第四章-特征值 的计算
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第四章 特征值的估计与摄动-1
1 , 2 ,, n , 则
1) | i | n max | aij |,
i, j
2) | Re i | n max | bij |,
i, j
3) | Im i | n max | cij |,
i, j
返回
定理 3 (Bendixson)
设A R
akj x j xk
j 1 jk
j 1 n
xk ( akk )
akj x j
jk jk
| xk || akk | | akj x j |
| akj || x j || xk | | akj |
jk
返回
| akk | Rk
例 1 估计矩阵
1 1 A 2 0 1 1 2 3 2 i 2 0 1 2 i 5 0 0 0 i 2 5i
的特征值 的分布范围
返回
解：
S1 :| z 1| 1;
3 3 S2 :| z | ; 2 2
5
S4
返回
A (aij ) C nn 定义 2
行对角占优 列对角占优 行严格对角占优 列严格对角占优
| aii | Ri | aii | Ci
j 1,n i j
n
| aij | (i 1, 2, , n) | a ji | ( i 1, 2, , n) | aij | (i 1,2, , n) | a ji | (i 1,2, , n)
返回
an ,n
a 22
a kk
a11 G
ak 1, k 1
返回
推论 2 设A C nn ,则A的任一特征值
1) | i | n max | aij |,
i, j
2) | Re i | n max | bij |,
i, j
3) | Im i | n max | cij |,
i, j
返回
定理 3 (Bendixson)
设A R
akj x j xk
j 1 jk
j 1 n
xk ( akk )
akj x j
jk jk
| xk || akk | | akj x j |
| akj || x j || xk | | akj |
jk
返回
| akk | Rk
例 1 估计矩阵
1 1 A 2 0 1 1 2 3 2 i 2 0 1 2 i 5 0 0 0 i 2 5i
的特征值 的分布范围
返回
解：
S1 :| z 1| 1;
3 3 S2 :| z | ; 2 2
5
S4
返回
A (aij ) C nn 定义 2
行对角占优 列对角占优 行严格对角占优 列严格对角占优
| aii | Ri | aii | Ci
j 1,n i j
n
| aij | (i 1, 2, , n) | a ji | ( i 1, 2, , n) | aij | (i 1,2, , n) | a ji | (i 1,2, , n)
返回
an ,n
a 22
a kk
a11 G
ak 1, k 1
返回
推论 2 设A C nn ,则A的任一特征值
数值分析--第四章--特征值特征向量计算（乘幂法）
数值分析--第四章--特征值特征向量计算（乘幂法）
摘要：n阶⽅阵A满⾜AX=λx，λ为矩阵A的特征值，x为特征值对应的特征向量。
⼀.乘幂法（求模最⼤特征值及对应特征向量）
设矩阵A有n个相性⽆关的特征向量x1,x2,x3,.....xn，相应的特征值λ1,λ2,λ3,.....λn（由⼤到⼩排列）。
迭代法引⼊：上⼀章学了迭代法求解线性⽅程组Ax=b的解，给定任⼀的初始值v0，不断迭代可以得到Ax=b的解。
同理，给定任⼀⾮零的n维向量v0，不断迭代可以 得到矩阵A的特征向量，
对于初始向量v0可以由A的n个线性⽆关的特征向量表⽰：
带⼊迭代⽅程中：
当迭代次数k趋近于⽆穷⼤时，可得到最⼤特征值λ1对应的特征向量a1x1(与x1线性相关)
同理，当迭代次数趋近于⽆穷⼤时，可得到绝对值最⼤的特征值，λ1
其中，m表⽰向量中的绝对值最⼤的那个元素值
如何利⽤迭代法求解按模最⼤特征值和特征向量
说明：
1.初始值：我们给定初始值x0=[1,1,1]^T,取特征值1
2.第⼀次迭代：
对应的近似特征值取：
3.第⼆次迭代：
⼆.改进乘幂法
这个规范化处理的⽬的：防⽌数据溢出或是数据消失
从上⾯可以看出，改进乘幂法即是每次迭代出的特征向量都进⾏⼀次规范化处理 。
计算方法(5)第四章 矩阵特征值和特征向量的计算
n
使得u 0
i xi
i 1
n
n
uk Auk1 Aku0 Ak (i xi ) iik xi
i 1
i 1
1k [1x1
n i2
( i 1
)k i xi ]
由1 0, 1 i (i 2, 3,L , n) 得
lim(
对矩阵A1用乘幂法得 uk
A-1u
k
，
1
因为A1 的计算
比较麻烦，而且往往不能保持矩阵A 的一些好性质
（如稀疏性），因此，反幂法在实际计算时以求解
方程组
Auk
u
k
，代替迭代
1
uk
A-1uk1求得uk，每
迭代一次要解一线性方程组。 由于矩阵在迭代过
