Rt △BCE （HL ）， ∴∠ABF ＝∠MCE ＝35°， ∴∠ANM ＝∠AFB ＝55°， 故选：C ． 【点睛】

本题考查了直角三角形全等的判定即性质，还涉及正方形的性质以及平行四边形的判定与性质，构造全等三角形是解题关键.

3．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据已知条件如图可得到B 12 ，B 2所在的正方形的对角线长为2(2),B 3所在的正方形的对角线长为3(2),依据规律可得B 6所在的正方形的对角线长为62)=8，再根据B 6在x 轴的负半轴，就可得到B 6的坐标。 【详解】

根据图可得四边形OBB 1C 为正方形

因此OB1=2，B1在第一象限；

(2)，B2在x轴正半轴；

OB2=2

OB3=3

(2)，B3在第四象限；

(2)，B4在x轴负半轴；

OB4=4

依照规律可得：

(2)，B6在x轴负半轴；

OB6=6

所以B6（-8,0），故选C

【点睛】

本题主要考查学生的归纳总结能力，在结合考查点的坐标问题，关键在于推理总结出规律。

4．A

解析：A

【分析】

如图1，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PD，QA=QD，则根据"SSS"可判断

APQ≌DPQ，则可对甲进行判断；如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形APDQ 为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到PA=DQ，PD=AQ，则根据"SSS"可判断

△APQ≌△DQP,则可对乙进行判断.

【详解】

解：如图1，

∵PQ垂直平分AD，

∴PA= PD,，QA= QD，

∵PQ= PQ，

∴△APQ≌△DPQ (SSS)，所以甲正确；

如图2，∵PD ∥AQ，DQ ∥AP，

∴四边形APDQ为平行四达形，

∴PA=DQ,，PD=AQ，

∵PQ=QP，

∴△APQ≌△DQP (SSS)，所以乙正确；

故选：A.

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定.

5．B

解析：B 【分析】

由在ABC ?中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②1

902

BOC A ∠=+

∠?正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出BEO ?和CFO ?是等腰三角形得出EF BE CF =+故①正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD m =，AE AF n +=，则1

2

AEF S mn ?=

，故③错误；E 、F 不可能是三角形ABC 的中点，则EF 不能为中位线故④正确． 【详解】 解：

在ABC ?中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，

12OBC ABC ∴∠=∠，1

2

OCB ACB ∠=∠，180A ABC ACB ∠+∠+∠=?，

1

902

OBC OCB A ∴∠+∠=?-∠，

1

180()902

BOC OBC OCB A ∴∠=?-∠+∠=?+∠；故（2）正确；

在ABC ?中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ， OBC OBE ∴∠=∠，OCB OCF ∠=∠，

//EF BC ，

OBC EOB ∴∠=∠，OCB FOC ∠=∠，

EOB OBE ∴∠=∠，FOC OCF ∠=∠， BE OE ∴=，CF OF =， EF OE OF BE CF ∴=+=+，

故（1）正确； 过点O 作OM

AB ⊥于M ，作ON BC ⊥于N ，连接OA ，

在ABC ?中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ， ON OD OM m ∴===，

1111

()2222

AEF AOE AOF S S S AE OM AF OD OD AE AF mn ???∴=+=

+=+=；故（3）正确，（4）错误； 12EOB S BE OM ?=

，1

2

OCF S FC OD ?=， OM OD =，BE 不一定等于CF ，

EOB S ?∴不一定等于FOC S ．故（5）错误，

综上可知其中正确的结论是（1）（2）（3）， 故选：B ． 【点睛】

此题考查了三角形中位线定理的运用，以及平行线的性质、等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

6．B

解析：B 【分析】

延长BG 交CH 于点E ，根据正方形的性质证明△ABG ≌△CDH ≌△BCE ，可得GE=BE-BG=2，HE=CH-CE=2，∠HEG=90°，从而由勾股定理可得GH 的长． 【详解】

解：如图，延长BG 交CH 于点E ，

∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=CD=10， ∵AG=8，BG=6， ∴AG 2+BG 2=AB 2， ∴∠AGB=90°， ∴∠1+∠2=90°， 又∵∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 同理：∠4=∠6， 在△ABG 和△CDH 中， AB ＝CD ＝10 AG ＝CH ＝8 BG ＝DH ＝6

∴△ABG ≌△CDH （SSS ）， ∴∠1=∠5，∠2=∠6，

∴∠2=∠4， 在△ABG 和△BCE 中，

∵∠1＝∠3，AB ＝BC ，∠2＝∠4， ∴△ABG ≌△BCE （ASA ），

∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°， ∴GE=BE －BG=8－6=2， 同理可得HE=2， 在Rt △GHE 中，

22222222GH GE HE =+=+=,

故选：B ． 【点睛】

本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE 为直角三角形且能够求出两条直角边的长是解题的关键．

7．C

解析：C 【分析】

在矩形ABCD 中，由矩形边长，可得矩形面积是12，进而得134AOD

ABCD

S

S =

=矩形，由矩形对角线相等且互相平分得AO OC =，OB OD =，AC BD =，利用勾股定理可解得

5AC =,则5

2OA OD ==，

111

()3222

AOD AOP DOP S S S OA PE OD PF OA PE PF =+=+=+==，即可求出PE+PF

的值． 【详解】

解：连接PO ，如下图：

∵在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4， ∴12ABCD S AB BC ==矩形,

AO OC =，OB OD =，AC BD =，

225AC AB +BC ，

∴11

12344AOD

ABCD S

S =

=?=矩形, 52

OA OD ==

， 11115

()()322222

AOD

AOP DOP

S

S

S

OA PE OD PF OA PE PF PE PF =+=+=+=?+=，

∴12

2.45

PE PF +==； 故选C ． 【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，利用等积法间接求三角形的高线长及用勾股定理求直角三角形的斜边；利用面积法求解，是本题的解题突破点．

