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• 这种以“深度优先”的方式系统地搜索问题地 解的算法称为回溯法。
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深度优先搜索 DFS
• 深度优先搜索就是在搜索树的每一层始 终先只扩展一个子节点，不断地向纵深 前进直到不能再前进（到达叶子节点或 受到深度限制）时，才从当前节点返回 到上一级节点，从其它子节点处继续扩 展前进。
• 这种方法的搜索树是从树根开始一枝一 枝逐渐形成的。英语中用Depth-FirstSearch表示，所以我们也把深度优先搜 索法简称为DFS。
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பைடு நூலகம்
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每次搜索指定点，对于其所有未 访问过的近邻,每搜索到一个则先 去搜索其近邻，待对其近邻的 DFS完以后再搜索剩下的那些近 邻。
• 问题的一个可行解就是一条从起始节点 出发到目标状态集合中任意一个节点的 路径。
13
旅行商问题
15
16
• 经常采用树形结构表示解空间，称为解 空间树
• 常见的两种解空间树：子集树、排列树
17
• 子集树:当所给问题是从n个元素的集合 S中找出满足某种性质的子集时,相应的 解空间为子集树。(0-1背包)
18
遍历子集树需O(2n)计算时间
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• 排列树:当所给问题是确定n个元素满足 某种性质的排列时,相应的解空间为排列 树。(旅行售货员问题)
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遍历排列树需要O(n!)计算时间
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状态空间搜索搜索算法
• 搜索过程实际上是根据初始条件和扩展 规则构造一棵解答树并寻找符合目标状 态的节点的过程。
9
• 哈密顿回路可以定义为n＋1个相邻节点 vi0,…,vin-1,vi0的一个序列
• 可以通过生成n－1个中间城市的组合来 得到所有的旅行路线，计算这些路线的 长度，然后求得最短的线路
算法时间复杂度 O（n！）
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• 对于枚举算法,程序优化的主要考虑方 向是：通过加强约束条件，缩小可能解 的集合的规模。
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旅行售货员问题
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DFS算法框架: 递归写法:(较常用)
DFS（NODE N） {
FOR N的每一个邻接结点V {
IF(V还没有被搜索过） DFS(V);
} }
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回溯法
• 回溯法是一种通用性解法，可以将回溯法看 作是带优化的穷举法。
• 回溯法的基本思想是在一棵含有问题全部可 能解的状态空间树上进行深度优先搜索。搜 索过程中，每到达一个结点时，则判断该结 点为根的子树是否含有问题的解，如果可以 确定该子树中不含有问题的解，则放弃对该 子树的搜索，退回到上层父结点，继续下一 步深度优先搜索过程。
5
• 从可能的集合中一一枚举各元素，用题 目给定的检验条件判定哪些是无用的， 哪些是有用的。能使命题成立者，即为 问题的解。
6
• （1）建立问题的数学模型，确定问题 的可能解的集合（可能解的空间）。
• （2）逐一枚举可能解集合中的元素， 验证是否是问题的解。
7
• For each s in S //S是问题所有可能 解的集合
• 在回溯法中，并不是先构造出整棵状态空间 树，再进行搜索，而是在搜索过程，逐步构 造出状态空间树，即边搜索，边构造。
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生成问题状态的基本方法
• 深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展 结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当 做新的扩展结点。在完成对子树C（以C为根的 子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点， 继续生成R的下一个儿子（如果存在）
• 回溯法 • 分枝限界法
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搜索算法——回溯法
迷宫老鼠问题
入口
(8,1) (7,1) (6,1) (5,1) (4,1) (3,1) (2,1) (1,1)
出口
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回溯法
• 回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略， 从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空 间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问 题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为 根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否 则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。
• 回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解 的问题状态，要不断地利用限界函数 (bounding function)来处死那些实际上不可 能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。
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0-1背包问题
可行解 可行解
n=3时，0-1背包问题解空间树 w=[16,15,15]，p=[45,25,25]，背包容量C=30
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搜索算法框架
= 问题的解空间 + 遍历算法 + 结果判断条件 + 剪技条件
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状态空间搜索算法通常的解题步骤： （1）针对所给问题，定义问题的解空间； （2）确定易于搜索的解空间结构，并构造结果判 断条件 （3）以适当方式搜索解空间，并在搜索过程中用 剪枝条件避免无效搜索。
24
状态空间搜索策略
搜索算法
• 搜索算法是利用计算机的高性能来有目 的的穷举一个问题的部分或所有的可能 情况，从而求出问题的解的一种方法。
3
搜索常用的方法
• 枚举 • 状态空间搜索算法
–深度优先搜索 –广度优先搜索 –双向广度优先搜索 –回溯法 –分枝限界法 –A*算法
4
枚举法
• 要求生成问题域中的每一个解元素，选 出其中满足问题约束的元素，然后再找 出一个期望元素（如使目标函数达到最 值的元素）
If s is a solution then begin write(s); exit; end;
8
旅行商问题
• 要求找出一条n个给定城市间的最短路 径，使到在回到出发的城市之前，对每 个城市都只访问一次
• 用图的顶点代表城市，边的权重表示城 市间的距离，这个问题可以转化为求一 个图的最短哈密顿回路
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• 枚举法：生成方案验证方案 • 能不能在生成方案的中途也做一些验证，
从而避免一些肯定不会是解的方案生成 呢？ • 需要把解的生成分成若干步骤，这样才 给每个步骤的验证提供了可能
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问题的解空间表示
• 问题的解空间指的是问题的所有可能解 的集合
• 解空间的节点表示状态，即问题求解过 程的不同阶段，两节点之间的有向弧线 则代表状态转移。
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深度优先搜索 DFS
• 深度优先搜索就是在搜索树的每一层始 终先只扩展一个子节点，不断地向纵深 前进直到不能再前进（到达叶子节点或 受到深度限制）时，才从当前节点返回 到上一级节点，从其它子节点处继续扩 展前进。
• 这种方法的搜索树是从树根开始一枝一 枝逐渐形成的。英语中用Depth-FirstSearch表示，所以我们也把深度优先搜 索法简称为DFS。
