第4章刚体平面运动(陆)讲解
4-6 刚体平面平行运动
2
4-6 刚体的平面平行运动
2. 刚体绕质心轴的转动
在质心系中刚体作定轴转动.
选质心坐标系 Cx’y’z’ ,设z’为过质心而垂直于固定平面的 轴。 在质心系中
M外i'
M惯
dLz' dt
M外i’ — 外力对质心的力矩,
又 M惯= 0
M惯 — 惯性力对质心的力矩.
M外i'
dL'z dt
d(Izcz )
二 作用于刚体上的力
1. 作用于刚体上力的两种效果 ·滑移矢量
(1) 施于刚体的力的特点 施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去.
A
F
作用力通过质心，对质心轴上的 力矩为零，使刚体产生平动.
BF
力作质心轴的力矩使刚体产 生角加速度.
第四章 刚体的转动
8
4-6 刚体的平面平行运动
(2) 施于刚体的力是滑移矢量
4-6 刚体的平面平行运动
一 刚体的平面平行运动
定义：当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保持一定 的距离，或者说刚体中各点都平行于某一平面运动，这就叫 刚体的平面平行运动。
根据平面运动的定义，刚体平面运动的自由度有三个， 两个坐标决定质心位置，一个坐标决定转动角度。
刚体的平面平行运动可以看做质心的平动与相对 于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加。
dt
I zc z
第四章 刚体的转动
3
4-6 刚体的平面平行运动
M外i' Izcz'
即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转动定律.
Fi mac
刚体平面运动的基本
动力学方程.
M外i' Izcz'
大学物理第四章刚体转动
进动和章动在自然界中实例
陀螺仪
地球极移
陀螺仪的工作原理即为进动现象。当 陀螺仪受到外力矩作用时，其自转轴 将绕某固定点作进动，通过测量进动 的角速度可以得知外力矩的大小和方 向。
地球极移是指地球自转轴在地球表面 上的移动现象，其产生原因与章动现 象类似。地球极移的周期约为18.6年 ，且极移的幅度会受到地球内部和外 部因素的影响。
天体运动
许多天体的运动都涉及到进动和章动 现象。例如，月球绕地球运动时，其 自转轴会发生进动，导致月球表面的 某些特征（如月海）在地球上观察时 会发生周期性的变化。同时，行星绕 太阳运动时也会发生章动现象，导致 行星的自转轴在空间中的指向发生变 化。
感谢观看
THANKS
02
刚体定轴转动动力学
转动惯量定义及计算
转动惯量定义
刚体绕定轴转动时，其惯性大小的量度称为转动惯量，用字母$J$表示。它是一个与刚体质量分布和转轴位置有 关的物理量。
转动惯量计算
对于形状规则的均质刚体，可以直接套用公式计算其转动惯量；对于形状不规则的刚体，则需要采用间接方法， 如分割法、填补法等，将其转化为规则形状进行计算。
刚体性质
刚体是一个理想模型，它在力的作用 下，只会发生平动和转动，不会发生 形变。
转动运动描述方式
01
02
03
定轴转动
平面平行运动
ห้องสมุดไป่ตู้
定点转动
物体绕一固定直线（轴）作转动。
物体上各点都绕同一固定直线作 不同半径的圆周运动，同时物体 又沿该固定直线作平动。
物体绕一固定点作转动。此时物 体上各点的运动轨迹都是绕该固 定点的圆周。
非惯性系下刚体转动描述方法
欧拉角描述法
理论力学06_4刚体平面运动_加速度
§6.3* 平面运动刚体上点的加速度由于平面运动可以看成是随同基点的牵连平移与绕基点的相对转动的合成运动，于是图形上任一点的加速度可以由加速度合成定理求出。
设已知某瞬时图形内A 点的加速度a A ，图形的角速度为ω，角加速度为α，如图6-13所示。
以A 点为基点，分析图形上任意一点B 的加速度a B 。
因为牵连运动为动坐标系随同基点的平移，故牵连加速度a e =a A 。
相对运动是点B 绕基点A 的转动，故相对加速度a r =a BA ，其中a BA 是点B 绕基点A 的转动加速度。
由式 (5.3.7)可得图6-13 加速度分析的基点法 α (6.3.1) BA A B αα+=由于B 点绕基点A 转动的加速度包括切向加速度和法向加速度a ，故式(6.3.1)可写为t BA a n BAa (6.3.2) n t BA BA A B a a a ++=即平面图形上任意一点的加速度，等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。
