欧拉角与四元数
四元素与欧拉角
1.欧拉角在四元数出现之前先看下欧拉角：对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。
为了后面的角度不混乱，我们要先区分参考系和坐标系的概念。
参考系即为大地参考系，是静止不动的。
而坐标系则固定于四轴飞行器，随着四轴飞行器的旋转而旋转。
按照右图所示。
设定xyz-轴为四轴上的参考轴，XYZ-轴则是大地的参考轴。
右图即为四轴相对地面进行了一定旋转，xy-平面与XY-平面的相交线为交点线，用英文字母（N）代表。
我们可以这样定义欧拉角：α是x-轴与交点线的夹角β是z-轴与Z-轴的夹角γ是交点线与X-轴的夹角这样我们就可以用三个欧拉角：(α，β，γ)其取值为0-360来描述四轴飞行器相对于大地的参考系的姿态角度了。
三个欧拉角：(α，β，γ)。
蓝色的轴是xyz-轴，红色的轴是XYZ-坐标轴。
绿色的线是交点线(N) 。
2.轴角欧拉角使用roll，pitch，yaw来表示这些分量的旋转值。
需要注意的是，这里的旋转是针对大地参考系说的，这意味着第一次的旋转不会影响第二、三次的转轴，简单的说，三角度系统无法表现任意轴的旋转，只要一开始旋转，物体本身就失去了任意轴的自主性，这也就导致了万向节锁（Gimbal Lock）的问题。
什么是Gimbal Lock？正如前面所说，因为欧拉描述中针对x,y,z的旋转描述是世界坐标系下的值，所以当任意一轴旋转90°的时候会导致该轴同其他轴重合，此时旋转被重合的轴可能没有任何效果，这就是Gimbal Lock，还有一种是轴角的描述方法，这种方法比欧拉描述要好，它避免了Gimbal Lock，它使用一个3维向量表示转轴和一个角度分量表示绕此转轴的旋转角度，即(x,y,z,angle)，一般表示为(x,y,z,w)或者(v,w)。
(x,y,z)为旋转轴，w为旋转角度。
但这种描述法却不适合插值。
轴角的表示方法：那么轴、角的描述方法又有什么问题呢？虽然轴、角的描述解决了Gimbal Lock，但这样的描述方法会导致差值不平滑，差值结果可能跳跃，欧拉角描述同样有这样的问题。
四元数和欧拉角的关系
四元数和欧拉角的关系四元数和欧拉角的关系一、四元数四元数是一种数学结构，用来表达旋转运动。
一个四元数通常由一个实部和三个虚部构成，可以表示为：q=a+bi+cj+dk其中，a是实部，b、c、d是虚部，i、j、k是虚数单位。
二、欧拉角欧拉角是一种常用的旋转表达方法，常用于描述物体的朝向和旋转。
欧拉角可以分为三个分量，分别是绕x轴的旋转角度、绕y轴的旋转角度和绕z轴的旋转角度。
三、四元数和欧拉角的转换关系四元数和欧拉角之间存在一种转换关系，可以互相转换。
下面分别介绍四元数转欧拉角和欧拉角转四元数的计算方法。
1. 四元数转欧拉角四元数转欧拉角的计算方法如下：首先，计算旋转矩阵R，通过四元数的实部和虚部计算得到：R =(1−2c 2−2d 22bc −2ad 2bd +2ac 2bc +2ad 1−2b 2−2d 22cd −2ab 2bd −2ac 2cd +2ab 1−2b 2−2c 2)然后，通过旋转矩阵R 求解得到对应的欧拉角，具体计算方法略。
2. 欧拉角转四元数欧拉角转四元数的计算方法如下：首先，通过欧拉角计算旋转矩阵R ，具体计算方法略。
然后，根据旋转矩阵R 计算得到对应的四元数，具体计算方法略。
四、总结四元数和欧拉角是描述旋转运动的两种常用方法，它们之间存在一种转换关系。
通过四元数可以计算得到对应的欧拉角，通过欧拉角也可以计算得到对应的四元数。
在具体应用中，我们可以根据需要选择合适的表达方法来描述旋转运动。
1. 四元数转欧拉角四元数转欧拉角的计算方法如下：首先，计算旋转矩阵R ，通过四元数的实部和虚部计算得到：R =(1−2c 2−2d 22bc −2ad 2bd +2ac 2bc +2ad 1−2b 2−2d 22cd −2ab 2bd −2ac 2cd +2ab 1−2b 2−2c 2)然后，通过旋转矩阵R 求解得到对应的欧拉角。
一个常用的方法是使用反正切函数和反正弦函数来计算角度，具体计算方法如下：• 绕x 轴的旋转角度（俯仰角）：θx =atan2(2(bc +ad ),1−2(b 2+c 2))• 绕y 轴的旋转角度（偏航角）：θy =asin(2(bd −ac )) • 绕z 轴的旋转角度（翻滚角）：θz =atan2(2(cd +ab ),1−2(c 2+d 2))2. 欧拉角转四元数欧拉角转四元数的计算方法如下：首先，通过欧拉角计算旋转矩阵R 。
四元数与欧拉角（RPY角）的相互转换
四元数与欧拉⾓（RPY⾓）的相互转换RPY⾓与Z-Y-X欧拉⾓ 描述坐标系{B}相对于参考坐标系{A}的姿态有两种⽅式。
第⼀种是绕固定（参考）坐标轴旋转：假设开始两个坐标系重合，先将{B}绕{A}的X轴旋转γ，然后绕{A}的Y轴旋转β，最后绕{A}的Z轴旋转α，就能旋转到当前姿态。
可以称其为X-Y-Z fixed angles或RPY⾓(Roll, Pitch, Yaw)。
Roll:横滚 Pitch: 俯仰Yaw: 偏航（航向） 由于是绕固定坐标系旋转，则旋转矩阵为（cα is shorthand for cosα, sα is shorthand for sinα,and so on.）R XYZ(γ,β,α)=R Z(α)R Y(β)R X(γ)=cαcβcαsβsγ−sαcγcαsβcγ+sαsγsαcβsαsβsγ+cαcγsαsβcγ−cαsγ−sβcβsγcβcγ 另⼀种姿态描述⽅式是绕⾃⾝坐标轴旋转：假设开始两个坐标系重合，先将{B}绕⾃⾝的Z轴旋转α，然后绕Y轴旋转β，最后绕X轴旋转γ，就能旋转到当前姿态。
称其为Z-Y-X欧拉⾓，由于是绕⾃⾝坐标轴进⾏旋转，则旋转矩阵为：R Z′Y′X′(α,β,γ)=R Z(α)R Y(β)R X(γ)=cαcβcαsβsγ−sαcγcαsβcγ+sαsγsαcβsαsβsγ+cαcγsαsβcγ−cαsγ−sβcβsγcβcγ 可以发现这两种描述⽅式得到的旋转矩阵是⼀样的，即绕固定坐标轴X-Y-Z旋转(γ,β,α)和绕⾃⾝坐标轴Z-Y-X旋转(α,β,γ)的最终结果⼀样，只是描述的⽅法有差别⽽已。
In gerenal: three rotations taken about fixed axes yield the same final orientation as the same three rotations taken in opposite order about the axes of the moving frame.Axis-Angle与四元数 绕坐标轴的多次旋转可以等效为绕某⼀转轴旋转⼀定的⾓度。