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每次搜索指定点，对于其所有未 访问过的近邻,每搜索到一个则先 去搜索其近邻，待对其近邻的 DFS完以后再搜索剩下的那些近 邻。
• 问题的一个可行解就是一条从起始节点 出发到目标状态集合中任意一个节点的 路径。
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旅行商问题
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• 经常采用树形结构表示解空间，称为解 空间树
• 常见的两种解空间树：子集树、排列树
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• 子集树:当所给问题是从n个元素的集合 S中找出满足某种性质的子集时,相应的 解空间为子集树。(0-1背包)
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遍历子集树需O(2n)计算时间
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• 排列树:当所给问题是确定n个元素满足 某种性质的排列时,相应的解空间为排列 树。(旅行售货员问题)
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遍历排列树需要O(n!)计算时间
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状态空间搜索搜索算法
• 搜索过程实际上是根据初始条件和扩展 规则构造一棵解答树并寻找符合目标状 态的节点的过程。
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• 哈密顿回路可以定义为n＋1个相邻节点 vi0,…,vin-1,vi0的一个序列
• 可以通过生成n－1个中间城市的组合来 得到所有的旅行路线，计算这些路线的 长度，然后求得最短的线路
算法时间复杂度 O（n！）
10
• 对于枚举算法,程序优化的主要考虑方 向是：通过加强约束条件，缩小可能解 的集合的规模。
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旅行售货员问题
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DFS算法框架: 递归写法:(较常用)
DFS（NODE N） {
FOR N的每一个邻接结点V {
IF(V还没有被搜索过） DFS(V);
} }
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回溯法
• 回溯法是一种通用性解法，可以将回溯法看 作是带优化的穷举法。
• 回溯法的基本思想是在一棵含有问题全部可 能解的状态空间树上进行深度优先搜索。搜 索过程中，每到达一个结点时，则判断该结 点为根的子树是否含有问题的解，如果可以 确定该子树中不含有问题的解，则放弃对该 子树的搜索，退回到上层父结点，继续下一 步深度优先搜索过程。
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• 从可能的集合中一一枚举各元素，用题 目给定的检验条件判定哪些是无用的， 哪些是有用的。能使命题成立者，即为 问题的解。
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• （1）建立问题的数学模型，确定问题 的可能解的集合（可能解的空间）。
• （2）逐一枚举可能解集合中的元素， 验证是否是问题的解。
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• For each s in S //S是问题所有可能 解的集合
• 在回溯法中，并不是先构造出整棵状态空间 树，再进行搜索，而是在搜索过程，逐步构 造出状态空间树，即边搜索，边构造。
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生成问题状态的基本方法
• 深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展 结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当 做新的扩展结点。在完成对子树C（以C为根的 子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点， 继续生成R的下一个儿子（如果存在）
• 回溯法 • 分枝限界法
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搜索算法——回溯法
迷宫老鼠问题
入口
(8,1) (7,1) (6,1) (5,1) (4,1) (3,1) (2,1) (1,1)
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回溯法
• 回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略， 从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空 间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问 题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为 根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否 则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。
• 回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解 的问题状态，要不断地利用限界函数 (bounding function)来处死那些实际上不可 能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。
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0-1背包问题
可行解 可行解
n=3时，0-1背包问题解空间树 w=[16,15,15]，p=[45,25,25]，背包容量C=30
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搜索算法框架
= 问题的解空间 + 遍历算法 + 结果判断条件 + 剪技条件
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状态空间搜索算法通常的解题步骤： （1）针对所给问题，定义问题的解空间； （2）确定易于搜索的解空间结构，并构造结果判 断条件 （3）以适当方式搜索解空间，并在搜索过程中用 剪枝条件避免无效搜索。
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状态空间搜索策略
搜索算法
• 搜索算法是利用计算机的高性能来有目 的的穷举一个问题的部分或所有的可能 情况，从而求出问题的解的一种方法。
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搜索常用的方法
• 枚举 • 状态空间搜索算法
–深度优先搜索 –广度优先搜索 –双向广度优先搜索 –回溯法 –分枝限界法 –A*算法
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枚举法
• 要求生成问题域中的每一个解元素，选 出其中满足问题约束的元素，然后再找 出一个期望元素（如使目标函数达到最 值的元素）
If s is a solution then begin write(s); exit; end;
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旅行商问题
• 要求找出一条n个给定城市间的最短路 径，使到在回到出发的城市之前，对每 个城市都只访问一次
• 用图的顶点代表城市，边的权重表示城 市间的距离，这个问题可以转化为求一 个图的最短哈密顿回路
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• 枚举法：生成方案验证方案 • 能不能在生成方案的中途也做一些验证，
从而避免一些肯定不会是解的方案生成 呢？ • 需要把解的生成分成若干步骤，这样才 给每个步骤的验证提供了可能
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问题的解空间表示
• 问题的解空间指的是问题的所有可能解 的集合
• 解空间的节点表示状态，即问题求解过 程的不同阶段，两节点之间的有向弧线 则代表状态转移。