当基点A 和所求点B 均作曲线运动时，它们的加速度也应分解为切向加速度和法向加速度的矢量和，因此，式(6.3.2)可表示为(6.3.3)n t n t n t BA BA A A B B a a a a a a +++=+在式(6.3.3)中，相对切向加速度与点A 和B 连线方向垂直，相对法向加速度沿点A 和B连线方向从B 指向A ；仅当点A 和B 的运动轨迹已知时，才可以确定点A 和B 的切向加速度a 和及法向加速度和a 。
t BA a n BA a t A t B a n A a n B 在应用式(6.3.2)或(6.3.3)计算平面图形上各点的加速度时，只能求解矢量表达式中的两个要素。
因此在解题时，要注意分析所求问题是否可解。
当问题可解时，将式(6.3.2)或(6.3.3)在平面直角坐标系上投影，即可由两个代数方程联立求得所需的未知量。
例6.3-2：半径为R 的车轮沿直线滚动，某瞬时轮心O 点的速度为v O ，加速度为a O ，如图a 所示。
4刚体平面运动
刚体平面运动动画：行星齿轮
第一节 平面运动的概述
一、 平面运动定义
刚体运动时，如其上各点到某固定平面的距离不变，则这种运动 称为刚体的平面（平行）运动。
特点：各点的运动轨迹均为平行于该平面的平面曲线; 垂直于该平面的直线上各点的轨迹都相同。 结论：平行于固定平面截出的任何平面图形都可代表刚体的运动，平面 上的一个点就代表了通过该点垂直于该平面的直线上的所有点。 因此，可以通过对平面图形的研究 代替对平面运动刚体的研究 。
ae ar 2 vr
ac 2vr
aa ae ar aC
a aa a ae a ar aC
n a n e n r
点的加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加速 度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加
速度的矢量和。
其中科氏加速度 aC 2e vr 大小 aC 2e vr sin
va ve vr 大小 r ? ? 方向 √ √ √
已知：OA 常数, OA r , OO1 l , OA水平, 求：1
ve va sin
r
2
vr va cos
l r rl
2
2
ve ve r 2 1 2 2 2 2 O1 A l r l r
3 加速度
l r
2
2
aan aet aen
2 2
a r ac
√ √
大小 r ? 1 O1 A ? 21vr 方向 √
√ √
已知：OA 常数, OA r , OO1 l , OA水平, 求：1
沿
x轴投影
2
t aax ae aC
理论力学第4章 刚体的平面运动
独立的参变量。
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13
xAxA(t) yAyA(t) φφ(t)
称为刚体平面运动方程
对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 xA, yA, ,
平面图形S 在该瞬时的位置也就确定了。
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3.平面运动分解为平移和转动
当平面图形Ｓ上的点Ａ不动时，则刚体作定轴转动， 当平面图形Ｓ上 的角 不变时，则刚体作平移。
思考: 下列运动是否可能?
V
V
v
V
V
v
V
v
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2) 加 速 度 投 影 形 式
aBaAaB n A aBA
当 0时aB n A 0
a
BA
a
n B
A
aA
[aB]AB[aA]AB
当 0 时 a B n A 0a B AB.A A a A
有[aB]A B[aA]A B
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车轮相对定系（Oxy）的平面运动（绝对运动）
车厢（动系 A x y ) 相对定系的平移（牵连运动） 车轮相对车厢（动系 A x y )的转动（相对运动）
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转动部分的角度、角速度、角加速度与基点的选择无关。
φ1 φ2
ω1 ω2 1 2
平移部分的轨迹、速度与加速度都与基点的选择有关。
称点A为基点 平面图形的平面运动（绝对运动）可以看成是平面图形 一方面随基点A的平移（牵连运动），另一方面图形又绕 基点的转动（相对运动）的合成运动。
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理论力学课件-刚体平面运动
作速度 vA、vB的垂线，交点P即为该瞬时的
速度瞬心。
