四元数
四元数
为什么使用四元数为了回答这个问题，先来看看一般关于旋转（面向）的描述方法－欧拉描述法。
它使用最简单的x,y,z值来分别表示在x，y，z轴上的旋转角度，其取值为0-360(或者0-2pi），一般使用roll，pitch，yaw来表示这些分量的旋转值。
需要注意的是，这里的旋转是针对世界坐标系说的，这意味着第一次的旋转不会影响第二、三次的转轴，简单的说，三角度系统无法表现任意轴的旋转，只要一开始旋转，物体本身就失去了任意轴的自主性，这也就导致了万向轴锁（Gimbal Lock）的问题。
还有一种是轴角的描述方法（即我一直以为的四元数的表示法），这种方法比欧拉描述要好，它避免了Gimbal Lock，它使用一个3维向量表示转轴和一个角度分量表示绕此转轴的旋转角度，即(x,y,z,angle)，一般表示为(x,y,z,w)或者(v,w)。
但这种描述法却不适合插值。
那到底什么是Gimbal Lock呢？正如前面所说，因为欧拉描述中针对x,y,z的旋转描述是世界坐标系下的值，所以当任意一轴旋转90°的时候会导致该轴同其他轴重合，此时旋转被重合的轴可能没有任何效果，这就是Gimbal Lock，这里有个例子演示了Gimbal Lock，点击这里下载。
运行这个例子，使用左右箭头改变yaw 为90°，此时不管是使用上下箭头还是Insert、Page Up键都无法改变Pitch，而都是改变了模型的roll。
那么轴、角的描述方法又有什么问题呢？虽然轴、角的描述解决了Gimbal Lock，但这样的描述方法会导致差值不平滑，差值结果可能跳跃，欧拉描述同样有这样的问题。
什么是四元数四元数一般定义如下：q=w+xi+yj+zk其中w是实数，x,y,z是虚数，其中:i*i=-1j*j=-1k*k=-1也可以表示为：q=[w,v]其中v=(x,y,z)是矢量，w是标量，虽然v是矢量，但不能简单的理解为3D空间的矢量，它是4维空间中的的矢量，也是非常不容易想像的。
四元数详解
四元数详解四元数是一种数学概念，它在多个领域都有广泛的应用。
在计算机图形学中，四元数用于表示旋转变换。
下面我将以人类的视角来介绍四元数的定义、性质和应用。
四元数是一种扩展了复数的数学结构。
它由一个实部和三个虚部组成，可以写成q = a + bi + cj + dk的形式，其中a、b、c、d分别是实数，i、j、k是虚数单位。
与复数一样，四元数也有加法和乘法运算。
我们来看四元数的定义。
四元数的实部a对应于实数部分，而虚部bi + cj + dk对应于虚数部分。
四元数的加法定义很简单，就是将实部和虚部分别相加。
而乘法则稍微复杂一些，需要使用四元数的乘法规则：i² = j² = k² = ijk = -1。
通过这个规则，我们可以计算出两个四元数的乘积。
接下来，我们来探讨一下四元数的性质。
首先，四元数的加法满足交换律和结合律。
然而，四元数的乘法不满足交换律，即ab ≠ ba。
此外，四元数的乘法满足结合律，但不满足分配律。
这些性质使得四元数的运算有一些独特的特点。
四元数在计算机图形学中有广泛的应用。
由于四元数可以用于表示旋转变换，因此在三维游戏和动画中经常被用到。
与传统的欧拉角相比，四元数具有很多优点，例如不存在万向锁问题和旋转插值更加平滑。
因此，使用四元数可以提高计算机图形学的效率和质量。
除了计算机图形学，四元数还在其他领域有着重要的应用。
例如，在航空航天领域，四元数可以用于表示飞行器的姿态和旋转控制。
在物理学中，四元数可以用于描述粒子的自旋。
此外，四元数还可以用于解决某些数学问题，例如解四次方程和计算曲线的弯曲度。
四元数是一种重要的数学概念，具有广泛的应用。
它在计算机图形学、航空航天和物理学等领域都发挥着重要作用。
通过深入理解四元数的定义、性质和应用，我们能够更好地应用它们解决实际问题，推动科学技术的发展。
四元数
四元数一、四元数的来历四元数（Quaternions ）最先是由爱尔兰数学家哈密顿（William Rowan Hamilton ）在1843年发明的数学概念，它是最简单的超复数起初，我们所熟知的复数是由实数加上元素组成的，形式如下所示 z a ib =+将两维复数扩展至三维复数，可以得到z a ib jc =++现在把两个三维复数相乘，并化简得到12121212121212121212()()()z z a a bb c c i a b b a j a c c a ijb c jic b =--++++++ 然而，对于上式得到的结果ij 和ji 并不是确定的值，因此哈密顿引入了四维复数的概念，将z 写成四维复数的形式，即z a ib jc kd =+++这时，再将两个四维复数相乘，化简可得1212121212121212121212121212121212()()()z z a a b b c c d d i a b b a j a c c a k a d d a ijb c ikb d jic b jkc d kid b kjd c =---++++++++++++然后，哈密顿做了如下规定，即ij=k