第三章线性代数方程组解法
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计算方法(3)第三章 线性代数方程组的解法
“回代”解得
xn
bn ann
xk
1 akk
[bk
n
akj x j ]
j k 1
其中aii 0 (i 1,2,......, n)
(k n 1, n 2, ,1)
返回变量
函数名
function X=backsub(A,b) 参数表
%Input—A is an n×n upper- triangular nonsingullar matrix % ---b is an n×1 matrix
x1
xi
b1 / a11
i 1
(bi aik
k 1
xk ) / aii
(i
2,3,
, n)
如上解三角形方程组的方法称为回代法.
二. 高斯消元法(Gaussian Elimination)
高斯消元法的求解过程,可大致分为两个阶段:首先, 把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消元”过 程;然后,用逆次序逐一求出上三角方程组(原方程组的 等价方程组)的解,称之为“回代”过程.
符号约定:
1. (λEi )(Ei ): 第i个方程乘以非零常数λ。 2. (Ei +λEj )(Ei ): 第j个方程乘以非零常数λ
加到第i个方程。
3.（Ei )(Ej )： 交换第i个方程与第j个方程。
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21
x1 4 x4 x2 4 1 2 1
故解为（x1，x2 ，x3 ，x4 )T (1，2，0，1)T
A=[1 1 0 1;0 -1 -1 -5;0 0 3 13;0 0 0 -13] b=[4;-7;13;-13] X=backsub(A,b)
第三章线性方程组AX=B的数值解法
线性方程组的解（续1）
求逆运算和行列式计算由于运算量大，实 际求解过程中基本不使用，仅作为理论上 的定性讨论 克莱姆法则在理论上有着重大意义，但在 实际应用中存在很大的困难，在线性代数 中，为解决这一困难给出了高斯消元法 还有三角分解法和迭代求解法
11.03.2019 华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
11.03.2019 华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
3.4 高斯消去法和选主元（续1）
考虑一个简单的例子：
3x 1 2x 2 7 4x 1 x 2 1
求解第二个方程，得
x2 5
第二个方程减去第 一个方程除以3再乘 以4得到的新方程， 得到新的方程组：
3x 1 2x2 7 5 25 x2 3 3
上三角线性方程组的求解（续1）
(2) 式可简写成 u11 U
11.03.2019
U x b ， 其中
u12 u1n u 22 u 2 n u nn
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
3.4 高斯消去法和选主元
求解有N个方程和N个未知数的一般方程组 AX=B的一般做法：构造一个等价的上三角 方程组UX=Y，并利用回代法求解 如果两个N×N线性方程组的解相同，则称 二者等价 对一个给定方程组进行初等变换，不会改 变它的解
2 x1 x2 4 x3 16 1 x2 5x3 -14 2 x1 3x2 3x3 16
2 x1 x 2 4 x3 16 1 x 2 5 x3 -14 2 5 x 2 x3 8 2
11.03.2019
2x1 x2 4x3 16 x2 10x3 -28 26x3 78
文档：线性代数第三章 线性方程组
第三章 线性方程组第一章中的克莱姆法则解决了部分线性方程组的求解问题。
当系数矩阵行列式||0A =，或方程组的个数与未知量个数不相等时，克莱姆法则就无法给出解的存在性。
另外即使可用克莱姆法则求解的线性方程组，其计算量也非常大，这一章主要解决一般线性方程组的求解问题。
§1 解的有关概念对于一般线性方程组11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩， 记()ij m n A a ⨯=，12(,,,)T n X x x x =，12(,,,)T m B b b b =，则线性方程组可写成矩阵形式AX B =。
记(|)A A B =，称为线性方程组的增广矩阵。
如果0X 满足0AX B =，则称0X 为线性方程组AX B =的解；如果对任意X ，AX B =均不成立，称线性方程组AX B =无解。
有解的线性方程组也称为相容的线性方程组，无解的线性方程组称为不相容的线性方程组。
定义1：设有线性方程组11 (I)A X B =和22(II)A X B =，如果(I)的解全是(II)的解，且(II)的解也是(I)的解，则称线性方程组(I)与(II)同解。
如果线性方程组的解能用统一的形式来表示，称该解为线性方程组一般解（或通解）；相对应的具体的解称为特解。
求解线性方程组就是把线性方程组经过同解变换化成容易求解的方程组。
从而写出方程组的解。
§2 线性方程组的解法定义2：下列变换称为方程组的初等变换： 1) 交换两个方程位置； 2) 某一方程的非零k 倍；3) 某一方程的k 倍加到另一方程上。
性质1：方程组的初等变换是同解变换。
按同解的定义验证每经过一次方程组的初等变换均不改变方程组的解即可。
性质2：方程组的初等变换，对应于增广矩阵的初等行变换。
线性代数方程组的解法
2 3 2 n O( n ) 3
mult a(i , j ) a( j, j ); for k j 1 : n a(i , k ) a(i , k ) mult * a( j , k ); end b(i ) b(i ) mult * b( j ); end
end
LU分解
求A的LU分解（L是下三角矩阵，U是上三角矩阵）
1 1 1 1 3 4 3 4
LU分解
性质1 设向量
, xn ) 且 xk 0 T 则存在唯一的下三角阵 Lk I lk ek ,满足 x ( x1 , x2 ,
T
Lk x ( x1 ,
第三章 线性方程组的直接解法
/*Direct Method for Solving Linear Systems*/
求解 A x b, A R
Cramer法则:
nn
det( A) 0
Di xi D
i 1, 2,
,n
所需乘除法的运算量大约为(n+1)!+n
n=20时，每秒1亿次运算速度的计算机要算30多万年！
Gauss消去法的消元过程算法
for for
j 1: n 1
i j 1: n
2 3 2 n O( n ) 3
mult a(i , j ) a( j, j ); for k j 1 : n a(i , k ) a(i , k ) mult * a( j , k ); end b(i ) b(i ) mult * b( j ); end
方程组可化为下面两个易求解的三角方程组
Ly b Ux y
二、 高斯消去法
数学计算方法线性方程组解法
x(k1) 6.667 y(k) 8.667
y(k1) 2.5x(k) 4.0
5x 2y 8 3x 20y 26
k
0
x(k)
0
1 8.667
2 35.335
3
…
-109.126 …
y(k)
0
4.0
-17.668 -84.358 …
§3.1 问题的提出
...