③ 已知某瞬时图形上两点A 、B 的速度 vA vB且 ⊥连线 AB， 则连线 AB与速度矢 vA、vB 端点连线的交点P即速度瞬心。 (a)
vA vB (a) 若vA 与vB 同向，则 AB
v A vB (b) 若v A 与vB 反向, 则 AB
但各点的加速度并不相等。 设匀角速度为，则 aB aB n AB 2 () 而 ac 的方向沿AC，故
aB ac ，瞬时平动与平动不同。
４. 速度瞬心法 利用速度瞬心求平面图形上点的速度的方法，称速度瞬心法。 平面图形任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动， 故速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度大小为 vA AP ， 方向 AP，指向与 一致。 5. 注意的问题 ① 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间 不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 ② 速度瞬心处速度为零,但加速度不一定为零，不同于定轴 转动。 ③ 刚体作瞬时平动时，虽然各点速度相同，但各点加速度 不一定相同，不同于刚体作平动。
vB v A / sin
在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示。
l / sin 45 2l ()
vBA vActg l ctg45 l
AB vBA / AB l / l （
）
根据速度投影定理 vB AB vA AB vB sin vA vB vA / sin
n 其中 aa aB , ae aA , ar aBA aBA aBA
于是
aB a A aBA aBA
n
aB a A aBA aBA n 其中：aBA AB ，方向 AB，指向与 一致； aBA n AB 2，方向沿AB，指向A点。
理论力学刚体的平面运动
B
A O vo C P
B ω
A O vo C vPO Pvo
解（1）∵轮子纯滚动 取O为基点
∴vP=0
vP vO vPO
∵ vP 0
vO vPO 0
vPO vO
由 vPO vO
且 vPO R
vO
R
B vAO vA ω
A voO vo C P
B vA
AO
C
P
（2）A点速度，取O为基点
于零？如果存在的话，该点如何确定？
２．速度瞬心的概念 一般情况，在每一瞬时，平面图形 上都唯一地存在一个速度为零的点，该 点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中
B
vB
vA
A O vo C vC
P
心，简称速度瞬心．
证明： vP vA vPA 取 AP vA /
vPA AP vA , 方向PA, 恰与vA反向. 所以
三、平面运动的分解• 刚体的平面运动方程
确定平面图形的位置------只需确定平面图形内任意 一条线段的位置．
任意线段AB的位置可 用A点的坐标和AB与x轴夹 角表示．因此图形S 的位
置决定于 xA, yA, 三个
独立的参变量，它们都是 时间的函数．
平面图形的运动方程
xA f1(t) yA f2 (t)
vA vO vAO vAO R vO
( vO )
R
vA vO2 vAO2
vO 2 vO 2
2vO 或取P为基点: vA vP vAP
vA vAP AP 2R 2vO
（3）B点速度，取O为基点
B vBO vo
vB
ω
A O vo C
P
vB vO vBO
4刚体的平面运动
A2
M
刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面S内的运动。
3 刚体平面运动的分解
平面图形S在其平面上的位置完 全可由图形内任意线段O'M的位置来 确定，而要确定此线段的位置，只需 确 定 线 段 上 任 一 点 O' 的 位 置 和 线 段 O'M与固定坐标轴Ox间的夹角 即可。 点O'的坐标和 角都是时间的函数， 即 y S M
以A为基点，分析点B的速度。
vB v A vBA
vBA wII BA wO (r1 r2 ) vA
vBA与vA垂直且相等，点B的速度
2 2 vB vA vBA 2vA 2wO (r1 r2 )
vC vA vB vBA vA B vA D vCA C A II wII
例7 直杆AB与圆柱O相切于D点， 杆的A端以 vA 60cm s匀速向前滑动， B r ，圆柱与地面、圆 10 cm 圆柱半径 柱与直杆之间均无滑动，如图，求 w 时圆柱的角速度。 60 O 解一：圆柱作平面运动，其 C1点，设其角速度为 w 。 瞬心在
w AB
D
C2
vD
3 刚体平面运动的分解
