2009年高考试题分析(二)---立体几何
高三数学立体几何,解析几何复习建议
高三数学《立体几何》、《解析几何》的复习建议仙居中学赵娅芳《立体几何》一、2009年浙江（文科）考题分析紧张又期待的2009年新高考已过去，为迎接不久到来的2010年高考，我们又得时刻准备着，整装待发……大家都十分关注新高考考什么？怎么考？非常疑惑高三复习教什么？怎么教？我想：2009年的浙江省高考试题为我们所有高三数学老师的复习起了一定的导向作用．2009年的浙江文科数学试题仍保持“1+1+1”的题型，即一道选择题，一道填空题和一道解答题组成，分值23分，占全卷的15.3%．从考查内容来看：线线、线面、面面的平行与垂直关系是立体几何的主干知识，还是今年新高考考查的重点．如浙江文（4）、文（19）第（Ⅰ）题；求角的问题主要考了直线与平面所成的角（应该是重点考查对象），如浙江文（19）第（Ⅱ）题；值得我们眼睛一亮和重视的是填空题第12题对新增内容——三视图的考查．从考查要求看：试题均可用常规常法和通性通法来解决，淡化特殊技巧，但是考生要完整准确地解答，则需要有扎实的双基和良好的数学素养．方法能力上：在考查空间想象能力的同时，又考查了推理论证能力、运算能力和分析问题、解决问题的能力．二、几点复习建议1. 重视对《考试说明》的研究，并结合对2009年高考题的认真分析，深化对新课程高考题的认识．《考试说明》是高考命题的指挥棒，它规定了考试的性质、考试的要求、考试的内容、考试形式及试卷结构等各方面的要求，而且对考查不同的知识提出了明确的层次要求．因此认真研究《考试说明》，并以此为复习备考的依据，也为复习的指南，做到复习既不超纲，又能有针对性、有重点地进行复习，切实提高复习的效率．（1）细心推敲对考试内容三个不同层次的要求．准确掌握哪些内容是了解，哪些是理解，哪些是掌握．这样既明了知识系统的全貌，又知晓了知识体系的主干及重点内容．如2009年《考试说明》（文科）对求角的的问题指出：了解两条异面直线所成角及二面角的概念，理解并会求直线与平面所成角．因此复习时就没有必要在求两条异面直线所成角及二面角的问题上进行过于复杂的探讨，应重点放在求直线与平面所成角的问题上．今年文科第19题的第（Ⅱ）题就考了求直线与平面所成角的问题。
2009年全国高考理科数学试题及答案-全国2
2009年全国高考理科数学试题及答案（全国卷Ⅱ）一、选择题： 1.10i2-i=A.-2+4iB.-2-4iC.2+4iD.2-4i解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i ==-+.故选A.2.设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = A.∅B.()3,4 C.()2,1-D.()4.+∞解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭.(3,4)A B ∴=.故选B. 3.已知ABC ∆中，12cot5A =-，则cos A = A.1213 B.513 C.513-D.1213-解：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈.12cos 13A ===-故选D. 4.曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为A.20x y --=B.20x y +-=C.450x y +-=D.450x y --=解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-=故选B.5.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB=，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为A.10B.15C.10D.35解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B与BE 所成的角。
在1A BE ∆中由余弦定理易得1cos 10A BE ∠=。
故选C6.已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=||b =A.C.5D.25解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++||5b ∴=。
2009年全国高考理科数学试题(含答案)
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ∙=∙球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u A B I中的元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个解：{3,4,5,A B = ，{4,7,9}()U A B C AB =∴= 故选A 。
也可用摩根律：()()(U U UC A B C A C B=（2）已知1iZ＋=2+i,则复数z=（B ） （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。
(3) 不等式11X X +-＜1的解集为（ D ）（A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈 解：验x=-1即可。
2009-2013年北京高考真题--立体几何试题汇编
2009-2013年北京高考真题--立体几何试题汇编5年高考真题分类汇编-学生卷题号 一 总分 得分△注意事项：1.本系列试题包含2009至2013年北京市高考真题，并经过精心校对。
2.本系列文档包含全部试题分类汇编，命名规律为： 2009-2013年北京高考真题--******试题汇编。
3.本系列试题涵盖北京高考所有学科，均有相关实体书出售。
一 、解答题（本大题共5小题，共65分） 1.（2013年北京高考真题数学(文)）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：（1）PA ⊥底面ABCD（2）//BE 平面PAD （3）平面BEF ⊥平面PCD2.（2012年北京高考真题数学(文)）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A F CD ⊥，如图2．（Ⅰ）求证：DE //平面1A CB ；（Ⅱ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅲ）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥⊥平面DEQ ？说明理由．姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●D FDEBCA 1F ECBA图2图13.（2011年北京高考真题数学(文)）如图，在四面体PABC 中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G 分别是棱AP,AC,BC,PB 的中点.（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP ； （Ⅱ）求证：四边形DEFG 为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由.4.（2010年北京高考真题数学(文)）如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC,EF ∥AC,AB=，CE=EF=1.（Ⅰ）求证：AF ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDE ； （Ⅲ）求二面角A-BE-D 的大小。
高考数学试题-立体几何选择填空含答案解析
选填训练4答案一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 如图，在四面体O −ABC 中，G 是底面△ABC 的重心，且OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则log 3|xyz|等于 ( )A. −3B. −1C. 1D. 3【答案】A 解：连结AG ，OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x =y =z =13， 则log 3|xyz|=log 3127=−3．2. 在△ABC 中A =30°，AC =4，BC =a ，若△ABC 仅一个解时，则a 的取值范围是( )A. a ≥4B. a =2C. a ≥4或a =2D. 无法确定【答案】C解：当a =ACsin30°=4×12=2时，以C 为圆心，以a =2为半径画弧，与射线AD 只有唯一交点， 此时符合条件的三角形只有一个，当a ⩾4时，以C 为圆心以a 为半径画弧时，在从垂足到A 点之间得不到交点，交点只能在垂足外侧，三角形也是唯一的， ∴a ≥4或a =2，故选C ．3. 设两个向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 满足|e 1⃗⃗⃗ |=2，|e 2⃗⃗⃗ |=1，e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 之间的夹角为60°，若向量2t e 1⃗⃗⃗ +7e 2⃗⃗⃗ 与向量e 1⃗⃗⃗ +t e 2⃗⃗⃗ 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是( )A. (−7,−12)B. (−7,−√142)∪(−√142,−12) C. (−7,−√142)D. (−√142,−12)【答案】B解：由题意知(2t e 1⃗⃗⃗ +7e 2⃗⃗⃗ )·(e 1⃗⃗⃗ +t e 2⃗⃗⃗ )<0，即2t 2+15t +7<0，解得−7<t <−12．又由2t ·t −7≠0，得t ≠±√142，∴t ∈(−7,−√142)∪(−√142,−12). 故选B ．4. 已知向量a ⃗ =(1,2)，a ⃗ ·b ⃗ =10，|a ⃗ +b ⃗ |=5√2，b ⃗ 方向上的单位向量为e⃗ ，则向量a ⃗ 在 向量b ⃗ 上的投影向量为( ) A. 12e ⃗ B. 2e ⃗ C.125e⃗ D. 52e⃗ 【答案】B解：由a ⃗ =(1,2)可得：|a ⃗ |=√12+22=√5，由|a ⃗ +b|⃗⃗⃗ =5√2两边平方得：|a ⃗ |2+2a ⃗ ·b ⃗ +|b⃗ |2=(5√2)2=50，即：5+2×10+|b⃗ |2=50，解得：|b ⃗ |=5， 设a ⃗ 和b ⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a⃗ ·b ⃗|a ⃗ |·|b⃗ |=10√5×5=2√55， 所以向量a ⃗ 在向量b ⃗ 上的投影向量为：|a ⃗ |cosθ·b⃗ |b ⃗ |=√5×2√55e ⃗ =2e ⃗ ．故选B ．5. 如图所示，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB =3,AC =AA 1=4，一只蚂蚁由顶点A 沿棱柱侧面经过棱BB 1爬到顶点C 1，蚂蚁爬行的最短距离为( )A. 4B. 4C.D.+【答案】B解：如图所示，把侧面展开，矩形对角线即为蚂蚁爬行的最短距离，∵AB ⊥AC ，AB =3，AC =AA 1=4，∴BC =√AB 2+AC 2=√32+42=5，由题已知AA 1=CC 1=4，∴蚂蚁爬行的最短距离=√(AB +BC )2+(CC 1)2=√(3+5)2+42=4√5，所以最小值为4√5，故选B ．6.在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为( )A. B. C. D.【答案】A解：根据题意可知PD=DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”，设AB的中点为N，因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，AB⊥AD，AB⊂底面ABCD，所以AB⊥侧面PAD，又PA⊂侧面PAD，所以AB⊥PA，根据题目条件可知△PAN≌△CBN，∴PN=CN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”，故动点M的轨迹肯定过点D和点N，而到点P与到点C的距离相等的点为线段PC 的垂直平分面，线段PC的垂直平分面与平面ABCD的交线是一直线.故选A．7.如图，直角梯形ABCD，AB//CD，∠ABC=90°，CD=2，AB=BC=1，E是边CD中点，△ADE沿AE翻折成四棱锥D′−ABCE，则点C到平面ABD′距离的最大值为( )A. 12B. √3−1 C. √22D. √63【答案】C解：直角梯形ABCD ，AB//CD ，∠ABC =90°，CD =2，AB =BC =1，E 是边CD 中点，△ADE 沿AE 翻折成四棱锥D′−ABCE ，当D′E ⊥CE 时，点C 到平面ABD′距离取最大值，∵D′E ⊥AE ，CE ∩AE =E ，CE ，AE ⊂平面ABCE ，∴D′E ⊥平面ABCE ， 以E 为原点，EC 为x 轴，EA 为y 轴，ED′为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0,1,0)，C(1,0,0)，D′(0,0,1)，B(1,1,0)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，AD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)， 设平面ABD′的法向量n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0n ⃗ ⋅AD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−y +z =0，取y =1，得n ⃗ =(0,1,1)，∴点C 到平面ABD′距离的最大值为d =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=1√2=√22．故选C ．8. 在△ABC 中，有正弦定理：asinA =bsinB =csinC =定值，这个定值就是△ABC 的外接圆的直径．如图所示，△DEF 中，已知DE =DF ，点M 在直线EF 上从左到右运动(点M 不与E 、F 重合)，对于M 的每一个位置，记△DEM 的外接圆面积与△DMF 的外接圆面积的比值为λ，那么( )A. λ先变小再变大B. 仅当M 为线段EF 的中点时，λ取得最大值C. λ先变大再变小D. λ是一个定值【答案】D解：设△DEM 的外接圆半径为R 1，△DMF 的外接圆半径为R 2，则由题意，πR 12πR 22=λ，点M 在直线EF 上从左到右运动(点M 不与E 、F 重合)，对于M 的每一个位置，由正弦定理可得R 1=12×DE sin∠DME，R 2=12×DFsin∠DMF ，又DE =DF ，sin∠DME =sin∠DMF ， 可得R 1=R 2，可得λ=1．故选D ．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
2009年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析