a2n
,
b
b2
,
x
x2
... ... ... ...
...
...
an1
an2
...
ann
bn
xn
§3.1 问题的提出
➢如果A是非奇异阵时，方程组有唯一解， 且可以用克莱姆(Grammer)法则表示:
xi
Di D
,
(i 1, 2,..., n)
其中xi是解向量x*的第i个分量，D=detA, Di是用b代替A的第i列后得到矩阵的行列 式。
§3.1 问题的提出
➢克莱姆方法求解计算量太大，需要计 算(n+1)个n阶行列式，共需要(n+1)!次乘 法运算。
§3.1 问题的提出
• 求解线性方程组的数值方法有两大类：
1)直接法(direct methods)。 经过有限次 算术运算可求方程组精确解的方法(实 际上，由于舍入误差不可避免，一般 得不到精确解)。适合于求解低阶稠密 阵方程组。
§3.1 问题的提出
是方程组的精确解，用有限次运算得不到精 确解。迭代法是牛顿最先提出来的，1940年 经司威尔提出的松弛法也是一种迭代法，共 轭梯度法则是另一种迭代法，是弗莱彻等人 于20世纪60年代提出来的。
§3.1 问题的提出
第三章 解线性代数方程组的直接法(1)
(1) 11 (1) i1 (1) 11
0，记
... a
( 2) n2
...
...
( 2) nn
... a
b1(1) ( 2) b2 ... ( 2) bn
[ A2 b2 ]
其中
a a l i1 a ( 2) (1) (1) b bi bi li1 1
( ( ( A A1 [aij1) ]nn , b b1 [b1(1) , b21) , ..., bn1) ]
(1) 第一步消元。若 a
a l i1 , i 2, 3, ..., n a 将第一行乘以 l i1 ，加到第 i 行上去，得
(1 a11) 0 ... 0 (1 a12) (2 a22 ) ( ... a11) n ( ... a22 ) n
高 斯 消 去 法 的 消 元 过 程
for
k 1, 2,, n 1 for i k 1, k 2,, n aik aik ; akk for j k 1,, n 1
aij aij aik akj
n
回 a n , n 1 (ai ,n1 ai , j a j ,n1 ) 代 a n , n 1 ; a j i 1 i , n 1 an ,n 过 ai , i 程 i n 1,,1
( i , j 3, 4, , n)
于是得到如下与原方程组等价的方程组
A3 x b3
(3) 第 k 步消元。设第 k-1 次消元已经完成，若增广矩阵
a (1) 11
若a
a
(1) 12
a
(1) 13
计算方法第三章 解线性代数方程组的直接法
再由回代过程可得
x3 2, x2 8, x1 -13.
2021年7月16日星期五
精选课件
14
3.1.2 主元消去法 顺序消去法的缺陷
在进行第k步消元时，一定要假设主元ak(kk) 0,否则 在消元过程中就会出现“主元素”ak(kk) 0的情形，这时 消元过程将无法进行下去。另外，尽管det( A) 0, 但如果 “主元素”ak(kk ) 很小，由于计算机字长有限，必然有舍入 误差等因素的影响，其本身常常有较大的相对误差，用 它做除数就会导致其它元素舍入误差的扩散，这样就使 解极不准确，甚至可能产生溢出停机。
103 (0.20)
a122 101(0.10) 103 (0.20) 101(0.10) 103 (0.20) a123 101(0.10) 103 (0.20) 100 (0.50) 103 (0.10) 于是我们得到系数矩阵为上三角形的方程组
10（2 00.50）
110（ 01（300.1.20） 0）
a1n a2n ，
an1 an2 ann
x1
x
x2
xn
，
b1
b
b2
bn
.
当方程组（3.1）的系数矩阵的行列式不等于零时，方程组有唯一解：x A1b
而且这个方程组的解可用克莱姆(Cramer )规则表示为：
xi
Ai A
,
i 1,2,, n.
