第10讲 组合计数
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第10讲 组合计数
一、知识解读
组合计数就是计算集合的元素个数．它是组合数学的重要组成部分．
在具体问题中给出的集合各式各样，都具有实际意义，而且集体中的元素是由某些条件所确定的，要判定一个元素是否属于某集合A ，已非易事，要确定A 的元素个数就更难了．这正是研究计算问题的原因．
解决组合计算问题虽然不需要高深理论知识，却需要重要的计算原理与思想方法． 排列组合题的求解策略：
（1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常用策略．
（2）分类与分步：有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理．
（3）优先法：对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素．
（4）插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．
（5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其它“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列．
（6）定序法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数．
（7）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型．如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分
成4堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为311C ，这也就是方程12a b c d +++=的正
整数解的个数．
几种特殊的排列、组合 1．重复排列
定义2：从n 个不同元素中允许重复的任取r 个元素排成一列，称为n 个不同元素的
r ——可重复排列．
定理2：n 个不同元素的r ——可重排列数为r n ．
证明：在按顺序选取的r 个元素中，每个元素都有n 种不同的选法，故由乘法原理有，其排列数为r n ．
2．圆排列
定义1：从n 个不同元素中任取r 个元素仅按元素之间的相对位置而不分首尾排成一个圆圈，这种排列称为n 个不同元素的r ——圆排列．r ——圆排列数记为r n K ．
定理1：.r r n
n
A K r
=
证明：对n 个不同元素取r 个的任一圆排列，均有r 种不同的方式展开成r 个不同的直
线排列，且不同的圆排列展开的直线排列也彼此不同，故有r r
n n
r K A ⋅=． 3．不全相异元素的全排列
定义3：设n 个元素可分为k 组，每一组中的元素是相同的，不同组间的元素是不同的，其中第i 组的元素个数为(1, 2,, )i n i k =⋯, 12k n n n n ++⋯+=，则这n 个元素的全排列称为不全相异元素的全排列．
定理3：n 个元素的不全相异元素的全排列个数为
12!.
.!!!
k n n n n
证明：先把每组中的元素看做是不相同的，则n 个不同元素的全排列数为n !，然后分别将每个组的元素还其本来面目看成是相同的，则在这n!个全排列中，每个排列都重复出现了12!!!k n n n 次，所以不全相异元素的全排列数
12!.
.!!!
k n n n n
4．多组组合
定义4：将n 个不同的元素分成k 组的组合称为n 个不同元素的k ——组合．
定理4：对于一个n 个不同元素的k ——组合，若第i 组有n i 个元素（i =1, 2, …，k ），则不同的分组方法数为
12!.
.!!!
k n n n n
证明：我们把分组的过程安排成相继的k 个步骤．第一步，从n 个不同元素中选n 1个，
有1n n C 种方法；第二步，从n －n 1个元素中选n 2个有2
1n n n C -种方法；…；第k 步，从
121k n n n n --++⋯+（）个元素中选n k 个元素，有121k
k n n n n n C --++⋯+（）种方法，再由乘法原理得证．
5．重复组合
定义5：从n 个不同元素中任取r 个允许元素重复出现的组合称为n 个不同元素的r ——可重组合．
定理5：n 个不同元素的r ——可重组合的个数为1n r r C +-．
证明：设（a 1 , a 2 ,…，a r ）是取自{1，2，…，n }中的任一r 可重复组合，并设a 1≤a 2≤…≤a r ．令 b i =a i +i －1(1≤i ≤r )，从而b 1=a 1 , b 2=a 2+1 , b 3=a 3+2,…, b r =a r +r －1．