jk=i ki=j ji=-k kj=-i ik=-j按照如上规定，式化简为如下形式121212121212222111121212121212()()()()()()z z a a b b c c d d a ib jc kd a ib jc kd i c d d c j d b b d k b c c b =-+++++++++-+-+-最后，将z1,z2写成最初的形式，即111222z s v z s v =+=+式中，v1,v2分别表示z1,z2的虚数部分得到121212122112z z s s v v s v s v v v =-+++⨯哈密顿将此式中的对象z1z2叫做四元数，并把虚数部分称作是向量。
03.四元数
03.四元数四元数单位四元数可以⽤来描述三维空间中的旋转，它既是紧凑的，也没有奇异性。
⼀个四元数描述唯⼀⼀个空间旋转，但是⼀个空间旋转可以由互为相反数的两个四元数表⽰。
1.四元数四元数的定义四元数是由四个元构成的数Q(q0,q1,q2,q3)=q0+q1i+q2j+q3kq0,q1,q2,q3是实数，i,j,k是满⾜如下条件的单位向量i⊗i=−1,j⊗j=−1,k⊗k=−1 ⾃⼰与⾃⼰进⾏四元数乘结果为-1。
i⊗j=k,j⊗k=i,k⊗i=j按照i→j→k→i...的顺序两两作四元数乘可以得到下⼀个。
j⊗i=−k,k⊗j=−i,i⊗k=−j按照i→j→k→i...相反的顺序两两作四元数乘可以得到下⼀个的负。
⊗表⽰四元数乘法四元数的表达⽅式⽮量式Q=q0+q其中q0称四元数Q的标量部分，q称四元数Q的⽮量部分。
q是三维空间中的⼀个向量。
复数式Q=q0+q1i+q2j+q3k可视为⼀个超复数，Q的共轭复数记为:Q∗=q0−q1i−q2j−q3k三⾓式Q=cos θ2+u sinθ2式中，u为单位向量，即旋转轴。
θ为实数，即绕单位向量u的旋转⾓度。
指数式Q=e u θ2式中，u和θ同上。
矩阵式Q=q0 q1 q2 q3四元数的⼤⼩—范数四元数的⼤⼩⽤四元数的范数来表⽰：||Q||=q20+q21+q22+q23||Q||=1，则Q成为规范化四元数。
描述旋转的四元数成为规范化四元数。
规范化四元数参与旋转运动时要作归⼀化。
四元数的运算加法和减法：对应实部和虚部相加/减[]Q=q0+q1i+q2j+q3kP=p0+p1i+p2j+p3k则Q±P=(q0±p0)+(q1±p1)i+(q2±p2)j+(q3±p3)k乘法:合并同类项(根据向量i,j,k向量相乘规则)标量乘a Q=aq0+aq1i+aq2j+aq3k其中a为标量四元数乘P⊗Q=(q0+q1i+q2j+q3k)⊗(p0+p1i+p2j+p3k)=(p0q0−p1q1−p2q2−p3q3)+(p0q1+p1q0+p2q3−p3q2)i+(p0q2+p2q0+p3q1−p1q3)j+(p0q3+p3q0+p1q2−p2q1)k =r0+r1i+r2j+r3k写成矩阵形式r0r1 r2 r3=p0−p1−p2−p3p1p0−p3p2p2p3p0−p1p3−p2p1p0q0q1q2q3=M(P)Q或r0r1 r2 r3=q0−q1−q2−q3q1q0q3−q2q2−q3q0q1q3q2−q1q0p0p1p2p3=M′(Q)P注意：四元数乘法不满⾜交换律P⊗Q=M(P)Q≠M′(P)Q=Q⊗P 四元数乘法满⾜分配律和结合律P⊗（Q+R）=P⊗Q+P⊗RP⊗Q⊗R=(P⊗Q)⊗R=P⊗(Q⊗R)此外，还有(P⊗Q)∗=Q∗⊗P∗证明，略。
形象解说四元数
形象解说四元数By daode1212 2016-03-16前言:四元数（Quaternions）是由爱尔兰数学家哈密顿(William Rowan Hamilton,1805-1865）在1843年发明的数学概念。
复数、向量、矩阵都是数学中的基本要素，就如同编程中的数组、对象、集合那样。
四元数是一种超复数，是复数与三维向量的复合体。
四元数也有加法、减法、乘法、但是四元数的乘法不符合交换律（commutative law），即a*b <> b*a，而且，还有转置、规范化、共轭三种运算。
由于它在描述三维旋转、姿态方面的一些特有优点，所以在飞行器（飞机，火箭，导弹等），机器人姿态的控制中常用到。
数学手册中在代数结构的“群-环-域”中稍有点介绍，它属于不可交换的除环，称哈密顿四元数体。
