第3章_晶格振动与晶体的热学性质2
第三章 晶格的振动
i [ q ( 2 n2 ) at ]Be it Ae it
原胞内的不同原子以相同的振幅和位相做整体运动。
长声学波代表原胞质心的振动。
2）光频支 2 2 cos qaA ( 2 M ) B 0 两种原子的振幅比：
2 A 2 M2 ( )2 B 2 cos qa
玻恩—卡门边界条件： 晶格振动的波矢数等于晶体的原胞数。 晶格振动的频率数等于晶体的自由度数
（振动模式数）
2. 一维单原子链的波矢数
N M x N 1 x1 i q ( N 1) a t i qa t Ae Ae i qna t x Ae n ei qNa 1 Nqa 2l 2l q Na
光学波代表原胞中两个原子的相对运动。
三、玻恩—卡门边界条件 1. 玻恩—卡门假设和主要结果 a. 由N个原子构成的原子链为无限长的原子 链上的一段，这里N=mM m—每个原胞的原子数，M—原胞数。 b. 把这N个原子组成的一维原子链看成一个 闭合环，它包含有限数目的原子，但实际 上第N+1个原子就是第1个原子。 只要N足够大，圆环半径远远大于晶格常数就 局部看仍认为原子排列在一条直线上从而 得出结论。
0
U 1 2U 2 U ( x0 ) U ( x0 ) ( ) x0 x x0 ( 2 ) x0 x x0 ... x 2 x U 1 2U U ( x0 ) ( ) x0 ( 2 ) x0 2 ... x 2 x
2
mM
{(m M ) [m 2 M 2 2m M cos(2qa)] }
1 2
2. 振动方程及其试探解 类似于一维单原子链的讨论
晶格振动与晶体的热学性质关系综述
晶格振动与晶体的热学性质关系综述晶格振动是晶体中原子或分子在平衡位置周围的微小振动。
它是晶体内部热学性质的基础，与晶体的热导率、热膨胀系数、比热容等热学性质密切相关。
本文将综述晶格振动与晶体热学性质的关系，并探讨晶格振动在材料科学中的应用。
晶体的热学性质与晶格振动的频率、波矢以及振幅有密切关系。
一般来说，晶格振动频率高、振幅小的晶体热导率会较高，热膨胀系数较小。
这是因为晶格振动频率高意味着晶格中原子或分子之间的相互作用强，能量传递效率高；而振幅小意味着原子或分子振动的范围小，不易导致晶格的漂移，从而减小了热膨胀系数。
晶格振动与晶体的比热容也存在一定的关系。
在低温下，晶格振动对比热容的贡献为Debye模型所描述的三维声子气模型。
而在高温下，由于激发了大量的非谐振动模式，晶格振动对比热容的贡献将显著增加。
除了热学性质，晶格振动还与晶体的光学性质相关。
例如，晶体的红外吸收谱在一定程度上反映了晶格振动的特点。
由于不同模式的晶格振动对应不同的波矢和能量，因此红外光谱可以提供关于晶体结构和振动特性的重要信息。
在材料科学中，晶格振动也被广泛应用于热电材料和热障涂层等领域。
通过调控晶格振动，可以实现材料的热导率和电导率之间的解耦，从而提高材料的热电性能。
例如，通过引入杂质、界面掺杂或纳米结构等手段，可以有效散射晶格振动，降低热导率，进而提高材料的热电效率。
总之，晶格振动与晶体的热学性质密切相关。
研究晶格振动对于深入理解晶体的热学行为、优化材料的热学性能具有重要意义。
随着计算模拟和实验技术的发展，进一步研究晶格振动与热学性质的关系将有助于推动材料科学和能源领域的进展。
这篇文章主要综述了晶格振动与晶体的热学性质的关系，并探讨了晶格振动在材料科学中的应用。
通过调控晶格振动频率、波矢和振幅等参数，可以实现热导率、热膨胀系数和比热容等热学性质的调控。
此外，晶格振动还与晶体的光学性质相关，并被广泛应用于热电材料和热障涂层等领域。
晶格振动与晶体的热学性质
q1
2 1
2a
q2
2 2
5
2a
q2
q1
2
a
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
N+1
12
n
N N+2 N+n
N n
n
Aeit N naq Aeitnaq
eiNaq 1 ei2h 1
q 2 h
Na
h =整数
在q轴上，每一个q的取值所占的空间为 2
Na
q的分布密度：
q Na L
q0时
2
M
Mm
m
1
1
4
M
Mm m
2
sin
2
1 2
aq
M
m
1
Mm
1
4Mm
M m2
1 2
aq2
2
M
Mm
m
2Mm
M m2
1 2
aq
2
2
M m
1 2
aq
2
1 2
a
2 q q
M m
这与连续介质的弹性波 ＝vq 一致
当q0时
n n
q0
1
在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振
M 2 m2 2Mm cosaq
i 1 aq
M
2
2m
cos
1 2
aq
e
2
m2 2Mm cosaq
M
m
Rei
1 aq
2
即：
2 2
－在Ⅰ、Ⅳ象限，属于同位相型
物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞 基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原 子基本上无相对振动。
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
固体物理基础第3章-晶格振动与晶体的热学性质
3-2 一维单原子链模型
格波的色散关系 4 2 2 aq sin ( )
m 2 • ω取正值，则有 (3)
(q)
aq 2 sin( ) m 2 • 频率是波数的偶函数
• 色散关系曲线具有周期性， 仅取简约布里渊区的结果即可 • 由正弦函数的性质可知，只有满足 0 2 / m 的格波 才能在一维单原子链晶体中传播，其它频率的格波将被强