四元数和欧拉角
四元数和欧拉角
四元数与欧拉角：
1、四元数
四元数是一种数学物体，它由ONE个实部和THREE个虚部组成。
实部是非负实数，其余的THREE个部分是虚数。
四元数的表达式可以表示为：Q=a+bi+cj+dk (a、b、c、d是实实部）。
它们有助于以三维空间中的方式表示方向和旋转。
离散空间中表示四元数，当旋转发生时，它们保持一致。
2、欧拉角：
欧拉角是一种三维旋转矢量，可以用来表示不同方向之间的关系。
它将旋转分成THREE个不同的轴，分别为X轴、Y轴和Z轴。
每个轴都有自己的旋转角度，比如X轴有X角度，Y轴有Y角度，Z轴有Z角度。
欧拉角的表达式可以写作：[X,Y,Z]，其中X、Y、Z分别表示每个轴的旋转角度。
欧拉角与四元数之间的差别在于欧拉角表示的是不同方向间的关系，而四元数表示的是不同方向的空间旋转。
可以说四元数和欧拉角均是用来表示旋转有关信息的，但是又是有所差别的。
下面我们来总结下它们两者之间的区别：
1）表示方式不同：欧拉角表示的是不同方向间的关系，而四元数是表
示不同方向的空间旋转；
2）用途不同：欧拉角被广泛应用于3D图形学处理领域，可以很方便
地实现3D模型的几何变换；而四元数方便地表示空间任意的旋转变换，是用来表达机器人的运动控制中的基本角度表示方式；
3）值域不同：欧拉角的值域为[0,2π)，而四元数的值域为[-1,1]；
4）叠加角度表示方法不同：四元数是可以用乘法表达累加旋转；而欧
拉角只能使用加法来表达叠加旋转。
三维旋转：旋转矩阵，欧拉角，四元数
三维旋转：旋转矩阵，欧拉⾓，四元数原⽂见我的，欢迎⼤家过去评论。
如何描述三维空间中刚体的旋转，是个有趣的问题。
具体地说，就是刚体上的任意⼀个点P(x, y, z)围绕过原点的轴(i, j, k)旋转θ，求旋转后的点P\'(x\', y\', z\')。
旋转矩阵旋转矩阵乘以点P的齐次坐标，得到旋转后的点P'，因此旋转矩阵可以描述旋转，$$\begin{bmatrix}x'\\ y'\\ z'\\ 1\end{bmatrix}=R\cdot \begin{bmatrix}x\\ y\\ z\\ 1\end{bmatrix}$$绕x，y，或z轴旋转θ的矩阵为：$$R_{x}(\theta)=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$$$$R_{y}(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta & 0 & -\sin\theta\\ 0 & 1 & 0\\ \sin\theta & 0 & \cos\theta\end{bmatrix}$$$$R_{z}(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$所以，绕任意轴旋转的矩阵为$$R_{x}(-p)\cdot R_{y}(-q)\cdot R_{z}(\theta)\cdot R_{y}(q)\cdot R_{x}(p)$$这表⽰：1. 绕x轴旋转⾓度p使指定的旋转轴在xz平⾯上2. 绕y轴旋转⾓度q使指定的旋转轴与z轴重合3. 绕z轴旋转⾓度θ4. 绕y轴旋转⾓度-q5. 绕x轴旋转⾓度-p其中，p和q的值需要⽤i,j,k计算出来。
四元数与欧拉角 ppt课件
C 方向余弦矩阵
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3.4 四元数转动变换的两种形式
如果一个矢量 V 固定，坐标系旋转按照四元数 q 进行了旋转， 得到了一个新坐标系，则该矢量分别在新旧坐标系中投影表达 式间的关系借助映像方式可以表示为：
Ve'q1Veq
如果一个坐标系固定, 一个矢量 VE 按照四元数 q 相对该坐标系 进行了转动，得到一个新的矢量 VE’，则新旧矢量之间的关系 为：
>> a=[1 2 2 3]'; >> b=[2 4 2 3]';
>> q=qmul(a,b)
q=
-0.7796 0.3282 0.4924 0.2052
>>
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2.3*四元数乘法表示符号
q M ( P 1 i P 2 j P 3 k ) ( v 1 i 2 j 3 k )
(v P 11 P 22 P 33 )
( 1 P 1 v P 23 P 32 ) i
P1
P1
P2 P3
P3 v
P2
1
( 2 P 2 v P 31 P 13 )j
PP32
P3 P2
P1
P132
( 3 P 3 v P 12 P 21 )k v 1 2 3
应用四元数乘法, 得到
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3.3 四元数和方向余弦
Ve'x'iy'jz'k
( P 1 iP 2jP 3 k) (0 x iy jz)k ( P 1 i P 2j P 3 k )
x ' ( 2 P 1 2 P 2 2 P 3 2 ) x 2 ( P 1 P 2 P 3 ) y 2 ( P 1 P 3 P 2 ) z
浅析欧拉角与四元数
欧拉角表示旋转矩阵
旋转顺序下的旋转矩阵
Machine Perception and Interaction Group (MPIG)
欧拉角表示旋转矩阵
旋转顺序下的旋转矩阵
Machine Perception and Interaction Group (MPIG)
欧拉角的基本概念
(3) Yaw 偏航角 ψ
Machine Perception and Interaction Group (MPIG)
三个欧拉角的独立性
z ( z )
O
( z, z ' ) y y
y'
乘法
Machine Perception and Interaction Group (MPIG)
四元数的基本性质
乘法
由于最后一项外积的存在，该乘法通常是不可交换的，除非共线
Machine Perception and Interaction Group (MPIG)
Machine Perception and Interaction Group (MPIG)
四元数
四元数
quaternion
