高等代数第三章线性方程组知识点复习与相关练习

第三章线性方程组

3.1主要方法

3.1.1线性相关性的判别

线性关系：

α1,α2,···,αs线性无关⇐⇒α1,α2,···,αs不线性相关

⇐⇒不存在不全为零的数k1,k2,···,k s使成立k1α1+k2α2+···+k sαs=0

⇐⇒若k1,k2,···,k s不全为零，则k1α1+k2α2+···+k sαs=0

⇐⇒若k1α1+k2α2+···+k sαs=0,则k1=k2=···=k s=0.

因此，判断向量组α1,α2,···,αs是否线性相关的方法：令

k1α1+k2α2+···+k sαs=0,

若k1,k2,···,k s有非零解，则α1,α2,···,αs线性相关；若k1,k2,···,k s只有零解，则α1,α2,···,αs无关。

3.1.2求矩阵与向量组的秩的方法

求矩阵秩的方法：

A初等行变换

−−−−−−→B(阶梯形矩阵)

则r(A)=r(B)=B的非零行的行数.

求向量组的秩的方法：

以α1,α2,···,αs为列做成矩阵A,

A=(αT

1,αT

2

,···,αT

s

)初等行变换

−−−−−−→B(阶梯形矩阵)

则

•r(α1,α2,···,αs)=r(A)=r(B)=B的非零行的行数.

•若B的非零行的第一个非零元分别位于i1,i2,···,i r,则αi

1,αi

2

,···,αi

r

就是α1,α2,···,αs

的一个极大线性无关组。

3.1.2解s×n线性方程组

第一步：¯A初等行变换

−−−−−−→¯B(阶梯形矩阵或者行简化阶梯形矩阵)

第二步：由¯B判断有无解

•若r(A)=r(¯A),则方程组无解

•若r(A)=r(¯A)=r,方程组有解，此时

第三步：判断解的个数并求解

•若r=n,则方程组有唯一解，则¯B求出其解即可；

•若r

γ=γ0+k1η1+k2η2+···+k n−rηn−r.

3.2相关练习

一、填空题

1向量组α1,α2,···,αs称为线性相关，如果.

2一个向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果

3等价向量组的秩.

4n×n矩阵A的行列式为零的充要条件是.

5一矩阵的秩为r的充要条件是矩阵中有一个，

同时.

6线性方程组有解的充要条件是.

7齐次线性方程组的一组解η1,η2,···,ηt称为它的一个基础解系，如果

8线性方程组有唯一解的充要条件是它的导出线性方程组.

9如果向量组α1,α2,···,αs的秩为r，那么α1,α2,···,αs中任意r个的向量，都构成它的一个极大无关组。

二、计算题与解答

1求向量组α1=(1,1,1,1),α2=(2,1,3,−1),α3=(1,2,0,1),α4=(1,1,−3,0),α5=(2,3,1,2)，的一个极大无关组与秩。

2求向量组α1=(1,−1,2,4),α2=(0,3,1,2),α3=(3,0,7,14),α4=(1,−1,2,0),α5=(2,2,5,6),的一个极大线性无关组与秩。

3设线性方程组为

x1+x2+x3+x4+x5=1,

4x1+3x2+2x3+2x4−2x5=a, 2x1+3x2+4x3+4x4+8x5=5, x2+2x3+2x4+6x5=3, 5x1+4x2+3x3+3x4−x5=b.

1)当a,b取什么值时，方程组有解。

2）有解的情形，求解的结构式(要求必须求出方程组的一个特解及其导出组的一个基础解系).

4设线性方程组为

x1+x2−x3+3x4−5x5=0,

x1+2x2−4x3+5x4−9x5=−1, 2x1+x2+x3+4x4−6x5=a, 4x1+1x2+5x3+6x4−8x5=b.

1)当a,b取什么值时，方程组有解。

2）有解的情形，求解的结构式(要求必须求出方程组的一个特解及其导出组的一个基础解系).

5设向量组α1,α2,···,αs线性无关，问向量组α1+α2,α2+α3,···,αs−1+αs,αs+α1是否线性相关，并证明你的结论。

三、证明

1证明：如果向量组α1,α2,···,αr线性无关，而α1,α2,···,αr,β线性相关，则向量β可以由α1,α2,···,αr线性表出，且表示法唯一。

2设η0是线性方程组的一个解，η1,η2,···,ηt是它的导出组的一个基础解系，令

γ1=η0,γ2=η1+η0,···,γt+1=ηt+η0.

证明：线性方程组的任一个解γ都可表成

γ=u1γ1+u2γ2+···+u t+1γt+1

其中u1+u2+···+u t+1=1.

3设α1,α2,···,αn是一组线性无关的向量，βi=∑n

j=1

a ijαj(i=1,2,···,n)，令A=(a ij).证明：

β1,β1,···,βn线性相关的充要条件是|A|=0

4证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一极大线性无关组.

5设向量组α1,α2,···,αm线性无关，向量组而β,α1,α2,···,αm,(β=0)线性相关，证明：向量组β,α1,α2,···,αm中有且仅有一个向量αj(1≤j≤m)可以由它前面的向量β,α1,α2,···,αj−1线性表出.

6设A是一个m×n齐次线性方程组的系数矩阵，向量(a1,a2,···,a n)是该齐次线性方程组的一个非零解，证明

1)若A的任何列向量均非零，则a1,a2,···,a n中至少有两个非零；

2)若A的任何两个列向量线性无关，则a1,a2,···,a n中至少有三个非零.