原子n和原子n+1间的距离
非平衡位置
原子n和原子n+1间相对位移
a n1 n
n1 n
3-2 一维单原子链模型
• 忽略高阶项，简谐近似考虑原子 振动，相邻原子间相互作用势能 1 d 2v v(a ) ( 2 ) a 2 2 dr • 相邻原子间作用力 dv d 2v f , ( 2 )a d dr • 只考虑相邻原子的作用，第n个原 子受到的作用力
• 连续介质中的波（如声波）可表示为 Ae ，则可看出 • 格波和连续介质波具有完全类似的形式 • 一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的振动 • 格波与连续介质波的主要区别在于(2)式中，aq取值任意加减 2π的整数倍对所有原子的振动没有影响，所以可将波数q取值 限制为 q a a
V
O
a
r
• 第n个原子的运动方程
(n1 n ) (n n1 ) (n1 n1 2n )
(1)
平衡位置
d 2 n m 2 ( n1 n 1 2n ) dt
非平衡位置
——牛顿第二定律F=ma
3-2 一维单原子链模型
• 上述(1)式的解（原子振动位移）具有平面波的形式
a
)
晶格振动与晶体的热学性质
格波： 连续介质弹性波：
Ae
i t naq
i t xq
Ae
将 µ nq
Ae i t qna
i t naq
代入运动方程得
m 2 Ae
Ae
m 2 eiaq eiaq 2 2 cos aq 1
解 得
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
布拉伐晶格晶体中的格点表示原子的平衡位置，原子在格点附近作热振动，由于晶体内 原子之间存在相互作用力，各个原子的振动不是孤立的，而是相互联系在一起的，因此在晶 体中形成各种模式的波，称为格波。只有当振动非常微弱时，原子间的相互作用可以认为是 简谐的，非简谐的相互作用可以忽略，在简谐近似下，振动模式才是独立的。由于晶体的平 移对称性，振动模式所取的能量值不是连续的，而是分立的。通常用一系列独立的简谐振子 来描述这些独立的振动模，它们的能量量子称为声子。
nj Aje
i jt naqj
频率为 j 的特解：
方程的一般解：
n
线性变换系数正交条件： 系统的总机械能化为：
Ae
j j
i jt naqj
Q q, t einaq Nm
q
1
1 N
＝N＝晶体链的原胞数 晶格振动格波的总数=N· 1 =晶体链的自由度数 三、格波的简谐性、声子概念
1 2 n m 2 n 2 1 U n 晶体链的势能： n 1 2 n
晶体链的动能：T
系 统 的总 机械 能 即 体系的哈密顿量为：
H
：
2 1 1 2 n m n n 1 2 n 2 n
1 d2V dV V a V a 2 2 d x a d x
晶格振动与晶体的热学性质
系统的哈密顿量
正则方程
p&i
H Qi
正则动量
pi
L Qi
Qi
Q&&i i2Qi 0, i 1, 2, 3,L 3N —— 3N个独立无关的方程
简正坐标方程解 Qi Asin(it )
简正振动 —— 所有原子参与的振动，振动频率相同 振动模 —— 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波 —— 简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密
顿量之和 —— 这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的 —— 用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的
振 动模式 —— 这些谐振子的能量量子，称为声子 —— 晶格振动的总体可看作是声子的系综
摩尔热容量 CV 3Nk 3R —— 与温度无关
—— 杜隆－珀替经验规律
—— 实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降 晶格振动 —— 研究固体宏观性质和微观过程的重要基础 晶格振动 —— 晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超
导电性、磁性、结构相变有密切关系
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
只考察某一个振动模
系统能量本征值计算
i
aij mi
Qj
aij mi
Asin( jt )
正则动量算符
系统薛定谔方程
(1
2
3N i1
pi2
1 2
3N
i2Qi2 ) (Q1,
i1
Q3N )
E (Q1,
Q3N )
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第三章晶格振动和晶体的热学性质讲课文档
A
2
M
第21页，共84页。
π
o
πq
a
a
长声学波
长声学支格波相邻原子都是沿着同一方向振动的。
长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相同的振 幅和位相作整体运动。因此，长声学波代表了原胞质心的运动。
长光学波:
(
A B
)
m M
;
M AmB0
长光学波，原胞的质心保持不动。所以定性地说，
长光学波代表原胞中两个原子的相对振动。
1
2 (q )m m M M 1 1 (m 4 m M M )2sin 2 1 2 q a 2 o ， 光 学 支 格 波 （ 光 学 波 ） ；
1
2 (q )m m M M 1 1 (m 4 m M M )2sin 2 1 2 q a 2 A ， 声 学 支 （格 a波 co， ust声 ic学 s）波
