(临时)定积分的换元公式

0
π
= π ∫ f (sin t )dt − ∫ tf (sin t ) dt
0
π
0
0
∴
∫0
π
π π xf (sin x )dx = ∫ f (sin x )dx . 2 0
∫0
π
x sin x π π sin x dx = ∫ dx 2 2 2 0 1 + cos x 1 + cos x
1 π π π π d (cos x ) = − [arctan(cos x )]0 =− ∫ 0 1 + cos 2 x 2 2 π2 π π π = − (− − ) = . 4 2 4 4
上连续； （1 ） f ( x ) 在[a , b]上连续；
（3）ϕ (α ) = a 、ϕ ( β ) = b ， x = ϕ (t ) ， t ∈ [α , β ] 值域 [a, b] 。
则 有 ∫a f ( x )dx = ∫α f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )dt .
b
β
例1 解
计算
0
a
7
偶倍奇零
上例推论
a
上连续， 当 f ( x ) 在[ − a , a ]上连续，且有
a
为偶函数， ① f ( x ) 为偶函数，则
∫−a f ( x )dx = 2∫0
f ( x )dx ；
a
为奇函数， ② f ( x ) 为奇函数，则 ∫− a f ( x )dx = 0 .
几何意义
例
计算
245ye
π π （2） ∫ xf (sin x )dx = ∫ f (sin x )dx . 0 2 0 π x sin x dx . 由此计算 ∫ 2 0 1 + cos x
π
证 （2）令 ）
π
x =π −t
π
I = ∫ xf (sin x)dx = ∫ ( π − t ) f (sin t )dt ,
2
= 4 ∫0 (1 − 1 − x )dx = 4 − 4 ∫0
= 4 − π.
1
Байду номын сангаас
1
1 − x 2 dx
单位圆的面积 9
二、定积分的分部积分法 1 设u(x) , v(x) ∈C [a , b] , 则 定理2. 定理
b a
例5. 计算 解: 原式 = x arcsin x
1 2
−1 1 1 2 2 = + ∫ 2(1− x ) d (1− x2 ) 12 2 0
π 2
∫0
π 2
cos x sin xdx .
5
5
∫0 = ∫ − cos
π
2
cos x sin xdx
5
0
xd cos x
π
cos 6 x 2 = 1 . =− 6 6 0
上连续， l、设 f ( x )在[ a , b ]上连续， 证明
换元技巧 （1）上下限互换 ）
∫
b
a
f ( x )dx =
π π
0
−∫
1 2
x 1− x
2
0
dx
=
12
1 1 + (1− x2 )2 2
3 = + −1 12 2
π
0
例. 证明
n−1 ⋅ n−3 ⋅L⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ π , n n−2 4 2 2
n 为偶数 n 为奇数
I1 = 1, π − I0 = , 递推公式In = nn1 In−2 2
（2） 一般证明见书，建立递推公式板书 ） 一般证明见书，
∫0
解
a
原式 = ∫
π x = a⇒ t = , 2 π
2 0
π 2 0
令 x = a sin t ,
1 dx . 2 2 x+ a − x
( a > 0)
dx = a cos tdt ,
x = 0 ⇒ t = 0,
a cos t dt 2 2 a sin t + a (1 − sin t )
=∫
π cos t sint 2 dt = ∫ dt 0 sin t + cos t sin t + cos t
2
π
3 2
2 = (sin x ) 5
0
2 − (sin x ) 5
5 π 2
π 2
4 = . 5
内容小结
换元积分法 基本积分法 分部积分法 换元必换限 配元不必换限 边积边代限
思考题
指出求 ∫ 的解法. 的解法
− 2 −2
dx 的解法中的错误，并写出正确 的解法中的错误， 2 x x −1
解 令 x = sec t ,
1 d u− ） （ 2 1 1 2 − u− ） （ 4 2
比较 256页(10)是瑕积分 页 是瑕积分 例3是定积分 是定积分
例
上连续， 当 f ( x ) 在[ − a , a ]上连续，
a
则
0 −a
∫
a
−a
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
0
= ∫ [ f (x) + f (−x)] dx
= − ∫2 π
π dt = − . 12
倒代换
证明： 证明：
∫
a
−a
f ( x )dx = ∫ [ f ( x ) + f ( − x )]dx ,
a
并求
∫
π 4 π − 4
0
dx . 1 + sin x
.