程中不变，故可对A 先进行三角分解，每次迭代只 要解两个三角形方程组。
且
2 p 2 n
2 n
2 n 2
1 p 21 2 n 1 n 1 2 1 n 1
因此，用原点平移法求1可使收敛速度加快。
三、反幂法
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向 量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最 有效的方法。
0
0.226
0.975
做正交相似变换后得到
3.366
A3 =R2 AR2T
0.0735
0.317
0.0735 1.780
0
0.317
0
1.145
雅可比方法是一个迭代过程，它生成的是一个矩阵的
序列 Ak，当k越大时Ak就越接近于对角矩阵，从而
第四章矩阵的特征值和特征向量
即，0不是A的特征值，或者，A的任一特征值不等于零
充分性：设A的任一特征值不等于零，假设A不可逆 则 det A 0, 于是det(0E-A)=det(-A)=(-1)n det A 0 所以＝0是A的一个特征值，矛盾
m 是A的m个不同 的特征值，1， m分别是A的属于1，2 m的特征向量， 则1， m线性无关
T
特征值1的全部特征向量为c11 (c1 0, 常数)
对于3＝2，解对应的齐次线性方程组(2E A) X 0,
1 1 －1 x1 0 0 0 3 x2 0 0 0 1 x 0 3
定义4.2 A (aij )为n阶矩阵，含有未知数的矩阵 E A称为 A的特征矩阵，其行列式
E A
a11 a12 a21 a22
an1 an 2
a1n a2 n
ann
称为A的特征多项式。 det( E A) 0称为A的特征方程。
定理4.1：设A (aij )为n阶矩阵，则0是A的特征值， 是 A的属于0的特征向量的充要条件是，0为特征方程 det( E A) 0的根， 是齐次线性方程组(0 E A) X 0 的非零解。
（2）由（4.1)式知：向量 是齐次线性方程组(0 E A) 0 ( 0)的非零解。而该方程组有非零解的充分必要条件是 其系数行列式 0 E A 0.
(3) 矩阵A的特征值0，即以为变量的一元n次方程
E A 0的根。
(4) 如果已经求出方程 E A 0的根，则齐次线 性方程组(0 E A) X 0的任意非零解，都是A的 属于0的特征向量。
对于1 2, 解齐次线性方程组(2 E A) X＝0，即解 －5 －4 x1 0 x －5 －4 2 0
第4章矩阵的特征值
第4章矩阵的特征值矩阵的特征值是线性代数中非常重要的概念，它在许多领域都有广泛的应用。
本文将介绍矩阵的特征值的定义、性质和计算方法，并探讨其在科学与工程中的应用。
1.特征值的定义和性质给定一个n阶方阵A，非零向量X称为矩阵A的特征向量，如果满足AX=λX，其中λ是一个常数，称为矩阵A的特征值。
根据这个定义，我们可以得到特征值的一些性质：(1)特征值可以是实数或复数。
当矩阵A是实矩阵时，特征值可以是实数或者是成对出现的复共轭数对。
例如，对于一个2阶实矩阵，它可以有两个实特征值，也可以是一个实特征值和一个复特征值对。
(2)特征值和特征向量的数量相等。
对于一个n阶矩阵A，它有n个特征值和n个对应的特征向量。
(3)特征值和矩阵的迹、行列式有关。
矩阵的迹是指所有主对角元素之和，行列式是指矩阵的特征值之积。
特别地，对于一个2阶方阵A，它的特征值满足特征值之和等于迹(A)、特征值之积等于行列式(A)。
2.特征值的计算方法(1)特征值分解：特征值分解是将一个可对角化的矩阵A分解为A=QΛQ^(-1)，其中Q是一个正交矩阵，Λ是一个对角矩阵，对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
通过特征值分解，我们可以得到矩阵A的特征值和特征向量。
(2)QR算法：QR算法是一种迭代方法，用于逼近一个矩阵A的特征值和特征向量。
首先，将矩阵A分解为QR，其中Q是一个正交矩阵，R是一个上三角矩阵。
然后，迭代计算QR，直到收敛为止。
最后，对于得到的上三角矩阵R，它的对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
3.特征值在科学与工程中的应用特征值在科学与工程中有广泛的应用，这里介绍两个典型的例子。
(1)特征值在量子力学中的应用：量子力学是研究微观粒子行为的物理学理论。
量子力学中的波函数可以表示为特征值和特征向量的线性组合。
特征值表示了粒子的能量，特征向量表示了粒子的状态。
通过解特征值问题，我们可以得到粒子的能量和对应的状态。
(2)特征值在图像处理中的应用：图像处理是一种对数字图像进行分析和处理的技术。
《线性代数》第四章第二节 方阵的特征值与特征向量
5.一个特征值具有的特征向量不唯一。
若P是与对应的特征向量，则显然k 0时， kP也是与对应的特征向量.
