2024届山东省郯城一中高三下学期第一次模拟考数学试题

2024届山东省郯城一中高三下学期第一次模拟考数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知x ，y 满足不等式00224
x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪
⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ）
A ．[2，4]
B ．[4，6]
C ．[5，8]
D ．[6，7]
2．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222
111()324
f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ） A ．0,
3π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．,3π⎛⎫π
⎪⎝⎭
D ．,6π⎛⎫π
⎪⎝⎭
3．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD )有15cm ，跨接了6个坐位的宽度(AB )，每个座位宽度为43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）
A ．250cm
B ．260cm
C ．295cm
D ．305cm 4．用数学归纳法证明，则当时，左端应在
的基础上加上（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ）
A ．
32
B ．32
-
C ．
23
D ．23
-
6．函数()1
ln 1y x x
=
-+的图象大致为( ) A ． B ．
C ．
D ．
7．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）
A ．4π
B ．16π
C ．36π
D ．
643
π
8．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）
A ．234a π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
B ．262a π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
C ．264a π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
D ．2364
a π⎛⎫-
⎪⎝
⎭
9．若双曲线E ：22
1x y m n
-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ）
A ．
23
3
B ．3
C ．2或
23
3
D ．2或3
10．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（ ）
A ．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加
B ．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍
C ．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍
D ．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一
11．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）
A ．(722+π
B ．(1022+π
C ．(1042+π
D ．(1142+π
12．若6
2a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中6x 的系数为150，则2a =（ ） A ．20
B ．15
C ．10
D ．25
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是______.
①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同； ②支出最高值与支出最低值的比是6:1； ③第三季度平均收入为50万元； ④利润最高的月份是2月份．
14．已知数列{}n a 的前n 项和公式为2
21n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为___．
15．记S k ＝1k +2k +3k +……+n k ，当k ＝1，2，3，……时，观察下列等式：S 112=n 212+n ，S 213=n 312+n 216
+n ，S 314=
n 412+n 314+n 2，……S 5＝An 612+n 5512
+n 4
+Bn 2，…可以推测，A ﹣B ＝_____． 16．（5分）已知椭圆方程为2
2
12
y x +=，过其下焦点F 作斜率存在的直线l 与椭圆交于,A B 两点，O 为坐标原点，
则AOB 面积的取值范围是____________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AB BC ==，7CD AD ==
，120ABC ∠=︒.
（Ｉ）证明：BD PC ⊥；
（Ⅱ）若M 是PD 中点，BM 与平面PAB 所成的角的正弦值为
33
10
，求PA 的长.
18．（12分）已知函数()2
x x f x e
= ，
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当240m e <<时，判断函数()2
x x g x m e
=-，（0x ≥）有几个零点，并证明你的结论；
（3）设函数()()()2
111122
h x x f x x f x cx x x ⎡⎤=-+----⎢⎥⎣⎦，若函数()h x 在()0+∞，为增函数，求实数c 的取值范围．
19．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3b =，8c =，角A 为锐角，ABC ∆的面
积为（1）求角A 的大小； （2）求a 的值.
20．（12分）已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的两个焦点是1F ，2F
，)
M
在椭圆C 上，且124MF MF +=，
O 为坐标原点，直线l 与直线OM 平行，且与椭圆交于A ，B 两点.连接MA 、MB 与x 轴交于点D ，E .
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求证：OD OE +为定值.
21．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为2
12x y ⎧=
⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，且曲线C
的极坐标方程为4πρθ⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 上的定点P 在曲线C 外且其到C
，试求点P 的坐标.
22．（10分）已知抛物线2
4y x =的准线过椭圆C ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左焦点F ，且点F 到直线l ：2
a x c
=（c
为椭圆焦距的一半）的距离为4. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点F 做直线与椭圆C 交于A ，B 两点，P 是AB 的中点，线段AB 的中垂线交直线l 于点Q .若2PQ AB =，求直线AB 的方程.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】
作出可行域，对t 进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解. 【详解】
画出不等式组0024x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+=⎩
所表示的可行域如图△AOB
当t ≤2时，可行域即为如图中的△OAM ，此时目标函数z ＝9x +6y 在A （2，0）取得最大值Z ＝18不符合题意
t ＞2时可知目标函数Z ＝9x +6y 在224x y t x y +=⎧⎨+=⎩
的交点（824
33t t --，）处取得最大值，此时Z ＝t +16
由题意可得，20≤t +16≤22解可得4≤t ≤6 故选：B ．
此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法. 2．C 【解析】
求出导函数()f x '
，由()0f x '=有不等的两实根，即>0∆可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结
论． 【详解】
()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-，()2221
()4
f x x bx a c ac '∴=+++-.