其中记号 A 为矩阵A的行列式，Ai 表示把行列式 A中的第i列元素换成右端项b后，
所得到的n阶行列式。
2021年7月16日星期五
精选课件
2
2021年7月16日星期五
精选课件
3
§3.1 高斯(Gauss)消去法
线性代数第三章第三节线性方程组的解课件
B1 1 ~1 1
1
1 2
1
1
1
1 1
2
~ 0 - 1 1 - - 2
0
1-
1 - 2
1
-
2
1 1
~ 0 -1 1-
2
- 2
0
0
2 - - 2
1
-
2
-
3
1 1
0 -1
1-
2
1 -
0
0
1 - 2
1
-
1
2
1 当 1时,
1 1 1 1 B ~ 0 0 0 0
例３ 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
-
x2 x2
x3 x3
-
x4 0 3x4 1
.
x1 - x2 - 2x3 3x4 -1 2
解 对增广矩阵B进行初等变换
1 - 1 - 1 1 0 1 - 1 - 1 1 0 B 1 -1 1 - 3 1 ~ 0 0 2 - 4 1
1 - 1 - 2 3 - 1 2 0 0 - 1 2 - 1 2
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2
x2 x3 x4
x2
1 0
0
x4
0 2 1
102 .
0
其中x2 , x4任意.
x1 - x2 a1
例４
证明方
程组
x2 x3
-
x3 x4
a2 a3
x4
-
x5
a4
x5 - x1 a5
有解的充要条件
是a1 a2 a3 a4 a5 0.在有解的情况下，
0
0 1
-2 2
第三章线性代数方程组的直接解法
由此看出,高斯消去法解方程组基本思想是设
法通消常去把方按程照组的先系消数元矩,阵后A回的代主两对个角线步下骤的求元解素线,而性 将方A程x=组b化的为方等法价称的上为三高角斯形（方G程a组us,s然）后消再去通法过。回
代过程便可获得方程组的解。换一种说法就是用矩 阵行的初等变换将原方程组系数矩阵化为上三角形 矩阵,而以上三角形矩阵为系数的方程组的求解比较 简单,可以从最后一个方程开始,依次向前代入求出 未知变量 xn , xn1 , , x1 这种求解上三角方程组的 方法称为回代, 通过一个方程乘或除以某个常数,以 及将两个方程相加减,逐步减少方程中的变元数,最 终将方程组化成上三角方程组,一般将这一过程称为 消元,然后再回代求解。
3.2.2 高斯消去法算法构造 我们知道,线性方程组(3.1)用矩阵形式表示为
a11 a12 a21 a22 an1 an2
a1n
a2n
ann
x1 b1
x
2
b2
xn bn
每个方程只含有一个未知数,从而得出所求的解。
整个过程分为消元和回代两个部分。
（1）消元过程 第1步:将方程①乘上(-2)加到方程 ②上去,将 方程 ①乘上 1 加到方程 ③上去,这样就消去
2
了第2、3个方程的 x1 项,于是就得到等价方程 组
2x1 x2 3x3 1
2
x1
x2
3x3
1
4x2 x3 2
5 2
x2
3 2
x3
13 2
3线性方程组解法课件-11
第3章线性方程组的解法本章探讨大型线性方程组计算机求解的常用数值方法的构造和原理，主要介绍在计算机上有效快速地求解线性方程组的有关知识和方法。
重点论述Jacobi迭代法、Seidel迭代法、Guass消元法及LU分解法的原理、构造、收敛性等内容。
3.1 实际案例3.2问题的描述与基本概念解线性方程组问题在线性代数中已有很优美的行列式解法，但对大型的线性方程组（阶数n>40）的求解问题使用价值并不大，因为其计算量太大。
实际问题中经常遇到自变量个数n都很大的线性方程组求解问题，这些线性方程组要借助计算机的帮助才能求出解。
n 个变元12,,,n x x x ⋯的线性方程组的一般形式为11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （3.3）式中，a ij 称为系数，b i 称为右端项，它们都是已知的常数。
如果有***1122,,,n n x x x x x x ===使方程组（3.3）成立，则称值***12,,,n x x x为线性方程组的（3.3）的一组解。
本章在不作特别说明的情况下，主要讨论m=n 的线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的求解问题，且假设它有唯一解。
线性方程组的矩阵表示Ax b =式中A 称为系数矩阵，b 称为右端项。
数值分析中，线性方程组的数值解法主要分为直接法和迭代法两大类。
直接法是用有限次计算就能求出线性方程组“准确解”的方法（不考虑舍入误差）；迭代法是由线性方程组构造出迭代计算公式，然后以一个猜测的向量作为迭代计算的初始向量逐步迭代计算，来获得满足精度要求的近似解。
第三章解线性方程组直接法
第三章 解线性方程组的直接法3.1 引言许多科学技术问题要归结为解含有多个未知量x 1, x 2, …, x n 的线性方程组。
例如，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，三次样条函数问题，解非线性方程组的问题，用差分法或有限元法解常微分方程、偏微分方程的边值等，最后都归结为求解线性代数方程组。
关于线性方程组的数值解法一般有两类：直接法和迭代法。
1. 直接法直接法就是经过有限步算术运算，可求得线性方程组精确解的方法（假设计算过程中没有舍 入误差）。
但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。
本章将阐述这类算法中最基本的高斯消去法及其某些变形。