6.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量．
例1
设
A
=
−2 0
1 2
1 0,
求A的特征值与特征向量．
− 4 1 3
分析：
1.特征方程的根就是特征值；
2. (A-E)x=0的通解（去掉零解）就是特征值对应
所以对应于 2 = 3 = 2的全部特征向量为 :
k2 p2 + k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
例2 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值(m是任意常数).
(2) 当A可逆时,−1是A−1的特征值.
证明 (1) Ax = x A(Ax) = A(x) = (Ax) = (x) A2 x = 2 x
有x.
3. A − E = 0 为A的特征方程。
a11 −
a21
an1
a12
a22 −
an2
a1n
a2n
=0
ann −
记 f ( ) = A − E ,它是的n次多项式, 称其
为方阵A的 特征多项式 .
( ) 4. 设 n阶方阵A = aij 的特征值为1, 2 ,,
n ,则有 (1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann; (2) 12 n = A .
将1 = 2 = 1代入(A − E )x = 0,
解之得基础解系
− 2
1 = 1 ,
0
若P是与对应的特征向量，则显然k 0时， kP也是与对应的特征向量.
6.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量．
例1
设
A
=
−2 0
1 2
1 0,
求A的特征值与特征向量．
− 4 1 3
分析：
1.特征方程的根就是特征值；
2. (A-E)x=0的通解（去掉零解）就是特征值对应
所以对应于 2 = 3 = 2的全部特征向量为 :
k2 p2 + k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
例2 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值(m是任意常数).
(2) 当A可逆时,−1是A−1的特征值.
证明 (1) Ax = x A(Ax) = A(x) = (Ax) = (x) A2 x = 2 x
有x.
3. A − E = 0 为A的特征方程。
a11 −
a21
an1
a12
a22 −
an2
a1n
a2n
=0
ann −
记 f ( ) = A − E ,它是的n次多项式, 称其
为方阵A的 特征多项式 .
( ) 4. 设 n阶方阵A = aij 的特征值为1, 2 ,,
n ,则有 (1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann; (2) 12 n = A .
将1 = 2 = 1代入(A − E )x = 0,
解之得基础解系
− 2
1 = 1 ,
0
第四章矩阵特征值与特征向量的计算
用原点移位法求主特征值, 用原点移位法求主特征值 取λ0=2.9, 此时收敛 速度为
λ2 − λ0 0.1 1 r= = = . λ1 − λ0 3.1 31
15
原点移位法使用简便, 原点移位法使用简便 不足之处在于λ0的选取十 分困难, 通常需要对特征值的分布有一大概的了解, 分困难 通常需要对特征值的分布有一大概的了解 并通过计算不断进行修改. 才能粗略地估计λ0, 并通过计算不断进行修改
B=A－λ0I －
为代选择参数. 其中λ0为代选择参数 设A的特征值为λ1, λ2, …, λn, 的特征值为 而且A, 则B的特征值为λ1－λ0, λ2－λ0, …, λn－λ0, 而且 B 的特征值为 的特征向量相同. 的特征向量相同
13
仍设A有主特征值 仍设 有主特征值λ1, 且 λ1 > λ2 ≥ L,
7
幂法的计算公式 任取初始向量x 任取初始向量 (0)=y(0)≠0, 对k=1, 2, …, 构造向量序列 {x(k)}, {y(k)}
x ( k ) = Ay ( k − 1 ) (k ) α k = max ( x ) (k ) x (k ) y = αk α k ≈ λ1
比值越接近1, 收敛速度越慢, 比值越接近0, 收敛越快. 比值越接近 收敛速度越慢 比值越接近 收敛越快 若A的主特征值λ1为实的m重根 即λ1= λ2=…= λm, 的 为实的 重根, 重根 又设A有 个线性 且 | λ1 |> |λm+1 | ≥ |λm+2 | ≥ … ≥ | λn |, 又设 有n个线性 无关的特征向量, 此时幂法仍然适用 幂法仍然适用. 无关的特征向量 此时幂法仍然适用