中的原子振动频率不是单一的。后来德拜通过谐振理论求得近
似的原子振动的频率分布，得到与实验更加符合的比热公式。 1912年，Max Born和Theodore von Karman发表了题为“论空间
点阵的振动的论文”。提出晶体中原子振动应该是以点阵波的形 式存在，是点阵动力学的奠基之作。
1920-1950年，点阵动力学被应用到晶体的热力学性质、热传导、 电导、介电、光学和X射线衍射等诸多方面。比较完整地总结在 Max Born和黄昆的书“晶体点阵的动力理论”中。 1950年以后，发展了测量点阵动力学性质的实验：中子衍射。
( , )
aa
对应于 N/2lN/2( l只能取N个值)
与单原子链比较可知，对应于每个波矢q，一维双原子链出现了两个频 率不同的振动模式。由于不等价的q的数目与原胞数目相等，因此，双原 子链共有2N个不同的振动模式。（N个波矢数，2N个频率数）
固体物理(第三章 晶格振动与晶体的热学性质)
µi 之间，通过如下形式的正交变
mi µ i = ∑ aij Q j
j =1
3N
= ai1Q1 + ai 2Q2 + L + ai 3 N Q3 N
m1 µ1 = a11Q1 + a12Q2 + L + a13 N Q3 N
§3-1 简谐近似和简正坐标 8 / 17
& i2 µ
mi µ i = ∑ aij Q j = ai1Q1 + ai 2Q2 + L + ai 3 N Q3 N
15 / 17 11/11
§3-1 简谐近似和简正坐标
由上所述，只要能找到体系的简正坐标，或者说振动模， 问题就解决了。
§3-1 简谐近似和简正坐标
16 / 17
§3-1 简谐近似和简正坐标
17 / 17
Qi = A sin(ωi t + δ )
§3-1 简谐近似和简正坐标 10 / 17
任意简正坐标的解为：
Qi = A sin(ωi t + δ )
ωi
是振动的圆频率，ωi
= 2πν i
表明：一个简正振动是表示整个晶体所有原子都参与的振 动。而且它们的振动频率相同。一个简正振动并不是表示某一 个原子的振动。 由简正坐标所代表的体系中所有原子一起参与的共同振动 常常称为一个振动模。
能量本征值
ε i = (ni + )hωi
ϕ n (Qi ) =
i
1 2
本征态函数
ωi
ξ=
Qi h H ni (ξ ) 表示厄密多项式
14 / 17
ω
ξ2 exp H ni (ξ ) − 2 h
固体物理第三章 晶格振动与晶体热学性质
固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动，由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个原子的振动也不是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体内形成各种模式的波。
只有当振动微弱时，原子间非谐的相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些模式才是独立的。
由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。
对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列独立的简谐振子来描述。
和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子称为声子。
这样晶格振动的总体就可以看成声子系综。
若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项，则声子间发生能量交换，并且在相互作用过程中，某些频率的声子产生，某些频率的声子湮灭。
当晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而电阻增加，可以看作电子受到声子的碰撞，晶体中的光学性质也与晶格振动有密切关系，在很大程度上可以看作光子与声子的相互作用乃至强烈耦合。
晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质，其对晶体的电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等一系列物理问题都有相当重要的作用，是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。
ωη§3-1 简谐近似和简正坐标由原子受力和原子间距之间的关系可以看出，若离开平衡位置的距离在一定限度，原子受力和该距离成正比。
这时该振动可以看成谐振动.用n μϖ表示原子偏离平衡位置（格点）位移矢量，对于三维空间，描述N 个原子的位移矢量需要3N 个分量，表为)3,,2,1(N i i Λ=μ将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开:高阶项+∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∑∂∂+===j i N j i j i i N i i V V V V μμμμμμ031,2031021)(第一项为平衡位置的势能，可取为零，第二项为平衡位置的力，等于零。
若忽略高阶项，因为势能仅和位移的平方成正比，即为简谐近似。