2. 迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，迭代法需要的计算机存储 单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变，这些都是迭代法的优点；但是存在收敛性和收敛速度的问题。
迭代法适用于解大型的稀疏矩阵方程组。
为了讨论线性方程组的数值解法，需要复习一些基本的矩阵代数知识。
3.1.1 向量和矩阵 用nm ⨯R表示全部n m ⨯实矩阵的向量空间，nm C⨯表示全部n m ⨯复矩阵的向量空间。
()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⇔∈⨯nn n n n n ij nm a a a a a aa a a a ΛΛΛΛΛΛ212222111211A R A 此实数排成的矩形表，称为m 行n 列矩阵。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇔∈n n x x x M 21x R x x 称为n 维列向量矩阵A 也可以写成)(n 21a ,,a ,a A Λ= 其中 a i 为A 的第i 列。
同理⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T T T n 21b b b A M其中Ti b 为A 的第i 行。
矩阵的基本运算：（1） 矩阵加法 )( ,n m n m R C ,R B ,R A B A C ⨯⨯⨯∈∈∈+=+=n m ij ij ij b a c . （2） 矩阵与标量的乘法 ij j a ci αα== ,A C （3） 矩阵与矩阵乘法 p nk kj ikb acij ⨯⨯⨯=∈∈∈==∑m p n n m R C ,R B ,R A AB C ( ,1（4） 转置矩阵 ji ij T nm a c ==∈⨯ , ,A C RA（5） 单位矩阵 ()nn ⨯∈=Re ,,e ,e I n 21Λ，其中()Tk e 0,0,1,0,0ΛΛ= k=1,2,…,n（6） 非奇异矩阵 设n n ⨯∈R A ，n n ⨯∈R B 。
计算方法第三章线性方程组的直接解法
5 3
3 1
r3
r1 6
6 1 18 2
1 0
4 5 1 3
3 1
r3 r225
1 0
4 1
5 3
3 1
0 25 48 16
0 0 27 9
林龙
计算方法
6
化原方程组为三角方程组的过程为消元过程. 解三角方程组的过程为回代过程.
也可将上边的增广矩阵进一步化简.
1 4 5 3
1 0 7 1
xi
Di D
(i
1, 2,3,
)，由于方程含有n 1个
行列式.如对每个行列式按展开定理来计算.
用克莱姆法则求解,所需要的乘除运算量为
n!(n2 1) n次,若n 20用每秒一千万次的
计算机要三百万年,所以并不是凡直接法都
可以用来做实际运算.
林龙
计算方法
4
设有
§3.1直接法
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2
解 : 10
7
0
7
r1 r2
5 1 5 6
林龙
计算方法
16
10 3 5
7 2 1
0 6 5
7 4 6
r2
3 10
r1
r3
5 10
r1
10
0
0
7 0.1 2.5
0 7 6 6.1 5 2.5
r2 r3
r3
1 25
r2
10 7 0 7 x3 1
0
2.5
5
2.5
x2
2.5 5x
nn
a11 a12 .... a1n 1 0 0
a21
a22
线性代数线性方程组解的结构
x1
= -7
x2 = -1
x3 = 2
—r1—+2r2
1 0
0 1
0 -7 0 -1
0012
行最简形矩阵
下页
消元法与矩阵的初等行变换
总结:对方程组施行的初等行变换，与未知量无关，只 是对未知量的系数及常数项进行运算. 这些运算相当于 对方程组系数矩阵的增广矩阵进行了一系列仅限于行的 初等变换化为行最简形矩阵.
1 -2 4 3 3 -5 14 12
-1 4 1 5
r2-3r1 —r—3+r1
1 -2 01
4 2
3 3
0258
r3-2r2 1 -2 4 3 —— 0 1 2 3
0012
下页
消元法与矩阵的初等行变换
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组
的增广矩阵施以初等行变换的过程. 行阶梯形矩阵
，o =
0
bm
0
下页
向量方程
含有m个方程n个未知量的线性方程组
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
+ + - =
am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
……(1)
可用向量形式表示为
x11 + x22 +L + xnn = b,
—r3—-2r2
r2-2r3 —r1-—4r3
x1 -2x2+4x3 = 3
x2+2xx33
= =
3 2
x1 -2x2 = -5
第三章-线性方程组的解
线性代数——第 3章
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2 x2 = c 1 + c 0 + 0 . x3 2 0 4 2 1 2 其中c2 ,c4 任意. 0 1 0 x4
可写成矩阵方程:
Ax b
B ( A, b)
线性代数——第 3章
例
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 设A , b 3 2 4 2 3 3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.