2009年北京市高考数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题(共8小题，每小题5分,满分40分)1．（5分)（2009•北京）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开,化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i,∴复数z所对应的点为（﹣2,1），故选B【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．2．（5分)(2009•北京）已知向量=(1，0）,=(0,1),=k+（k∈R）,=﹣，如果∥,那么(）A．k=1且c与d同向B．k=1且c与d反向C．k=﹣1且c与d同向D．k=﹣1且c与d反向【考点】平面向量共线（平行)的坐标表示．【专题】计算题．【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件,再检验k=﹣1是否满足条件,从而选出应选的选项．【解答】解：∵=(1,0),=（0,1），若k=1，则=+=(1，1），=﹣=（1，﹣1)，显然，与不平行,排除A、B．若k=﹣1,则=﹣+=（﹣1,1）,=﹣=(1,﹣1)，即∥且与反向,排除C，故选D．【点评】本题考查平行向量的坐标表示,当两个向量平行时,一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍．3．（5分)（2009•北京）为了得到函数的图象,只需把函数y=lgx的图象上所有的点(）A．向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【考点】对数函数的图像与性质．【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．【解答】解:∵,∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度故选C．【点评】本题主要考查函数图象的平移变换．属于基础知识、基本运算的考查．4．（5分）(2009•北京)若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD 成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为(）A． B．1 C． D．【考点】直线与平面平行的性质．【专题】计算题；作图题；压轴题．【分析】画出图象,利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．【解答】解:依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离,∠B1AB=60°，BB1=1×tan60°=，故选：D．【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，属于基础知识、基本运算的考查．5．(5分）（2009•北京)“a=+2kπ（k∈Z）”是“cos2a=”的（)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦．【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k∈Z)却不一定成立,根据充要条件的定义,即可得到结论．【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时,cos2a=cos(4kπ+）=cos=反之，当cos2a=时，有2a=2kπ+⇒a=kπ+(k∈Z）,或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣（k∈Z）,故选A．【点评】判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q 的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．6．(5分）(2009•北京)若（1+)5=a+b（a,b为有理数)，则a+b=()A．45 B．55 C．70 D．80【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】利用二项式定理求出展开式,利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出a，b,求出a+b【解答】解析：由二项式定理得：(1+)5=1+C51+C52（）2+C53（）3+C54（)4+C55•（)5=1+5+20+20+20+4=41+29,∴a=41,b=29,a+b=70．故选C【点评】本题考查二项式定理求二项展开式、组合数公式求二项式系数．7．（5分)（2009•北京)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324 B．328 C．360 D．648【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时,个位有4种选法,因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时,百位有9种选法,十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数．【解答】解:由题意知本题要分类来解,当尾数为2、4、6、8时,个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种,十位有8种，共有8×8×4=256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9×8×1=72根据分类计数原理知共有256+72=328故选B【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样,把排列问题包含在数字问题中,解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．8．（5分）（2009•北京)点P在直线l：y=x﹣1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B 两点，且｜PA|=｜AB|,则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（)A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点"C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点"【考点】两点间距离公式的应用．【专题】计算题；压轴题;创新题型．【分析】根据题设方程分别设出A,P的坐标，进而B的坐标可表示出，把A,B的坐标代入抛物线方程联立消去y，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解,进而可推断出直线l 上的所有点都符合．【解答】解：设A(m，n）,P（x，x﹣1）则，B（2m﹣x，2n﹣x+1）∵A，B在y=x2上∴n=m2,2n﹣x+1=（2m﹣x）2消去n，整理得关于x的方程x2﹣（4m﹣1 )x+2m2﹣1=0∵△=8m2﹣8m+5＞0恒成立，∴方程恒有实数解,∴故选A．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．一般是把直线与圆锥曲线方程联立，解决直线与圆锥曲线的交点个数时,利用判别式来判断．二、填空题（共6小题，每小题5分,满分30分）9．(5分)（2009•北京）=．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】通过因式分解把原式转化为=,消除零因子后得到,由此能够得到的值．【解答】解：===．故答案为：．【点评】本题考查函数的极限，解题时要注意消除零因子．10．（5分）（2009•北京）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为﹣6．【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域如图②目标函数s为该直线纵截距③平移目标函数可知直线过（4，﹣2）点时s有最小值．【解答】解：画可行域如图阴影部分，令s=0作直线l:y﹣x=0平移l过点A(4，﹣2）时s有最小值﹣6,故答案为﹣6．【点评】本题考查线性规划问题：可行域画法目标函数几何意义11．（5分）（2009•北京)设f（x)是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1,f(1）)处的切线的斜率为1,则该曲线在（﹣1,f(﹣1))处的切线的斜率为﹣1．【考点】偶函数；导数的几何意义．【分析】偶函数关于y轴对称，结合图象,根据对称性即可解决本题．【解答】解；取f（x）=x2﹣1，如图，易得该曲线在（﹣1，f(﹣1）)处的切线的斜率为﹣1．故应填﹣1．【点评】函数性质的综合应用是函数问题的常见题型，在解决这一类问题是要注意培养数形结合的思想方法．12．（5分）（2009•北京)椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上,若｜PF1|=4,则｜PF2|=2，∠F1PF2的大小为120°．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】第一问用定义法,由｜PF1｜+｜PF2｜=6,且｜PF1｜=4，易得｜PF2｜；第二问如图所示:角所在三角形三边已求得,用余弦定理求解．【解答】解：∵|PF1｜+｜PF2|=2a=6，∴|PF2｜=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中,cos∠F1PF2===﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：2;120°【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题,这类题是常考类型，难度不大，考查灵活,特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．13．（5分)（2009•北京）若函数则不等式的解集为［﹣3，1]．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式,再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集．【解答】解：①由．②由．∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1，故答案为：[﹣3,1］．【点评】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法．属于基础知识、基本运算．14．(5分）(2009•北京)｛a n}满足:a4n﹣3=1,a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*则a2009=1；a2014=0．【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】压轴题．【分析】由a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，知第一项是1，第二项是1，第三项是0，第2009项的2009可写为503×4﹣3，故第2009项是1，第2014项等于1007项,而1007=252×4﹣1，所以第2014项是0．【解答】解:∵2009=503×4﹣3,∴a2009=1，∵a2014=a1007，1007=252×4﹣1,∴a2014=0,故答案为:1,0．【点评】培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2009•北京）在△ABC中，角A，B,C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值;（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理;同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的内角和定理得到C=π﹣﹣A，然后将C的值代入sinC，利用两角差的正弦函数公式化简后,将sinA和cosA代入即可求出值;(Ⅱ）要求三角形的面积，根据面积公式S=absinC和(Ⅰ）可知公式里边的a不知道,所以利用正弦定理求出a即可．【解答】解：（Ⅰ)∵A、B、C为△ABC的内角，且＞0，∴A为锐角，则sinA==∴∴sinC=sin(﹣A）=cosA+sinA=；（Ⅱ)由(Ⅰ）知sinA=,sinC=，又∵，∴在△ABC中，由正弦定理,得∴a==，∴△ABC的面积S=absinC=×××=．【点评】考查学生灵活运用正弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值．灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值．16．（14分)（2009•北京）如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC．（1)求证：BC⊥平面PAC;（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角?并说明理由．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．【专题】计算题;证明题．【分析】（1）欲证BC⊥平面PAC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC 内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PA⊥BC,而AC⊥BC，满足定理所需条件; (2）根据DE⊥平面PAC，垂足为点E，则∠DAE是AD与平面PAC所成的角．在Rt△ADE 中,求出AD与平面PAC所成角即可;（3）根据DE⊥AE，DE⊥PE，由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A﹣DE﹣P 的平面角,而PA⊥AC,则在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，从而存在点E使得二面角A ﹣DE﹣P是直二面角．【解答】解:（1)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC．(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE=BC．又由（1)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E，∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB．又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD=AB．在Rt△ABC中,∠ABC=60°，∴BC=AB，∴在Rt△ADE中，sin∠DAE===，即AD与平面PAC所成角的正弦值为．