23121i N i i m T μ&∑==引入合适的正交变换，将动能和势能用所谓的简正坐标表示成仅含平方∑==N j j ij i i Q a m 31μ项而没有交叉项，即：由分析力学，基本形式的拉格朗日方程为：)32,1(,N i q Q T Q T dt d i i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂其中)32,1(,1N i q f q i j N j j i Λϖϖ=∂∂⋅∑==μ朗日方程：)32,1(,0N i Q L Q L dt d i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂则正则方程为：)3,2,1(,02N i Q Q i i i Λ&&==+ω其解为：)sin(δω+=t A Q i i 当考察某一个j Q 时，则：)sin(δωμ+=t A m a j i iji 晶体参与的振动，且它们的振动频率相同。
第3章 晶格振动与晶体的热学性质new
• 当基元有s个原子时, 模数有sN个=自由度数。
33
§3.3 二维简单格子
• 同理，可建立二维方程，如对四方晶系, x= y= d 2 u l1 l 2 m 2 β 4 u l1 l 2 u l1 1 l 2 u l1 1 l 2 u l1 l 2 1 u l1 l 2 1 dt
5
§3.2 一维晶格振动格波
晶体振动势能
1 d2U dU U(r0 ) U(r0 ) ( ) r0 ( 2 ) r0 2 dr 2 dr
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中作二级近似：
1 U(r0 ) U(r0 ) U' | r0 U' ' | r0 2 2
vp
q
• 群速:（group velocity）波包（能量）传播速度。 ( q ) • 对三维情况: vg= grad(q) vg q • 对非连续晶格，在长波极限时，群速等于相速，且 它们都等于声速；此时，点阵的行为象一个连续 体，没有色散发生。随着波长的变短，群速减少， 到短波极限q时减至0。
• 在第一布里渊区，-/a < q < /a, 对应于 - N/2 < n < N/2, 故n只能取N个值 .
21
周期性边界条件
（periodic boundary condition）
每个波矢在第一布里渊区占的线度 第一布里渊区的线度 第一布里渊区状态数
2 q Na 2 a 2 / a N 2 / Na
= (ma/2)q = vsq
vs= (ma/2) • 长波极限时为线性关系，连续介质情形。
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第三章
黄昆固体物理习题解答第三章晶格振动与晶体的热学性质3.1 已知一维单原子链，其中第j个格波，在第个格点引起的位移为，μ= anj j sin(ωj_j+ σj) ，σj为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。
解：任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即μn= ∑ μnj=∑ a j sin(ωj t naq j+σj)j j（1）μ2 n =⎛⎜⎝∑μjnj⎞⎛⎟⎜⎠⎝∑μj*nj⎞⎟⎠= ∑μj2nj+ ∑ μ μnj*nj′j j′由于μ μnj⋅nj数目非常大的数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2 项与第一项μ相比是一小量，可以忽略不计。
所以2= ∑ μ 2njn j由于μnj是时间的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为μ 2 = 1 T∫0 2 ω+σ 1 2j aj sin( t naqjj j)dt a=j（2）T0 2已知较高温度下的每个格波的能量为KT，μnj的动能时间平均值为1 L T ⎡1 ⎛dμ⎞2 ⎤ρw a2 T 1= ∫ ∫dx0⎢ρnj⎥= j j∫0 2 ω+ σ= ρ 2 2 T⎜⎟dt L a sin( t naq)dt w Lanj T0 0 0 ⎢ 2 ⎝dt⎠⎥2T0 j j j j 4 j j其中L 是原子链的长度，ρ 使质量密度，T0为周期。
1221所以Tnj= ρ w La j j=KT（3）4 2μKT因此将此式代入（2）式有nj2 = ρ ωL 2 jμ所以每个原子的平均位移为2== ∑ μ 2= ∑KT= KT∑1n njρ ωL2ρLω2j j j j j3.2 讨论 N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 a），其 2N 格波解，当 M=m 时与一维单原子链的结果一一对应.解答（初稿）作者季正华- 1 -黄昆固体物理习题解答解：如上图所示，质量为M 的原子位于2n-1，2n+1，2n+3 ……质量为m 的原子位于2n，2n+2，2n+4 ……牛顿运动方程：..mμ2n= −β μ(22n−μ2n+1 −μ2n−1)..Mμ2n+1 = −β μ(22n+1 −μ2n+2 −μ2n)体系为N 个原胞，则有2N 个独立的方程i na q方程解的形式：iμ2n=Ae[ωt−(2 ) ] μ2n+1=Be[ω−(2n+1)aq]na qμ=将μ2n=Ae[ωt−(2 ) ]2n+1 Be i[ωt−(2n+1) aq]代回到运动方程得到若A、B 有非零的解，系数行列式满足：两种不同的格波的色散关系：——第一布里渊区解答（初稿）作者季正华- 2 -第一布里渊区允许 q 的数目黄昆 固体物理 习题解答对应一个 q 有两支格波：一支声学波和一支光学波。
固体物理第三章 晶格振动与晶体的热学性质.