线性代数——第 3章
定理1 (1) (2) (3)
n元线性方程组Ax=b
无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)； 有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n； 有无穷多个解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n；
线性代数——第 3章
1 0 0 ~ B0 0 0 x1
5 x1 2c2 3 c2 , x 2c 4 c , 2 2 3 2 x c , 3 1 x4 c 2 ,
线性代数——第 3章
2、非齐次线性方程组 增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有 解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解. 例２ 求解非齐次线性方程组
线性代数——第 3章
解
对系数矩阵 A 施行初等行变换：
1 2 2 1 1 2 2 1 r2 2r1 A 2 1 2 2 0 3 6 4 1 1 4 3 r3 r1 0 3 6 4
d d
线性代数方程组的数值解法
a (1) 1n 1
a (2) 2n 1
a
(1) 3n 1
a (1) nn 1
1
0
0
0
a (1) 12 1 0
0
a (1) 13
a (2) 23
a (1) 1n 1
a (2) 2n 1
记为
a (2) 33
a
(2) 3n 1
（A(2) , b(2)）
a (2) n3
a
(2) nn 1
(1) 22
,
然
后用第i行元数（i
3,
,
n)减去第二行对应元素的a
(1) i2
倍，(i 2,, n),这样，a(212)位置变为1，从第三行后的各
行第二个元素为0。
1 0 0 0
a (1) 12 1
a (1) 32
a (1) n2
a (1) 13
a (2) 23
a (1) 33
a (1) n3
2
(A
|
b)
4
1 2
3 5
1 1
4
0
1 2 4
3
2 1
1
2 2
2 0 1 6
0 1 1 5
1 0
1 3 22
1 1
1
2 1
4 2
0 0 1 6
这样就将系数阵化为单位三角阵，这个过程称为“消元 过程”。二是解三角形方程组，称为“回代过程”，整个过程 称为“有回代过程的顺序消元法”。
,
x
x2 xn
,
b
bபைடு நூலகம் bn
求解向量 x。
数值解法主要有两大类： 第一类是直接法。即按求精确解的方法运算求解。 第二类是迭代法。其思想是首先把线性方程组(3-1)等价 变换为如下形式的方程组：
第三章线性代数方程组解法
(k (k akk ) akn ) (k (k ank ) ann)
中，选取绝对值最大的元素作为主元素，如果它位于第r 行第s列，则通过交换k,r两行及交换k,s两列，使主元素位 (k a kk ) 的位置，然后进行消元计算。由于作列的交换 于 改变了方程中未知量的次序，因此回代过程要按未知量 调换后的编号顺序求解。
- x1 - 0.5x2 + 2x3 = 5 5x1 - 4x2 + 0.5x3 = 9
解 [A,b] =
0.01
2
- 0.5 2 0.5 9
-5 5 9 5 (3) 0 (1) (3)
5
-4
0.5 2
9 5
- 1 - 0.5 5 -4 0.5 2.10
-1 - 0.5 0.01 -4 2
- 0.5 – 5 0.5 9
(i, j=k+1, …, n)
回代过程:
( (n xn bnn ) / ann) ; n
xi (bi(i )
j i 1
a
(i ) ij
( x j ) / aiii )
（i =n-1,…,2,1）
四、顺序高斯消去法计算量分析
用计算机作四则运算时，加减操作所花的机器时间比乘除操 作少得多, 所以我们仅统计乘除次数。 1. 消元过程(共需n-1次消元） 第k次消元时需除：n-k 第k次消元时需乘：(n-k)(n-k+1) 共需乘除次数： [(n-1)+(n-1)n]+[(n-2)+(n-2)(n-1)]+…+[1+1×2] = n3/3+n2 /2-5n/6 2. 回代过程 需除：n 需乘：1+2+…+(n-1)= (n-1)n/2 共需乘除次数：n+ (n-1)n/2= n2/2+n/2 所以总共需乘除次数: n3/3+n2 /2-5n/6+n2/2+n/2 = n3/3+n2 -n/3 。 n3/3+n2 -n/3<<(n+1) n! (n-1)+n(克莱姆法则需的乘除次数),因此 顺序高斯消去法从计算量上考虑是可行的。
中，选取绝对值最大的元素作为主元素，如果它位于第r 行第s列，则通过交换k,r两行及交换k,s两列，使主元素位 (k a kk ) 的位置，然后进行消元计算。由于作列的交换 于 改变了方程中未知量的次序，因此回代过程要按未知量 调换后的编号顺序求解。
- x1 - 0.5x2 + 2x3 = 5 5x1 - 4x2 + 0.5x3 = 9
解 [A,b] =
0.01
2
- 0.5 2 0.5 9
-5 5 9 5 (3) 0 (1) (3)
5
-4
0.5 2
9 5
- 1 - 0.5 5 -4 0.5 2.10
-1 - 0.5 0.01 -4 2
- 0.5 – 5 0.5 9
(i, j=k+1, …, n)
回代过程:
( (n xn bnn ) / ann) ; n
xi (bi(i )