(3）∵DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PBC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时,∠AEP=90°,故存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．【点评】考查线面所成角、线面垂直的判定定理以及二面角的求法，涉及到的知识点比较多,知识性技巧性都很强．17．（13分）（2009•北京)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min．(Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题．【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果．（2）由题意知变量的可能取值,根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．【解答】解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”，∴事件A的概率为（Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2,4，6，8（单位:min）事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k=0，1，2,3，4），∴，∴即ξ的分布列是ξ0 2 4 6 8P∴ξ的期望是【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响,而对立事件是指同一次试验中,不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时,往往先求它的对立事件的概率．18．(13分）（2009•北京)设函数f（x）=xe kx（k≠0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f(0））处的切线方程;（Ⅱ)求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x)在区间（﹣1，1）内单调递增,求k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题;压轴题．【分析】(I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（II）先求出f(x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间即可；(III)由（Ⅱ)知，若k＞0,则当且仅当﹣≤﹣1时,函数f（x）(﹣1,1)内单调递增，若k＜0,则当且仅当﹣≥1时，函数f(x)(﹣1，1）内单调递增，由此即可求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′(x）=（1+kx)e kx,f′（0)=1,f（0）=0，曲线y=f（x）在点（0，f(0））处的切线方程为y=x;（Ⅱ）由f′（x)=(1+kx）e kx=0，得x=﹣（k≠0）,若k＞0，则当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x)＜0,函数f（x）单调递减，当x∈（﹣，+∞,）时，f′(x)＞0，函数f（x)单调递增，若k＜0，则当x∈(﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x)单调递增,当x∈（﹣，+∞,）时，f′(x)＜0，函数f(x）单调递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1，即k≤1时,函数f（x）(﹣1，1）内单调递增,若k＜0，则当且仅当﹣≥1，即k≥﹣1时，函数f(x)（﹣1，1)内单调递增，综上可知，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增时,k的取值范围是［﹣1,0）∪（0，1]．【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力以及分类讨论思想．属于基础题．19．（14分）(2009•北京）已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的离心率为,右准线方程为x= （I)求双曲线C的方程；（Ⅱ)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B,证明∠AOB的大小为定值．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】计算题;综合题；压轴题；转化思想．【分析】( I）先利用条件列出关于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出双曲线方程．（II)先求出圆的切线方程,再把切线与双曲线方程联立求出关于点A，B坐标之间的方程，再代入求出∠AOB的余弦值即可证明∠AOB的大小为定值．【解答】解：(Ⅰ）由题意，，解得a=1,c=，b2=c2﹣a2=2，∴所求双曲C的方程．(Ⅱ)设P（m,n）（mn≠0)在x2+y2=2上,圆在点P（m，n)处的切线方程为y﹣n=﹣（x﹣m)，化简得mx+ny=2．以及m2+n2=2得（3m2﹣4）x2﹣4mx+8﹣2m2=0,∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B,且0＜m2＜2,3m2﹣4≠0，且△=16m2﹣4（3m2﹣4）(8﹣2m2）＞0，设A、B两点的坐标分别（x1,y1)，(x2，y2），x1+x2=，x1x2=．∵,且=x1x2+［4﹣2m（x1+x2)+m2x1x2］=+［4﹣+]=﹣=0．∴∠AOB的大小为900．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．20．（13分)(2009•北京）已知数集A=｛a1,a2，…，a n｝（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P;对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，a i a j与两数中至少有一个属于A．（I)分别判断数集{1，3,4｝与{1，2,3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）证明:a1=1,且；（Ⅲ）证明：当n=5时，a1,a2,a3,a4，a5成等比数列．【考点】数列的应用．【专题】证明题；综合题;压轴题；新定义；分类讨论．【分析】(I）根据性质P;对任意的i,j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集｛1，3，4}与{1,2，3，6｝中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；(Ⅱ）由性质P，知a n a n＞a n，故a n a n∉A，从而1=∈A，a1=1．再验证又∵＜＜…＜＜，,，…,，从而++…++=a1+a2+…+a n，命题得证；（Ⅲ)跟据(Ⅱ)，只要证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由于3×与均不属于数集{1，3,4,∴该数集不具有性质P．由于1×2，1×3,1×6,2×3，，，，,，都属于数集{1,2，3,6，∴该数集具有性质P．（Ⅱ）∵A=｛a1，a2，…，a n｝具有性质P,∴a n a n与中至少有一个属于A,由于1≤a1＜a2＜…＜a n，∴a n a n＞a n故a n a n∉A．从而1=∈A，a1=1．∵1=a1＜a2＜…a n，n≥2，∴a k a n＞a n(k=2,3，4，…，n）,故a k a n∉A（k=2，3，4，…,n）．由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n)．又∵＜＜…＜＜,∴，,…,,从而++…++=a1+a2+…+a n,∴且；（Ⅲ）由(Ⅱ)知,当n=5时,有，,即a5=a2•a4=a32，∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，由A具有性质P可知∈A．由a2•a4=a32，得∈A，且1＜，∴,∴，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为1,公比为a2等比数列．【点评】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查,属于较难层次题．。
专题立体几何(2012-2021)高考数学真题
专题11 立体几何 【2021年】 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π62．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45AC B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-约为（3 1.732≈）（ ）A ．346B ．373C ．446D ．4733．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ．212B ．312C ．24D ．344．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）A ．2B ．22C ．4D ．42二、填空题5．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π则该圆锥的侧面积为________.三、解答题6．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．8．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，11BF A B ⊥.（1）求三棱锥F EBC -的体积；（2）已知D 为棱11A B 上的点，证明：BF DE ⊥.10．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A ．514-B ．512-C ．514+ D ．512+ 2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，Ⅰ1O 为ABC 的外接圆，若Ⅰ1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知ⅠABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）A ．3B ．32C ．1D ．324．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，ⅠABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，ⅠCEF =90°，则球O 的体积为 A ．86π B ．46π C ．26π D ．6π5．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设α，β为两个平面，则αⅠβ的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30，则该长方体的体积为A ．8B ．62C ．82D ．839．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B ．56C 5D ．2210．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为3D ABC -体积的最大值为A ．123B ．183C ．243D ．311．（2017年全国普通高等学校招生统一考试）如图，在下列四个正方体中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面 MNQ 不平行的是（ ） A ． B ． C ． D ． 12．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π413．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1））平面α过正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的顶点A ，,ABCD m α⋂=平面，11ABB A n α⋂=平面，则m ，n 所成角的正弦值为 A ．32 B ．22 C ．33 D ．1314．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国2卷））体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A ．12πB ．323πC ．8πD ．4π15．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则该球体积V 的最大值是A ．4πB ．92πC ．6πD ．323π 16．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析））(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛17．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为A ．5003πcm 3B ．8663πcm 3C ．13723πcm 3D ．10003πcm 3 18．（2013年全国普通高等学校招生统一考试））已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为A ．26 B 3 C ．23 D ．22二、填空题19．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，3AB AD ==，AB ⅠAC ，AB ⅠAD ，ⅠCAE =30°，则cosⅠFCB =______________.20．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m Ⅰ平面α，则m Ⅰl .则下述命题中所有真命题的序号是__________.Ⅰ14p p ∧Ⅰ12p p ∧Ⅰ23p p ⌝∨Ⅰ34p p ⌝∨⌝21．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知ⅠACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到ⅠACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为___________．22．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，,,,E F G H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g .23．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II））已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30，若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为__________．