Machine Perception and Interaction Group (MPIG)
四元数
其中i，j，k为四元数的三个虚部，这三个虚部满足关系式：
x
x ( x' )
总结
确定欧拉角 , , 在任意时刻的大小，也就确定了刚体在任意时 刻的位形
不唯一
奇异点
Machine Perception and Interaction Group (MPIG)
欧拉角转四元数 转旋转矩阵
欧拉角转四元数转旋转矩阵欧拉角、四元数和旋转矩阵是常用的表示旋转的方法。
在计算机图形学、机器人学等领域广泛应用。
本文将介绍如何将欧拉角转换为四元数，以及如何将四元数转换为旋转矩阵。
欧拉角是表示旋转的一种方式，它包括三个角度值：俯仰角、偏航角和滚转角。
欧拉角的表示方法有很多种，如 XYZ、ZYZ 等。
这里我们以 XYZ 欧拉角为例。
XYZ 欧拉角表示先绕 x 轴旋转一定角度，再绕 y 轴旋转一定角度，最后绕 z 轴旋转一定角度。
欧拉角的旋转顺序是很重要的，不同的旋转顺序会得到不同的旋转结果。
四元数是一种表示旋转的数学工具，它包含一个实部和三个虚部，可以用一个四维向量表示。
四元数的运算比矩阵运算更快，也更容易组合多个旋转。
四元数旋转的基本原理是将旋转轴和旋转角度转换为一个四元数，然后将这个四元数与待旋转向量相乘得到旋转后的向量。
旋转矩阵是一个 3x3 的矩阵，它可以用来将一个向量绕某个轴旋转一定角度。
旋转矩阵的每一列表示旋转后的 x、y、z 轴方向的向量。
旋转矩阵的乘法是不可交换的，即不同的旋转顺序会得到不同的旋转结果。
下面将介绍如何将欧拉角转换为四元数，以及如何将四元数转换为旋转矩阵。
1. 欧拉角转四元数将 XYZ 欧拉角转换为四元数的公式如下：q = cos(roll/2) * cos(pitch/2) * cos(yaw/2) + sin(roll/2)* sin(pitch/2) * sin(yaw/2) * i- sin(roll/2) * cos(pitch/2) * sin(yaw/2) * j + cos(roll/2) * sin(pitch/2) * sin(yaw/2) * k其中，roll、pitch、yaw 分别表示滚转角、俯仰角和偏航角。
i、j、k 分别表示四元数的虚部，它们满足 i^2=j^2=k^2=ijk=-1。
2. 四元数转旋转矩阵将四元数转换为旋转矩阵的公式如下：R = [1-2*(qj^2+qk^2), 2*(qi*qj-qk*qr), 2*(qi*qk+qj*qr)] [2*(qi*qj+qk*qr), 1-2*(qi^2+qk^2), 2*(qj*qk-qi*qr)][2*(qi*qk-qj*qr), 2*(qj*qk+qi*qr), 1-2*(qi^2+qj^2)] 其中，q 是一个四元数，qi、qj、qk、qr 分别表示四元数的虚部和实部。
四元数与欧拉角
四元数的定义 四元数的运算 利用四元数进行旋转变换 利用四元数进行旋转合成
1
1.1*四元数(quaternions)定义
一个有固定点的刚体通过绕该点的某个轴转 过特定角度可达到任何姿态
转轴的方向可以表示成一个单位矢量:
n cos i cos j cos k
n
则描述该转动的四元数可以表示成:
x' (2 P12 P22 P32 )x 2(P1P2 P3 ) y 2(P1P3 P2 )z
y' 2(P1P2 P3 )x (2 P22 P12 P32 ) y 2(P2P3 P1)z z' 2(P1P3 P2 )x 2(P2P3 P1) y (2 P32 P12 P22 )z
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4.2*四元数合成: 映像的方式
每次转动的瞬时转轴都以映像方式给出.
对第一次转动, 瞬时转轴 n1 的映像 方式和非映像方式相同：
n1 ne1 k
因此
q1
cos
2
sin
2
k
23
4.2 四元数合成: 映像的方式
第二次转动绕着 OX’ 转过了θ
转轴
n2
沿着
OX’
n2 i'
n2
在坐标系
x' y'
2
P12 P22 P32
2(P1P2 P3 )
z' 2(P1P3 P2 )
2(P1P2 P3 ) 2 P22 P12 P32
2(P2P3 P1)
2(P1P3 P2 ) 2(P2P3 P1)
x
y
2 P32 P12 P22 z
C 方向余弦矩阵
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3.4 四元数转动变换的两种形式
欧拉角与四元数
四元数与旋转一．四元组基础Q(x,y,z,w)，其中x，y，z用来确定旋转轴，w为旋转的角度Q=w+xi+yj+zk，i，j，k为三个虚轴的单位分量I*j=kJ*k=i;K*i=j;叉乘：c=a × b=| i j k||a1 b1 c1||a2 b2 c2|=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)c也为一个向量，且c的长度为|a||b|sin(theta)，垂直于a和b所在的平面，方向由右手法则来判定，用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c 的方向1．四元组相乘：Q1=w1+x1i+y1j+z1k=(w1,v1)Q2=w2+x2i+y2j+z2k=(w2,v2)Q1*Q2=(w1*w2-<v1,v2>,w1*v2+w2*v1+v1xv2)( w1+x1i+y1j+z1k)*( w2+x2i+y2j+z2k)=w1*w2-x1*x2-y1*y2-z1*z2+(W1*x2+x1*w2+y1*z2-z1-y2)i+(y1*w2+w1*y2+z1*x2-x1*z2)j+(w1*z2+z1*w2+x1*y2-y1*x2)k对于其中的轴部分，假如v1//v2，则有v1 x v2=0（平行向量的叉乘结果为0）2．四元组的点乘，点乘积为数值：Q1.*Q2=w1*w2+<v1,v2>=w1*w2+x1*x2+y1*y2+z1*z2;3．数乘s为一实数，q为四元组，则有sq=qs4．共轭p=(w,v)，则p*=(w,-v)(pq)*=q*p*N(q)=w2+x2+y2+z2q-1=q*/N(q)---------------显然可得qq-1=(1,0)二．