j i 1
a
(i ) ij
( x j ) / aiii )
（i =n-1,…,2,1）
四、顺序高斯消去法计算量分析
用计算机作四则运算时，加减操作所花的机器时间比乘除操 作少得多, 所以我们仅统计乘除次数。 1. 消元过程(共需n-1次消元） 第k次消元时需除：n-k 第k次消元时需乘：(n-k)(n-k+1) 共需乘除次数： [(n-1)+(n-1)n]+[(n-2)+(n-2)(n-1)]+…+[1+1×2] = n3/3+n2 /2-5n/6 2. 回代过程 需除：n 需乘：1+2+…+(n-1)= (n-1)n/2 共需乘除次数：n+ (n-1)n/2= n2/2+n/2 所以总共需乘除次数: n3/3+n2 /2-5n/6+n2/2+n/2 = n3/3+n2 -n/3 。 n3/3+n2 -n/3<<(n+1) n! (n-1)+n(克莱姆法则需的乘除次数),因此 顺序高斯消去法从计算量上考虑是可行的。
计算方法_3
L L M L
( a11) n
(1 2 a2n) 2n
M
(2 an1)) 2
M
(1 2 ann))
(1) ( b11) 若 a11 ≠ 0 则： (2 b21) 第二行： a21) a11)×第一行 (1 (1 M ( (1 (1) 2 bn 第n行： an1) a11) ×第一行 1
第三章 线性代数方程组的解法
3-9
消元过程中的误差实例
0.001 2.000 3.000 1.000 3.712 4.623 2.000 1.072 5.643 x1 1.000 x = 2.000 2 x3 3.000
x1 = -0.4907 x2 = -0.05095 x3 = 0.3674
L L
M M
O O
M M
(k (k L akk) L akn)
(k (k L ank) L ann)
子块 A k n
~
第三章 线性代数方程组的解法
3-14
完全主元素消去法编程方法概要
k = 1, 2, L, n-1，进行以下 (2) ~ (6) 的循环计算 ~ (k ) ax (k ) (2) 在子块 A k 中选绝对值最大的元素(主元素) amax = m ai j n k≤i ≤n
迭代法 (雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法、超松弛迭代法)
将线性方程组改写为： n 1 xi = bi ∑aij x j (i = 1,2,L, n) aii j =1 j ≠i 给出一组原始估计值，依次迭代逼近。 第三章 线性代数方程组的解法
3-17
关于三角分解法和迭代法
三角分解法 计算精度高于高斯消去法 计算量少、储存量小 需根据不同的系数矩阵类型选择不同的方法 迭代法 原理简单、编程方便、占用计算机内存少 尤其适用于大型方程组 (150个方程以上) 需根据具体情况选择迭代方程组以实现收敛
线性代数第三章3.1,3.2,3.3
an1 an, j1 bnn an, j1 ann
Aj
线性代数 第三章 §3.1,3.2,3.3 (行列式展开法则)
xj
Aj A
3
例1 用Cramer则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0
7 7 2
3 3
27,
7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
81,
线性代数 第三章 §3.1,3.2,3.3
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 108,
本节主要讨论方程的个数与未知量的个数相等时
线性方程组解的解法.
方程的个数与未知量的个数不相等时线性方程组 解的解法在3.3节讨论 .
线性代数 第三章 §3.1,3.2,3.3
1
定理3.1 (克莱姆法则 )如果方程组系数行列式
a11 a12 ... a1n
A a21 a22 ... a2n 0 ... ... ... ...
2
证明: 对于该线性方程组Ax b,若 A 0, A可逆,且
A1
A A
,由Ax b得x
A1b
A b A
(左乘)
A11
而Ab A12
A1n
A21 A22
A2n
An1 An2
Ann
b1 b2
所以，线性方 程组的解唯一
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x2 - 3x3 = 1 (2)
-19x2 + 30x3 = -10 (3) 第二次消元： (2) × (-(-19)/1)+(3) 得
2x1 + 6x2 - 4x3 = 4 (1)
x2 - 3x3 = 1 (2)
- 27x3 = 9 (3) b. 回代过程
x3 = 9/(-27) = -1/3， x2 = 1 + 3x3 = 1-1= 0， x1 = (4 + 4x3 + 6x2 )/2= (4+4×(-1/3)+6×0)/2 = 4/3
Xi=Di/D ( i=1, 2 , … , n ) 然而,对于较高阶的情况, 用这种方法求解是不现实的。一
个 n 阶行列式有 n! 项, 每一项又是 n 个数的乘积。就算不计舍
入误差对计算结果的影响 , 对较大的 n , 其运算量之大 [ 不考
虑加减，仅乘除次数就需 (n+1) n! (n-1) +n ] , 也是计算机在一般
一、列主元高斯消去法
列主元消去法的主要思想是：在第k次消元 时，从k列的以下的各个元素中选出绝对值最大 的元素，然后通过行交换将其交换到k行上，再 做第k次消元（同顺序高斯消去法）；回代过程 与顺序高斯消去法完全相同。