24．（2018年全国普通高等学校招生统一考试）已知三棱锥S ABC-的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA AC=，SB BC=，三棱锥S ABC-的体积为9，则球O的表面积为______．25．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，ⅠDBC，ⅠECA，ⅠF AB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起ⅠDBC，ⅠECA，ⅠF AB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当ⅠABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______．26．（2017年全国普通高等学校招生统一考试）长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.27．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：Ⅰ当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；Ⅰ当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；Ⅰ直线AB与a所成角的最小值为45°；Ⅰ直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）28．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷带解析））已知H是球O的直径AB上一点, :1:2AH HB=,AB⊥平面α,H为垂足, α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为_______.三、双空题29．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．四、解答题30．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，ⅠAPC=90°．（1）证明：平面P ABⅠ平面P AC；（2）设DO23π，求三棱锥P−ABC的体积.32．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））如图，已知三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN Ⅰ平面EB 1C 1F ；（2）设O 为ⅠA 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO //平面EB 1C 1F ，且ⅠMPN =π3，求四棱锥B –EB 1C 1F 的体积．34．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥；（2）点1C 在平面AEF 内．36．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，ⅠBAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN Ⅰ平面C 1DE ；（2）求点C 到平面C 1DE 的距离．38．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⅠEC 1.（1）证明：BE Ⅰ平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．40．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））图1是由矩形,ADEB Rt ABC ∆和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中1,2AB BE BF ===， 60FBC ∠=，将其沿,AB BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明图2中的,,,A C G D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图2中的四边形ACGD 的面积.42．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将ⅠACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．44．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．46．（2018年全国卷Ⅰ文数高考试题）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．49．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,01,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= （1）证明：直线//BC 平面PAD ; （2）若ⅠPCD 面积为7，求四棱锥P ABCD -的体积.51．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3））如图，四面体ABCD 中，ⅠABC 是正三角形，AD =CD ．（1）证明：AC ⅠBD ；（2）已知ⅠACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⅠEC ，求四面体ABCE与四面体ACDE 的体积比．53．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G.（Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅰ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．55．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点,E F 分别在,AD CD 上，,AE CF EF =交BD 于点H ，将DEF ∆沿EF 折起到D EF ∆'的位置.（Ⅰ）证明：AC HD ⊥'；（Ⅰ)若55,6,,224AB AC AE OD ==='=D ABCFE '-的体积.57．（2016年全国普通高等学校招生统一考试数学）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PABC ，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN ∥平面PAB ；（II ）求四面体N BCM -的体积.59．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ； （II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -6，求该三棱锥的侧面积.61．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））如图，长方体1111ABCD A B C D -中,116,10,8AB BC AA ===，点,E F 分别在1111,A B D C 上，114A E D F ==，过点,E F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．63．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.（1）证明：（2）若,求三棱柱的高.65．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=．（1）证明：； （2）若，，求三棱柱111ABC A B C -的体积．68．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面，ⅠACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(Ｉ) 证明：平面BDC Ⅰ平面1BDC（Ⅰ）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.。
2009年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析
2009年广东省高考数学试卷（文科)参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分,满分50分）1．(5分)（2009•广东)已知全集U=R，则正确表示集合M=｛﹣1，0,1}和N=｛x｜x2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】集合．【分析】先化简集合N,得N={﹣1，0｝，再看集合M，可发现集合N是M的真子集，对照韦恩（Venn）图即可选出答案．【解答】解：．由N={x|x2+x=0}，得N=｛﹣1，0}．∵M=｛﹣1,0，1｝，∴N⊂M，故选B．【点评】本小题主要考查V enn图表达集合的关系及运算、一元二次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．2．(5分）（2009•广东）下列n的取值中，使i n=1（i是虚数单位）的是(）A．n=2 B．n=3 C．n=4 D．n=5【考点】虚数单位i及其性质．【专题】数系的扩充和复数．【分析】要使的虚数单位的n次方等于1，则n只能是4的整数倍,在本题所给的选项中，只有数字4符合题意，得到结果．【解答】解：∵要使i n；=1，则n必须是4的整数倍,在下列的选项中只有C符合题意，故选C【点评】本题考查虚数单位及性质,是一个基础题,题目若出现一定是一个必得分题目，不要忽视对这种简单问题的解答．3．（5分）（2009•广东）已知平面向量=（x，1），=(﹣x，x2)，则向量+（)A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线【考点】平面向量的坐标运算．【专题】平面向量及应用．【分析】先做出两个向量的和，横标和纵标都用含x的代数式表示，结果和的横标为零,得到和向量与纵轴平行，要熟悉几种特殊的向量坐标特点,比如：与横轴平行的向量、与纵轴平行的向量．【解答】解:+=（0，1+x2)，1+x2≠0,故+平行于y轴．故选C【点评】本题要求从坐标判断向量的特点，即用到向量的方向又用到向量的大小,大小和方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．4．（5分）（2009•广东）若函数y=f（x）是函数y=a x﹣a（a＞0,且a≠1）的反函数，且f（)=1,则函数y=()A．log2x B．C．D．2x﹣2【考点】反函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（）=1可得f﹣1（1)=，即a1﹣a =，解出a的值,即得函数y的解析式．【解答】解：∵f（）=1,∴f﹣1(1）=，由题意知a1﹣a =，∴a=2，y=a x﹣a(a＞0，且a≠1）y=2x﹣2，故选D．【点评】本题考查反函数的定义和反函数的求法,函数与反函数的关系．5．(5分）（2009•广东）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=() A．B．C．D．2【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3•a9=2a25化简得到关于q的方程,由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值．【解答】解：设公比为q，由已知得a1q2•a1q8=2（a1q4）2,即q2=2,又因为等比数列{a n}的公比为正数，所以q=,故a1=．故选B．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值,是一道中档题．6．(5分）（2009•广东）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④【考点】平面与平面垂直的判定;平面与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】从直线与平面平行与垂直,平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．【解答】解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．故选：D．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定,是基础题．7．（5分）（2009•广东）已知△ABC中，∠A，∠B,∠C的对边分别为a，b，c．若a=c=+，且∠A=75°，则b=（)A．2 B．4+2C．4﹣2D．﹣【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】先根据三角形内角和求得B的值，进而利用正弦定理和a的值以及sin75°的值，求得b．【解答】解：如图所示．在△ABC中，由正弦定理得：=4，∴b=2．故选A【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理常用与已知三角形的两角与一边，解三角形；已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形；运用a:b：c=sinA：sinB:sinC解决角之间的转换关系．8．(5分)（2009•广东）函数f（x）=（x﹣3)e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞,2） B．（0,3）C．（1，4）D．（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】若求解函数f（x）的单调递增区间,利用导数研究函数的单调性的性质，对f（x）求导，令f′（x）＞0，解出x的取值区间，要考虑f（x）的定义域．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x)′=（x﹣2）e x,求f（x)的单调递增区间，令f′(x）＞0,解得x＞2，故选D．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性的这一性质，值得注意的是，要在定义域内求解单调区间．9．(5分）(2009•广东）函数y=2cos2(x﹣）﹣1是（)A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式,求出周期，判定奇偶性．【解答】解：由y=2cos2(x﹣)﹣1=cos（2x﹣）=sin2x，∴T=π，且y=sin2x奇函数,即函数y=2cos2(x﹣）﹣1是奇函数．故选A．【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，函数奇偶性的判断，是基础题．10．（5分）（2009•广东）广州2010年亚运会火炬传递在A，B,C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的距离（单位：百公里）见表．若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次,那么火炬传递的最短路线距离是（)A B C D EA 0 5 4 5 6B 5 0 7 6 2C 4 7 0 9 8.6D 5 6 9 0 5E 6 2 8.6 5 0A．20。