刚体上每一点都在与固定 平面M平行的平面内运动。 若作一平面N与平面M平行, 并以此去截割刚体得一平 面图形S。 可知该平面图 形S始终在平面N内运动。 因而垂直于图形S的任一条 直线A1A2必然作平动。 A1A2 的运动可用其与图形 S的交点 A的运动来替代。
A1 N A S
vCA
N
S
C
vA
A
vC vA w AC
如果取AC＝ vA /w ，则
vC vA w AC 0
4.1 刚体平面运动-运动分解
刚体的平面运动-运动分解刚体的平面运动刚体在运动过程中，其上任意一点到某一固定平面的距离保持不变。
M NS A 1A 2 A若用一与固定平面M 平行的平面N 去截割刚体得平面图形S ， 该平面图形S 始终在平面N 内运动。
垂直于图形S 的任一条直线A 1A 2作平动。
刚体的平面运动可以简化为平面图形S 在其自身平面内的运动。
研究刚体的平面运动 研究平面图形的运动12()()A A x f t y f t ==刚体平面运动方程点A 、B 是平面图形上的任意两点，AB 位置确定，平面图形的位置也唯一确定。
3()f t φ= 由刚体的平面运动方程可以看到，如果图形中的A 点固定不动，则刚体将作定轴转动；如果线段AB 的方位不变（即ϕ =常数），则刚体将作平动。
用什么方法研究刚体的平面运动？如果汽车沿直线行驶，车轮作平面运动。
建立动参考系x’o’y’,随车身一起平动。
轮相对轮心做转动刚体的平面运动分解为随平动参考系的平动（牵连运动）与绕基点的“定轴”转动（相对运动）。
SA ϕ x ' y ' O ' ϕ' 刚体的平面运动(绝对运动)随同基点的平动(牵连运动) 绕着基点的转动(相对运动) 刚体的平面运动分解与合成xy o S Aϕx ' y 'O ' 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）∆r A ≠ ∆r B ， v A ≠ v B ， a A ≠ a B—随基点的平动部分与基点的选择有关△ϕ1=△ϕ2=△ϕωA = ω B = ωαA = α B = α—绕基点的转动部分与基点的选择无关基点选择对运动分析有何影响？凡涉及到平面运动图形转动的角速度和角加速度时，不必强调基点，就是平面图形的绝对角速度和角加速度。
O ABθ ϕSA ϕ x ' y ' O ' ϕ' 刚体的平面运动(绝对运动)随同基点的平动(牵连运动) 绕着基点的转动(相对运动) 刚体的平面运动分解与合成xy o S Aϕx ' y 'O '思考题刚体的平动和定轴转动均是刚体平面运动的特例，对吗？有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）。
第四章 刚体力学
第四章 刚体的转动§4-1 刚体的定轴转动1． 研究对象:刚体,即物体内任意两质点间的距离在运动中保持不变。
（不变质点组）。
2． 对刚体运动的分类：（1）平动：刚体内任何一条给定直线在刚体运动过程中方向不变。
所有点的运动相同。
（2）定轴转动：刚体中所有点都绕一固定直线作圆周运动。
（3）刚体的平面运动：这种运动可分解为质心的平动和以质心为轴的转动。
（4）刚体的空间运动：这种运动可分解为平动、轴的运动、绕轴的转动。
3． 角量和线量的关系：r S θ=，r v ω=，r a βτ=，rv r a n 22==ω 规定：ω 方向与刚体转动方向成右手螺旋关系，于是ω由于：dt d ωβ =，所以角加速度的方向也在转轴上。
若以ω为正方向，β为正表示加速，β为负表示减速。
以后将学到的力矩的方向、动量矩的方向等都在转轴上。
4． 力矩：力矩就是综合描述这三要素的一个物理量。
定义：f r M⨯=大小：θsin ⋅⋅=⋅=r f d f M 分量值：ατcos fr r f M z =⋅=f 在转动平面内。
若f 不在转动平面内，将f分解为平行于转轴和垂直于转轴两部分。
平行于转轴部分对刚体的转动无贡献。
几个力同时作用于刚体，它们的合力矩是这几个力的力矩的矢量合： ∑=i M M（注意：不是合力的力矩，而是力矩的矢量合。
力矩的矢量合≠合力的力矩。
） 例：求匀质园盘在水平面上转动时所受的摩擦力矩。
解：取rdr dm πσ2⋅=gdm df ⋅=μ rdf dM f =mgR gR dr gr dM M Rf f μπμσπμσ32322320====⎰⎰§4-2 转动动能 转动惯量 转动定律1． 转动动能： ∑∑∑===i i i i ii i i i k r m r m v m E 22222)(212121ωω 2． 转动惯量J ：（单位：Kg.m 2）对于质量为离散型分布的刚体：∑=iii rm J 2；对于质量为连续型分布的刚体：dm r J M⎰=2（1）J 由三个因素决定：质量的大小、质量分布、转轴的位置。