若()f x 存在极值，则()
222
1404
b a
c ac -⨯⨯+->，222a c b ac ∴+-<
又2221
cos ,cos 22
a c
b B B a
c +-=∴<.又()0,,3B B π∈π∴<<π．
故选：C ． 【点睛】
本题考查导数与极值，考查余弦定理．掌握极值存在的条件是解题关键． 3．B 【解析】
AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧AB 所在圆的半径为r ，从而可得弧所对的圆心角，再利
用弧长公式即可求解. 【详解】
如图所示，AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，
则643258AB cm =⨯=
设弧AB 所在圆的半径为r ，则
222()r r CD AC =-+
22(15)129r =-+
解得562r cm ≈
129
sin 0.23562
AOD ∠=
≈ 可以近似地认为sin x x ≈，即0.23AOD ∠≈ 于是0.46AOB ∠≈，AB 长5620.46258.5≈⨯≈
所以260cm 是最接近的，其中选项A 的长度比AB 还小，不可能， 因此只能选B ，260或者由cos 0.97x ≈，sin 20.4526
x x π
≈⇒<
所以弧长5622946
π
<⨯≈.
故选：B 【点睛】
本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题. 4．C 【解析】
首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n 1=
时，当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别
使得n=k ，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案． 【详解】
当n=k 时，等式左端=1+1+…+k 1，
当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k 1+k 1+1+k 1+1+…+（k+1）1，增加了项（k 1+1）+（k 1+1）+（k 1+3）+…+（k+1）1． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查数学归纳法，属于中档题./ 5．D 【解析】
根据等差数列公式直接计算得到答案.
依题意，()()183********
a a a a S ++===，故364a a +=，故33a =，故632
33a a d -==-，故选：D ．
【点睛】
本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力. 6．A 【解析】
确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项． 【详解】
0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，
只有A 可满足． 故选：A. 【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项． 7．C 【解析】
设球的半径为R ，根据组合体的关系，圆柱的表面积为222254S R R R πππ=+⨯=，解得球的半径3R =，再代入球的体积公式求解. 【详解】 设球的半径为R ，
根据题意圆柱的表面积为222254S R R R πππ=+⨯=， 解得3R =， 所以该球的体积为3344
33633
V R πππ==⨯⨯= . 故选：C 【点睛】
本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题. 8．C 【解析】
画出直观图，由球的表面积公式求解即可 【详解】
这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉
1
8
个球而形成的，所以它的表面积为22
22
213346484a S a a a a πππ⎛⎫⎛⎫=+-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故选：C
【点睛】
本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力. 9．C 【解析】
由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60，所以
3b a =3
3
，由离心率公式2
1b e a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
即可算出结果.
【详解】
由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60，又双曲线的焦点既可在x 轴，又可在y
轴上，所以3b a =32
12b e a ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭
23. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想. 10．C 【解析】
通过图表所给数据，逐个选项验证. 【详解】
根据图示数据可知选项A 正确；对于选项B ：1935.5238715720.9⨯=<，正确；对于选项C ：16635.3 1.523595.8⨯>，故C 不正确；对于选项D ：1
23595.878655720.93
⨯≈>，正确.选C. 【点睛】
本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单. 11．C 【解析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可， 【详解】
由题意可知几何体的直观图如图：
上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥, 几何体的表面积为：1
442223(1042)2
ππππ+⨯⨯⨯=+， 故选：C 【点睛】
本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键. 12．C 【解析】
通过二项式展开式的通项分析得到2266
6150C a x x =，即得解.