2009年高考试题——山东卷(数学理)解析版
2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。
参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是锥体的高。
锥体的体积公式V=13Sh，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R 如果事件A,B 独立,那么P(AB)=P(A)P(B). 事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率:()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-= .第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为( )A.0B.1C.2D.4【解析】:∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B = ∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.答案:D【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.2.复数31ii --等于（ ）.A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -2. 【解析】: 223(3)(1)324221(1)(1)12i i i i i ii i i i i --++-+====+--+-,故选C.答案:C【命题立意】:本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算.3.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A.cos 2y x =B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =3. 【解析】:将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x xπ=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos 22sin y x x =+=,故选D.答案:D【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A.2π+B. 4π+C.2π4π+【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2π,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为213⨯=所以该几何体的体积为2π.答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积.5. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的 一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( )侧(左)视图正(主)视图俯视图A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,mβ⊥,则αβ⊥,反过来则不一定.所以“αβ⊥”是“mβ⊥”的必要不充分条件.答案:B.【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.6. 函数x xx xe e ye e--+=-【解析】:函数有意义,需使0x xe e--≠,其定义域为{}0|≠xx,排除C,D,又因为22212111x x xx x x xe e eye e e e--++===+---,所以当0x>时函数为减函数,故选A.答案:A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.7.设P是△ABC所在平面内的一点，2BC BA BP+=，则（）A.0PA PB+=B.0PC PA+=C.0PB PC+=D.0PA PB PC++=【解析】:因为2BC BA BP+=，所以点P为线段AC的中点，所以应该选C。
完整word版2009年江苏省高考数学试卷答案与解析
2009年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2009?江苏）若复数z=4+29i，z=6+9i，其中i是虚数单位，则复数（z﹣z）i2112的实部为﹣20．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】把复数z=4+29i，z=6+9i，代入复数（z﹣z）i，化简，按多项式乘法法则，展2112开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到实部．【解答】解：∵z=4+29i，z=6+9i，21∴（z﹣z）i=（﹣2+20i）i=﹣20﹣2i，21∴复数（z﹣z）i 的实部为﹣20．21故答案为：﹣20【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．0，则向量，江苏）已知向量和和向量的夹角为2．（5分）（2009?30．3向量的数量积=【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】向量数量积公式的应用，条件中给出两个向量的模和向量的夹角，代入公式进行计算即可．×=3，【解答】解：由题意知：=2故答案为：3．【点评】本题是向量数量积的运算，条件中给出两个向量的模和两向量的夹角，代入数量积的公式运算即可，两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积．32）．的单调减区间为（﹣1，11=x（5分）2009?江苏）函数f（x）﹣15x﹣33x+6．3（【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．的不等式求出解，并令其小于零得到关于x′（x）f【分析】要求函数的单调减区间可先求出集即可．22﹣11）（30x﹣33=3x﹣10x﹣（【解答】解：f′x）=3x ，）＜x﹣110（=3（x+1））．，＜1＜x11，故减区间为（﹣111解得﹣，111）（﹣故答案为：此题考查学生利用导数研究函数的单调性的能力．【点评】14．（5分）（2009?江苏）函数y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）在闭区间[﹣π，0]的图象如图所示，则ω=3．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数图象求出函数的周期T，然后求出ω．【解答】解：由图中可以看出：=，T=πT=π，∴∴ω=3．故答案为：3【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查逻辑思维能力，是基础题．5．（5分）（2009?江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为0.2．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】由题目中共有5根竹竿，我们先计算从中一次随机抽取2根竹竿的基本事件总数，及满足条件的基本事件个数，然后代入古典概型计算公式，即可求出满足条件的概率．【解答】解：从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数有2.5和2.8，2.6和2.9，共2个∴所求概率为0.2．故答案为：0.2．【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，计算出满足条件的基本事件总数及其满足条件的基本事件个数是解答此类题型的关键．6．（5分）（2009?江苏）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：学7 7 8 7 6甲班7 6 7 9 6乙班2．0.4则以上两组数据的方差中较小的一个为S=【考点】极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．先写出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，把根据表中所给的两组数据，【分析】方差进行比较，方差小的一个是甲班，得到结果．，8，7，，，解：由题意知甲班的投中次数是【解答】677 ，这组数据的平均数是72，甲班投中次数的方差是，6，7，9乙班的投中次数是6，7，，这组数据的平均数是7这组数据的方差是，∴两组数据的方差中较小的一个为0.40.4故答案为：这种问题一旦出现是比较两组数据的方差的大小，是一个基础题，【点评】本题考查方差，一个必得分题目，注意运算过程中不要出错．．江苏）如图是一个算法的流程图，最后输出的W=227．（5分）（2009?【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．，不满足则循环，直到满足就跳10，判定是否满足S≥S【分析】根据流程图可知，计算出值即可．出循环，最后求出W10≥S=1；不满足S【解答】解：由流程图知，第一次循环：T=1，210≥；不满足ST=3，S=3﹣1=8第二次循环：210 S≥S=5﹣8=17，满足T=5第三次循环：，W=5+17=22．此时跳出循环，∴22故答案为当型循环结构和直到型循循环结构有两种形式：本题主要考查了直到型循环结构，【点评】环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．，则它们的面积比为：21分）（2009?江苏）在平面上，若两个正三角形的边长的比为．8（5 则它们的体积比8，：若两个正四面体的棱长的比为类似地，41：，在空间内，12【考点】类比推理．立体几何．【专题】3【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可．【解答】解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1：8故答案为：1：8．【点评】本题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．3上，且在10x+3y=x﹣P在曲线C：（5分）（2009?江苏）在平面直角坐标系xOy中，点9．．2，15）P处的切线斜率为2，则点P的坐标为（﹣C第二象限内，已知曲线在点【考点】导数的几何意义．【专题】导数的概念及应用．处的）在x=xf（x）y（x＜0），根据导数的几何意义求出函数【分析】先设切点P（x，0000导数，从而求出切线的斜率，建立方程，解之即可．2，=3x﹣10=20），由题意知：y′|x=x＜【解答】解：设P（x，y）（x000002．∴x=40，=﹣2∴x0．∴y=150．15）∴P点的坐标为（﹣2，），15故答案为：（﹣2本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标，【点评】本题属于基础题．x）（m，n满足f，函数f（x）=log，若正实数200910．（5分）（?m江苏）已知a＞f（n），则m，n的大小关系为m＜n．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．x在=logx）＜1，故函数f（【分析】，即因为已知条件中对数函数的底数0＜a a（0，+∞）上为减函数，根据函数的单调性，结合足f（m）＞f（n），不难判断出m，n的大小关系．解：∵【解答】∴0＜a＜1x∴f（x）=log在（0，+∞）上为减函数a若f（m）＞f（n）则m＜n故答案为：m＜n4x时，指数函数和对数函数在其定义域上均1，在底数a＞【点评】函数y=a和函数y=logx a）x 时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，而f（﹣0＜a＜1为增函数，当底数x﹣，在底x）轴对称，其单调性相反，故函数y=a和函数y=log（﹣与f（x）的图象关于Y a时，指数函数1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，当底数0＜a＜a数＞1 和对数函数在其定义域上均为增函数．的取aA?B则实数，≤2}，B=（﹣∞a），若（11．5分）（2009?江苏）已知集合A={x|logx2．c= 4值范围是（c，+∞），其中集合的包含关系判断及应用．【考点】集合．【专题】A 先化简集合，然后根据子集的定义求出集合B的取值范围，总而求出所求．【分析】【解答】解：A={x|logx≤2}={x|0＜x≤4} 2而B=（﹣∞，a），∵A?B∴a＞4即实数a的取值范围是（4，+∞），故答案为：4【点评】本题属于以对数不等式为依托，考查集合子集的基础题，也是高考常会考的题型．12．（5分）（2009?江苏）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题，真命题的序号是（1）（2）（写出所有真命题的序号）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离．【分析】从线面平行、垂直的判定定理，判断选项即可．【解答】解：由面面平行的判定定理可知，（1）正确．由线面平行的判定定理可知，（2）正确．对于（3）来说，α内直线只垂直于α和β的交线l，得不到其是β的垂线，故也得不出α⊥β．对于（4）来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α．也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不一定垂直于α．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，理解定理是判断的前提，是中档题．13．（5分）（2009?江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A，A，B，B为椭圆2112的四个顶点，F为其右焦点，直线AB与直线BF相交于点T，112．OTMOT线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 5【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．，联立的方程为，直线B【分析】解法一：可先直线ABF的方程为112的坐标，代入椭圆的方程即可解出离的坐标，进而表示出中点M两直线的方程，解出点T 心率的值；'2'2根），F'．（解法二：，对椭圆进行压缩变换，0，，椭圆变为单位圆：x+y=1 轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．