使用四元数旋转向量假如有一表示向量的四元组q=(w,v)，对其应用旋转量p后的结果为：q’=pqp-1=(w,v’)从上可以看出，计算的结果q’的实部和q的实部是相等的，并且有N(v)=N(v’)如果N(q)=1，则可以令q=(cosa,usina)，u也为一个单位向量，则q’是q绕u旋转2a个弧度的结果假如S(q)表示q的实部，则有2S(q)=q+q*2S(pqp-1)= pqp-1+( pqp-1)*=pqp*+(pqp*)*=pqp*+pq*p*=p(q+q*)p*=2S(q)（这里由于p是单位四元数，所以有p-1等于p*）欧拉角到四元数的转换定义pitch, yaw, roll分别为绕X轴、Y轴、Z轴的旋转弧度float p = pitch * PIOVER180 / 2.0;float y = yaw * PIOVER180 / 2.0;float r = roll * PIOVER180 / 2.0;float sinp = sin(p);float siny = sin(y);float sinr = sin(r);float cosp = cos(p);float cosy = cos(y);float cosr = cos(r);this->x = sinr * cosp * cosy - cosr * sinp * siny;this->y = cosr * sinp * cosy + sinr * cosp * siny;this->z = cosr * cosp * siny - sinr * sinp * cosy;this->w = cosr * cosp * cosy + sinr * sinp * siny;normalise();三．使用matlab进行相关计算计算两个向量v1和v2之间的旋转量四元数p，使得v1应用p后到达v2假如v1转到v2的旋转轴为v，旋转角为theta，则q=[v*cos(theta/2)sin(theta/2)]Matlab代码：function q=vector2q(v1,v2)%..normalize....len1=sqrt(v1*v1');len2=sqrt(v2*v2');v1=v1/len1;v2=v2/len2;angle=v1*v2';axis=cross(v1,v2);alen=sqrt(axis*axis');axis=axis/alen;t=acos(angle);t=t/2;q(1)=axis(1)*sin(t);q(2)=axis(2)*sin(t);q(3)=axis(3)*sin(t);q(4)=cos(t);end计算出了q之后，可以获得对应的旋转矩阵，旋转矩阵的计算Matlab里面的矩阵是以列为主顺序的function r=q2rot(q)w=q(4);x=q(1);y=q(2);z=q(3);r=zeros(3,3);r(1,1)=1-2*y*y-2*z*z;r(1,2)=2*x*y+2*w*z;r(1,3)=2*x*z-2*w*y;r(2,1)=2*x*y-2*w*z;r(2,2)=1-2*x*x-2*z*z;r(2,3)=2*z*y+2*w*x;r(3,1)=2*x*z+2*w*y;r(3,2)=2*y*z-2*w*x;r(3,3)=1-2*x*x-2*y*y;r=r';end同时，也可以根据四元数来计算欧拉角function R=q2euler(q)w=q(4);x=q(1);y=q(2);z=q(3);t11=2*(w*x+y*z);t12=1-2*(x*x+y*y);R(1)=atan2(t11,t12);t2=2*(w*y-z*x);R(2)=asin(t2);t31=2*(w*z+x*y);t32=1-2*(y*y+z*z);R(3)=atan2(t31,t32);end计算出来的欧拉角rx，ry，rz，分别为绕X轴、Y轴和Z轴的旋转角，假如有：Rotq=q2rot(q)R=q2euler(q)[rotx roty rotz]=Rotation(R)可以发现Rotq==rotz*roty*rotx从这里可以看出，上面使用四元数这样计算出来的旋转矩阵的旋转顺序分别是X轴、Y轴和Z轴的ra=pi/4;qz=[0 0 -sin(ra) cos(ra)] %绕z旋转-90度qy=[0 sin(ra) 0 cos(ra) ] %绕y旋转90度qyz=qmult(qy,qz)r=q2euler(qyz)上面的r得出的结果为r = -1.5708 0.0000 -1.5708也就是说其几何意义变成先绕X轴旋转-90度，再绕Z轴旋转-90度，而根据qy和qz的相乘我们实际进行的操作却是先绕Z轴旋转-90度，再绕Y轴旋转90度，但是结果却是这两种操作等价，这说明由四元数到欧拉角可以有多个解两个四元数，假如它们的方向是相反的，用它们作用于向量得到的新向量的值仍然相等q1=[0.024666 -0.023954 0.504727 0.862594];arm=[-8.881719 6.037597 -2.36776];q2=-q1;rot1=q2rot(q1);rot2=q2rot(q2);v1=rot1*arm'v2=rot2*arm'上面计算出来的v1等于v2四元数的余弦值为它们的内积假如余弦值小于0，则需要将其中的一个取反，因为上面我们知道一个四元数和它的反方向的四元数对一个向量起相同的作用四元数的相乘，代表旋转的累积pq=p*q;rotp=q2rot(p);rotq=q2rot(q);rotpq=q2rot(pq);rotmul=rotp*rotq;这里rotpq与rotmul相等四． OGRE中Quaternion类的几个函数1.四元数到旋转向量void Quaternion::ToRotationMatrix (Matrix3& kRot) const1 - 2*qy2 -2*qz22*qx*qy -2*qz*qw2*qx*qz +2*qy*qw2*qx*qy + 2*qz*qw 1 - 2*qx2 -2*qz22*qy*qz -2*qx*qw2*qx*qz -2*qy*qw 2*qy*qz +2*qx*qw1 - 2*qx2 -2*qy22.旋转量到四元数根据1中的表格，有：4 *(1-qx2-qy2-qz2) = 1 + m00 + m11 + m22又qw2=1-qx2-qy2-qz2，可得4 *qw2= 1 + m00 + m11 + m22这里解qw必须保证1 + m00 + m11 + m22>=0，如果不是的话，就构造其他的等式来计算，OGRE中分成两种情况，一种是m00 + m11 + m22>=0，就可以直接先解出qw，否则的采用另外的等式计算3．Local axisVector3 xAixs(void) const;取得旋转矩阵的第一列，旋转矩阵和一个向量相乘的话，第一列的数据均和向量的x分量相乘Vecotr3 yAxis(void) const;取得旋转矩阵的第二列，旋转矩阵和一个向量相乘的话，第二列的数据均和向量的y分量相乘Vecotr3 zAxis(void) const;取得旋转矩阵的第三列，旋转矩阵和一个向量相乘的话，第三列的数据均和向量的z分量相乘。