【详解】 由已知得()
6212316
6()r
r
r r r r
r a T C x C a x
x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭
， 故当2r
时，1236r -=，
于是有226
663150T C a x x ==，
则210a =. 故选：C 【点睛】
本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．①②③ 【解析】
通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可． 【详解】
对于①，2至月份的收入的变化率为
806032-=-20，11至12月份的变化率为7050
2111
-=-20，故相同，正确． 对于②，支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值的比是6：1，正确．
对于③，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40万元，50万元，60万元，故第三季度的平均收入为405060
3
++=50
万元，正确．
对于④，利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元，高于2月份的利润是80﹣60＝20万元，错误． 故答案为①②③． 【点睛】
本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题目． 14．2,1
43,2
n n a n n =⎧=⎨-≥⎩
【解析】
由题意，根据数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系，即可求得数列的通项公式． 【详解】
由题意，可知当1n =时，112a S ==；
当2n ≥时，()2
21221143n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-.
又因为11a =不满足43n a n =-，所以2,1
43,2n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩
. 【点睛】
本题主要考查了利用数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 1
【解析】
观察知各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案. 【详解】
根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1， 最高次项的系数为该项次数的倒数，
∴A 16=，A 15212B ++
+=1，解得B 112=-，所以A ﹣B 111
6124
=+=． 故答案为：1
4
．
【点睛】
本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力. 16
．(0,
2
【解析】
由题意，1a b =
=
，则1c =，得(0,1)F -．由题意可设l 的方程为1y kx =-，1122(,),(,)A x y B x y ，
联立方程组22
1220y kx x y =-⎧⎨+-=⎩
，消去y 得22(2)210+--=k x kx ，>0∆恒成立，12212-=+x x k ，12222+=+k x x k
，则||AB
，点(0,0)O 到直线l
的距离为d ，则
1||2△=⋅AOB
S AB
d ==
≥
2=
，则
0△<=
≤
AOB S
=
即0k =时取等号．故AOB
面积的取值范围是
(0,
2
.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ）见解析；
【解析】
（Ⅰ）取AC 的中点O ，连接,OB OD ，由AB BC =，AD CD =，得,,B O D 三点共线，且AC BD ⊥，又BD PA ⊥，再利用线面垂直的判定定理证明.
2222cos PB BM PM BM PM PMB =+-⋅⋅⋅∠，在DBM △中，由余弦定理得
2
2
2
2cos DB
BM
DM
BM DM DMB =+-⋅⋅⋅∠，
两式相加求得BM =，
再过D 作DH BA ⊥，则DH ⊥
平面PAB ，即点D 到平面PAB 的距离，由M 是PD 中点，得到M 到平面PAB 的距离
2
DH
，然后根据BM 与平面
PAB . 【详解】
（Ⅰ）取AC 的中点O ，连接,OB OD ， 由AB BC =，AD CD =，得,,B O D 三点共线， 且AC BD ⊥，又BD PA ⊥，AC PA A ⋂=， 所以BD ⊥平面PAC ， 所以BD PC ⊥.
（Ⅱ）设PA x =，PB =
PD
在底面ABCD 中，3BD =，
在PBM 中，由余弦定理得：22
22cos PB BM PM BM PM PMB =+-⋅⋅⋅∠， 在DBM △中，由余弦定理得2222cos DB BM DM BM DM DMB =+-⋅⋅⋅∠，
两式相加得：222
222DB PB BM
DM +=+，
所以2
22
13222x BM
⎛
+=+ ⎪⎝⎭
，
BM =
，
过D 作DH BA ⊥，则DH ⊥平面PAB ， 即点D 到平面PAB 的距离33
sin 602
=⋅=
DH BD ，
因为M 是PD 中点，所以为M 到平面PAB 的距离2'=
=
DH h
因为BM与平面PAB
，
即sin
10
h
BM
α
'
===，
解得x=
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理，线面角的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象运算求解的能力，属于中档题.
18．（1）单调增区间()
0,2,单调减区间为(),0
-∞,()
2,+∞;（2）有2个零点，证明见解析;（3）
3
1
2
c
e
≤-
【解析】
()1对函数()
f x求导,利用导数()
'
f x的正负判断函数()
f x的单调区间即可;
()2函数2
(),(0)
x
x
g x m x
e
=-≥有2个零点.根据函数的零点存在性定理即可证明;
()3记函数2
11
()()(),0
x
x
F x f x x x x
x e x
=--=-+>,求导后利用单调性求得(1)(2)0
F F⋅<,由零点存在性定理及单调性知存在唯一的0(1,2)
x∈,使
()0
F x=，求得()
h x为分段函数,求导后分情况讨论：①当
x x
>时，利用函数的单调性将问题转化为()min
2c u x
≤的问题;②当
0x x
<<时，当0
c≤时,()0
h x
'>在
(0,)
x上恒成立，从而求得c的取值范围.