T与x据题设条件求出直线BT方程，直线直线B11的方程为，的方程为直线BF【解答】解法一：由题意，可得直线AB112（M）T（，则），由于此点在椭圆两直线联立则点上，故有22=0﹣c10ac，整理得3a﹣2 +10e﹣，解得3=0即e故答案为解法二：对椭圆进行压缩变换，，，'2'2．，0+y=1，F'）（椭圆变为单位圆：x ，TM=MO=ON=1，AB斜率为1，交圆延长TOO于N，易知直线21′+1，′），则，y′=x，T设（x′y，×TN由割线定理：TB×TA ，=TM12，（负值舍去）方程：T1（B0，﹣），直线B易知：11=0令y′F，即横坐标6e=．即原椭圆的离心率故答案：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．14．（5分）（2009?江苏）设{a}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b=a+1（n=1，2，…），nnn若数列{b}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q=﹣9．n【考点】等比数列的性质；数列的应用．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据B=A+1可知A=B﹣1，依据{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}nnnn中，则可推知则{A}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中，按绝对值的顺序排列上述n数值，相邻相邻两项相除发现﹣24，36，﹣54，81是{A}中连续的四项，求得q，进而求n得6q．【解答】解：{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中B=A+1 A=B﹣1nnnn则{A}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中n{A}是等比数列，等比数列中有负数项则q＜0，且负数项为相隔两项n等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值18，﹣24，36，﹣54，81相邻两项相除﹣=﹣=﹣=﹣=很明显，﹣24，36，﹣54，81是{A}中连续的四项n﹣（|q|＞1，∴此种情况应舍）q= ﹣或q=﹣q= ∴∴6q=﹣9故答案为：﹣9【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2009?江苏）设向量与垂直，求tan（α+β）的值；1（）若的最大值；2（）求7∥．，求证：）若tanαtanβ=16（3【考点】平面向量数量积坐标表示的应用；平行向量与共线向量；两向量的和或差的模的最值．【专题】平面向量及应用．与与先根据向量的线性运算求出，的再由【分析】（1）垂直等价于数量积等于0可求出α+β的正余弦之间的关系，最后可求正切值．||，然后根据向量的求模运算得到的关系，最后根据正（2）先根据线性运算求出弦函数的性质可确定答案．∥β，正是α）?（4cosβ）=sinαsin（3）将tanαtanβ=16化成弦的关系整理即可得到（4cos 的充要条件，从而得证．垂直，β，4cosβ+8sinβ）与（【解答】解：1，）∵=（sinβ﹣2cos∴4cosα（sinβ﹣2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ﹣sinαsinβ），∴sin（α+β）=2cos（α+β），cos（α+β）=0，显然等式不成立∴tan（α+β）=2．）∵=（sinβ+cosβ，4cosβ﹣（24sinβ），||=∴，=．||1β=﹣时，取最大值，且最大值为sin2∴当，即sinαsin β=16，∴β=16cosαcosβ，α（3）∵tantan 4cosα∴（4cos）?（β）=sin，sinβα）共线，，sinsin，α=）与（β4cosβα（即=4cos∥．∴求模运算、向量垂直和数量积之间的关系．向量和【点评】本题主要考查向量的线性运算、三角函数的综合题是高考的热点，要强化复习．的分别是ABA，CFE中，CB﹣江苏）如图，在直三棱柱2009分）（16．14（?ABCA，11111在中点，点DB⊥．求证：BCDA上，C1111（∥平面EF1）；ABC 2（）平面CBB⊥平面FD．AC1118直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【考点】立体几何．【专题】即可；∥BCEF ∥平面ABC，证明EF【分析】（1）要证明即可，利用平面与平面CBBC，通过证明AD⊥面）要证明平面（2AFD⊥平面BBCC111111垂直的判定定理证明即可．C的中点，A分别是B，A 【解答】证明：（1）因为E，F11 ABC；ABC，所以EF∥平面EF?面ABC，BC?面所以EF∥BC，又D，BB⊥A，所以BB⊥面ABC，ABC（2）因为直三棱柱﹣ABC111111111⊥FD所以平面A，D?面AFD⊥面BC=B，所以ADBBCC，又AB又AD⊥C，BB∩11111111111．CC平面BB11本题考查直线与平面平行和垂直的判断，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，【点评】是中档题．项和，满足为其前nS?江苏）设a是公差不为零的等差数列，17．（14分）（2009nn2222=7，Sa+a=a+a72435 S；的通项公式及前n项和（1）求数列a nn中的项．，使得为数列（2）试求所有的正整数ma n数列的求和；等差数列的性质．【考点】等差数列与等比数列．【专题】代入等差数列的通项da，）先把已知条件用a及d表示，然后联立方程求出【分析】（111 n项和公式可求．公式及前ma2的通项公式可寻求）先把已知化简可得，然后结合数列（n满足的条件．）由题意可得【解答】解：（1d=2 ﹣5，=联立可得a1，×）2=2n﹣71n5+=a∴﹣（﹣n（2中的项a=1）由（）知若使其为数列n9为正整数必需为整数，且m则；，m=1m=2 是最小值）故舍去．﹣5时不满足题意，（a=m=11．所以m=2解题的重点是要熟练掌握项和的公式，本题主要考查了等差数列的通项公式及前n【点评】基本公式，并能运用公式，还要具备一定的运算能力．22和﹣1）=4C：（x+3）+（y18．（16分）（2009?江苏）在平面直角坐标系xoy中，已知圆122=4 ﹣5）x﹣4）+（yC圆：（2，求直线l0），且被圆C的方程；截得的弦长为I（）若直线l过点A（4，1的斜，l）为平面上的点，满足：存在过点P的两条互相垂的直线l与l（II）设P（a，b112截得C被圆C截得的弦长与直线l被圆相交，率为2，它们分别与圆C和圆C且直线l212121的关系式．的弦长相等，试求满足条件的a，b直线的一般式方程；直线和圆的方程的应用．【考点】直线与圆．【专题】的点斜式方程，又由直线被圆，故可以设出直线l4，0）I 【分析】（）因为直线l过点A（，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，截得的弦长为C1lk值，代入即得直线即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出的方程．的圆心到直C与ll的点斜式方程，分析可得圆（II）根据题意，可以设出过P点的直线112的方程，整理ba、的距离相等，即可以得到一个关于l的距离和圆C的圆心到直线l线212变形可得答案．不相交，与圆C （Ⅰ）若直线l的斜率不存在，则直线x=4【解答】解：1），x﹣4l故直线l的斜率存在，不妨设为k，则直线的方程为y=k（）到直线的距离，C圆心（﹣3，1圆﹣即kxy﹣4k=01=1，则，l直线被圆C截得的弦长为1k=0联立以上两式可得，或故所求直线．y=0方程为l或10：，l x﹣a），（Ⅱ）依题意直线的方程可设为l：y﹣b=2（21因为两圆半径相等，且分别被两直线截得的弦长相等，l的距离相等，l的距离和圆C的圆心到直线的圆心到直线故圆C2112即，解得：a﹣3b+21=0或3a+b﹣7=0．【点评】在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．19．（16分）（2009?江苏）照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n他卖出该产品的单价为m元，则．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h和他的满意度为h，则他21．对这两种交易的综合满意度为现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为m元和m元，甲买进A与卖出B BA的综合满意度为h，乙卖出A与买进B的综合满意度为h．乙甲=m时，求证：h的表达式；当m=h；（1）求h和h关于m、m BAAB乙甲甲乙=m，当mm、m分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综（2）设BBAA合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h，试问能否适当选取m、m的值，使得h≥h和00AB甲h≥h 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．0乙【考点】函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用．=mm时，表示出要证【分析】（1）表示出甲和乙的满意度，整理出最简形式，在条件BA明的相等的两个式子，得到两个式子相等．（2）在上一问表示出的结果中，整理出关于变量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出两个人满意度最大时的结果，并且写出等号成立的条件．≤，不能取到m，m=h）知hh=．因为h的值，使）先写出结论：不能由（（32B0A0乙甲同时成立，但等号不同时成立．h 和≥hh≥h得00乙甲=；hB=的满意度为）甲：买进（【解答】解：1Ah，卖出的满意度为B1A111=；h= 所以，甲买进A与卖出B的综合满意度为甲=；=，买进B的满意度为：乙：卖出A的满意度为：hh B2A2=；= A与买进B的综合满意度h所以，乙卖出乙=，所以hh，=h当m=m时，BA甲甲乙=h乙=m时，0），当mm（2）设=x（其中x＞BAB≤；= =h=h乙甲=×10=6m时，=10时，上式“=”成立，即m当且仅当，x=，即x=10AB甲、乙两人的综合满意度均最大，最大综合满意度为；≤h =．因为（3）不能由（2）知hh0乙甲同时成立，但等号不同时成立．h≥hm的值，使得h≥h和因此，不能取到m，0BA0乙甲【点评】本题考查函数模型的选择和应用，本题解题的关键是理解题意，这是最主要的一点，题目中所用的知识点不复杂，只要注意运算就可以．2．﹣a|x﹣a）|x江苏）设a为实数，函数f（x）=2x+（1620．（分）（2009? a的取值范围；10）≥，求（1）若f（x）的最小值；2）求f（（的解集．）≥1）+∞，求不等式h（x，h3）设函数（x）=f（x）x∈（a，（二次函数的性质；一元二次不等式的解法．【考点】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【专题】a再去绝对值求的取值范围，﹣a|a|≥1≥【分析】（1）f（0）1?借助二次函数的a两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，和x＜≥（2）分xa 对称轴及单调性．最后综合即可．22，因为不等式的解集由对应方程的根决定，所以再0﹣﹣2ax+a1≥转化为x3（）h（）≥13x 对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可． 1 ≤?≥，则﹣≥0f1解：【解答】（）若（）1a|a|1?a﹣1222，∴，﹣2ax+a xx≥a时，f（）=3x2（）当如图所示：22﹣af（x）=x，+2ax≤当xa时，∴．综上所述：．1，h（x）≥a（3）x∈（，+∞）时，22222﹣8a（a﹣1）=12△得3x﹣2ax+a1﹣≥0，=4a12﹣）；∞（0≤，x∈a，+△a≤当a﹣或≥时，＞时，＜当﹣a＜△0，得：13即2类讨论：进而分＜时，a，当﹣＜a＜﹣；+，∞，]∪）[a此时不等式组的解集为（a；≤＜时，＜x当﹣≤）．此时不等式组的解集为，[+∞综上可得，）；，+∞+，∞当a∈（﹣∞，﹣）∪（）时，不等式组的解集为（a）；[，+∈当a∞（﹣，﹣）时，不等式组的解集为（a，]∪．+，∞）时，不等式组的解集为[a当∈﹣，][分段函数的最值的求法是先对每一段分别求最值，【点评】本题考查了分段函数的最值问题．最后综合最大的为整个函数的最大值，最小的为整个函数的最小值．14。
2009-2013j江苏高考数学试卷命题分析
.
2.已知正数 x, y 满足 x y 1 ， 则 ( 1)( 1) 的最小值为
1 x 1 y
.
3.已知两个正数 x, y 满足 x y 4 ，若不 等式 1 4 m 恒成立， 则实数 m 的取值范 x y 围为 .
4. 已 知 a, b 为 正 实 数 且 ab 1 ， 若 不 等 式 ( x y)( a b ) M 对任意正实数 x, y 均成立，则 M x y 的取值范围为 .
失分重点：填空题、部分解答题的第二问和第三 问 失分原因：不适应新题 • 2013年江苏高考数学试卷就全卷来说，最难 题的难度其实比去年有所下降，区分度好于去年。 填空题也基本保持平稳。均分下降的首要原因是 解答题新面孔较多，多题把关，如第17-20题第二 问均构思新颖；而学生对新题不适应。习惯于常 见题型的学生，在平时的大量训练中迷失了方向， 不能很好地理解题意、寻求策略，不能灵活运用 数学的基本思想方法解决问题，独立思考能力、 理解分析问题的能力欠佳。
9.20
4.86
18（16 分）
解三角形二 次函数不等 式
6.59
直线和椭圆 的位置关系 几何性质
7.39
导数的应用， 函数的极值、 函数零点
4.14
近三年难度： 2013年86.2(0.54);2011年 91.28（0.61）2012年省均分82(0.51).
2013数学试卷特点：
今年江苏高考数学试题，较好体现了依纲据本，
其次，对问题进一步变化，改变习题的设 问方式、逆命题、或联想与此题相关的各 类试题，通过一题的复习，可以解决一类 问题，从而使学生达到触类旁通的效果。
最后，设置1-2道应用型问题，可以是学 科内部知识的渗透与整合，也可以是实际 应用问题。
历届高考数学立体几何选择填空汇总.
人大行政管理考研复试真题心得分享作为考研复试的一部分，面试环节是很多考生备战过程中感到较为紧张的一环。
而作为人大行政管理的考研复试科目之一，面试的通过与否对考生未来的发展具有重要的影响。
在这里，我将分享一些关于人大行政管理考研复试真题的心得体会，希望对正在备考的考生们有所帮助。
首先，了解考研大纲是非常重要的。
考研大纲是考生备考的的重要依据，熟悉大纲不仅可以了解考试的内容和要求，还可以帮助考生明确备考的重点和方向，提高备考效率。
在备考过程中，我会仔细研读大纲，并将其划分为不同的模块，逐一进行学习和掌握。
同时，大纲中的每个考点都应该被掌握并独立进行总结，这样可以确保自己在复试中可以有足够的答题材料。
其次，考研笔记的整理与积累是备考过程中不可或缺的一环。
在复习的过程中，我会针对每个考点进行详细的笔记整理。
这不仅可以帮助我加深对知识点的理解和记忆，还可以方便我在复习过程中进行查阅。
考研笔记的整理应该注重概念的讲解、案例的引用以及自己对于知识的理解与补充，这样才能帮助我更好地回答问题和理解考研真题。