以下是一些四元数运算的效果图：四元数理论创立人：William Rowan Hamilton,1805-1865一，四元数的几种表示形式:OpenTK中，为建立四元数提供了多种方式：public Quaternion(float x, float y, float z, float w)；public Quaternion(OpenTK.Vector3v, float w)；例如用Quaternion(float x, float y, float z, float w)：OpenTK.Quaternion q = new OpenTK.Quaternion(0.51f, -0.71f, 0.31f, 0.7071f);1, 四元数建构方式一：i^2=j^2=k^2=-1ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=jq=w+ix+jy+kz，i,j,k分别对应轴向量X(1,0,0),Y(0,1,0),Z(0,0,1)2, 四元数建构方式二：转动角之半+轴向量的方向余弦：3, 四元数建构方式三：转动角之半+单位球面上的点：二，四元数的模如q是四元数，OpenTK中有:1, q.Length;返回值是:2, q.LengthSquared;返回值是:，与点积（内积）q·q是一致的。
四元数的初步总结
四元数的初步总结（一）四元数是最简单的超复数。
复数是由实数加上元素i组成，其中i^2=-1。
相似地，四元数都是由实数加上三个元素i、j、k组成，而且它们有如下的关系：i^2=j^2=k^2=ijk=-1,每个四元数都是1、i、j和k的线性组合，即是四元数一般可表示为a+bi+cj+dk，其中a、b、c、d是实数一、四元数引入的理论背景将实数域扩充到复数域，并用复数来表示平面向量，用复数的加、乘运算表示平面向量的合成、伸缩和旋转变换，这些观念已经在中学课程中学过了。
那么，很自然的问题就是，在三维，或更高维空间中是否也有复数的类似物？也就是说，像扩充实数那样，在复数域的基础上添加一个或几个新的元素，并且让它们跟原来的复数做加减乘除，是否就可以得到一个新的数集，并且其中的元素还可以像复数域那样做加、减、乘、除运算，并满足通常复数的那些运算律，包括加法和乘法的交换律与结合律、乘法对加法的分配律等待？更进一步，我们是否可以期望用这样的数来表示三维或更高维空间中的伸缩和旋转，就像用复数表示平面向量的伸缩旋转那样方便？把问题说得明确一些，即是说，我们是否可以像得到复数域那样，在复数域中再添加一个新的元素（因此也是在实数基础上添加两个元素和），得到一个类似于复数集合，这个集合中的元素当时就是普通的复数，当时就是普通的实数，并且通常数的加减乘除运算及其性质都可以在这个集合上保持，即满足：1、对于任意两个数，它们的和是唯一确定的。
2、对于任意两个数，它们的积是唯一确定的。
3、存在一个数0，它具有性质：对于任意a，均有a+0=a。
4、对于每一个数a，均存在数x，适合等式a+x=0。
5、加法适合交换律：a+b=b+a。
6、加法适合结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
7、乘法适合交换律：a·b=b·a。
8、乘法适合结合律：(a·b)·c=a·(b·c)。
9、乘法对加法适合分配律：a (b+c)=ab+ac 和(a+b)c=ac+bc。
四元数运算法则
四元数运算法则四元数是一种数学工具，用于表示三维空间中的旋转。
它由一个实部和三个虚部组成，可以描述旋转的方向和角度。
在计算机图形学和机器人学等领域中，四元数常用于旋转变换的计算。
本文将介绍四元数的运算法则，包括加法、减法、乘法和除法。
一、四元数的定义和表示四元数可表示为q = w + xi + yj + zk，其中w为实部，xi、yj和zk为虚部，i、j和k为虚数单位。
实部和虚部可以是实数或复数。
二、四元数的加法两个四元数的加法定义为：q1 + q2 = (w1 + w2) + (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)k。
即实部相加，虚部相加。
三、四元数的减法两个四元数的减法定义为：q1 - q2 = (w1 - w2) + (x1 - x2)i + (y1 - y2)j + (z1 - z2)k。
即实部相减，虚部相减。
四、四元数的乘法两个四元数的乘法定义为：q1 * q2 = (w1w2 - x1x2 - y1y2 - z1z2) + (w1x2 + x1w2 + y1z2 - z1y2)i + (w1y2 - x1z2 + y1w2 + z1x2)j + (w1z2 + x1y2 - y1x2 + z1w2)k。
即实部相乘减虚部相乘。
五、四元数的除法两个四元数的除法定义为：q1 / q2 = q1 * q2的共轭 / q2 * q2的共轭。
其中，q的共轭表示将虚部取负数。
即实部相除，虚部相除。
六、四元数的模四元数的模定义为：|q| = sqrt(w^2 + x^2 + y^2 + z^2)。
即实部平方加上虚部平方的平方根。
七、四元数的单位化将一个非零四元数单位化，即将其模变为1，得到单位四元数。
单位四元数的定义为：q' = q / |q|。
八、四元数的共轭四元数的共轭定义为：q* = w - xi - yj - zk。
即实部不变，虚部取负数。
九、四元数的逆一个非零四元数的逆定义为：q^-1 = q* / |q|^2。
四元数概念
四元数概念四元数（Quaternions）是一种数学工具，它是由爱尔兰数学家 William Rowan Hamilton 于1843年发明的。