【详解】
（1）由题意知,
2
2
2(2)
()
()
x x
x x
x e x e x x
f x
e e
⋅-⋅-
==
'，列表如下：
所以函数()
f x的单调增区间为()
0,2，单调减区间为(),0
-∞,()
2,+∞.
（2）函数2
(),(0)x x g x m x e
=-≥有2个零点.证明如下：
因为240m e <<时，所以2
4
(2)0g m e
=->， 因为()()'2x
x x g x e
-=
,所以()'
0g x >在()0,2恒成立,()g x 在()0,2上单调递增， 由(2)0g >，(0)0g m =-<，且()g x 在()0,2上单调递增且连续知, 函数()g x 在()0,2上仅有一个零点，
由（1）可得0x ≥时,()()2f x f ≤()max f x =，
即224
1x x e e
≤<，故0x ≥时，2x e x >，
所以2
44
4
1616
16m m m g m m
--=-==，
由2
x e x >
得4
m
>
，平方得216m
>
，所以
0g <， 因为()()'2x
x x g x e
-=
，所以()'
0g x <在()2,+∞上恒成立, 所以函数()g x 在()2,+∞上单调递减,因为2
4
0m e
<<
,
2>, 由(2)0g >
，0g <，且()g x 在()2,+∞上单调递减且连续得 ()g x 在()2,+∞上仅有一个零点，
综上可知：函数2
(),(0)x x g x m x e =-≥有2个零点.
（3）记函数211
()()(),0x x F x f x x x x x e x
=--=-+>，下面考察()F x 的符号．
求导得2
(2)1
()1,0x x x F x x e x -'=
-->． 当2x ≥时()0F x '<恒成立．
当02x <<时，因为2
(2)(2)[
]12
x x x x +--≤=， 所以2222
(2x)11111
(x)11110x x x F e x e x x x -'=
--≤--<--=-<． ∴()0F x '<在(0,)+∞上恒成立，故()F x 在(0,)+∞上单调递减． ∵2143
(1)0,(2)02
F F e e =
>=-<，∴(1)(2)0F F ⋅<，又因为()F x 在[1,2]上连续， 所以由函数的零点存在性定理得存在唯一的0(1,2)x ∈，使0()0F x =， ∴00(0,),()0;(,),()0x x F x x x F x ∈>∈+∞<,
因为()()1F x x f x x =--,所以202
20
1
0(),x
x cx x x x
h x x cx x x
e ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩， ∴02
1120()(2)2,x
cx x x x h x x x cx x x e
⎧
+-<≤⎪⎪=⎨-⎪-'>⎪⎩，
因为函数()h x 在(0,)+∞上单调递增,()02
000010x x F x x x e
=-
-=, 所以()0h x '
≥在0(0,)x ，0(,)x +∞上恒成立．
①当0x x >时，
(2)
20x
x x cx e --≥在0
(,)x +∞上恒成立，即22x x c e -≤在0(,)x +∞上恒成立． 记02(),x x u x x x e -=>，则03
(),x x u x x x e
-'=>，
当x 变化时，()u x '，()u x 变化情况如下表：
∴min 3
()()(3)u x u x u e ===-
极小， 故min 312()c u x e ≤=-，即31
2c e
≤-．
1
综合（1）（2）知， 实数c 的取值范围是3
1
2c e ≤-． 【点睛】
本题考查利用导数求函数的单调区间、极值、最值和利用零点存在性定理判断函数零点个数、利用分离参数法求参数的取值范围;考查转化与化归能力、逻辑推理能力、运算求解能力;通过构造函数()F x ,利用零点存在性定理判断其零点,从而求出函数()h x 的表达式是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题. 19．（1）
3
π
；（2）7. 【解析】
分析：（1）由三角形面积公式和已知条件求得sinA 的值，进而求得A ；（2）利用余弦定理公式和（1）中求得的A 求得a ．
详解：（1）∵1sin 2ABC S bc A ∆= 1
38sin 2
A =⨯⨯⨯=
∴sin 2
A =
， ∵A 为锐角， ∴3
A π
=
；
（2）由余弦定理得：
a =7=
=. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记
两种形式：（1）2
2
2
2cos a b c bc A =+-；（2）222
cos 2b c a A bc
+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，
在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
20．（1）22
142
x y +=（2）证明见解析
【解析】
（1）根据椭圆的定义可得2a =，将M 代入椭圆方程，即可求得b 的值，求得椭圆方程；
（2）设直线AB 的方程，代入椭圆方程，求得直线MA 和MB 的方程，求得D 和E 的横坐标，表示出OD OE +，根据韦达定理即可求证OD OE +为定值.