(α k +1 − α k ) ˆ αk = αk − α k + 2 − 2α k +1 + α k
λ2 − λ0 0.1 1 r= = = . λ1 − λ0 3.1 31
15
原点移位法使用简便, 原点移位法使用简便 不足之处在于λ0的选取十 分困难, 通常需要对特征值的分布有一大概的了解, 分困难 通常需要对特征值的分布有一大概的了解 并通过计算不断进行修改. 才能粗略地估计λ0, 并通过计算不断进行修改
B=A－λ0I －
为代选择参数. 其中λ0为代选择参数 设A的特征值为λ1, λ2, …, λn, 的特征值为 而且A, 则B的特征值为λ1－λ0, λ2－λ0, …, λn－λ0, 而且 B 的特征值为 的特征向量相同. 的特征向量相同
13
仍设A有主特征值 仍设 有主特征值λ1, 且 λ1 > λ2 ≥ L,
7
幂法的计算公式 任取初始向量x 任取初始向量 (0)=y(0)≠0, 对k=1, 2, …, 构造向量序列 {x(k)}, {y(k)}
x ( k ) = Ay ( k − 1 ) (k ) α k = max ( x ) (k ) x (k ) y = αk α k ≈ λ1
比值越接近1, 收敛速度越慢, 比值越接近0, 收敛越快. 比值越接近 收敛速度越慢 比值越接近 收敛越快 若A的主特征值λ1为实的m重根 即λ1= λ2=…= λm, 的 为实的 重根, 重根 又设A有 个线性 且 | λ1 |> |λm+1 | ≥ |λm+2 | ≥ … ≥ | λn |, 又设 有n个线性 无关的特征向量, 此时幂法仍然适用 幂法仍然适用. 无关的特征向量 此时幂法仍然适用
(α k +1 − α k ) ˆ αk = αk − α k + 2 − 2α k +1 + α k
第四章 特征值与特征向量(研究生矩阵论)
2
A( A x 3Ax 4x) 0, ( A 4E)(A x Ax) 0, ( A E)(A x 4 Ax) 0.
线性无关，所以
2
由于
x, Ax, A x
2
A x 3 Ax 4 x 0，
A x Ax 0， A x 4 Ax 0. 据此立得： A 0, A 4E 0, A E 0. 故 A 的三个特征值为0，-1，4. 于是
A
有特征值
1
以及相应的特征向量 的一组基，设为
n
1. 将 1 扩充成 C n 1, 2 ,, n . 令
则因 A1 11 , A i b ji j (2 i n)，
j 1
1 b12 b1n 0 b22 b2 n A1 , A 2 ,, A n 1 , 2 ,, n 0 b b n2 nn 若令 P 1 , 2 ,, n ,
【命题4.2.3】设
n 阶矩阵
A 相似于对角矩阵
f ( x)
n 个特征值为 1, 2 ,, n， 是一多项式，则 f ( A) 的 n 个特征值为
A
的
f (1 ), f (2 ),, f (n ).
【推论4.2.1】设 则对
f ( x)
是一多项式，若
f ( A) 0,
A
的任一特征值
a11 0 0 a11 0 a13 a11 a12 0 a12 0 a21 a23 a21 a22 0 a13 0 a31 0 a33 a31 a32
a12 a13 a11 a12 a13 0 a22 a23 a21 a22 a23 0 a23 a33 a31 a32 a33
A( A x 3Ax 4x) 0, ( A 4E)(A x Ax) 0, ( A E)(A x 4 Ax) 0.
线性无关，所以
2
由于
x, Ax, A x
2
A x 3 Ax 4 x 0，
A x Ax 0， A x 4 Ax 0. 据此立得： A 0, A 4E 0, A E 0. 故 A 的三个特征值为0，-1，4. 于是
A
有特征值
1
以及相应的特征向量 的一组基，设为
n
1. 将 1 扩充成 C n 1, 2 ,, n . 令
则因 A1 11 , A i b ji j (2 i n)，
j 1
1 b12 b1n 0 b22 b2 n A1 , A 2 ,, A n 1 , 2 ,, n 0 b b n2 nn 若令 P 1 , 2 ,, n ,
【命题4.2.3】设
n 阶矩阵
A 相似于对角矩阵
f ( x)
n 个特征值为 1, 2 ,, n， 是一多项式，则 f ( A) 的 n 个特征值为
A
的
f (1 ), f (2 ),, f (n ).