基于四元数的姿态解算器或欧拉角解算器算法
基于四元数的姿态解算器或欧拉角解算器算法四元数姿态解算器和欧拉角姿态解算器都是用于表示三维空间中的旋转。
四元数是一种扩展了复数的数学概念，可以表示三维空间中的旋转，而欧拉角是一种用三个角度表示旋转的方法。
这两种方法都可以用于计算物体在三维空间中的姿态。
1. 四元数姿态解算器算法：
四元数由一个实部和一个虚部组成，可以表示为q = w + xi + yj + zk，其中w、x、y、z是实数，i、j、k是虚数单位。
四元数的运算包括加法、减法、乘法和共轭等。
四元数姿态解算器的算法步骤如下：
a) 初始化四元数q = [1, 0, 0, 0]，表示初始时刻物体的姿态。
b) 读取陀螺仪的角速度数据，将其转换为四元数形式。
c) 使用四元数乘法更新物体的姿态。
d) 将更新后的四元数转换为欧拉角，以便进行其他计算或显示。
2. 欧拉角姿态解算器算法：
欧拉角是用三个角度表示旋转的方法，通常包括绕x轴的滚动角（roll）、绕y轴的俯仰角（pitch）和绕z轴的偏航角（yaw）。
欧拉角的运算包括加法、减法和乘法等。
欧拉角姿态解算器的算法步骤如下：
a) 初始化欧拉角θ = [0, 0, 0]，表示初始时刻物体的姿态。
b) 读取陀螺仪的角速度数据，将其转换为欧拉角形式。
c) 使用欧拉角乘法更新物体的姿态。
d) 将更新后的欧拉角用于其他计算或显示。
需要注意的是，欧拉角在某些情况下可能会出现万向节死锁（gimbal lock）现象，这时需要使用四元数来表示旋转。
而在实际应用中，通常会将四元数和欧拉角结合起来使用，以便在不同场景下进行灵活切换。
欧拉角和四元数
欧拉角和四元数
欧拉角和四元数是用于描述物体旋转的两种常见方式。
下面将介绍它
们各自的定义、优缺点以及在不同应用领域中的应用。
欧拉角：
1. 定义
欧拉角是用三个角度表示一个物体在三维空间中的旋转状态。
包括绕x 轴旋转的角度（俯仰角）、绕y轴旋转的角度（偏航角）和绕z轴旋转的角度（翻滚角）。
这三个角度的定义顺序和参考系的选择有关。
2. 优缺点
优点：欧拉角可以直观地描述物体的旋转状态，并且易于理解和计算。
缺点：欧拉角存在万向锁（Gimbal Lock）问题，即在某些情况下，两
个欧拉角的变化会产生相同的旋转效果，从而导致无法精确控制。
3. 应用
欧拉角在游戏、机器人、电影等领域中广泛应用，例如游戏中玩家角
色的旋转、机器人的运动控制以及电影中的特效制作。
四元数：
1. 定义
四元数是一种超复数，可以表示物体在三维空间中的旋转状态。
四元数包括一个实部和三个虚部，分别对应于物体旋转的三个自由度。
2. 优缺点
优点：四元数可以避免欧拉角的万向锁问题，并且用于物体旋转的计算速度更快。
缺点：四元数较难理解和计算，需要进行复杂的数学运算。
3. 应用
四元数在航天、虚拟现实、动画制作等领域中广泛应用，例如火箭的导航控制、虚拟现实中物体的旋转和动画中角色的动作等。
总结：
欧拉角和四元数都是用于描述物体旋转状态的方式，各自具有优缺点并应用于不同的领域中。
选择哪种方式主要取决于具体应用的需求和难度。
旋转矩阵 四元数 欧拉角
旋转矩阵四元数欧拉角旋转矩阵是在三维空间中表示旋转的一种方法，它通过一个三阶正交矩阵来描述。
这个矩阵可以用来表示一个点或向量绕某个轴旋转一定的角度。
在3D图形学、计算机视觉和机器人领域中，旋转矩阵被广泛应用。
旋转矩阵的大小为3×3，可以表示绕x轴、y轴、z轴旋转的三个角度。
例如，绕z轴旋转θ角度的旋转矩阵为：cosθ -sinθ 0sinθ cosθ 00 0 1四元数是另一种描述旋转的方法，它是一个具有四个实数的向量，通常被写作q = a + bi + cj + dk，其中a、b、c、d是实数。
四元数具有叠加和乘法运算，并且可以表示旋转和转动等复杂的运动。
四元数与旋转矩阵之间有一个简单的关系。
任何一个旋转矩阵都可以用一个四元数来表示，并且一个四元数也可以转换成一个旋转矩阵。
这个转换过程中，四元数和旋转矩阵的元素之间有一个固定的关系。
欧拉角是一种描述物体在三维空间中的方向的方法。
欧拉角通常由三个角度（yaw、pitch、roll）组成，用于描述物体相对于旋转参考系的旋转。
这些角度通常是绕物体的三个轴，通常是z、y、x，在类飞行器航空学中也称为偏转、俯仰和滚转。
欧拉角是最常见的描述物体方向的方法之一，但也存在一些问题。
一个主要的问题是欧拉角的旋转顺序，相同的三个角度可能会导致不同的旋转结果。
这个问题称为欧拉角万向锁问题。
总之，旋转矩阵、四元数和欧拉角都是用于描述物体在三维空间中的方向和位置的方法。
它们各有优缺点，并且在不同的领域和应用中具有不同的优势。
了解这些方法的特点和用途，有助于我们在设计和实现3D图形、机器人和计算机视觉应用时做出更合适的决策。
四元数与欧拉角
1
Outline
四元数的定义 四元数的运算 利用四元数进行旋转变换
利用四元数进行旋转合成
2
1.1*四元数(quaternions)定义
一个有固定点的刚体通过绕该点的某个轴转 过特定角度可达到任何姿态
n
转轴的方向可以表示成一个单位矢量:
n cos i cos j cos k
第二次旋转: 绕 X’ 转过角度θ, 旋转轴 n 表示为:
n2 i' cos i sin j
对应的四元数:
q2 cos
cos
2
sin
sin
2
n2
(cos i sin j )
2
2
22
4.1 四元数合成: 映像的方式
q1 cos
或简写成：
q M v, P
6
2.2 虚数单位的乘法规则
qP 1i P 2 jP 3k
i, j, k 在乘法运算中的规则:
i i j j k k 1 i j k j i j k i k j k i j i k
则描述该转动的四元数可以表示成: q cos sin n 2 2 cos sin cos i sin cos j sin cos k 2 2 2 2 四元数既反映了转动的方向又反映了转动的幅值.