四元数被广泛应用于计算机图形和动画，机器人控制，摄影测量，化学和物理的研究中。
四元数具有复数的性质并且比复数更为丰富。
复数是由一个实部和一个虚部组成的，而四元数是由一个实部和三个虚部组成的。
四元数的定义如下：Quaternions = {a + bi + cj + dk | a, b, c, d∈R}i²=j²=k²=ijk=-1在四元数中，公式（1）具有一些有趣的特性，这使得四元数成为一种非常有用的工具。
其中一条是四元数具有完整的乘法结构，即使在虚部之间的乘法也是如此。
在计算机图形和动画应用中，四元数极为有用，因为它可以表示多种变换操作（如平移，旋转和缩放）。
q = cos(theta/2) + sin(theta/2)*(vi + vj + vk)这里，cos是余弦函数，sin是正弦函数，theta是旋转角度，v表示旋转轴的单位向量。
p + q = (a1 + a2) + (b1 + b2)i + (c1 + c2)j + (d1 + d2)kkp = ka + kb*i + kc*j + kd*k这些运算遵循基本的加、减和乘法法则，类似于向量的运算。
这些规则具有一些有趣的性质，四元数的乘法不是可交换的，即pq≠qp。
四元数是一种非常有用的数学工具，尤其是在计算机图形和动画，机器人控制，摄影测量，化学和物理的应用中。
它包含了复数所具有的性质，并增加了第三个和第四个虚部，使得它更加丰富和灵活。
四元数还具有证明某些矢量不变性的作用。
对于一个物体的旋转，它的角速度可以通过四元数的导数来表示，这个导数有一个重要的应用，即可以证明质心不受任何外部力矩的影响而保持恒定，这被称为质点定则证明。
四元数还与矩阵有密切的联系。
事实上，四元数乘法可以被转换为矩阵运算，它的实部和虚部也可以被表示为一个4x4的旋转矩阵。
四元数与欧拉角
四元数的定义 四元数的运算 利用四元数进行旋转变换 利用四元数进行旋转合成
1
1.1*四元数(quaternions)定义
一个有固定点的刚体通过绕该点的某个轴转 过特定角度可达到任何姿态
转轴的方向可以表示成一个单位矢量:
n cos i cos j cos k
n
则描述该转动的四元数可以表示成:
x' (2 P12 P22 P32 )x 2(P1P2 P3 ) y 2(P1P3 P2 )z
y' 2(P1P2 P3 )x (2 P22 P12 P32 ) y 2(P2P3 P1)z z' 2(P1P3 P2 )x 2(P2P3 P1) y (2 P32 P12 P22 )z
22
4.2*四元数合成: 映像的方式
每次转动的瞬时转轴都以映像方式给出.
对第一次转动, 瞬时转轴 n1 的映像 方式和非映像方式相同：
n1 ne1 k
因此
q1
cos
2
sin
2
k
23
4.2 四元数合成: 映像的方式
第二次转动绕着 OX’ 转过了θ
转轴
n2
沿着
OX’
n2 i'
n2
在坐标系
x' y'
2
P12 P22 P32
2(P1P2 P3 )
z' 2(P1P3 P2 )
2(P1P2 P3 ) 2 P22 P12 P32
2(P2P3 P1)
2(P1P3 P2 ) 2(P2P3 P1)
x
y
2 P32 P12 P22 z
C 方向余弦矩阵
16
3.4 四元数转动变换的两种形式
四元数定义及重要性质
q cos e sin ， q q 都能够表示成三角函数形式 q 四元数 q
的轴，于是 其中单位矢量 e q q , q q12 q22 q32 称为四元数 q
(1.2)
p 的充要条件是 q0 p0 , q1 p1 , q2 p2 , q3 p3 。 四元数 q
根据四元数的定义，可推导出四元数运算的若干性质： a）四元数与四元数的加减法 四元数的加法运算：
p q0 p0 q p q
(1.3)
四元数的减法运算：
(1.6)
可以看出，四元数乘法不具有可交换性，当且仅当有一个四元数
qp 成立。 为矢量或两个四元数的矢量部分共线时， pq
Re qp 。根据乘法的 由式(1.6)可知，对于任意四元数， Re pq
定义，对虚四元数有如下性质：
pq qp 2 p q 2 Re pq qp 2 p q 2 Im pq pq r qp pq qp r 4 p q r 4 Re r Im pq pq
qT
(1.22)
对于多个四元数相乘，有：
1 Q q n 1 v q 1 Q q m 1 Q q n Q q m 1 v q vq 1 q n Q q n Q q m
(1.23)
Q, Q 矩阵还有如下性质：
(1.19)
进而得到：
q0 q 1 Q q q2 q3 q0 q * Q q 1 q2 q3 q1 q0 q3 q2
四元数的理论和应用
四元数的理论和应用四元数，又称四元数实数，是由英国数学家汉密尔顿于1843年创造的一个新颖的数学体系。
与复数具有类似性质，四元数可以表示3D空间的旋转、陀螺的转动以及电磁场的量子性质，因此在工程、物理学等学科中具有广泛的应用。