【推论4.2.1】设 则对
f ( x)
是一多项式，若
f ( A) 0,
A
的任一特征值
a11 0 0 a11 0 a13 a11 a12 0 a12 0 a21 a23 a21 a22 0 a13 0 a31 0 a33 a31 a32
a12 a13 a11 a12 a13 0 a22 a23 a21 a22 a23 0 a23 a33 a31 a32 a33
矩阵特征值和特征向量计算.ppt
j
＝1
1
1
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
i
j
i
j
( 4.2)
lim
uk
j
k
uk1
j
1 ,
故k充
分
大
时
， uk
j
uk1
j
1 ，
(j
1,2,, n)
由（4.1）显然知k充分大时， 0 ,
x 故 uk ( 1k1 1 )就 是1对 应 的 近 似 特 征 向 量 。
v u v u u 如用
m
m
或 m
m
代替 继续迭代, m
u( )m max
(u ) min m
u u u 这里(
m )max 和(
m )min 分 别 表 示 向 量(
)的 绝 对 值
m
最 大 的 分 量 和 最 小 分 量;
4. 由(4.1),乘 幂 法 的 速 度 与 比 值| 2 | 有 关, 1
n
A1
x
1
x
一 定 是A1的
按
模
最
大
的
征值，故对A1用乘幂法— 反幂法，可得1 的近似值
算法（步1）骤：u0 0
n
( 2) (3)
计 算u k
1 A uk 1
(k 1,2,3,)
u 若k充分大后 ( u(
k)j c, ) k 1 j
则n
1 ,
c
uk
就
是n
注：实际相计对算应: A的u特征u向量三。角分解A LU ,
第四章 方阵的特征值和特征向量
4.1.3 反幂法 由Axi=ixi易推得A-1xi=(1/i)xi ,若有
| 1 | | 2 | | 3 | | n |,
则1/n是A-1的按模最大的特征值,我们只要求出A-1的按模最大的 特征值,也就求出了A的按模最小的特征值.为了避免求逆阵,我们 用解方程组的方法构造如下算法：
5 结束
2. 我们假设在(4.3)中α1≠0,这在选择u0时,也无法判断,但这往往不 影响幂法的成功使用.因为若选u0,使α1=0,由于舍入误差的影响, 在迭代某一步会产生uk,它在x1方向上的分量不为零,这时以后的 迭代仍会收敛. 3. 我们假设了 | 1 | | 2 | | 3 | | n |,
u k 1 1 x1
k
2 1
1
Au k
k 1 1
1 x1 1 1 x1 1 u k ,
k 1
不是零向量，
即uk为1的近似的特征向量. 2 结束
实际计算时,为防止uk的模过大或过小,以致产生计算机运算的 上下溢出,通常每次迭代都对uk进行归一化,使‖ uk ‖∞=1,因此 以上幂法公式改进为：
y k 1 u k 1 u k Ay k 1 u k 1
k 1, 2 ,
( 4 .4 )
此时uk仍收敛于1对应的特征向量。1可用如下公式计算：
1
ak a k 1 (4 .7 )
其中ak 是uk 的绝对值最大的分量，a k 1 是yk-1 的绝对值最大 的分量。
cos 为实对称阵， U sin sin cos
1. 二阶实对称矩阵的对角化
设
为二阶旋转矩阵，容易验证U正交。 12 结束
第四章-矩阵的特征值与特征向量问题讲解
Ax 2 x
1 2 x 0,
则x 0, 与定义矛盾.
12
注记
4. 若λ是矩阵A的r重特征值，对应λ有s个线性 无关的特征向量，则1≤s≤r； 若A为实对称矩阵，则对应特征值λ 恰有r 个线性无 关的特征向量。
5. 实对称矩阵的特征值是实数，属于不同特 征值的特征向量正交。
13
注记
6. 设 n阶方阵 A aij 的特征值为1, 2 ,, n ,记：
定义：设A是n阶方阵, 是一复数，如果方程 Ax x
存在非零解向量,则称 为方阵A的特征值, 相应的非零解向量x 称为与特征值 对应的特征向量, 此特征值与特征向量x称为一特征对, P（A ）＝det(I A)称为矩阵A的特征多项式。
4
注记
1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而 言的. 2. n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组
0.2 0.3 0.1 4
G1 = {z：|z – 1| 0.6}；G2 = {z：|z – 3| 0.8}； G3 = {z：|z + 1| 1.8}；G4 = {z：|z + 4| 0.6}。
G4
G1
G2
G3
注：定理推断A的n个特征值全落在n个盖氏圆
上，但未说明每个圆盘内都有一个特征值。
20
对应的特征值1，2，…，n，满足
|1| > |2| … |n|
(4.1.1)
26
1.基本思想
因为{v1，v2，…，vn}为Cn的一组基，故：
任给x(0) 0，
n
x (0) aivi
所以有:
i 1
n
n
Ak x(0) Ak ( aivi ) ai Akvi
矩阵的特征值与特征向量
1
所以，A 的特征值为 1 2 , 2 3 1,
7
当 1 2 时, 解方程组 ( 2 I A ) x 0 ,
1 x1 2 1 x 2 0, 即 1 2 x 3 1 解之得基础解系为 p 1 1 , 1 2 1 1 1
故 1是 A1的特征值, 且 x 也是 A1对应于1的特征向量.