3
1.2 四元数的组成
四元数的表示：
q cos 2 sin cos i sin
λ ----- 标量部分
2 P1
四元数和欧拉角转换
四元数和欧拉角转换四元数和欧拉角都是表示旋转的方式。
四元数是由一个实数和三个虚数组成的数学结构，通常用$q = w + xi + yj + zk$表示。
其中，$w$是实部，$x, y, z$为三个虚部。
欧拉角则是旋转角度按照特定的顺序产生的序列$(α, β, γ)$。
四元数和欧拉角可以相互转换。
将欧拉角$(α, β, γ)$转换成四元数$q = q_w + q_x i + q_y j + q_z k$需要使用以下公式：$q_w =\cos(\frac{α}{2})\cos(\frac{β}{2})\cos(\frac{γ}{2}) +\sin(\frac{α}{2})\sin(\frac{β}{2})\sin(\frac{γ}{2})$ $q_x =\sin(\frac{α}{2})\cos(\frac{β}{2})\cos(\frac{γ}{2}) -\cos(\frac{α}{2})\sin(\frac{β}{2})\sin(\frac{γ}{2})$ $q_y =\cos(\frac{α}{2})\sin(\fra c{β}{2})\cos(\frac{γ}{2}) +\sin(\frac{α}{2})\cos(\frac{β}{2})\sin(\frac{γ}{2})$ $q_z =\cos(\frac{α}{2})\cos(\frac{β}{2})\sin(\frac{γ}{2}) -\sin(\frac{α}{2})\sin(\frac{β}{2})\cos(\frac{γ}{2})$将四元数$q$转换成欧拉角$(α, β, γ)$需要使用以下公式：$α = \tan^{-1}\frac{2(q_wq_x+q_yq_z)}{1-2(q_x^2+q_y^2)}$$β = \sin^{-1}(2(q_wq_y-q_zq_x))$$γ = \tan^{-1}\frac{2(q_wq_z+q_xq_y)}{1-2(q_y^2+q_z^2)}$需要注意的是，在将四元数转换为欧拉角时，存在万向锁问题（gimbal lock）。
threejs 欧拉角和四元数 转换
threejs 欧拉角和四元数转换【知识】三维图形编程中的欧拉角与四元数转换1. 引言在三维图形编程中，欧拉角和四元数是两种常见的旋转表示方法。
它们可以在计算机图形学、游戏开发等领域中用于描述物体的旋转。
本文将介绍欧拉角和四元数的概念和转换方法，以及它们在Three.js中的应用。
2. 欧拉角的定义和转换欧拉角是一种常用的旋转表示方法，它由三个角度组成，分别表示物体绕x、y、z轴旋转的角度。
在Three.js中，欧拉角可以通过Euler 类进行表示和转换。
2.1 欧拉角的定义在Three.js中，欧拉角可以使用以下方式定义：```var euler = new THREE.Euler(x, y, z, order);```其中，x、y、z是绕x、y、z轴旋转的角度，order是旋转的顺序。
常见的旋转顺序有"XYZ"、"YXZ"、"ZXY"等。
2.2 欧拉角的转换在Three.js中，欧拉角可以和旋转矩阵、四元数进行相互转换。
下面是欧拉角和旋转矩阵、四元数的转换方法：- 欧拉角转换为旋转矩阵：```var euler = new THREE.Euler(x, y, z, order);var matrix = newTHREE.Matrix4().makeRotationFromEuler(euler);```- 旋转矩阵转换为欧拉角：```var matrix = new THREE.Matrix4();var euler = new THREE.Euler().setFromRotationMatrix(matrix, order);```- 欧拉角转换为四元数：```var euler = new THREE.Euler(x, y, z, order);var quaternion = new THREE.Quaternion().setFromEuler(euler); ```- 四元数转换为欧拉角：```var quaternion = new THREE.Quaternion();var euler = new THREE.Euler().setFromQuaternion(quaternion, order);```3. 四元数的定义和转换四元数是一种用于表示旋转的数学工具，它由一个实部和三个虚部组成。
Unity复杂的旋转-欧拉角和四元数
Unity复杂的旋转-欧拉⾓和四元数⼀.欧拉⾓欧拉⾓最容易表⽰，⽤三个变量X,Y,Z可以直观的表⽰绕着某个轴的旋转⾓度。
在Unity⾥就是Transform组件的Rotation⾥的X Y Z三个变量代表了欧拉⾓⼆.四元数四元数相⽐于欧拉⾓就⽐较复杂了，由四个变量组成(在Unity中称为X,Y,Z,W)，但是这些变量的值不代表旋转⾓度，所以可能给你⼀个向量(0。
7,0,0,0.7)你并不知道实际旋转的⾓度，当然四元数的详细解释需要数学⽅⾯的深⼊研究，有兴趣的可以⾃⾏查找有关资料因为在Unity没有可视化界⾯可以调整四元数(因为真的调了也不直观看到旋转的⾓度)，所以我们只能⽤脚本来访问三.脚本中内容欧拉⾓如果在脚本中表⽰呢？是不是想到之前图中的那个Rotation，那你是不是⾃然⽽然的想到了通过transform.rotation访问呢？如果你是这样想的，那就错了！在Unity中transform.rotation代表的是四元数！附上官⽹证明！那到底如何表⽰欧拉⾓呢？其实表⽰很简单，并附上官⽹解释transform.eulerAngles =new Vector3(20,300,40);1当我们以上述代码运⾏后会发现Rotation中的Y值是-60，那是因为⾯板上的Rotation中的X Y Z值范围是在(-180,180)，对于代码中超出的部分会⾃动进⾏计算映射到范围内四元数的代码表⽰就是之前的transform.rotation，那你肯定会想欧拉⾓和四元数之前能否转换呢，知道其中⼀个的值，如果改变成对⽅呢?代码如下//欧拉⾓->四元数//通过Quaternion.Euler() 传递⼀个Vector3向量的欧拉⾓transform.rotation = Quaternion.Euler(new Vector3(20, 300, 40));//四元数->欧拉⾓transform.rotation.eulerAngles;//对你没看错直接可以转换获取123456三.区别欧拉⾓:优点：三个⾓度组成,直观，容易理解优点：可以进⾏从⼀个⽅向到另⼀个⽅向旋转⼤于180度的⾓度缺点：死锁问题——万向节死锁万向节死锁介绍四元数优点：不存在万向节死锁问题优点：存储空间⼩，计算效率⾼缺点：单个四元数不能表⽰在任何⽅向上超过180度的旋转。
四元数 欧拉角 万向锁 程序
四元数欧拉角万向锁程序四元数、欧拉角和万向锁是数学和计算机图形学中常见的概念和算法。
本文将分别介绍这三个概念，并探讨它们之间的关系和应用。
四元数是一种扩展了复数概念的数学对象，由实部和虚部组成。
四元数具有一些独特的性质，使其在旋转和姿态表示方面具有优势。
在计算机图形学中，四元数常被用来表示物体的旋转和方向。
与欧拉角相比，四元数可以避免万向锁问题，并且计算效率更高。
欧拉角是一种常用的旋转表示方法，它由三个角度组成，分别表示绕三个坐标轴的旋转角度。