2. 设
解法1 解法
= f (x )
3
23
内容小结
换元积分法 基本积分法 分部积分法 换元必换限 配元不换限 边积边代限
I4 = [− cos x ⋅ sin x]
3
π
2
0
π
2
+ 3∫ sin x cos x dx
2
π
2
2
0
− 3∫ sin 4 x dx = 3 sin dx 0 0 π 3×1 π 3 2 I4 = ∫ sin x dx = 4× 2 2 4 0
∫
π
2
0 2
2
例4
计算(youjiqiao ) 计算(youjiqiao
思考与练习
两项 d x 100 1. ∫0 sin (x − t) d t = dx
sin (x − x)
100
[sin
100
100
(x − t)]′x dt
= 0 + ∫ −[sin
0
x
(x − t)]′ dt t
= −[sin
100
(x − t)]
x 0
1 3 3 2 = [ （ x +1 + ） 2x +1] 6 2
4 0
例5
计算
∫e
x = eu
3 e4
dx . x ln x (1 − ln x )
解
原式
=
∫
3 4
du u -u
2
1 2
= ∫1
3 4
2
1 3 u− 4 2 = arcsin 1 1 2 2
π = . 6
Q x = sec t
x − 1 = tan t ≠ tan t .
2
2π , 3π , t∈ 3 4 tan t < 0,
正确解法是
∫−2
− 2
x = sect dx x x2 − 1
3π 4 3
∫
3π 4
2π 3
1 sec t ⋅ tan tdt sec t ⋅ tan t
1 2 cos t + sint = ∫ dt 2 0 sin t + cos t
π
π = . 4
例. 设
求
解:
(分部积分 分部积分) 分部积分
例 7 若 f ( x ) 在[0,1]上连续，证明 上连续， （1） ∫ f (sin x )dx = ∫ f (cos x )dx ;
0 0
π 2 π 2
第一次作业
• （1）定积分定义域与性质 71 页 一题、二2 • （2）定积分基本公式-定积分 换元 –换元法73页-80页 共10页 下周星期一交作业
1
定积分的换元,分部公式 第三节 定积分的换元 分部公式 一、换元公式 （第二配元换限
定理
假设
（2）函数 x = ϕ (t ) 在[α , β ]上是单值的且有连续 导数； 导数；
∫
b
a
f (a + b − x )dx .
证明： 2、 证明：
∫
1
0
x (1 − x ) dx = ∫ x n (1 − x ) m dx .
m n 0`
1
例. 证明
4
凑微分不换限） （凑微分不换限） 例4. 计算
解:
2x +1 3 + 原式 = 4 2 2 dx ∫0 2x +1 1 4 3 = ∫（ 2x +1 + ） 2x +1 d （ ） 4 0 2x +1
例 解
计算
∫0
π
sin 3 x − sin 5 xdx .
∴∫
π
0
sin 3 x − sin5 xdx
3 2 π 3 2
= ∫ cos x (sin x ) dx − ∫π cos x (sin x ) dx
2
=∫
π 2 0 π 2 0
(sin x )
5 2
3 2
π 2
d sin x − π (sin x ) d sin x ∫
2π 3π t: → , dx = tan t sec tdt , 3 4 3π − 2 dx 1 4 ∫−2 x x 2 − 1 = ∫23π sec t ⋅ tan t sec t ⋅ tan tdt
= ∫2 π
3 3π 4
π dt = . 12
思考题解答
计算中第二步是错误的. 计算中第二步是错误的
∫−1
1
1
2 x 2 + x cos x dx . 2 1+ 1− x
1 x cos x 2x dx dx + ∫−1 2 2 1+ 1− x 1+ 1− x
2
解 原式 = ∫−1
偶函数
奇函数
= 4 ∫0
1
2 2 x2 dx = 4 1 x (1 − 1 − x ) dx ∫0 1 − (1 − x 2 ) 1 + 1 − x2