24
性质2 矩阵 A 和 AT 的特征值相同. 证 因为 IAT = ( I)TAT = ( IA)T 所以 det ( IA) = det ( IAT)
因此, A 和AT 有完全相同的特征值.
补充 性质 设 是方阵 A 的特征值.设
(*)式中不含 的常数项为
a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 an2 a1n a2n a nn
21
( 1) A ,
n
即 c n ( 1) A
n
f 所以， ( ) I A ( 1 )( 2 ) ( n )
的全部特征向量.
9
例
2 设矩阵 A 2 0
2 1 2
0 2 , 求 A 的特征值. 0
解 A 的特征多项式为
2 I A
2 0 2 0 2 ( 2 )( 1 )( 4 ),
1
2
所以，A 的特征值为 1 2 , 2 1 , 3 4 . 特征值的计算不容易！！
0 A 1 1 1 0 1 1 1 0
所以 k 1 p 1 是对应于 1 2 的全部特征向量;
数值分析-第四章矩阵特征值与特征向量的计算2017秋
1 9 2.9996952.
12
幂法的加速—Aitken加速法
若 {ak} 线性收敛于a, 即
lim ak1 a C 0 k ak a 当 k 充分大时，有
ak1 a ak2 a ak a ak1 a
a
ak
(ak1 ak ak2 2ak1
涉及知识：乘幂法
22
上机作业
• 第121页第2题.
23
如果x(0)的选取恰恰使得t1=0, 幂法仍能进行. 因为 计算过程中会有舍入误差, 迭代若干次后, 必然会产 生一个向量x(k), 它在u1方向上的分量不为零, 这样以 后的计算就满足所设条件.
因为 x(k) 1kt1u1, 计算过程中可能会出现上溢 (|1|>1)或下溢成为0 (|1|<1). 为避免出现这一情形, 实
Ak1 x(0)
在一定条件下, 当k充分大时:
1
x ( k 1) i xi(k )
相应的特征向量为: x(k1) 4
幂法的理论依据
n
对任意向量x(0), 有 x(0) tiui ,
i 1
x(k1) Ax(k ) Ak1 x(0)
设t1不为零.
n
)2 ak
13
把上式右端记为 aˆk
aˆk
ak
(ak1 ak )2 ak2 2ak1 ak
可以证明
lim k
aˆk
a,
klim
aˆk ak
a a
0.
即 aˆk a 比 ak a 快.
用 aˆk 逼近a, 这就是Aitken加速法.
第4章矩阵的特征值
山财大数学与数量经济学院杨素香
12
例4.求三阶方阵
a A a a
的特征值及特征向量.
解
(1)先求特征根
a a a
( a )3 0
A
得A的特征根
1 2 3 a.
13
山财大数学与数量经济学院杨素香
1 2 3 a.
21
山财大数学与数量经济学院杨素香
推论： 设1 , 2 ,
i 1 , i 2 ,
特征向量，则向量组 11 ,12 , ,1t1 ,21 ,22 , 线性无关.
结论： 1） k 为 kA 的特征值. 2）
k
为
A k的特征值
3） ＋1 为 A＋ I 的特征值.
4) tr ( A) a11 a22
ann 1 2
n
5)
1
A ＝12
n
, n为其特征值，则
6) 若A可逆，1 , 2 ,
1 1 ， ， ， 1 2 n
为 A 1 的特征值，
A
1 ， 2 ， ， n
A
A
为
A
的特征值。
22
山财大数学与数量经济学院杨素香 第五 章 第 一节 矩阵的特征值与特征向量
( n ) ( 1)n 12
n ) n 1
n
所以有tr ( A) a11 a22
令＝0，即有 A ＝(1)n 12
ann 1 2
n，即 A ＝12
n
n
24
山财大数学与数量经济学院杨素香
例1.三阶方阵A的特征值为-1,2,3,求
1 1 1 1 1 A1 1 , 4 1 2 2 2
12
例4.求三阶方阵
a A a a
的特征值及特征向量.