一、四元数的定义四元数可以看作是较为一般性的复数，是由一个实部和三个虚部构成的算子，记作q=a+bi+cj+dk，其中i,j,k是虚数单位，具有如下的性质：i² = j² = k² = ijk = -1。
二、四元数的计算1. 四元数的加减法：对于两个四元数q1=a1+b1i+c1j+d1k和q2=a2+b2i+c2j+d2k，我们可以进行加减法运算：q1 + q2 = (a1+a2) + (b1+b2)i + (c1+c2)j + (d1+d2)kq1 - q2 = (a1-a2) + (b1-b2)i + (c1-c2)j + (d1-d2)k2. 四元数的乘法：四元数的乘法需要按照虚部单位的乘法规则进行运算，即：i² = j² = k² = ijk = -1ii = -1, ij = k, ik = -jji = -k, jj = -1, jk = iki = j, kj = -i, kk = -1因此，两个四元数的乘积为：q1q2 = (a1a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2) + (a1b2 + b1a2 + c1d2 - d1c2)i + (a1c2 - b1d2 + c1a2 + d1b2)j + (a1d2 + b1c2 - c1b2 + d1a2)k3. 四元数的共轭：四元数的共轭是把虚部单位i,j,k交换位置，且取反，即：q* = a-bi-cj-dk4. 四元数的模长：四元数的模长表示为：|q| = sqrt(qq*) = sqrt(a²+b²+c²+d²)三、四元数在旋转表示上的应用四元数是一种非常方便的表示3D旋转的工具，示例见下图。
四元数
双曲正切:
反双曲函数
反双曲正弦: 反双曲余弦: 反双曲正切:
反三角函数
将这些被放到最后，是因为需要先定义四元数中的反双曲三角函数。 反正弦函数: 反余弦函数: 反正切函数:
广义化
若 F 是一个域，且 a、b 为 F 的元素，那么就可在 F 上定义一个四维单一结合代数，而它的产生是由符合 i2 = a、j2 = b 和 ij = -ji 的 i、j 而起。 这些代数不是与 F 的二阶矩阵代数同型，就是 F 的除法代数。它们称为“四元数代数”。
幂和对数
因为四元数有除法，所以幂和对数可以定义。 自然幂： 自然对数： 幂：
三角函数
正弦： 余弦：
正切：
https:///wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B8
5/7
2015/7/17
双曲函数
双曲正弦: 双曲余弦:
四元数 维基百科，自由的百科全书
第二种则是以四阶实数矩阵表示：
其中四元数的共轭等于矩阵的转置。
四元数运算
四元数运算在电动力学与广义相对论中有广泛的应用。四元数可以用来取代张量表示。有时候采用带有复数元素之四元数会比较容 易，导得结果不为除法代数之形式。然而亦可结合共轭运算以达到相同的运算结果。
https:///wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B8
四元数-第2讲
四元数-第2讲
上一讲，简要介绍了四元数的基本定义和基本运算，本讲在基础运算定义基础上，进一步阐述四元数常用的高阶运算公式，请参考；
3.How-四元数advance
3.1四元数交换运算：
以上公式参考下式：
3.2纯四元数乘法：
纯四元数即是标量(实数)部分为0，
结合上式可得，
(向量与本身叉乘等于0)
因此，对于纯单位四元数，
3.3纯四元数指数：
定义是n个q相乘，乘法使用；
如果v是纯四元数，定义v=uθ，，u是单位向量，则，
对于纯单位四元数u,
3.4四元数指数函数:
类似普通指数函数，只有在实数指数的情况下，才绝对收敛于
指数幂之和（指数函数泰勒级数展开式）；
先仅研究纯四元数（标量为0）的指数，
定义，u是单位向量，则分为标量和向量两部分求和，
cosθ泰勒展开式sinθ展开式
根据以上推导可知，纯四元数的指数函数是单位四元数；
3.5常规四元数指数函数：
定义，
3.6单位四元数的对数：
单位四元数的对数是纯四元数；
3.7常规四元数的对数：
3.8 的指数形式：
q是四元数，t是实数；若，
则，
因此,。
四元数
四元数百科名片四元数四元数是最简单的超复数。
复数是由实数加上元素i 组成，其中i^2 = -1 \,。
相似地，四元数都是由实数加上三个元素i、j、k 组成，而且它们有如下的关系：i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \, 每个四元数都是1、i、j 和k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bi + cj + dk \,。
目录性质特点例子群旋转矩阵表示历史用途争辩运算展开性质特点例子群旋转矩阵表示历史用途争辩运算展开编辑本段性质特点四元数（Quaternions）是由威廉·卢云·哈密尔顿(William Rowan Hamilton,1805-1865）在1843年爱尔兰发现的数学概念。