方程了，方程解为： nq Aei( tnaq )
2. 格波—解的物理意义 连续介质波的解：
i (t 2
Ae
x)
Ae i(t qx )
格波：上述原子振动方程的解与一般连续介质的波有完全类似
的形式，所不同的是只在格点位置上有原子的振动。我们称原
子振动的波为“格波”。
格波与连续介质波的区别：
（1）连续介质中x表示空间任意一点，而格波中空间位置只能取
将包含N个原胞的有限原子链首位相连， 呈封闭环，使链上所有原（胞）子等价。
第n个原（胞）子与第n+N个原子情况完 全相同。B-K边界条件也
称周期性边界条件。nq Aei(tnaq)
边界条件要求：eiNaq 1 即：Nqa=2 π h， q 2 h (h为 整 数)
Na
q
a
a
N h N , h取N个整数值 2 / a N
(Qi
)
i (Qi
)
解出：
i
(ni
1 2
)hi
ni
i
h
exp(
22)Hni来自()其中
i
h
Qi
系统的本征能量：
，Hni(ξ)是厄米尔多项式。
E
3N i 1
(ni
1 2
)hi
3N
系统的本征函数：
(Q1 ,Q2 ...Q3N )
ni (Q1 )
i 1
只要找出系统的简正坐标，或说是振动模, 晶格振动问题就解决
4. 简正坐标代表所有原子的一种集体运动(而不是哪个原子的位移) 因为原子位移和简正坐标之间存在正交变换关系：
mi i
aij Q j
假设只存在某一个Qi，j 其它的都为0 (即只考察一个Qj振动)，那么，
第三章 晶格振动和晶体的热学性质
第三章晶格振动和晶体的热学性质[引言]晶体中原子、离子实际上不是静止在晶格平衡位置上，而是围绕平衡位置作微振动，称为晶体振动。
对晶体振动的研究是从解释固体的热学性质开始的，最初把晶体中的原子看作是一组相互独立的振子，应用能量均分定理可以说明固体比热容服从杜隆-珀替定律，但与T=0K时的0C=的规律不符。
1906年爱因斯坦提出固体比热容的量子理论，V认为独立谐振子的能量是量子化的，可以得到T=0K时0C=的规律的结论，但与低温V下3C T的实验结果不符。
1912年德拜提出固体的比热容理论，把固体当成连续介质，~V晶格振动的格波看连续介质中的弹性波，得到低温下3~C T的结果。
随后，玻恩及玻V恩学派逐步建立和发展了比较系统的晶格振动理论成为最早发展的固体理论之一。
晶格振动理论不仅可以用来解释固体的热学性质、结构相变等许多物理性质都是极为重要的，是研究固体物理性质的基础。
因为固体是由大量原子组成的，原子又由价电子和离子组成，所以固体实际上是由大量电子和离子组成的多粒子体系。
由于电子之间、电子与离子以及离子之间的相互作用，要严格求解这种复杂的多体问题是不可能的，但注意到电子与离子的质量相差很大，离子的运动速度比电子慢得多，可以近似地把电子的运动与离子运动分开考虑，变成一个在晶格周期场中运动的多电子问题；在考虑离子的运动时，则认为电子能够即时跟上离子位置的变化，变成离子或原子如何围绕平衡位置运动的问题。
这种近似称为绝热近似。
晶格振动理论就是在这个近似的基础上建立的。
本章首先从最简单的一维晶格出发，说明晶格振动的基本性质，然后推广到三维情况，最后讨论晶体的热学性质。
[本章重点]一维单原子链晶格振动，一维双原子链晶格振动，声子，晶格比热的德拜模型，晶格振动的模式密度，N 过程与U 过程§3-1一维单原子链考虑由N 个相同的原子组成的一维晶格，如图3-1-1所示，相邻原子间的平衡距离为a ，第j 原子的平衡位置用x 0j 来表示，它偏离平衡位置的位移用u j 来表示，第j 原子的瞬时位置就可以表示为：j j j u x x +=0………………………………………………(3-1-1) 原子间的相互作用势能设为)(ij x ϕ，如果只考虑晶体中原子间的二体相互作用，则晶体总的相互作用能可表示为：()∑≠=Nji ij x U ϕ21……………………………………………(3-1-2)式中ij ij i j ij u x x x x +=-=0是i 、j 原子的相对距离，i j ij u u u -=是i 、j 两原子的相对位移，在温度不太高时，原子在平衡位置附近作微振动，相邻原子的相对位移要比其平衡距离小得多，可将ϕ展开为：………………(3-1-3)于是有：()∑∑∑≠≠≠+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=j i ij ij j i ij ijj i ij u x u x x U 202200412121ϕϕϕ……………(3-1-4) 图3-1-1 一维单原子晶格()()()+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=+=2220021ij ij ij ijijij ijij u x u x xu x x ϕϕϕϕϕ式中第一项是所有原子处于平衡位置上时的总相互作用能，用U 0来表示，是U 的极小值，()∑≠=ji ij x U 0021ϕ…………………………………………………………………… (3-1-5) 第二项是i j u 的线性项，它的系数为：()∑≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂i j ij x 0ϕ，是所有其它原子作用在i 原子的合力的负值，当所有原子处在平衡位置上时，晶体中任一原子所受到的净作用力应为零，所以在式（3-1-4）中不存在位移的线性项。