解
(1)先求特征根
a a a
( a )3 0
A
得A的特征根
1 2 3 a.
13
山财大数学与数量经济学院杨素香
1 2 3 a.
21
山财大数学与数量经济学院杨素香
推论： 设1 , 2 ,
i 1 , i 2 ,
特征向量，则向量组 11 ,12 , ,1t1 ,21 ,22 , 线性无关.
结论： 1） k 为 kA 的特征值. 2）
k
为
A k的特征值
3） ＋1 为 A＋ I 的特征值.
4) tr ( A) a11 a22
ann 1 2
n
5)
1
A ＝12
n
, n为其特征值，则
6) 若A可逆，1 , 2 ,
1 1 ， ， ， 1 2 n
为 A 1 的特征值，
A
1 ， 2 ， ， n
A
A
为
A
的特征值。
22
山财大数学与数量经济学院杨素香 第五 章 第 一节 矩阵的特征值与特征向量
( n ) ( 1)n 12
n ) n 1
n
所以有tr ( A) a11 a22
令＝0，即有 A ＝(1)n 12
ann 1 2
n，即 A ＝12
n
n
24
山财大数学与数量经济学院杨素香
例1.三阶方阵A的特征值为-1,2,3,求
1 1 1 1 1 A1 1 , 4 1 2 2 2
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( 0,0,1) ,
T
例 用Aitken加速法求解上例
ˆ 2 0
( 1 0 )
2
2 2 1 0
2
解：0, 0, 2, 2.5, 2.8, 2.9285714, 2.9756097
(1)
0
( 2)
0
( 2 0)
2
2.5 4
2.6667
5
定理： A R 设
n n
, 特征值λi ( i 1, 2, n)满足
λ1 λ2 λ3 λn , 且与λi 对应的特征向量u1 , u2 , un线性无关，则对 任意非零初始向量x
( 0)
(α1 0),向量序列x
( k 1)
(k )
A x
k
( 0)
xi 收敛于 λ1的特征向量， ( k ) λ1 ( k ). xi
7.若k N , 置1 0 , 2 1 , 0 , k 1 k , 转3,
否则, 输出失败信息 停机. ,
2 例 : 用幂法求矩阵 0 A 0
3
1 2 1
0 1 按模最大 2
(0)
的特征值和相应的特征 向量.取x 要求误差不超过 10 .
0.0006049 10
3
13
注1：幂法特别适用于求大型稀疏矩阵 按模最大的特征值1及特征向量
注2:若矩阵A 的特征值分布满足,
1 2 m m 1 n
矩阵有n个线性无关的特征向量,算法仍然有效
(1) 1为 m 重的特征根
x
( k 1)
1
1.0000
1.0000 1.0000
0.0223
0.0024 0.0003
28
§ 1.3
反幂法
通过求A 的按模最大的特征值，从而得到 A的按模最小的特征值的方法
( α 1 u 1 ( 1)
k 1
α 2 u 2 ),
x
(k )
λ1 ( α 1 u 1 ( 1) α 2 u 2 )
k k
x ( k 1 ) λ1 x ( k ) 2 λk 1 α 1 u 1 1 (k 1) (k ) k 1 k 1 x λ1 x 2 λ1 ( 1) α 2 u 2
第四章
求Ax x
特征值与特征向量的计算
来源 :
(1)求矩阵的谱半径2范数和条件数等 , ;
( 2)方程 2u Lu 2 t u( x , t ) 0 u( x ,0) u 0 x x t0
有形如u( x )e
iνt
的解
令
( 2)
Ay
(1)
0.5, 2, 2.5 , 1 2.5
( 2)
( 2)
( 2)
x
( 2)
(0.2, 0.8, 1) )
T
T
max( x
x
( 3)
Ay
( 2)
1.2, 2.6, 2.8 ,
( 3)
1
2.8
(9) (8) 1 1 2.9996973 2.99909241
k 1 1
1u1
（ k 充分大）
x
( k 1)
可作为与1对应的特征向量(相差一个系数)
(k 1)
又由于 x
λ1 α 1 u 1 , x
(k ) (k )
k 1
(k )
λ1 α 1 u 1
k
1
xi
( k 1) (k ) i
x
( x i 为x
的第i个分量, i 1, n)
xi
(k 1) (k )
xi
15