四元数的乘法不符合交换律（commutative law），故威廉·卢云·哈密顿它似乎破坏了科学知识中一个最基本的原则。
明确地说，四元数是复数的不可交换延伸。
如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表着一个四维空间，相对于复数为二维空间。
四元数是除环(除法环）的一个例子。
除了没有乘法的交换律外，除法环与域是相类的。
特别地，乘法的结合律仍旧存在、非零元素仍有唯一的逆元素。
四元数形成一个在实数上的四维结合代数（事实上是除法代数），并包括复数，但不与复数组成结合代数。
四元数（以及实数和复数）都只是有限维的实数结合除法代数。
四元数的不可交换性往往导致一些令人意外的结果，例如四元数的n-阶多项式能有多於n 个不同的根。
四元数就是形如ai+bj+ck+d 的数a、b、c、d是实数i^2=j^2=k^2=-1ij=k ji=-k jk=i kj=-i ki=j ik=-j（a^2+b^2+c^2+d^2）的平方根称为四元数的模.编辑本段例子假设：x = 3 + iy = 5i + j - 2k那么：x + y = 3 + 6i + j - 2kxy =( {3 + i} )( {5i + j - 2k} ) = 15i + 3j - 6k + 5i^2 + ij - 2ik= 15i + 3j - 6k - 5 + k + 2j = - 5 + 15i + 5j - 5k编辑本段群旋转象在四元数和空间转动条目中详细解释的那样，非零四元数的乘法群在R3的取实部为零的拷贝上以共轭作用可以实现转动。
四元数
1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 ,则集 H 内任意方阵可唯一表为 aIbE cJ dK ,即 , E 1 0 , J ;K c d a b 1 0 0 1 1 0 1 d c b a 0 1 1 0 1 1 0 2 2 2 H {aI bE cJ dK | a,b,c,dR} ,H 对矩阵减法封闭 ;且 E J K I , EJ K,JK E,KE J; JE K,KJ E,EK J ,矩阵乘法在 H 内封闭,故 H 对矩阵加,乘法构 1 来自
[d, b, c] [a, d, c] [a, b, d] 推论 [a, b, c] 0 d a b c a {b (c d)} (b d)(a c) (b c)(a d) [a, b, c] [a, b, c]
S() : 2a R
N( ) : a2 b2 c2 d2 R
证明: 0 0, oder, 0
0, und, 0 0 N( ) 0 0 ,即 0, und, 0 0 ,同理 0,und, 0 0 0 N( ) 0 证明:若 是方程 x 2 S( ) N( ) 0 的根,则 也是其根. 因为, 是方程 x 2 S( ) N( ) 0 的根 2 ( ) ( ) 0 2 ( ) ( ) 0 也是其根)
四矢外积: (a b) (c d) [a, b, d]c [a, b, c]d [c, d, a]b [c, d, b]a (V, V, V, V) V 三矢外积 三矢外积 (a b) (c d) ((a b) d)c ((a b) c)d [a, b, d]c [a, b, c]d; (a b) (c d) ((c d) a)b ((c d) b)a [c, d, a]b [c, d, b]a
quaternion四元数原理
quaternion四元数原理
四元数（quaternion）是一种在数学和物理领域中广泛应用的数学工具，它具有独特的性质和应用。
通过四元数，我们可以描述旋转、变换和相对运动等各种复杂的数学操作。
让我们一起来探索一下四元数的原理和它在现实世界中的应用。
让我们来了解一下四元数的定义。
四元数由实部（scalar）和三个虚部（vector）组成，可以写成以下形式：q = a + bi + cj + dk。
其中，a、b、c和d是实数，而i、j和k是虚数单位。
这种表示方法让四元数的运算更加灵活和高效。
四元数的运算规则包括加法、减法、乘法和除法。
通过这些运算，我们可以实现对物体的旋转、位置变换等操作。
例如，我们可以使用四元数来描述物体绕某个轴旋转的角度和方向。
这在计算机图形学和机器人学等领域中具有重要的应用。
四元数的优势在于它可以避免万向锁问题。
万向锁是在欧拉角表示中经常遇到的问题，当物体的旋转角度接近90度时，会导致旋转计算出现异常。
而四元数则可以避免这个问题，确保旋转计算的准确性和稳定性。
除了旋转和变换，四元数还广泛应用于姿态控制、航空航天、分子动力学模拟等领域。
它们还被用于人工智能和机器学习等领域，用于处理复杂的数据和模式识别任务。
总结一下，四元数是一种重要的数学工具，它具有独特的性质和应用。
通过四元数，我们可以实现旋转、变换和相对运动等复杂的数学操作。