第三章晶体振动和晶体的热学性质
1.晶体振动
晶体中的原子并不是在各自的平衡位置上固定不动，
而是为绕其平衡位置作振动。
2.振动的特点
晶体中各原子的振动是相互联系的。
3.振动模式
用格波表述原子的各种振动模式。
1
二、晶体振动的分类(根据振动的剧烈程度分类)
1.晶格振动
原子在平衡位置附近的微振动。 2.空位或间隙原子 少数原子脱离其格点的振动。 3.熔解
2 q n
q相当于波矢k。
波速：v p / q
不同原子间位相差:
naq naq ( n n)aq
相邻原子的位相差:
( n 1)aq naq aq
12
3. 和q的关系——色散关系(振动频谱)
x n 1 x n 1 2 x n
12
2n sin q a
a 2 2 m
12
qa sin 2
15
q和q表示的是同一个状态。
b 2
b2
2 a
a
O
q0
a
2 a
q0
2 a
q
(2)q的取值范围 为了保证 和q的一一对应 关系，q的取值范围设定为： 对于一维布喇菲格子，有：
(1)m(2n+1)原子:
x2 n1 Ae
i q 2 n1 t
d 2 x2 n1 m x2 n 2 x2 n 2 x2 n1 n 1,2,3, N 2 dt
2 m A 2 cosqa B 0
2
①
21
(2)M(2n+2)原子
晶体的热学性质与晶格振动的相干性分析
晶体的热学性质与晶格振动的相干性分析晶体是由周期性排列的原子或分子构成的固体物质，其热学性质与晶格振动之间存在着相互的联系和相干性。
本文将对晶体的热学性质和晶格振动的相干性进行分析和探讨。
一、晶体的热学性质晶体的热学性质是指晶体在温度变化下所表现出的性质和特点。
其中，热容、导热性、热膨胀等是最常见的晶体热学性质。
下面将对这些性质进行详细介绍。
1. 热容热容是指单位质量的晶体在温度变化下吸收或释放的热量。
晶体的热容受到晶格振动和晶格缺陷的影响。
晶格振动包括晶格的弹性振动、声子振动等，它们会影响晶体内部的能量传递和分布。
晶格缺陷包括点缺陷、面缺陷等，它们会散射热子和声子，影响晶格的热传导性能。
2. 导热性导热性是指晶体在温度梯度下传导热量的能力。
晶体的导热性与晶格振动的相干性密切相关。
晶格振动的相干性越高，晶体的热导率就越高。
晶体的导热性还受到晶体的宏观结构和缺陷等因素影响。
3. 热膨胀热膨胀是指晶体在温度变化下的尺寸变化。
晶体的热膨胀与晶体中原子的振动有关。
当温度升高时，晶体内原子的振动增强，原子之间的相互作用减弱，晶体的体积就会扩大。
晶体的热膨胀系数与晶格振动的相干性强弱密切相关。
二、晶格振动的相干性晶格振动是晶体中原子或分子围绕平衡位置做小幅振动而引起的能量传递和分布现象。
这些振动以声子的形式进行传递，其相干性对晶体的物理性质有重要影响。
晶格振动的相干性决定了晶格对热量和声波的传递情况。
当声子的相干性较高时，晶体的热导率会增加。
而当声子的相干性较低时，晶体中的散射会增加，导致热传导能力变弱。
因此，晶格振动的相干性是晶体热学性质的重要影响因素。
晶体中振动的相干性主要受到以下因素的影响：1. 晶格结构：不同晶体的晶格结构会影响振动的传播和相干性。
晶格结构越有序，振动的相干性越高。
2. 晶体缺陷：晶体中的缺陷会散射声子，降低振动的相干性。
例如点缺陷、面缺陷等都会对声子的传播和相互作用产生影响。
3. 温度：温度的变化会影响晶格振动的相干性。
3-1晶格振动和晶体热学性质
简约区： q
a
a
π a
π a
对于不在简约区中的波数q’ ，一定可在简约区中
找到唯一一个q，使之满足：
q q 2 G G 为倒格矢
a
二、光学波和声学波的物理图象 第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比
n n
A
ei
1 2
aq
B
2
cos
1 2
aq
ei
1 2
aq
2 M2
M
2m
n
n n1 2
频率为j的特解： nj Ajeijtnaqj
方程的一般解： n Ajeijtnaqj
j
1
Q q,t einaq
Nm q
线性变换系数正交条件： 系统的总机械能化为：
1
N
einaqq q,q
n
H
1 2
Q* q
q,tQ q,t
2
qQ*
q,tQ q,t
Q(q, t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原 子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的 坐标，称为简正坐标。