(2)1 2 ,| 1 || 3 |
x
( k 1)
1
k 1
3 k 1 n k 1 k 1 1u1 ( 1) a2 u2 ( ) a3 u3 ( ) an un 1 1
{x
(k 1)
注1：x
( k 1)
1 1u1，
k 1
注2： x 的1 0, 计算仍能进行 （舍入误差） 若
(0)
注3:计算过程可能出现溢出(| 1 | 1)或成为0( | 1 | 1)
实际计算时将x
( k 1)
标准化
7
标准化 :
非零向量x ( x1 , x2 , xn )
T
1 0 3 .1,
2 0 0 .1,
0 .1 3 .1 1 31
3 0 0 .1,
2 1
1 2
2 0 1 0
则用幂法求A 2.9 I的按模最大特征值 比直接求A的按模最大特征值的收敛速度快
若求得A 2.9 I 按模最大特征值为1 ,
T
12
解：
x
y
(1)
2 A 0 0
1 2 1
0 1 , 2
T
1
Ay
x
0
Ax
0
0, 1, 2 , 1 2取x
T
(1)
(0)
( 0,0,1)
(1) (1)
(0, 0.5, 1) )
T
T
max( x
x
y
23
a ak
(a k 1 a k )
2
a k 2 2a k 1 a k
ˆ : a k
可以证明ˆ k a比ak a快, a
ˆ 用ak 逼近a , 这种方法称为 Aitken加速法.
24
算法4.2
25
1.输入A (aij ), 初始向量x , 误差限 , 最大迭代次数 , N
k 1
m 1 k 1 n k 1 ) am 1um 1 ( ) an un 1u1 ... m um ( 1 1
k 1
1
( 1 u 1 ... m u m )
仍然有
x
(k 1)
为 相 应 的 特 征 向 量 ， λ1 λ 2 ... λ m
3
对任意非零向量x
(0)
, 有x
(0)
n
u , 设α 不为零,
i i i 1
n
1
x
( k 1)
Ax
(k )
A
k 1
x
(0)
A
i 1
k 1
i ui i i ui
k 1 i 1
n
k 1 1
n k 1 2 k 1 1u1 ( ) a2 u2 ( ) an un 1 1
19
原点移位法:
设i 是A 的特征值，1
2
i 1
, 若0使得，
1 0 i 0 , 且 max
i 0 1 0
*
2 1
用幂法求A 0 I的按模最大的特征值 1
则1 1 0 , 这种方法称为原点移位 . 法
20
注 : 实际应用时, A的特征值未知, 0无法确定
（一）原点移位法
设i 是A 的特征值，1
2
,
则i 0是A 0 I的特征值， 0使得， 若
1 0 i 0 , 且 max
i 1
i 0 1 0
2 1
则用幂法求A 0 I的主特征值1 0 , 比直接求A的主特征值1的收敛速度快
6. 若 k N , 置k k 1, 0 , 转3 否则输出失败信息, 停机.
11
2 例 : 用幂法求矩阵 0 A 0
3
1 2 1
0 1 按模最大 2
(0)
的特征值和相应的特征 向量.取x 要求误差不超过 10 .
( 0,0,1) ,
10
算法4.1
1.输入A, 初始向量 , 误差限 , 最大迭代次数 , x N
2.令k 1, 0 0.
3.求整数r , 使得xr max( x ), y
4.计算x Ay , x
x xr
xr , y
5. 若 0 , 输出 , y, 停机; 否则, 转6
0 1.0, x 3.求整数r , 使得xr max( x ), y xr 4.计算 x Ay, 置xr 2 ,
5.计算 0 (1 0 )
2
2.置k 1, 0 0,
1 0,
2 21 0
,
6.若 0 , 输出 , y停机, 否则转7,
17
注3：幂法的收敛速度依赖于比值
2 1
(收敛因子)
2 1
x
( k 1)
越小,收敛越快
n k 1 2 k 1 k 1 1u1 ( ) a2 u2 ( ) an un 1 1u1 1 1
1
k 1
18
§ 1.2
幂法的加速
3.0000
4.0000
3.2500
3.0250
0.4286 -0.9286
0.6098 -0.9756
1.0000
1.0000
0.5833
0.2250
5.0000
6.0000 7.0000
3.0027
3.0003 3.0000
0.7377 -0.9918