最后，复试真题的练习也是非常重要的。
通过做真题可以帮助我了解考试的形式和要求，熟悉考试的节奏和时间分配。
而且，真题可以帮助我发现自己的薄弱环节和需要加强的地方。
在进行真题练习时，我会模拟考试环境，合理安排时间，注重思路的清晰和表达的准确。
每做完一套真题，我会仔细分析自己的答题情况，找出不足之处，并进行针对性的复习和提高，以争取在实际考试中能够得心应手。
总结起来，人大行政管理考研复试是需要考生全方位准备的一个环节，综合素质和学科基础都是重要的考察要素。
在备考过程中，我们应该密切关注考研大纲，合理安排复习时间，积极整理和记忆相关知识点，同时进行适当的真题练习。
只有全面准备，才能在复试中取得好的成绩。
希望以上的分享能够对正在备考人大行政管理考研复试的考生们有所帮助。
祝愿大家能够顺利通过复试，实现自己的考研梦想！。
十年真题(-2019)高考数学真题分类汇编 专题09 立体几何与空间向量选择填空题 理(含解析)
专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019表面积与体积2019年新课标1理科12单选题2018几何体的结构特征2018年新课标1理科07单选题2018表面积与体积2018年新课标1理科12单选题2017三视图与直观图2017年新课标1理科07单选题2016三视图与直观图2016年新课标1理科06单选题2016空间向量在立体几何中的应用2016年新课标1理科11单选题2015表面积与体积2015年新课标1理科06单选题2015三视图与直观图2015年新课标1理科11单选题2014三视图与直观图2014年新课标1理科12单选题2013表面积与体积2013年新课标1理科06单选题2013三视图与直观图2013年新课标1理科08单选题2012三视图与直观图2012年新课标1理科07单选题2012表面积与体积2012年新课标1理科11单选题2011三视图与直观图2011年新课标1理科06单选题2010表面积与体积2010年新课标1理科10填空题2017表面积与体积2017年新课标1理科16填空题2011表面积与体积2011年新课标1理科15填空题2010三视图与直观图2010年新课标1理科14历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC,△ABC是边长为2的正三角形,E，F分别是PA,AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（)A．8πB．4πC．2πD．π【解答】解：如图，由PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心，连接BO并延长,交AC于G，则AC⊥BG，又PO⊥AC，PO∩BG＝O，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC，∵E，F分别是PA,AB的中点，∴EF∥PB，又∠CEF＝90°，即EF⊥CE，∴PB⊥CE，得PB⊥平面PAC，∴正三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球,其直径为D．半径为，则球O的体积为．故选：D．2．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16,其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（)A．2B．2C．3 D．2【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2,直观图以及侧面展开图如图:圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中，最短路径的长度：2．故选:B．3．【2018年新课标1理科12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面,并且正六边形时,α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长，α截此正方体所得截面最大值为：6．故选：A．4．【2017年新课标1理科07】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形2×(2+4）＝6，∴这些梯形的面积之和为6×2＝12，故选：B．5．【2016年新课标1理科06】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是,则它的表面积是( ）A．17πB．18πC．20πD．28π【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得:,R＝2．它的表面积是：4π•2217π．故选：A．6．【2016年新课标1理科11】平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABA1B1＝n,可知：n∥CD1，m∥B1D1,∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1＝60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．7．【2015年新课标1理科06】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r＝8，解得r，故米堆的体积为π×（）2×5，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴1。
2009年山东高考卷
2009年山东高考卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列词语中加点字的注音全都正确的一项是（）A. 憎恶（wù）玢瓜（fēn）愀然（qiǎo）哀矜（jīn）B. 跬步（kuǐ）愆期（qiān）摺扇（zhé）溘然（kè）C. 拘囿（yòu）纰漏（pī）羁绊（jī）犹豫（yù）D. 惬意（qiè）摺皱（zhě）桎梏（gù）氤氲（yūn）2. 下列词语中没有错别字的一项是（）A. 略胜一筹举案齐眉渊源有自沤心沥血B. 纷至沓来良莠不齐胜卷在握破绽百出C. 纷繁芜杂沽名钓誉珠光宝气鹬蚌相争D. 闲情逸致和颜悦色踌躇满志指手画脚3. 下列各句中，加横线的成语使用不恰当的一句是（）A. 在球迷的呼吁下，这位主教练下课几成定局，但在赛季结束前，他始终不肯主动辞职，让人不禁感叹他是多么恋栈不去。
B. 近年来，随着流域经济的快速发展，长江沿线的生态环境日益恶化，因此，对长江水资源实施保护已刻不容缓。
C. 中国古代的书画家们尤其喜欢在扇面上绘画，留下了很多精美的扇面画作品，至今仍为人们所喜爱和收藏。
D. 媒体不如实报道，可能会混淆视听，但我相信，只要有关职能部门严格执法，就一定能确保市场经济秩序正常运行。
4. 下列各句中，没有语病的一句是（）A. 根据公司的战略发展需要，我们与国家知识产权局达成了合作协议，从而为我们的专利申请提供了更多的保障。
B. 由于环境污染的日趋严重，淮河的水质已由20世纪80年代的Ⅱ类下降为Ⅳ类，严重威胁到沿淮城乡人民的生活和健康。
C. 目前，我国图书出版事业取得了长足的进展，全国每年出书一万多种，是十年前的两倍多。
D. 在深化改革的同时，我们一定要巩固改革取得的成果，避免已经取得的成果付之东流。
二、填空题（每题4分，共40分）5. 补写出下列名篇中的空缺部分。
（1）亦余心之所善兮，_______。
（屈原《离骚》）（2）君子博学而日参省乎己，_______。
近年高考数学立体几何试题分析及解决策略
近年⾼考数学⽴体⼏何试题分析及解决策略近年⾼考数学⽴体⼏何试题分析及解决策略遵义市南⽩中学钟永胜摘要：数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的⼀门学科，⽴体⼏何着重研究空间中的位置关系，是⾼中数学的重要内容，因此也是⾼考考查的主要内容。
⾼考对⽴体⼏何的考查主要从以下⼏个⽅⾯进⾏:⼀是判断空间内基本的⼏何元素的基本位置关系如平⾏和垂直；⼆是对空间想象能⼒的考查；三是对空间内的线⾯关系的求解和证明。
通常会以选择题，填空题，以及解答题的形式进⾏考查，会有17~22分的题⽬考查⽴体⼏何内容。
在以解答题的形式考查⽴体⼏何问题时，常以两个⼩题的形式出现，以⼏何体为载体，第⼀⼩题主要考查⽴体感(线、⾯的平⾏、垂直)，⽽⼆⼩题进⼀步考查空间⾓和距离。
利⽤空间向量解决⽴体⼏何好的，能很好地把空间位置关系转换为数量的计算，因此，向量⽅法在解决⽴体⼏何问题中有着⼴泛的运⽤，然⽽⽤向量法解决⽴体⼏何问题时相应的计算较为繁琐计算量较⼤，所以在能够很好的解决这⼀问题的同时，考虑能提⾼解决这⼀问题的速度就显得很有必要。
本⽂将从简化向量计算和⼏何法的快速切⼊的⾓度，以近年⾼考试题为例进⾏⼀些探索。
关键词：⽴体⼏何，空间向量，平⾯的法向量，向量的内积，向量的外积。
从历年的考题变化看，以简单⼏何体为载体的线⾯位置关系的论证，⾓与距离的探求是⾼考题对⽴体⼏何常考常新的热门话题。
⼀、2021年⾼考各地⽤卷情况1、原有的全国I、II卷合并，称全国⼄卷。
适⽤于安徽、河南、陕西、⼭西、江西、⽢肃、⿊龙江、吉林、宁夏、青海、新疆、内蒙古。
2、原有的全国III卷不变，称全国甲卷。
适⽤于四川、云南、贵州、⼴西、西藏。
3、新⾼考I卷(新课标I卷)适⽤于⼭东、湖北、江苏、河北、⼴东、湖南、福建。
4、新⾼考II卷(新课标II卷)适⽤于海南、辽宁、重庆。
5、⾃主命题北京、天津、上海、浙江。
⼆、近年⾼考理科数学⽴体⼏何试题题型及对⽐分析.题型及分值题卷甲卷⼄卷新⾼考1卷浙江卷2个选择题1个解答题共22分1个选择题1个填空题1个解答题共22分1个选择题1个解答题共17分2个选择题1个解答题共22分⼀、基础知识整合.平⾏与垂直的问题是⽴体⼏何永恒的话题，同时也是建⽴⽴体感的重要抓⼿。
对比分析研究课题研究报告
《近五年乌市诊断数学试卷与高考数学课标卷二的对比分析研究》结题报告昌吉州玛纳斯县第一中学李庆晖[摘要] 本课题围绕近五年乌市诊断数学试卷与高考数学课标卷二的对比分析，在调查了老师的研究现状的基础上，运用行动研究方法和分析研究法，形成了相应的分析报告和适合本校老师的研究策略。
研究工作立足校本，聚集教学，对提高教育质量有借鉴意义。
[关键词] 数学对比分析策略一、课题提出的背景近十几年来，优秀生源大量流失，导致我校的生源整体水平较低。
在数学学科上，学生层面表现出基础差，习惯差，学习信心不足，学习欲望不强的特点。
教师则因为生源整体水平较低，对专业要求不高的现状。
在教学上主要有以下几个方面的突出表现：1、高考复习71.18%的高三老师都是按照学校征订的复习资料进行复习。
2、69.4%的教师在高考复习时没有认真做过近五年乌市诊断数学试卷和高考数学卷二。
就更谈不上对比分析研究了。
3、77.6%教师不知道该如何进行高考研究。
4、迫于学校向高考要成绩的压力61.7%的老师在高三复习时都采用题海战术和用增加课时的办法来提高成绩。
5、70.5%老师迫切的需要高考研究方面的指导和有关数据来指导高考复习，从而达到提高高考复习效率的目的。
以上诸多现象反映目前我校高三复习的数学教学的现状,希望通过本课题的研究能为我校的高考复习开辟新的篇章。
二、研究目的和意义（1）通过对比分析研究形式对比分析报告，为高考复习准确的把握方向提供有力的依据。
（2）通过对比分析研究提高高考复习的效率最终达到提高高考数学成绩的目的（3）通过对比分析研究提高老师的高考研究能力，最终达到提高教学研究能力的目的。
（4）通过对比分析研究提高教师对教材的把握能力。
三、研究的基本内容1、近五年乌市诊断数学试卷与高考大纲和考试说明的对比分析研究。
2、近五年乌市诊断数学试卷的纵向对比分析和当年三次诊断的横向对比分析。
3、近五年高考数学课标卷二与高考大纲和考试说明的对比分析研究。
2009年高考天津数学(理科)试题及参考答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工农医类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）i 是虚数单位，52i i-= （A ）1+2i （B ）-1-2i （C ）1-2i （D ）-1+2i 【考点定位】本小考查复数的运算，基础题。
解析：i i i i i 215)2(525+-=+=-，故选择D 。
（2）设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数23z x y =+的最小值为（A ）6 （在点B )1,2(，所以734min =+=z ，故选择B 。
（3）命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是（A ）不存在0x ∈R, 02x >0 （B ）存在0x ∈R, 02x ≥0（C ）对任意的x ∈R, 2x≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x>0 【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。
解析：由题否定即“不存在R x ∈0，使020≤x ”，故选择D 。
（4）设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =A. 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。
B. 在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点。
C. 在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。
D. 在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点。
【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。
解析：由题得xx x x f 33131)`(-=-=，令0)`(>x f 得3>x ；令0)`(<x f 得30<<x ；0)`(=x f 得3=x ，故知函数)(x f 在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(+∞为增函数，在点3=x 处有极小值03ln 1<-；又()0131)1(,013,31)1(>+=<-==ee f e e f f ，故选择D 。
2009年全国高考理科数学试题及答案-安徽卷
2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页。
第II卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名，座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2.答第I卷时、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮檫干净后，在选涂其他答案标号。
3.答第II卷时，必须用直径0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后在用0.5毫米的黑色墨色签字笔清楚。
