浅析欧拉角与四元数

MPIG Seminar 0048
欧拉角和四元数
郑雪鹤
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MPIG Seminar 0048
郑雪鹤
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（2） 单位四元数的逆等于共轭
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四元数表示旋转
逆时针方向旋转ϴ
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程序实现
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欧拉角的基本概念
(3) Yaw 偏航角 ψ
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三个欧拉角的独立性
z ( z )
O
( z, z ' ) y y

y'
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欧拉角表示旋转矩阵
旋转顺序下的旋转矩阵
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欧拉角表示旋转矩阵
旋转顺序下的旋转矩阵
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欧拉角表示旋转矩阵
绕Y轴旋转θ
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欧拉角表示旋转矩阵
绕X轴旋转φ
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总结
确定欧拉角 , , 在任意时刻的大小，也就确定了刚体在任意时 刻的位形
z ( z )
O
( z, z ' ) y y

y'
( y)
( x)
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乘法
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四元数的基本性质
乘法
由于最后一项外积的存在，该乘法通常是不可交换的，除非共线
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奇异点
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总结
• • • • 理论上，欧拉旋转可以靠这种顺序让一个物体指到任何一个想要的方向 但如果在旋转中不幸让某些坐标轴重合了就会发生万向节锁 这时就会丢失一个方向上的旋转能力 也就是说在这种状态下我们无论怎么旋转（当然还是要原先的顺序）都不可 能得到某些想要的旋转效果 • 除非我们打破原先的旋转顺序或者同时旋转3个坐标轴 • 由于万向节锁的存在，欧拉旋转无法实现球面平滑插值。
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欧拉角的基本概念
(1) Roll 滚转角φ
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欧拉角的基本概念
(2) Pitch 俯仰角θ
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( y)
( x)

x

x ( x' )
Roll Pitch Yaw
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欧拉角表示旋转矩阵
绕Z轴旋转ψ
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欧拉角转四元数
设三次旋转对应的四元数分别为： 则：
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x

x ( x' )
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总结
确定欧拉角 , , 在任意时刻的大小，也就确定了刚体在任意时 刻的位形
不唯一
奇异点
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总结
确定欧拉角 , , 在任意时刻的大小，也就确定了刚体在任意时 刻的位形
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总结
确定欧拉角 , , 在任意时刻的大小，也就确定了刚体在任意时 刻的位形
不唯一 万向 节锁
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四元数
四元数
quaternion
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四元数
其中i，j，k为四元数的三个虚部，这三个虚部满足关系式：
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四元数的基本性质
3. 共轭
4. 模长
5.两个四元数乘积的模即为模的乘积， 这保证单位四元数 相乘后仍是单位四元数。
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四元数的基本性质
6. 逆
（1） 四元数和自己的逆的乘积为实四元数1：
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欧拉角的基本概念
1.描述定点转动刚体的位形需要三个独立坐标变量。
2.描述定轴转动刚体的位形只需要一个独立坐标变量， 即转角。
3.将定点转动的过程分解为三个相互独立的定轴转动， 相应的三个相互独立的转角，即欧拉角。
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四元数表示旋转
假设某个旋转是绕单位向量：
则描述该转动的四元数可以表示成:
反之，我们亦可通过任意一个长度为1的四元数，计算对应旋转轴与夹角
右手法则旋转
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四元数表示旋转
用一个虚四元数来描述一个三维空间点：
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四元数的基本性质
1. 加法和减法
2.乘法
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四元数的基本性质
n
Z
p'
Y
用另一个四元数表示旋转：
X
p
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欧拉角转四元数
设三次旋转对应的四元数分别为： 则： 绕x轴单位向量(1, 0, 0)旋转角度φ 绕y轴单位向量(1, 0, 0)旋转角度θ 绕z轴单位向量(1, 0, 0)旋转角度ψ
四元数转欧拉角
旋转序为Z-Y-X时，旋转矩阵可以表示为:
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四元数转欧拉角
于是:
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