第四章 刚体的转动
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
第四章 刚体的平面运动
vB = vA cot ϕ
vA vBA = sin ϕ
vBA vA ωAB = = l l sin ϕ
例2 如图所示平面机构中，AB=BD= DE= l=300mm。在图示位置时，BD∥AE，杆AB的角速度为 ω=5rad/s。 求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。
解：1 、 BD作平面运动
2 2 vC = vB − vCB ≈1.299m s
方向沿BD杆向右
2、速度投影定理
由
r r r vB = vA + vBA
沿AB连线方向上投影
r r ( vB ) AB = ( vA ) AB
同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上 的投影相等。
例5 如图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm， 以角速度ω=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖 动轮E沿水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置 时A，B，E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。 求：此瞬时点E的速度。
由速度投影定理得
vB sin β = vC cos β
vC = vB tan β = rω0 tan β
圆轮瞬心在E 圆轮瞬心在E点
vA = vB = rω0
vC rω0 ωC = = tan β R R
§4-4 用基点法求平面图形内各点的加速度
A ：基点
Ax ' y '
：平移坐标系
r r rt rn aB = ae + ar + ar r r rt rn aB = aA + aBA + aBA
va= vB
ve= vA
vr= vAB
r r r v =v +v
B A
BA
大学物理一复习第四章刚体的转动-文档资料
mg FT2 ma2
FT1 FT2
R
mg FT1 r
m
a1
J
a1 r
a2 R
FT1 r R
FT1'
A
mg
β
FT2
FT2'
B
mg
mg(R r)
J mR2 mr2
a1
r
J
mgr(R r) mR2 mr2
40 半径减小角速度增加。
（2）拉力作功。请考虑合外力矩为0， 为什么拉力还作功呢？
W
0
Md
在定义力矩作功 时，我们认为只 有切向力作功， 而法向力与位移 垂直不作功。
但在例题中，小 球受的拉力与位 移并不垂直，小 球的运动轨迹为 螺旋线，法向力 要作功。
o
F
r d Fn F
解得
a2
R
mgR(R r) J mR2 mr2
FT1 mg ma1
FT2 mg ma2
例2：光滑斜面倾角为 ，顶端固定一半 径为 R ，质量为 M 的定滑轮，质量为 m 的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面 下滑，求:下滑的加速度 a 。
解：物体系中先以
物体 m 研究对象，
A
分别根据牛二定律和转动定律列方程：
角量、线量关系式
解得：
a
mB g
mA mB mC 2
T1
mAmB g
mA mB mC
2
T2
(mA mC 2)mBg mA mB mC 2
如令 mC 0，可得：
刚体的平面运动
刚体的平面运动在前面几节中，物体被看成了没有形状、没有大小的质点. 然而，实际的物体总是有其形状和大小的，而且常常发生形变. 作为一种理想模型，我们把形状和大小不变的物体叫做刚体. 刚体上质点之间的距离在刚体运动时保持不变. 那末，刚体运动有些什么规律呢？一、刚体运动有两种基本形式：平动和定轴转动1、平动刚体上任意两点的连线保持平行的运动叫做刚体的平动，如图1所示. 图中是一个正方体刚体在作曲线平动. 不难看出，刚体上各点的轨迹曲线的形状相同，各点的速度也相同. 因此，只要弄清楚了刚体上任意一点的运动过程，也就弄清楚了整个刚体的运动过程.这就是说，刚体的平动可以用刚体上任意一个质点的运动来代表. 因此，前面几章研究质点运动实际上就是研究刚体的平动.2、定轴转动若刚体上的所有质点围绕同一直线作圆运动，则称这种运动为刚体转动，该直线叫做刚体的转轴. 转轴可以穿过刚体，也可以不穿过刚体. 转轴静止的刚体转动叫做刚体定轴转动.如图2所示。
刚体定轴转动时，刚体上任意质点的轨迹圆所在的平面叫做转动平面. 刚体的各个转动平面相互平行，都垂直于转轴.刚体定轴转动的描述。