必须在标号所指示的答题区域作答，超出答题卡区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：S表示底面积，h表示底面的高如果事件A 、B 互斥，那么 棱柱体积 V Sh =P(A+B)=P(A)+P (B) 棱锥体积 13V Sh =第I 卷(选择题 共50分)一.选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是（B ） （A ）-15 （B ）-3 （C ）3 （D ）15（2）若集合{}21|21|3,0,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭则A ∩B 是（D ）（A ） 11232x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或 (B) {}23x x << (C) 122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(D) 112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭（3（B ）（A ）22124x y -= （B ）22142x y -= （C ）22146x y -= （D ）221410x y -=(4)下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（A ） （A ）p:a c +＞b+d , q:a ＞b 且c ＞d（B ）p:a ＞1,b>1 q:()(10)x f x a b a =-≠>的图像不过第二象限 （C ）p: x=1, q:2x x =（D ）p:a ＞1, q: ()log (10)a f x x a =≠>在(0,)+∞上为增函数（5）已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（B ）（A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ） 18 （6）设a ＜b,函数2()()y x a x b =--的图像可能是（C ）（7）若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是（A ） （A ）73 （B ） 37 （C ）43（D ） 34（8）已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调区间是（C ）（A ）5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ （B ）511[,],1212k k k Z ππππ++∈（C ）[,],36k k k Z ππππ-+∈ （D ）2[,],63k k k Z ππππ++∈（9）已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（A ）（A ）21y x =- （B ）y x = （C ）32y x =- （D ）23y x =-+ （10）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（D ）1 75（B）275（C）375（D）475（A）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。
高考数学试题主观题分类剖析
2009年高考数学试题主观题分类剖析马兴奎 （云南省文山州砚山一中，663100）在高考数学试卷中，主观题包括计算题、证明题、应用题等。
其基本架构是：给出一定的题设(即已知条件)，然后提出一定的要求(即要达到的目标)，让考生解答。
考生解答时，应把已知条件作为出发点，运用有关的数学知识和方法，进行推理、演绎或计算，最后达到所要求的目标，同时要将整个解答过程的主要步骤和经过，有条理、合逻辑、完整地陈述清楚。
纵观近几年高考命题情况，可以发现，主观题在高考卷中的考查呈现以下特点：(1)对基础知识的考查，要求全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合。
(2)对数学思想和方法的考查，数学思想与方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，在高考中，常将它们与数学知识的考查结合进行考查时，从学科整体意义和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧。
(3) 对能力的考查，以逻辑思维能力为核心，全面考查各种能力，强调探究性、综合性、应用性，突出数学试题的能力立意，强化对素质教育的正确导向。
(4) 在强调综合性的同时，注重试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查。
(5)出现一些背景新颖的创新题、开放题、富有时代特色的应用题，并有越演越烈的趋势.一、三角与三角函数的综合问题【例1】已知函数.32sin sin 32)(2++-=x x x f（Ⅰ）求函数f (x )的最小正周期和最小值；（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数],0[)(π在区间x f y =上的图象.命题意图：三角与三角函数的综合问题主要考点是三角变换、图像、解析式、向量或三角应用题，重点是三角、向量基本知识的综合应用能力。
数形结合、函数与方程思想、化归转化的思想是解决三角函数问题时经常使用的基本思想方法。
属于基础题或中档题的层面，高考中一定要尽量拿满分。
【分析及解】（Ⅰ）)32sin(22cos 32sin 2sin )sin 21(3)(2π+=+=+-=x x x x x x f 所以，)(x f 的最小正周期ππ==22T ，最小值为2-（Ⅱ）列表：故画出函数],0[)(π在区间x f y =上的图象为评注：三角函数的训练应当立足课本，紧扣高考真题，不需要加深加宽．解答三角函数考题的关键是进行必要的三角恒等变形，其解题通法是：发现差异（角度，函数，运算），寻找联系（套用、变用、活用公式，技巧，方法），合理转化（由因导果，由果探因）．其解题技巧有：常值代换：特别是用“1”的代换；项的分拆与角的配凑；化弦（切）法；降次与升次；引入辅助角：asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan b aϕ=确定．此类题目的特点是主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性、“五点法”作图，以及求三角函数的最大(最小)值等.二、概率与统计的综合问题【例2】如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进. 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字. 质点P 从A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A 到B ）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P 前两步（如由A 到C ），当正方体上底面出现的数字是3，质点P 前进三步（如由A 到D ）. 在质点P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止. （I ）求点P 恰好返回到A 点的概率；（II ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P 恰能返回到A 点的投掷次数，求ξ的数学期望.命题意图：概率与统计的综合问题主要考点是概率、分布列、期望，文科重点是概率，理科重点是概率、分布列、期望，考查从摸球、掷骰子、体育活动、射击及生产生活中抽象出的数学模型的能力，分类讨论的思想。
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表面积与体积
第4题5分
第4题5分
第17题13分
第11题5分 第18题6分
第11题5分
垂直关系
第9题5分 第18题6分
第5题5分
第6题5分 第17题13分
第5题5分 第18题7分
第18题6分
第19题4分
福建17 江苏12 天津19 浙江17 安徽10 福建7 江苏16 浙江20 福建17 天津19
平行关系
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2009年高考试题分析(二)
2. 突出重点——求精: 近几年的高考题比较注重求问形式的多元化,但问题最终的落脚点无外乎 是证明平行或垂直,求解角度或距离;而解决的方法也是主要集中在一两 个常见的形式上.比如求证空间中某直线和某平面的平行关系,要么采用 线面平行的判定定理——在该平面中找到一条和该直线平行的直线(利用 中位线或平行四边形),要么采用面面平行的性质定理——构造过该直线 与该平面平行的平面.再比如利用"三垂线"求作二面角的平面角,一般只要 在其中一个半平面内找到一点P,过它的一个平面和另一半平面相交得到交 线,再过点P作此交线的垂线,垂足即为点P射影,之后过此射影作二面角 的棱的垂线并连结垂足和点P,平面角即会出现;这种方式还会用在求解线 面角,点面距等问题当中,应当认真体会.
(二)考点分析 分析 考点一:三视图----山东第4题 例题:(2009山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.
).
2π + 2 3 B. 4π + 2 3 C. 2π + 3
2 3
D. 4π +
2 3 3
2 2
【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面 边长为,高为,所以体积为所以该几何体的体积为. 答案:C
2009年高考试题分析(二)
最后,建议我们要认真充分的研究《考试大纲及说明》,它是 依据国家教育委员会颁发的《全日制中学教学大纲》制定的, 是高考命题的指挥棒,它规定了考试的性质,内容,形式,难 度等,而且对考查不同的知识提出了明确的层次要求.只有研 究好它,才能有针对性,有重点的进行复习,避免盲目于题海 中.比如求异面直线之间的距离,只要求会计算已给出公垂线 时的距离,因此复习时就没有必要在这问题上进行过于复杂的 探讨.但是对于其中要求我们达到理解掌握并灵活运用程度的 部分,必须经过反复训练,不断强化才能达到目标.
2009年高考试题分析(二)
3.总结规律——求准: 立体几何解题过程中,常有明显的规律性 ,所以复习中必需对概念, 定理,题型,方法进行总结,归类,进而建立知识框架和网络,弄清各概 念之间的包含关系,理清定理的来龙去脉和相互转化的过程,从内涵和外 延上区分容易混淆的各个概念,从条件,结论和使用范围上去区分容易混 淆的各个定理.比如说,"中点"这个条件在题目中出现的频率相当高,这个 现象背后肯定有规律!道理很简单,因为中点如果连到另一个中点,就会 出现中位线,然后自然会出现平行关系了,如果出现在等腰(或等边)三 角形的底边上,那就是出垂直了.所以中点联系到了平行和垂直两大位置 关系,能够利用这些规律去解决问题,会使我们思路更加明确而避免走弯路. 另外"空间向量"的引入,会为我们开辟一条新的道路,尤其在求解空间 角与距离的问题中,"向量法"更是极具可操作性,规律性,并具有一定的优 势.只要能够建立恰当的坐标系,掌握好"法向量"的求解方法并学会各种角 与距离的向量法求解公式,问题一般就不难解决了,但是必须要保证运算的 精准!
考点二:空间位置关系与空间角----山东理科的 题 山东理科的18题 山东理科的 例题:(2009山东卷理)(本小题满分12分) 如图,在直四棱柱ABCD- A1 B1C1 D1 中,底面ABCD为等腰梯形,AB//CD, AB=4, BC=CD=2,
AA1 =2,
E, 1 ,F分别是棱AD, 1 ,AB的中点. E AA
第18题6分
第18题6分
第6题5分
第5题5分
第19题4分
异面直线所成的角
第18题7分
线面角
辽宁18 浙江5 第18题6分 第19题4分 安徽18 天津19
二面角
分数合计
22分
22分
18分
19分
22分
22分
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从数表中不难看出,各地高考对立体几何内容的考查 相对稳定,一选一填一解答,三视图,几何体的表面 积与体积,以及空间的点线面位置关系都是考查的重 点内容,可以说,有关题型,数量,位置,难度,分 值与前几年相比都相对稳定,但稳力.
2
2 正(主)视图
2 侧(左)视图
俯视图
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分析: 分析:【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何 体的体积.本题主要考察了简单几何体的体积计算及三视图的 相关知识,考生需将文字语言转化为图形语言,再运用符号 , 语言算出结论,试题注重对基础知识和基本技能的考查,也 注重提高学生的"数学思维能力",控制试题的计算量,加大了 思考量. 学生的易错点是对三视图的相关知识掌握不到位,求不出有关 数据.三视图是新教材中的新内容,故应该是新高考的热点之 一,要予以足够的重视.09年的高考几乎所有省份都考察了三 视图.
教学建议 1. 扎实基础——求稳: 对立体几何的复习首要的事情就是强化基础知识的训练, 确实掌握基本概念,性质,定理,公理,推论等,同时掌握 这些定理在不同题目中的用法,理解它们的个性和通性,在 此基础上突出重点,强调中心问题,找到解各种题目的突破 口,提高解题能力.其中一项重要的能力是"画图".高考卷 中立体几何的小题一般都不给图,而大题中所给的图又往往 需要添加辅助元素,所以从某种意义上说,作出一个好图等 于题目解决了一半!训练中要做到:①会画——根据题设条 件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面),作 出的图形要直观,虚实分明;②会看——根据题目给出的图 形,想象出立体的形状和有关线面的位置关系;③会用—— 对图形进行必要的分解,组合,或对其某部分进行平移,翻折 ,旋转,展开或割补等. 同时复习过程中还需注意其它板块的基础知识在立体几何 题中的运用,比如绝大多数求解型题最后都需要在构建好的平 面图形(尤其是三角形)中才能解决,因此诸如像平面几何的 相关知识,三角函数,正余弦定理等就必不可少了.
2009年高考试题分析(二) 年高考试题分析( 年高考试题分析
(一)考查的知识点的分布情况 广东 山东 文科 几何体的结构 理科 文科 理科 文科
第9题5分
海南,宁夏 理科
第8题5分
其他
安徽15
三视图和直观图
第4题5分
第4题5分
第17题13分
第11题5分
第11题5分
辽宁15 天津12 浙江12 安徽18 辽宁11
D1 C1
(1)证明:直线E E1 //平面FC C1 ; (2)求二面角B-F C1 -C的余弦值.
A1 B1
E1
D
C
E A F B
分析: 分析:山东理科的18题着重考查线线关系,线面关系及面面关系 中的二面角,注重了知识之间的内在联系,重点内容重点考,着 重考查了支撑学科知识体系的知识主干,以重点知识为主线组织 全卷的内容,对重点知识的考查力求深入和综合的特点.没有片 面追求知识及基本思想,方法的覆盖面,反映了新课程的理念. 18题考查的内容立体几何较前些年容易些,说明试题紧扣《课程 标准》和《考试说明》,符合降低考查立体几何难度的要求. 试卷还很好的注意到了研究题目信息的配置,考虑从不同角度运 用不同的数学方法,创设多条的解题途径,有效区分不同层次的 考生,如理科立体几何题的解答,设置了传统解法和向量解法相 结合思路. 总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法:传统方法与向 量的方法仍处于各自半壁江山的状况.命题人在这里一定会照顾 双方的利益.