单元交换能量。
• 声子具有能量 j ，也具有准动量 q ，但它不能
脱离固体而单独存在，并不是一种真实的粒子, 只是一 种准粒子。
• 声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。
• 由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量为：
E
N j=1
nj
1 2
j
• 声子可以通过热激发产生，也可以通过光子或其他粒子 与晶格的相互作用过程产生，在相互作用的过程中，声
子数不守恒。
§3.2 一维双原子链的振动
考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链
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Ae
i t N n aq
Ae
it naq
Ae
i t N n aq
Ae
it naq
即：e
iNaq
1
l =任意整数，因为已经把 q限制在第一布里渊区，
l 取值数目是有限的：只有布里渊区内的 N 个整数值。
n m M n q0
质心保持不动
离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这 种晶格振动，因此称这种振动为光学波或光学支或光频支。
电磁波只与波数相同的格 波相互作用。如果它们具有 相同的频率，就会发生共振。
光波： ＝c0q， c0为光速
—— 恢复力常数
于是，总的相互作用能为：
1 U u ( xij ) 2 i j 1 1 u 1 2u 2 u ( xij 0 ) （ ） （ ） ij 2 O ij O 2 i j 2 i j xij 4 i j xij
即： U U 0
iaq 2m cos aq e M 2 m2 2Mm cos aq M m
即：
i R e
aq
2
2
－在Ⅰ、Ⅳ象限，属于同相位型
物理图象：原胞中的两种原子的振动相位基本相同，原胞
基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原
R ei
R：大于零的实数，反映原胞中P、Q两原子的振幅比 ：原胞内P、Q两原子的振动位相差
1. 光学波（optical branch）
n 2m cos aq eiaq 2 2 M m M m 2Mm cos aq n
1 2 sin aq m 2
—— 色散关系 Dispersion curves
这里ω可正可负，我们取正值，因为在物理上频率应不小于 零。 这个结果与 n 无关，说明 N 个方程都有同样结果，即所有 原子都同时以相同的频率ω和相同的振幅 A 在振动，但不同 的原子间有一个相差，相邻原子间的相差是 qa 。
(q)
=c0q +
+(0)
0
q
对于实际晶体， ＋(0)在1013 ~ 1014Hz，对应于远
红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外
光在 ＋(0)附近的强烈吸收。
2. 声学波（acoustic branch）
iaq 2 m cos aq e n 2 2 n M m M m 2Mm cos aq
代入U，得
d n in ( i n ) m 2 dt i
2
§3.1 一维单原子晶格振动
一、模型和动力学方程
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a
—— 第n个原子离开平 衡位置的位移 —— 第n个原子和第i个 原子间的相对位移
原子的运动方程:
d 2 n in ( i n ) m 2 dt i
该结果还表示：只要ω和q 满足上述关系，试解就是联立方 程的解。通常把ω和 q 的关系称作色散关系。
解的物理意义 格波 原子振动以行波的方式在晶体中传播。当两原子相 2 距 ( ) 的整数倍时（即na-ma=lλ），两原子具有 q 相同的振幅和位相。
该解表明：晶体中所有原子共同 参与的振动，以波的形式在整个 晶体中传播，称为格波。
从形式上看，格波与连续介质弹性波完全类似，但连续介质 弹性波中的 x 是可以连续取值的；而在格波中只能取 na 格 点位置这样的孤立值。
由连续介质 中的机械波 波矢 晶体中的格波 波长
总结: 格波方程: 格波波长:
格波波矢:
格波的群速度： v d a cos qa dq m 2 不同原子间相位差: 相邻原子的相位差:
实际晶体是有限的，处在表面的原子的所力显然跟内部不同， 应该有不同的方程。
跟晶体内部原子数比起来，表面的特殊性对晶体的整体性质产 生的影响可以忽略,也就是说表面的运动方式可以按数学上的方 面任意选择。表面原子的运动方式称为边界条件。Born－Karman 最早利用周期性边界条件解决了此问题，成为固体理论的一个典 范。
q 值的分布密度（单位长度上的模式数目）： Na L q L＝Na 为晶体链的长度。 2 2 第一布里渊区中波数 q 的取值总数等于晶体链的原子个数，