（1）因为124MF MF +=，由椭圆的定义得24a =，2a =，
点)
M
在椭圆C 上，代入椭圆方程，解得22b =，
所以C 的方程为22142
x y +=；
（2）证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB
的斜率为
2
，设直线l
的方程为2y x t =+，
联立方程组22
2
14
2y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y
，整理得2220x t +-=，
所以12x x +=，2
122x x t =-，
直线MA
的直线方程为1y x -=
，令0y =
，则111
D x x y =--
同理221
E x x y =-
-
所以：122
1
x O x OE y D
--=
+-+12121
1x x y y ⎛⎫+ -⎝=⎪ ⎪-⎭
=
=，
代入整理得22OD OE += 所以OD OE +为定值. 【点睛】
本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，属于中档题. 21．（1）l 的普通方程为10x y -+=．C 的直角坐标方程为2
2
(1)(1)2x y -+-= （2）（-1，0）或（2，3）
（1）对直线l
的参数方程2
12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
消参数t 即可求得直线l 的普通方程，
对4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭整理并两边乘以
ρ，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=即可求得曲线C 的直角坐标方程。

（2）由（1）得：曲线C 是以Q （1,1
P 的坐标为(),1x x +
，由题可得：PQ =利用两点距离公式列方程即可求解。

【详解】
解：（1
）由2
12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
消去参数t ，得1y x =+．
即直线l 的普通方程为10x y -+=．
因为2),(cos sin )2(cos sin )4
2
π
ρθρθθρθθ=-
∴=+⋅
=+ 又cos x ρθ=，sin y ρθ=
∴曲线C 的直角坐标方程为2
2
(1)(1)2x y -+-=
（2）由2
2
(1)(1)2x y -+-=知，曲线C 是以Q （1,1
为半径的圆 设点P 的坐标为(),1x x +，则点P 到C 上的点的最短距离为|PQ|
-
即
PQ ==220x x --=，解得121,2x x =-=
所以点P 的坐标为（-1，0）或（2，3） 【点睛】
本题主要考查了参数方程化为普通方程及极坐标方程化为直角坐标方程，还考查了转化思想及两点距离公式，考查了方程思想及计算能力，属于中档题。

22．（1）22
132
x y +=；
（
2）10x +
+=或10x +=. 【解析】
（1）由抛物线的准线方程求出c 的值，确定左焦点F 坐标，再由点F 到直线l ：2
a
x c
=的距离为4，求出a 即可；
到所求直线的方程.
【详解】
（1）抛物线2
4y x =的准线方程为1,(1,0)x F =-∴-， 1c ∴=，直线2:l x a =，点F 到直线l 的距离为214a +=，
2212,a b a b ∴==-=∴=，
所以椭圆C 的标准方程为22
132
x y +=； （2）依题意AB 斜率不为0，又过点F ，设方程为1x my =-，
联立221236
x my x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 得，22(23)440m y my +--=， 2221616(23)48(1)m m m ∆=++=+，设1122(,),(,)A x y B x y ，
0012122244(,),,2323
m P x y y y y y m m +==-++， 120002223,122323
y y m y x my m m +===-=-++，
||AB ==
221)23
m m +==+， 线段AB 的中垂线交直线l 于点Q ，所以Q 横坐标为3，
0||3|PQ x =-=2PQ AB =，
22)m +=，平方整理得423440m m --=，
解得22m =或223
m =-（舍去），m ∴=
所求的直线方程为10x ++=或10x +=.
【点睛】
本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，要熟练应用根与系数关系、相交弦长公式，合理运用两点间的距离公式，考查计算求解能力，属于中档题.。