含参变量的积分PPT课件

上连续, 其中 (x),(x)为 [a,b]上的连,则续 函数函
(x)
(x)
f(x,y)dy
(x)
在[a,b]上连续 . 证: 令 y ( x ) t [ ( x ) ( x ) ,t ] [ 0 , 1 ] , 则
(x ) 0 1f(x , (x ) t[(x )(x ))[] (x ) (x )d ]t
同样, (y)abf(x,y)dx在 [,]上可 ,且 积
(y )d y a bf(x ,y )d xd yD f(x,y)dxdy
推论: 在定理2 的条件下, 累次积分可交换求积顺序,
即
b
b
adx f(x,y)dydyaf(x,y)dx
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定理3. (可微性) 若 f(x,y)及其偏 fx(x导 ,y)都数 在
这说明(x)在[a,b]上连 . 续
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定理1 表明, 定义在闭矩形域上的连续函数, 其极限运
算与积分运算的顺序是可交换的. 即对x0 任 [a,b 意 ],
lim f(x,y)dy limf(x,y)dy
xx0
xx0
同理可证, 若 f(x ,y )在矩 R [a ,b ] 形 [, ]上 域
①
x 称为参变量, 上式称为含参变量的积分.
含参积分的性质 — 连续性, 可积性, 可微性 :
定理1.(连续性) 若 f(x ,y)在矩 R [a 形 ,b ] [,域 ]
上连续, 则由 ① 确定的含参积分在[a, b]上连续.
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证: 由于 f(x,y)在闭区域R上连续, 所以一致连续, 即
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x
a g(x)dx
f(x,y)f(a,y)dy
(x)(a)
因上式左边的变上限积分可导, 因此右边(x)可微 ， 且有
(x)g(x)
fx(x,
y)dy
此定理说明, 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续
时, 求导与求积运算是可以交换顺序的 .
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1 1 t20 11 x x2 1 tx2 1 ttxdx
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1 1 t2 1 2 l1 n x 2 ( ) tarx c lt1 n a tx ( ) n 10
故
1 1 t21 2ln 2 4t ln 1 t()
I(1 ) (0 ) 0 11 1 t2 1 2 l2 n 4 t ln 1 t) (d t
例1. 求 I1xbxadx(0ab). 0 ln x
解: 由被积函数的特点想到积分:
b a
xy
d
y
xy ln x
b a
xb xa ln x
I
1
dx
bxydy
(xy在 [0,1][a,b]上连 ) 续
0a
b
dy
a
1 xy dx
0
b a
xy1 y1
1
dy
0
b 1 d y ln b 1
(x)
(x)
f(x,y)dy
(x)
在[a,b]上可， 且 微
a y 1
a 1
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例2. 求I01l1n 1 (x2x)dx.
解: 考虑含参变量 t 的积分所确定的函数
(t)0 1l1 n1 (xt2x)dx.
显然, l1 n1 (xt2x)在 [0,1][0,1]上连 , (续 0 ) 0 , (1 ) I,
由于 (t)01(1x2)x1(tx)dx
任给 0,存在 0,对 R 内任(意 x1,y1),两 (x2,y2 点 ),
只要
x 1 x 2 , y 1 y 2
就有
f( x 1 ,y 1 ) f( x 2 ,y 2 )
因,任 此给 0,存在 0,当x时,就有
(x x) (x) [f(x x ,y )f(x ,y )d ]y
f(x x,y)f(x,y)dy()
*第五节
第十章
含参变量的积分
一、被积函数含参变量的积分 二、积分限含参变量的积分
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一、被积函数含参变量的积分
设 f(x ,y )是矩 R [a 形 ,b ] [, 域 ]上的连续函数,
则积分
f (x, y)dy确定了一个定义在[a,
b]上的函数,
记作
(x)f(x,y)dy
(x)
(x)
f(x,y)dy
(x)
y y(x)
D
y(x)
oa bx
也是参变量 x 的函数 , 其定义域为 [ a , b ] .
利用前面的定理可推出这种含参积分的性质.
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定理4.(连续性) 若f(x,y)在区域 D : { x , y ) ( ( x ) y ( x )a ,x b }
矩形 R[a,域 b] [,]上连 ,则 (x续 )f(x,y)dy
在[a,b]上可,且 微
(x)ddxf(x,y)dy fx(x,y)dy
证: 令 g(x)fx(x,y)dy,则g(x)是[a,b]上的连
函数, 故x 当 [a,b]时 ,
x
a
g
(
x)
d
x
axfx(x,y)dydx
a xxf(x,y)dxdy
由于被积函数在矩形域[a,b][0,1]上连续, 由定理1知,
上述积分确定的函数(x)在[a,b]上连 . 续
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定理5. (可微性) 若 f(x,y)及其偏 fx(x导 ,y)都数 在
矩形 R[a,域 b] [c,d]上连 ,(x),续 (x)为定义在
[a,b]上其值域含[c于 ,d]中的可微函数, 则
续, 则含参变量的积分
(y)
b
f(x,y)dx
a
也在 [,]上连. 续
由连续性定理易得下述可积性定理:
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定理2. (可积性) 若 f(x ,y)在矩 R [a 形 ,b ] [,域 ]
上连续, 则 (x)f(x,y)dy在[a,b]上可,且 积 a b (x)dxa b f(x,y)dydxD f(x,y)dxdy
1ln2arctatn1 ln1(t2)
2
08
1 0
Fra Baidu bibliotek
01l1n1(t2t)dt
ln2I
4
因此得
I ln 2
8
10
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二、积分限含参变量的积分
在实际问题中, 常遇到积分限含参变量的情形, 例如,
设f(x,y)为定义在区域
(x)y(x)
D : axb
上的连续函数, 则