8．D

解析：D 【分析】

①由矩形的性质得到90OBC ∠=?，根据折叠的性质得到OB OD =，

90PDO OBP

，BOP DOP ∠=∠，推出四边形OBPD 是矩形，根据正方形的判定

定理即可得到四边形OBPD 为正方形；故①正确；

②过D 作DH OA ⊥于H ，得到10OA =，6OB =，根据直角三角形的性质得到

132

DH

OD ，根据三角形的面积公式得到OAD ?的面积为1

1

310152

2

OA DH

，

故②正确；

③连接OC ，于是得到OD CD OC ，即当OD CD OC +=时，CD 取最小值，根据勾

股定理得到CD 的最小值为6；故③正确；

④根据已知条件推出P ，D ，A 三点共线，根据平行线的性质得到OPB POA ，等量

代换得到OPA POA ，求得10AP OA ，根据勾股定理得到

108

2BP

BC CP

，故④正确．

【详解】 解：①

四边形OACB 是矩形，

90OBC ∴∠=?，

将OBP ?沿OP 折叠得到OPD ?，

OB OD ∴=，90PDO OBP ，BOP DOP ∠=∠， 45BOP ， 45DOP BOP ， 90BOD =∴∠?， 90BOD OBP ODP ， ∴四边形OBPD 是矩形， OB OD =，

∴四边形OBPD 为正方形；故①正确；

②过D 作DH OA ⊥于H ， 点(10,0)A ，点(0,6)B ，

10OA ∴=，6OB =，

6OD

OB

，30BOP DOP ，

30DOA

，

132

DH

OD ，

OAD ∴?的面积为

1

1

310152

2

OA DH ，故②正确；

③连接OC ， 则OD CD OC ，

即当OD CD OC +=时，CD 取最小值， 6AC

OB

，10OA =，

2

2

2

2

106234OC

OA AC ，

234

6CD OC OD ，

即CD 的最小值为2346；故③正确；

④

⊥OD AD ， 90ADO ∴∠=?，

90ODP OBP ，

180ADP ，

P ∴，D ，A 三点共线，

//OA CB ， OPB POA ， OPB OPD ， OPA POA ，

10AP

OA ，

6AC =，

2

2

1068CP

，

108

2BP BC CP ，故④正确；

故选：D ．

【点睛】

本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．

9．D

解析：D

【分析】

由于在四边形中，MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，因此MN、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形．可设MN到DC的距离为h1，MN到AB的距离为h2，根据AB=CD，

DE=AF，EC=FB及平行四边形的面积公式即可得出答案．

【详解】

解：∵MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，

∴四边形ABCD，四边形ADEF，四边形BCEF，红、紫、黄、白四边形都为平行四边形，

∴AB=CD，DE=AF，EC=BF．

设MN到DC的距离为h1，MN到AB的距离为h2，

则S1=DE?h1，S2=AF?h2，S3=EC?h1，S4=FB?h2，

因为DE，h1，FB，h2的关系不确定，所以S1与S4的关系无法确定，故A错误；

S1+S4=DE?h1+FB?h2=AF?h1+FB?h2，S2+S3=AF?h2+EC?h1=AF?h2+FB?h1，故B错误；

S1+S3=CD?h1，S2+S4=AB?h2，又AB=CD，而h1不一定与h2相等，故C错误；

S1·S4=DE?h1?FB?h2=AF?h1?FB?h2，S2·S3=AF?h2?EC?h1=AF?h2?FB?h1，所以

S1·S4=S2·S3，

故D正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查平行四边形的判定与性质，注意掌握平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即S=a?h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高．

10．A

解析：A

【分析】

①根据正方形的对角线平分对角的性质，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，

DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得EC．

②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8；

③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形；

④由②可知，四边形PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP=EF；

⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于；

⑥证明∠PFH+∠HPF=90°，则AP⊥EF．

【详解】

①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，

∵GF∥BC，

∴∠DPF=∠DBC，

∵四边形ABCD是正方形

∴∠DBC=45°

∴∠DPF=∠DBC=45°，

∴∠PDF=∠DPF=45°，

∴PF=EC=DF，

∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，

∴2EC．故①正确；

②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°，

∴四边形PECF为矩形，

∴四边形PECF的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8，故②正确；

③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，

除此之外，△APD不是等腰三角形，

故③错误．

④∵四边形PECF为矩形，

∴PC=EF，

由正方形为轴对称图形，

∴AP=PC，

∴AP=EF，

故④正确；

⑤由EF=PC=AP，

∴当AP最小时，EF最小，

则当AP⊥BD时，即AP=1

2

BD=

1

2

22时，EF的最小值等于2，故⑤正确；

⑥∵GF∥BC，

∴∠AGP=90°，

∴∠BAP+∠APG=90°，∵∠APG=∠HPF，

∴∠PFH+∠HPF=90°，∴AP⊥EF，

故⑥正确；