计算机算法总结

算法总结

1.穷举法

穷举法，又称暴力算法，即列举问题解空间所有可能情况，并逐个测试，从而找出符合问题条件的解。这份通常是一种费时算法，人工手动求解困难，但计算机的出现使得穷举法有了用武之地。例如:密码破译通常用的是穷举法，即将密码进行逐个推算直到找到真正的密码为止。理论上讲，穷举法可以破解任何一种密码，但对于一个长度为n位的密码，其可能的密码有2^n种。可见，当n较大时穷举法将成为一个NP难度问题。

典型例题

【百钱买百鸡问题】公元5世纪末，中国古代数学家张丘建在他的《算经》中提到了著名的―百钱买百鸡‖问题:鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问翁、母、雏各几何？

分析:设鸡翁、鸡母、鸡雏的个数各为x、y、z,百钱买

百鸡问题可以用如下方程式表示:

5x+3y+z/3=100

x+y+z=100

1<=x<20,1<=y<33,3<=z<100,z mod3=0

对于百钱买白鸡问题，很容易用穷举法对x、y、z的取值，判断

方程（1）、（2）及z mod3=0是否成立，若成立，则是问题的一个

解。

百钱买白鸡问题求解算法:

//百钱买白鸡问题穷举算法

//设鸡翁、鸡母、鸡雏的个数分别为x、y、z

for（x=1;x<20;x++）

for（y=1;y<33;y++）

for（z=3;z<100;z++）

if（x+y+z= =100）and（5x+3y+z/3==100）and（z mod 3==0）

writeln（x,y,z）

上述算法是一个三重循环，最内层的条件判断需要执行19*32*97次，即58976。在条件判断中，利用了整数的求模运算，如果将鸡雏的个数设为3z，可以避免该项判断，且可减少内重循环次数。即:

for（z=1;z<34;z++）

if（x+y+3z==100）and（5x+3y+z==100）

writeln（x,y,3z）

【0-1背包问题1】给定n种物品和一个背包，物品i的重量是W i，其价值为V i，背包的容量为W m。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包的物品总价值最大？

分析:所谓0-1背包问题，是指在选择装入背包的

物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或

不装入背包。另外，不能将物品i装入背包多次，也

不能只装入部分的物品i。0-1背包问题是一种组合

优化的NP完全问题，最容易想到方法的就是穷举

法。

0-1背包问题求解的穷举算法。

//设数组w[0…n–1]存储n件物品的重量，数组c[0…n-1]存储

//n件物品的价值，数组b[0…n-1]为标识数组，若物品i未选

//择，则b[i-1]=0，否则b[i-1]=1

cmax=0

for（i=1;i<=2^n-1;i++）

{

b[0..n-1]=将i转化为n位的二进制字符串

tempw=求和b[j]*w[j]

tempc=求和b[j]*c[j]

If（tempwcmax）

{

tempb=b[0..n-1];

cmax=tempc;

}

}

输出最佳方案tempb[0..n-1],cmax

结束

2.递推法

递推算法是一种根据递推关系进行问题求解的方法。递推关系可以抽象为一个简单的数学模型，即给定一个数的序列a0,a1,…,a n若存在整数n0，使当n>n0时，可以用等号（或大于号，小于号）将a n与其前面的某些项a i(0

递推算法是一种简单的算法，通过已知条件利用特定的递推关系可以得到中间推论，直至得到问题的最终结果。递推算法分为顺推法和逆推法两种。

【斐波那契数列算法1】斐波那契数列，又称为黄金分割数列。在数学上，斐波那契数列可以用递推方法定义，其递推公式为F1=0,F2=1,F n=F(n-1)+F(n-2)(n>=3,n∈N*)。写一算法求斐波那契数列第10项的值。

分析:从斐波那契数列的定义可知，数列的第一项为一，第二项也为一，递推关系是当前项等于前二项之和。因此，通过顺推可以得到f(3)=f(1)+f(2)=2,f(4)=f(2)+f(3)=3,f(5)=f(3)+f(4)=5，以此类推，可以得到f(10)的值。

求斐波那契数列的顺推算法:

//求斐波那契数列第十项的值并输出

f[1]=1

f[2]=2

n=3

while（n<=10）

{

f[n]=f[n-1]+f[n-2]

n=n+1

}

write(f[10])

3.递归法

在问题求解思想上，递推是从已知条件出发，一步步递推出未知项，直到问题的解。递归也是递推的一种，只不过它是对待解问题的递推，直到把一个复杂的问题递推为简单的易解问题，然后再一步步返回，从而得到原问题的解。

【斐波那契数列算法2】利用递归思想写出求斐波那契数列的递归算法。

分析：在问题求解中，求解同一个问题

的方法通常不止一个。根据递归法的思

想，由斐波那契数列递推公式可以很容

易地写出递归算法，伪代码描述如下。

求斐波那契数列递归算法:

//函数fib返回第n(n>=1)个斐波那契数列的值

int fib(int n)

{

if(n ==1)

return(1)

else

if(n ==2)

return(2)

else return (fib(n-1)+fib(n-2))

}

【Hanoi塔问题】Hanoi塔问题（Tower of Hanoi Problem）递归算法。

分析：可以把问题用初始状态和目标状态来表达，问题求解就是要找出搬移的次序和所有的中间状态。

Hanoi塔问题递归算法:

//n为盘子数目

//三根柱子from、to和temp分别表示起始柱子、目标柱子和临时柱子