欧拉角可以描述物体的姿态和旋转，但在某些情况下会出现万向锁问题。
万向锁是指当欧拉角的两个轴趋向于重合时，会导致失去一个轴的自由度。
例如，在飞机飞行时，当飞机俯仰角接近90度时，无法再继续滚转，造成控制上的困难。
为了避免万向锁问题，可以使用四元数来表示旋转。
万向锁是由欧拉角的局限性引起的问题，它限制了物体的自由旋转。
为了解决万向锁问题，可以使用四元数来表示旋转。
四元数不仅可以避免万向锁问题，还可以更高效地进行旋转计算。
四元数的运算规则简单且高效，可以快速实现旋转和插值等操作。
在实际应用中，四元数常被用于计算机图形学、机器人控制和姿态估计等领域。
在计算机图形学中，四元数可以表示物体的旋转和姿态，实现逼真的三维动画效果。
在机器人控制中，四元数可以表示机器人的末端姿态，实现精确的运动控制。
在姿态估计中，四元数可以通过传感器数据计算物体的方向和旋转。
四元数、欧拉角和万向锁是数学和计算机图形学中重要的概念和算法。
四元数具有优越的性质和计算效率，可以避免欧拉角的万向锁问题。
在实际应用中，四元数被广泛应用于计算机图形学、机器人控制和姿态估计等领域。
通过深入理解和应用这些概念和算法，可以实现更精确和高效的旋转和姿态表示。
四元数转欧拉角奇异值问题
四元数转欧拉角奇异值问题四元数和欧拉角作为常见的表示方法，在计算机图形学和机器人领域中广泛应用。
在四元数表示角度时，存在着一些奇异值问题，会使得欧拉角的转换结果出现异常，本文将对此进行详细的阐述。
一、四元数简介四元数是一种扩充了实数的数学结构，它包括一个实数部分和三个虚数部分，可以表示旋转和剪切等变换。
四元数形式上可以写成 $q = w + xi + yj + zk$，其中 $w, x, y, z$ 都是实数，$i, j, k$ 是三个虚数单位，它们的平方分别等于-1。
四元数通过旋转的方式来表示角度。
例如，单位四元数可以表示3D中的转动180度绕轴 $(1,1,1)$，则可以写成：$$q = [\cos(\theta/2),\sin(\theta/2)\frac{1}{\sqrt{3}},\sin(\theta/2)\frac{1}{\sqrt{3}},\sin(\theta/2)\frac{1}{\sqrt{3}}]$$其中，$\theta$ 是旋转的角度。
二、欧拉角简介欧拉角是一种表示旋转的方式，它通过描述旋转的三个角度来确定旋转的方向。
欧拉角可以通过任何航向、俯仰、翻转（yaw-pitch-roll）的组合来表示。
例如，将 3D 物体绕 X 轴旋转30度，然后绕 Y 轴旋转45度，再绕 Z 轴旋转 60 度，这个过程可以用以下的欧拉角表示：$$\alpha = 30^\circ,\beta = 45^\circ,\gamma = 60^\circ$$当然，在欧拉角的表示中也存在固有的问题，例如欧拉角的万向锁问题等。
但是，在本文中，我们主要探讨的问题是四元数转为欧拉角时可能会遇到的问题。
三、四元数转换为欧拉角在将四元数转换为欧拉角时，我们可以首先计算对应的旋转矩阵，然后通过该矩阵计算欧拉角。
假设四元数为$q = [w, x, y, z]$，则相应的旋转矩阵可以表示为：$$\left[\begin{matrix} 1 - 2(y^2+z^2)& 2(xy-wz)& 2(xz+wy)\\ 2(xy+wz)& 1-2(x^2+z^2)& 2(yz-wx)\\ 2(xz-wy)& 2(yz+wx)& 1 - 2(x^2+y^2)\end{matrix}\right]$$根据四元数到旋转矩阵的转换方法，我们可以通过这个矩阵计算出欧拉角，例如：$$\alpha = \tan^{-1}(\frac{-m_{23}}{m_{33}})$$$$\beta = \sin^{-1}(m_{13})$$$$\gamma = \tan^{-1}(\frac{-m_{12}}{m_{11}})$$其中 $m_{ij}$ 表示旋转矩阵中的第 $i$ 行第$j$ 列的元素。
四元数 旋转举证 转 欧拉角
四元数旋转举证转欧拉角四元数什么是四元数四元数（Quaternion）是一种数学工具，用来表示三维空间的旋转。
它由一个实部和三个虚部组成，通常表示为 q = a + bi + cj + dk。
其中，a为实部，bi、cj和dk为虚部。
四元数的定义和运算四元数的定义如下：其中，a、b、c和d都是实数，i、j和k为虚数单位。
为了满足四元数的运算规则，它们之间满足如下关系：四元数的加法和减法遵循常规复数的加法和减法规则，乘法规则如下：四元数的逆元可以通过共轭操作计算得到，共轭定义如下：四元数的旋转表示在三维空间中，旋转可以通过四元数来表示。
具体地，给定一个旋转角度theta和一个单位向量v = (x,y,z)，旋转可以表示为：这个旋转表示可以方便地转换为四元数的形式。
具体地，令：其中，R = (Rij)是一个3x3的旋转矩阵。
可以证明，这样得到的四元数是一个合法的旋转表示。
欧拉角什么是欧拉角欧拉角（Euler Angles）是一种用来表示旋转的方法，可以将任意旋转表示为绕三个轴的依次旋转。
通常用三个角度来表示，分别是绕x轴的角度phi，绕y轴的角度theta和绕z轴的角度psi。
欧拉角的表示方法欧拉角有多种不同的表示方法，常见的有ZYX、YZX、ZYZ等。
这里以ZYX欧拉角为例进行讨论。
ZYX欧拉角的表示方式如下：其中，R = (Rij)是一个3x3的旋转矩阵。
通过这个公式可以计算出给定旋转矩阵R时的欧拉角。
四元数转欧拉角将四元数转换为欧拉角可以通过以下步骤进行：1.计算旋转矩阵R，其中的元素可以通过四元数的实部和虚部计算得到。
2.计算ZYX欧拉角，根据上述公式将旋转矩阵R转换为欧拉角。
总结在三维空间中，旋转可以通过四元数和欧拉角来表示。
四元数是一种数学工具，用来表示旋转，具有一些好的性质，例如方便的旋转合成和插值。
欧拉角是另一种表示旋转的方法，通过三个角度来表示绕三个轴的依次旋转。
通过旋转矩阵，可以将四元数转换为欧拉角，从而实现不同表示方法之间的转换。
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四元数与旋转一．四元组基础Q(x,y,z,w)，其中x，y，z用来确定旋转轴，w为旋转的角度Q=w+xi+yj+zk，i，j，k为三个虚轴的单位分量I*j=kJ*k=i;K*i=j;叉乘：c=a × b=| i j k||a1 b1 c1||a2 b2 c2|=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)c也为一个向量，且c的长度为|a||b|sin(theta)，垂直于a和b所在的平面，方向由右手法则来判定，用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向1．四元组相乘：Q1=w1+x1i+y1j+z1k=(w1,v1)Q2=w2+x2i+y2j+z2k=(w2,v2)Q1*Q2=(w1*w2-<v1,v2>,w1*v2+w2*v1+v1xv2)( w1+x1i+y1j+z1k)*( w2+x2i+y2j+z2k)=w1*w2-x1*x2-y1*y2-z1*z2+(W1*x2+x1*w2+y1*z2-z1-y2)i+(y1*w2+w1*y2+z1*x2-x1*z2)j+(w1*z2+z1*w2+x1*y2-y1*x2)k对于其中的轴部分，假如v1//v2，则有v1 x v2=0（平行向量的叉乘结果为0）2．四元组的点乘，点乘积为数值：Q1.