用列主元高斯消去法解线性方程组举例
例
0.01x1 + 2x2 - 0.5x3 = - 5
n
xi (bi(i)
ai(ji)xj
)
/
a(i) ii
ji1
（i =n-1,…,2,1）
四、顺序高斯消去法计算量分析
用计算机作四则运算时，加减操作所花的机器时间比乘除操 作少得多, 所以我们仅统计乘除次数。
1. 消元过程(共需n-1次消元） 第k次消元时需除：n-k 第k次消元时需乘：(n-k)(n-k+1) 共需乘除次数： [(n-1)+(n-1)n]+[(n-2)+(n-2)(n-1)]+…+[1+1×2]
二、顺序高斯消去法举例
例
2x1 + 6x2 - 4x3 = 4 (1)
x1 + 4x2 - 5x3 = 3 (2)
6x1 - x2 +18x3 = 2 (3) 解 a. 消元过程
第一次消元： (1)×(-1/2)+(2) 、(1)×(-6/2)+(3) 得
2x1 + 6x2 - 4x3 = 4 (1)
5 - 4 0.5 9
(3)-(1)*1/500 0 - 1.30 2.10 6.80 (2) (3) 0 2.01 – 0.501 - 5.02
0 2.01 – 0.501 - 5.02
0 - 1.30 2.10 6.80
5 -4
0.5
9
(3)+(2)*1.30/2.01 0 2.01 – 0.501 - 5.02
五、顺序高斯消去法计算机实现
根据一般线性方程组的求解过程知,消元过程实际 上是一个三重（层）循环，而回代过程实际上是一个 二重（层）循环。据此，我们便可编出求解线性方程 组的程序。
第二节 选主元高斯消去法
前面介绍的顺序高斯消去法,也叫顺序选主元法。 当出现主元素 akk(k) = 0 时, 消元过程将无法继续进行， 或者即使akk(k) ≠ 0时，但如果绝对值很小，用它作除 数也会导致其它元素的数量级急剧增大和舍入误差扩 大, 将严重影响计算结果的精度。为了克服这一缺陷， 下面介绍选主元高斯消去法。选主元高斯消去法有列 主元高斯消去法和全主元高斯消去法两种。我们首先 介绍列主元高斯消去法。
三、一般线性方程组的求解过程(第k次消元及回代过程)
第k次消元过程:
mik
a(k) ik
/
ak(kk) ;
a(k 1) ij
a(k) ij
mik ak(kj ) ;
b(k 1) i
bi(k )
mik bk(k )
(i, j=k+1, …, n)
回代过程:
xn bn(n) / an(nn);
回代
0
0
1.78 3.55
x3 = 1.99 , x2 = - 2.00 , x1 = 0.001
列主元高斯消去法的计算步骤（计算机实现）
1 . 消元过程 对 k = 1，2，… ，n-1 作下列运算:
(1) 按列选主元
情况下难以容许的。因此 , 我们要讨论线性方程组的另外两种
解法: 直接法和迭代法。
解线性方程组的直接法和迭代法
一、直接法 经过有限步运算就能求得精确解的方法。
包括： 1. 顺序高斯消去法 2. 选主元高斯消去法 3. 高斯—约当消去法 4. 矩阵三角分解法
二、迭代法 用某种极限过程去逐步逼近精确解的方法。
= n3/3+n2 /2-5n/6 2. 回代过程
需除：n 需乘：1+2+…+(n-1)= (n-1)n/2 共需乘除次数：n+ (n-1)n/2= n2/2+n/2 所以总共需乘除次数: n3/3+n2 /2-5n/6+n2/2+n/2 = n3/3+n2 -n/3 。 n3/3+n2 -n/3<<(n+1) n! (n-1)+n(克莱姆法则需的乘除次数),因此 顺序高斯消去法从计算量上考虑是可行的。
第三章 线性方程组的数值解法
讨论线性方程组解法的必要性
工程实际中的许多问题都归结为解线性方程组,我们知道线
性方程组
a11x1+ a12x2+ …+a1nxn=b1 a21x1+ a22x2+ …+a2nxn=b2
………
即 Ax = B
an1x1+ an2x2+ …+annxn=b2
若|A|≠ 0, 根据克莱姆(Gramer)法则, 方程组有唯一解
包括： 1. 雅可比迭代法 2. 赛得尔迭代法 3. 松弛迭代法 下面我们将介绍解线性方程组的直接法。
第一节 顺序高斯消去法
一、顺序高斯消去法的基本思想
顺序高斯消去法分为消元和回代两个过程。 首先应用矩阵的初等变换将系数矩阵A按自然顺 序化为上三角矩阵，与此同时将方程的右端向量B增 补作为A的第n+1列，构成增广矩阵，同时参加变换。 然后应用回代过程计算方程的解。
- x1 - 0.5x2 + 2x3 = 5
5x1 - 4x2 + 0.5x3 = 9
解
0.01 2 - 0.5 - 5
5 - 4 0.5 9
[A,b] =
- 1 - 0.5 2 5 (1) (3) -1 - 0.5 2 5
5 - 4 0.5 9
0.01 2 - 0.5 – 5
(2)+(1)*1/5 5 - 4 0.5 9
-19x2 + 30x3 = -10 (3) 第二次消元： (2) × (-(-19)/1)+(3) 得
2x1 + 6x2 - 4x3 = 4 (1)
x2 - 3x3 = 1 (2)
- 27x3 = 9 (3) b. 回代过程
x3 = 9/(-27) = -1/3， x2 = 1 + 3x3 = 1-1= 0， x1 = (4 + 4x3 + 6x2 )/2= (4+4×(-1/3)+6×0)/2 = 4/3