它在计算机图形学、机器人学、航空航天等领域中发挥着重要作用。
掌握四元数的原理和应用，将有助于我们更好地理解和应用这一数学工具，推动科技的发展。
四元数表示位姿
四元数表示位姿四元数是一种用来表示三维空间中的旋转的数学工具。
在计算机图形学、机器人学和航空航天等领域中，四元数广泛应用于位姿估计和运动控制等问题。
四元数的定义是一个具有四个实数分量的向量，可以表示为q = w + xi + yj +zk，其中w、x、y、z分别为实数分量。
四元数的实部w通常被称为标量部分，而xi + yj + zk则被称为矢量部分。
四元数具有一些特殊的性质，使其在表示旋转时比欧拉角更加方便和高效。
四元数的加法和乘法运算定义如下：- 加法：q1 + q2 = (w1 + w2) + (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)k- 乘法：q1 * q2 = (w1w2 - x1x2 - y1y2 - z1z2) + (w1x2 + x1w2 + y1z2 - z1y2)i + (w1y2 - x1z2 + y1w2 + z1x2)j + (w1z2 + x1y2 - y1x2 + z1w2)k四元数的乘法运算满足结合律，但不满足交换律。
这意味着两个四元数的乘积的结果取决于它们的顺序。
在位姿表示中，四元数通常被用来表示物体或坐标系的旋转。
通过将四元数与一个表示坐标系的向量进行乘法运算，可以实现对向量的旋转变换。
这种旋转变换可以用来实现物体的姿态控制、相机的视角调整等应用。
四元数的优势在于其避免了欧拉角的万向锁问题。
欧拉角在表示旋转时存在奇异点，当旋转角度接近奇异点时，会导致失去一部分自由度，造成旋转计算的困难。
而四元数则不存在这个问题，可以有效地表示任意旋转。
四元数还具有插值和球面线性插值的性质，这使得它在动画和平滑过渡等领域中得到广泛应用。
通过在两个四元数之间进行插值，可以实现平滑的旋转过渡效果，使动画更加自然流畅。
在实际应用中，四元数的使用可以通过专门的库函数或工具包来实现。
这些库函数提供了四元数的基本运算、插值、转换为欧拉角等功能，大大简化了四元数的使用过程。
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二.四元数与姿态阵之间的关系
3.由于 || Q || q0 2 q12 q2 2 q3 2 =1，所以：
q0 2 q12 q2 2 q3 2 R Cb 2(q1q2 q0 q3 ) 2(q q q q ) 1 3 0 2
2(q1q2 q0 q3 ) q0 q1 q2 q3 2(q2 q3 q0 q1 )
构造四元数：
q0 cos
2
2 q2 m sin 2 q3 n sin 2
q1 l sin
Q q0 q1i0 q2 j0 q3 k0 cos cos
2
(li0 mj0 bk0 ) sin
2
2
u R sin
2
二.四元数与姿态阵之间的关系
记：
rx ' r 'R r ' y rz '
rx rR r y rz
l uR m n
二.四元数与姿态阵之间的关系
0 n m rx r (u r ) R n 0 l y 0 m l rz
q0 2 q12 q2 2 q3 2 CbR 2(q1q2 q0 q3 ) 2(q q q q ) 1 3 0 2 2(q1q2 q0 q3 ) q0 q1 q2 q3 2(q2 q3 q0 q1 )
2 2 2 2
2(q2 q3 q0 q1 ) 2 2 2 2 q0 q1 q2 q3 2(q1q3 q0 q2 )
二.四元数与姿态阵之间的关系
初始时刻A位置向OA=r,（该位 置向量的空间位置，实际上描述 了刚体的空间角位置）经过时间 t后位置向量处于OA'=r'。刚体从 A位置转到A'位置的转动可等效 成绕轴u(单位向量)转过θ角一次 完成。
OO ' (r u )u O ' A r OO' r (r u )u O' B u O' A u r (r u )u u u r O' A' O' A cos O' B sin r ' OO'O' A
r ' , r 的关系可化为：
0 n m U n 0 l 0 m l
r ' ( I 2U sin
R
2 2 2 2 D I 2U sin cos 2 sin U U 2 2 2 R R r ' Dr
cos
2 sin
一.四元数的基本概念
划去M(P)的第一行和第一列得Vp称为M(P)的核：
p0 VP p3 p2
同理， VQ 为M'(Q)的核
'
p3 p0 p1
p2 p1 p0
q0 ' VQ q 3 q2
q3 q0 q1
q2 q1 q0
结论： R Q cos u sin 1. 四元数 描述了刚体的定点转动（描述了机体坐标系 2 2 的定点转动），即当只关心b系相对R系角位置时，可认为b系是由R系 经过无中间过程的一次性旋转形成的，Q则包含了旋转的全部信息：u R 为旋转轴和旋转方向，θ为转过的角度。 与欧拉角比较：也描述了刚体的转动，非一次性旋转完成，中间过程不同 ，姿态矩阵不同。 2.四元数可确定b系至R系的坐标变换矩阵：