*Q2=w1*w2+<v1,v2>=w1*w2+x1*x2+y1*y2+z1*z2;3．数乘s为一实数，q为四元组，则有sq=qs4．共轭p=(w,v)，则p*=(w,-v)(pq)*=q*p*N(q)=w2+x2+y2+z2q-1=q*/N(q)--------------- 显然可得qq-1=(1,0)二．使用四元数旋转向量假如有一表示向量的四元组q=(w,v)，对其应用旋转量p后的结果为：q’=pqp-1=(w,v’)从上可以看出，计算的结果q’的实部和q的实部是相等的，并且有N(v)=N(v’)如果N(q)=1，则可以令q=(cosa,usina)，u也为一个单位向量，则q’是q绕u旋转2a个弧度的结果假如S(q)表示q的实部，则有2S(q)=q+q*2S(pqp-1)= pqp-1+( pqp-1)*=pqp*+(pqp*)*=pqp*+pq*p*=p(q+q*)p*=2S(q)（这里由于p是单位四元数，所以有p-1等于p*）欧拉角到四元数的转换定义pitch, yaw, roll分别为绕X轴、Y轴、Z轴的旋转弧度float p = pitch * PIOVER180 / 2.0;float y = yaw * PIOVER180 / 2.0;float r = roll * PIOVER180 / 2.0;float sinp = sin(p);float siny = sin(y);float sinr = sin(r);float cosp = cos(p);float cosy = cos(y);float cosr = cos(r);this->x = sinr * cosp * cosy - cosr * sinp * siny;this->y = cosr * sinp * cosy + sinr * cosp * siny;this->z = cosr * cosp * siny - sinr * sinp * cosy;this->w = cosr * cosp * cosy + sinr * sinp * siny;normalise();三．使用matlab进行相关计算计算两个向量v1和v2之间的旋转量四元数p，使得v1应用p后到达v2假如v1转到v2的旋转轴为v，旋转角为theta，则q=[v*cos(theta/2) sin(theta/2)] Matlab代码：function q=vector2q(v1,v2)%..normalize....len1=sqrt(v1*v1');len2=sqrt(v2*v2');v1=v1/len1;v2=v2/len2;angle=v1*v2';axis=cross(v1,v2);alen=sqrt(axis*axis');axis=axis/alen;t=acos(angle);t=t/2;q(1)=axis(1)*sin(t);q(2)=axis(2)*sin(t);q(3)=axis(3)*sin(t);q(4)=cos(t);end计算出了q之后，可以获得对应的旋转矩阵，旋转矩阵的计算Matlab里面的矩阵是以列为主顺序的function r=q2rot(q)w=q(4);x=q(1);y=q(2);z=q(3);r=zeros(3,3);r(1,1)=1-2*y*y-2*z*z;r(1,2)=2*x*y+2*w*z;r(1,3)=2*x*z-2*w*y;r(2,1)=2*x*y-2*w*z;r(2,2)=1-2*x*x-2*z*z;r(2,3)=2*z*y+2*w*x;r(3,1)=2*x*z+2*w*y;r(3,2)=2*y*z-2*w*x;r(3,3)=1-2*x*x-2*y*y;r=r';end同时，也可以根据四元数来计算欧拉角function R=q2euler(q)w=q(4);x=q(1);y=q(2);z=q(3);t11=2*(w*x+y*z);t12=1-2*(x*x+y*y);R(1)=atan2(t11,t12);t2=2*(w*y-z*x);R(2)=asin(t2);t31=2*(w*z+x*y);t32=1-2*(y*y+z*z);R(3)=atan2(t31,t32);end计算出来的欧拉角rx，ry，rz，分别为绕X轴、Y轴和Z轴的旋转角，假如有：Rotq=q2rot(q)R=q2euler(q)[rotx roty rotz]=Rotation(R)可以发现Rotq==rotz*roty*rotx从这里可以看出，上面使用四元数这样计算出来的旋转矩阵的旋转顺序分别是X轴、Y轴和Z轴的ra=pi/4;qz=[0 0 -sin(ra) cos(ra)] %绕z旋转-90度qy=[0 sin(ra) 0 cos(ra) ] %绕y旋转90度qyz=qmult(qy,qz)r=q2euler(qyz)上面的r得出的结果为r = -1.5708 0.0000 -1.5708也就是说其几何意义变成先绕X轴旋转-90度，再绕Z轴旋转-90度，而根据qy和qz的相乘我们实际进行的操作却是先绕Z轴旋转-90度，再绕Y轴旋转90度，但是结果却是这两种操作等价，这说明由四元数到欧拉角可以有多个解两个四元数，假如它们的方向是相反的，用它们作用于向量得到的新向量的值仍然相等q1=[0.024666 -0.023954 0.504727 0.862594];arm=[-8.881719 6.037597 -2.36776];q2=-q1;rot1=q2rot(q1);rot2=q2rot(q2);v1=rot1*arm'v2=rot2*arm'上面计算出来的v1等于v2四元数的余弦值为它们的内积假如余弦值小于0，则需要将其中的一个取反，因为上面我们知道一个四元数和它的反方向的四元数对一个向量起相同的作用四元数的相乘，代表旋转的累积pq=p*q;rotp=q2rot(p);rotq=q2rot(q);rotpq=q2rot(pq);rotmul=rotp*rotq;这里rotpq与rotmul相等四．OGRE中Quaternion类的几个函数1.四元数到旋转向量void Quaternion::ToRotationMatrix (Matrix3& kRot) const1 - 2*qy2 - 2*qz22*qx*qy - 2*qz*qw2*qx*qz + 2*qy*qw2*qx*qy + 2*qz*qw 1 - 2*qx2 - 2*qz22*qy*qz - 2*qx*qw2*qx*qz - 2*qy*qw2*qy*qz + 2*qx*qw 1 - 2*qx2 - 2*qy22.旋转量到四元数根据1中的表格，有：4 *(1-qx2-qy2-qz2) = 1 + m00 + m11 + m22又qw2=1-qx2-qy2-qz2，可得4 *qw2= 1 + m00 + m11 + m22这里解qw必须保证1 + m00 + m11 + m22>=0，如果不是的话，就构造其他的等式来计算，OGRE中分成两种情况，一种是m00 + m11 + m22>=0，就可以直接先解出qw，否则的采用另外的等式计算3．Local axisVector3 xAixs(void) const;取得旋转矩阵的第一列，旋转矩阵和一个向量相乘的话，第一列的数据均和向量的x分量相乘Vecotr3 yAxis(void) const;取得旋转矩阵的第二列，旋转矩阵和一个向量相乘的话，第二列的数据均和向量的y分量相乘Vecotr3 zAxis(void) const;取得旋转矩阵的第三列，旋转矩阵和一个向量相乘的话，第三列的数据均和向量的z分量相乘。