Xi=Di/D ( i=1, 2 , … , n ) 然而,对于较高阶的情况, 用这种方法求解是不现实的。一
个 n 阶行列式有 n! 项, 每一项又是 n 个数的乘积。就算不计舍
入误差对计算结果的影响 , 对较大的 n , 其运算量之大 [ 不考
虑加减，仅乘除次数就需 (n+1) n! (n-1) +n ] , 也是计算机在一般
一、列主元高斯消去法
列主元消去法的主要思想是：在第k次消元 时，从k列的以下的各个元素中选出绝对值最大 的元素，然后通过行交换将其交换到k行上，再 做第k次消元（同顺序高斯消去法）；回代过程 与顺序高斯消去法完全相同。
用列主元高斯消去法解线性方程组举例
例
0.01x1 + 2x2 - 0.5x3 = - 5
n
xi (bi(i)
ai(ji)xj
)
/
a(i) ii
ji1
（i =n-1,…,2,1）
四、顺序高斯消去法计算量分析
用计算机作四则运算时，加减操作所花的机器时间比乘除操 作少得多, 所以我们仅统计乘除次数。
1. 消元过程(共需n-1次消元） 第k次消元时需除：n-k 第k次消元时需乘：(n-k)(n-k+1) 共需乘除次数： [(n-1)+(n-1)n]+[(n-2)+(n-2)(n-1)]+…+[1+1×2]
二、顺序高斯消去法举例
例
2x1 + 6x2 - 4x3 = 4 (1)
x1 + 4x2 - 5x3 = 3 (2)
6x1 - x2 +18x3 = 2 (3) 解 a. 消元过程
第一次消元： (1)×(-1/2)+(2) 、(1)×(-6/2)+(3) 得
2x1 + 6x2 - 4x3 = 4 (1)
5 - 4 0.5 9
(3)-(1)*1/500 0 - 1.30 2.10 6.80 (2) (3) 0 2.01 – 0.501 - 5.02
0 2.01 – 0.501 - 5.02
0 - 1.30 2.10 6.80
5 -4
0.5
9
(3)+(2)*1.30/2.01 0 2.01 – 0.501 - 5.02
五、顺序高斯消去法计算机实现
根据一般线性方程组的求解过程知,消元过程实际 上是一个三重（层）循环，而回代过程实际上是一个 二重（层）循环。据此，我们便可编出求解线性方程 组的程序。
第二节 选主元高斯消去法
前面介绍的顺序高斯消去法,也叫顺序选主元法。 当出现主元素 akk(k) = 0 时, 消元过程将无法继续进行， 或者即使akk(k) ≠ 0时，但如果绝对值很小，用它作除 数也会导致其它元素的数量级急剧增大和舍入误差扩 大, 将严重影响计算结果的精度。为了克服这一缺陷， 下面介绍选主元高斯消去法。选主元高斯消去法有列 主元高斯消去法和全主元高斯消去法两种。我们首先 介绍列主元高斯消去法。
三、一般线性方程组的求解过程(第k次消元及回代过程)
第k次消元过程:
mik
a(k) ik
/
ak(kk) ;
a(k 1) ij
a(k) ij
mik ak(kj ) ;
b(k 1) i
bi(k )
mik bk(k )
(i, j=k+1, …, n)
回代过程:
xn bn(n) / an(nn);
回代
0
0
1.78 3.55
x3 = 1.99 , x2 = - 2.00 , x1 = 0.001
列主元高斯消去法的计算步骤（计算机实现）
1 . 消元过程 对 k = 1，2，… ，n-1 作下列运算:
(1) 按列选主元
情况下难以容许的。因此 , 我们要讨论线性方程组的另外两种
解法: 直接法和迭代法。
解线性方程组的直接法和迭代法
一、直接法 经过有限步运算就能求得精确解的方法。
包括： 1. 顺序高斯消去法 2. 选主元高斯消去法 3. 高斯—约当消去法 4. 矩阵三角分解法
二、迭代法 用某种极限过程去逐步逼近精确解的方法。
= n3/3+n2 /2-5n/6 2. 回代过程
需除：n 需乘：1+2+…+(n-1)= (n-1)n/2 共需乘除次数：n+ (n-1)n/2= n2/2+n/2 所以总共需乘除次数: n3/3+n2 /2-5n/6+n2/2+n/2 = n3/3+n2 -n/3 。 n3/3+n2 -n/3<<(n+1) n! (n-1)+n(克莱姆法则需的乘除次数),因此 顺序高斯消去法从计算量上考虑是可行的。
第三章 线性方程组的数值解法
讨论线性方程组解法的必要性
工程实际中的许多问题都归结为解线性方程组,我们知道线
性方程组
a11x1+ a12x2+ …+a1nxn=b1 a21x1+ a22x2+ …+a2nxn=b2
………
即 Ax = B
an1x1+ an2x2+ …+annxn=b2
若|A|≠ 0, 根据克莱姆(Gramer)法则, 方程组有唯一解
包括： 1. 雅可比迭代法 2. 赛得尔迭代法 3. 松弛迭代法 下面我们将介绍解线性方程组的直接法。
第一节 顺序高斯消去法
一、顺序高斯消去法的基本思想
顺序高斯消去法分为消元和回代两个过程。 首先应用矩阵的初等变换将系数矩阵A按自然顺 序化为上三角矩阵，与此同时将方程的右端向量B增 补作为A的第n+1列，构成增广矩阵，同时参加变换。 然后应用回代过程计算方程的解。
- x1 - 0.5x2 + 2x3 = 5
5x1 - 4x2 + 0.5x3 = 9
解
0.01 2 - 0.5 - 5
5 - 4 0.5 9
[A,b] =
- 1 - 0.5 2 5 (1) (3) -1 - 0.5 2 5
5 - 4 0.5 9
0.01 2 - 0.5 – 5
(2)+(1)*1/5 5 - 4 0.5 9