R b
2
cos
2
2 sin
2
2
2
U U
0 1 R Cb 1 2 cos n sin 2 2 1 m sin 2 2 2 2 ( m n ) sin 2 2 lm sin 2 2 l n sin 2 2 lm sin 2
T31 ) T33
o arct an( 12 )
T22 ->0 ->0 + + T12 + + + (度) 90 -90 o o o+180 o-180
T T22
二.四元数与姿态阵之间的关系
o + + T33 + + (度) o o o-180 o+180
二.四元数与姿态阵之间的关系
三.欧拉角与四元数比较
分析：万向节死锁是欧拉角表示物体姿态的一个很大缺陷。
1 2(q2 2 q3 2 ) 2(q1q2 q0 q3 ) 2(q1q3 q0 q\ 2 ) 2 2 CbR 2(q1q2 q0 q\3 ) 1 2(q1 q3 ) 2(q2 q3 q0 q\1 ) 2(q q q q ) 2(q q q q ) 1 2(q 2 q 2 ) 2 3 0 \1 1 2 1 3 0 \2
R b
二.四元数与姿态阵之间的关系
欧拉角表示的姿态矩阵求欧拉角：
cos cos sin sin sin b Cn sin cos sin cos cos sin sin
cos sin sin cos sin cos cos sin sin s cos cos sin
一.四元数的基本概念
1.四元数定义： 四元数是由四个元构成的数：
Q(q0 , q1 , q2 , q3 ) q0 q1i q2 j q3 k
i i 1, j j 1, k k 1 i j k, j k i ,k i i j i k , k j i , i k j
先绕物体坐标系x轴(Xl)旋转30度，此时的物体坐标系已经发生变化。
三.欧拉角与四元数比较
然后再绕Yl轴旋转90度，此时，你会发现Zl轴已经和参考坐标系X轴共轴。
三.欧拉角与四元数比较
根据坐标欧拉角坐标（30,90,-40），此时等同于（70,90,0）。。
一.四元数的基本概念
矩阵形式：
r0 p0 r p 1 1 r2 p2 r3 p3 r0 q0 r q 1 1 r2 q2 r3 q3
p1 p0 p3 p2 q1 q0 q3 q2
b.除法：求逆。
一.四元数的基本概念
c.乘法 注：满足分配律，结合律，不满足交换律
P Q ( p0 p1i p2 j p3 k ) (q0 q1i q2 j q3 k ) ( p0 q0 p1q1 p2 q2 p3 q3 ) ( p0 q1 p1q0 p2 q3 p3 q2 )i ( p0 q2 p2 q0 p3 p1 p1 p3 ) j ( p0 q3 p3 q0 p1q2 p2 q1 )k r0 r1i r2 j r3 k
arcsin(T32 )
T11 T12 CbR T21 T22 T31 T32 T13 T23 T33
T31 o arct an( ) T33 T12 o arct an( ) T22
三.欧拉角与四元数比较
1.欧拉角万向节死锁
三.欧拉角与四元数比较
二.四元数与姿态阵之间的关系
参考坐标系R,坐标轴 x0 , y0 , z0 坐标轴方向单位向量 i0 , j0 , k 0 。 坐标系b与刚体固联，坐标轴 x, y, z ，坐标轴方向单位向量 i, j , k 。 初始时刻b系与R系重合，刚体相对于R系做定点转动，定点为O。
如下图，A点转动到A'点。
d.指数式： Q e e.矩阵式：.
q0 q Q 1 q2 q3
一.四元数的基本概念
3.四元数的大小——范数
2 2 2 2 || Q || q0 q1 q2 q3 若||Q||=1,则为规范化四元数
4.四元数的运算 a.加法与减法：对应元相加减。
sin cos sin cos cos
b Cbn Cn
T
T11 T12 T13 T T T 21 22 23 T31 T32 T33
二.四元数与姿态阵之间的关系
arcsin(T32 ) o arct an(
2 2 2 2
2(q2 q3 q0 q1 ) 2 2 2 2 q0 q1 q2 q3 2(q1q3 q0 q2 )
4.如果将向量 r R , r b 看做零标量的四元数，则有以下关系，其中Q为R系 至b系的旋转四元数：
r R Q rb Q *
0 r Q r Q* M (Q) M ' (Q*) b CbR r b r
二.四元数与姿态阵之间的关系
根据上面的式子，能找到 r ' , r 的关系如下：
r ' r u r sin (1 cos )u (u r )
刚体的旋转还有各个向量都是相对于R系：
r ' R r R (u r ) R sin (1 cos )[u (u r )]R
b.复数式： Q q0 q1i q2 j q3 k 可视为一个超复数， * 其共轭复数: Q q0 q1i q2 j q3 k Q*称为其共轭四元数。
c.三角式：
Q cos u sin 2 2
u 2