Na
2 2 Na ( q) N 至此，我们可以有把握的说找 a a 2 到了原子链的全部振动模。
一维原子链第一布里渊区内的色散关系：
4
m
sin qa 2
2
1 sin aq m 2
q
长波极限:
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2 sin aq m 2
在长波长极限区，即
sin qa qa 2 2
q 0时，
vs
m
m
a
a
m a
Y
aq
和弹性波的结果一致。
在 q 0 的长波极限下：类似声波，vs即声速。
q 0, 0 的色散关系称为声学支 (acoustic branch)。每组
(ω ,q)对应的振动模式称为声学模 (acoustic mode)
原胞中两原子的振动相位相同
当
2 q , 2a, vq 0 a q
qa vq a cos m 2
群速度为零
相邻原子振动相位相反，波既不向右传 播，也不向左传播，形成驻波
相邻原子振动方向相反
§3.2 一维双原子链 声学波和光学波
2m cos aq e
i aq
M m M 2 m2 2Mm cos aq
R ei
2a
q
2a
cos aq 0
aq
3 2 2
＋在Ⅱ、Ⅲ象限之间，属于反相位型
物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反， 即原胞中的两种原子基本上作相对振动。 当q0时，＋，原胞中两种原子振动位相完全相反。
子基本上无相对振动。
当q0时，_0，原胞内两种原子的振动位相完全相同。
q0时
2
M m
Mm
1 1 sin 2 aq 2 M m 4Mm
1 1 2 aq Mm M m M m 2Mm 2 2 2 2 aq aq 2 Mm M m M m 4Mm
二、格波的色散关系:（
）
4 m
特点: １、是q的周期函数,周期为2/a。
(q Gl ) (q)
波矢的取值
Gl l 2 / a (l为整数）
一维晶格倒格矢
—— 第一布里渊区
q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则 晶格振动状态不同。
若 q q 振动状态
u 1 u 2 u ( xij 0 ij ) u ( xij 0 ) （ ） ij （ 2 ） ij O O xij 2 xij
2
u —— 原子平衡位置的受力，因此为零； （ ） xij O 即式中第二项为零
2u ij ji （ 2） 0 xij
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
§3.1 一维单原子晶格振动 §3.2 一维双原子晶格振动
§3.3 三维晶格振动、声子
§3.4 晶格振动谱的实验测定 §3.5 晶格振动的热力学函数 模式密度 §3.6 晶格热容
§3.7 非谐效应：热膨胀、热传导
绪言
晶体中的原子处在不停的运动中；
温度较低: 热运动较弱——在平衡位置附近微振动,平衡位
光学波和声学波的物理图象
第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比
iaq n 2 cos aq e A iaq e 2 B 2 m n
2m cos aq eiaq M m M 2 m 2 2Mm cos aq
置是晶格格点,所以称为晶格振动； 晶格振动是原子的热运动，对晶体的热学性能起 主要贡献。(除非很低的温度下，考虑电子贡献)
温度较高:
热运动较强——少数原子脱离格点－ 热缺陷； 热运动很强——整个晶体瓦解，溶解。
温度很高:
晶格振动的研究 —— 晶体的热学性质
固体热容量 ——是晶体热运动宏观性质的表现
—— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
第n个原子的运动方程
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
方程解和振动频率
(这样的线性齐次方程应有一个波形式的解)
设方程组的通解: A是振幅,为角频率,q=2/λ波矢 naq — 第n个原子振动相位因子
得到 应用三角公式
色散关系
1 2 i j ij 4 i j
—— 平蘅位置时的相互作用能
1 U 0 u ( xij 0 ) 2 i j
1 在简谐近似下有： U U 0 i j ij 2 4 i j
因此，在简谐近似下第n个原子的动力学方程为：
d 2 n U F man m 2 n dt
一维复式格子的情形 —— 一维无限长链
两种原子m和M _( M > m) —— 构成一维复式格子 M原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… m原子位于2n， 2n+2， 2n+4 …… 同种原子间的距离2a——晶格常数
系统有N个原胞
d 2 n in ( i n ) m 2 dt i