类似于圆周运动的描述刚体上各点都绕同一转轴作半径不同的圆周运动，在相同时间内转过相同的角度。
刚体上各点的角位移θ∆、角速度ω、角加速度β均相同。
二、刚体平面运动刚体的平动和转动是最常见、最简单的刚体运动。
我们感兴趣的是另一种刚体运动称为刚体的平面运动。
例如汽车在平直路面上行驶时，其轮子在路面上滚动就是一例。
刚体平面运动的特点是，刚体在运动中刚体上各点始终处在平行于空间一固定平面的各自平面中。
1、刚体平面运动概述和运动分解（1）如图3所示，刚体运动中由位形Ⅰ到位形Ⅱ，总可以认为以刚体上任意选定的参考点（称为基点）为代表的刚体的平动，加上刚体绕此参考点的一个转动的叠加完成。
（2）由图3（a ）、（b ）看出，基点选取不同，刚体平动运动将不同，但绕基点的转动却是相同的。
理论力学第4节 刚体的定轴转动和平面运动微分方程
圆盘质心 加速度
aC
2M 3mR
FN
2）如果作用于圆盘的力偶矩 M
圆盘连滚带滑，所受摩擦力为
3 2
fmgR
时，则
F mgf
aC fg
2(M mgfR) mR2
0
d
dt
maC F
FN mg
1 mR 2 M FR
2
纯滚动 应满足
M C aC
mg F
FN
F f FN
M
3 2
fmgR
解得
F
2M 3R
，M
3 2
RF
，aC
2M 3mR
讨论
M
1）为使圆盘作纯滚动，应满足
作用于圆盘 的力偶矩
M
3 2
fmgR
C aC mg F
• 刚体绕定轴转动的运动微分方程：绕定轴转动的刚 体对转轴的转动惯量与其角加速度的乘积，等于作 用在刚体上的所有外力对转轴力矩的代数和。
例11-5 如图所示一均质圆盘质量 m = 100kg，半径 r = 0.5m，转速 n 擦因数 f = 0.6。开始加制动闸，使闸块对轮
dt
J C
n
M C (Fi(e) )
i1
式中 M 为刚体的质量，aC 为质心的加速度，J C为刚 体对通过质心Cz轴的转动惯量。
MaC
F (e) R
y
d(JC)
dt
JC
n
M C (Fi(e) )
i1
d
dt
d 2
刚体平面运动讲解
周运动, 但 P 点的轨道并非圆周. ω × r ′ 和 ω × r ′ ′ ω r ′ ω 均与 r ′ 垂直, 大小分别为 ωr 和 . × (ω × r ′)
2 指向基点 A , 大小为 ω r ′ .
刚体做平面平行运动时 , P 点绕基点 A 做 圆
ω 5. 对刚体转动的角速度 应注意以下两点: (1) 刚体上 不 同点的 速 度 v 和 加速 度 a 不 同 , 但刚体的角速度 ω 是惟一的; (2) 选取 不 同的基点 , 则运动的分解 不 同 , 但对不同基点转动的角速度 ω 是相同的.
vP = vC + ω × CP = vi − Rθ cosθi + Rθ sin θ j = v(1 − cos θ )i + v sin θ j
→ → aP = aC + ω × CP + ω × (ω × CP ) 2 2 = −a i − Rθ cos θi + Rθ sin θ j + Rθ sin θi + Rθ cos θ j
证毕. 在上述证明中找到的 P0 点称为转动中心. 有两种不被上述证明包括的特殊情况: (1) AB // A′B′ , 此时刚 体为平动, 平动可视为转动中 心于无穷远处的转动. (2) AA′ 和 BB ′ 的垂直平 分线重合,上述定理亦成立. 2. 瞬时转动中心 (简称瞬心). 把 平面平行运动分解为一 系列 无限小的位置 变化 . 我们把 对 应每 一 瞬 时的无限小转动的转动 中 心 称为 瞬 时转动中 心 , 简称 瞬心 . 因此平面平 行运动刚体 每瞬 时的运动 , 都可以 看 成 是 绕 瞬心 的纯转动. 刚体做平面平行运动时 , 在任一 瞬 时 , 瞬心 都 是惟 一确定的 , 即为 该瞬 时 刚体上 ( 可在刚体 外 , 只需 与 刚体固连) 速度为零的点. 例 无滑滚动的圆盘
《刚体的平面运动》课件
刚体平动的实例分析
总结词
刚体平动的实例分析主要介绍了刚体在平面内沿某一方向做直线运动的情况，包 括匀速平动和加速平动。
详细描述
刚体平动的实例分析中，我们可以通过观察汽车在路面上行驶、火车在铁轨上飞 驰等实际现象，理解刚体平动的概念和特点。同时，通过分析匀速平动和加速平 动的动力学特征，可以深入了解刚体的平动运动规律。
03
刚体的平面运动的动力学
刚体的平动的动力学方程
平动的动力学方程：$F = ma$
描述刚体在平面内平动时的加速度和力之 间的关系。 适用于刚体在平面内直线运动或曲线运动 的情况。 考虑了刚体的质量对运动的影响。
刚体的定轴转动的动力学方程
定轴转动的动力学方程：$T = Ialpha$
描述刚体绕固定轴转动时的角加速度和力 矩之间的关系。 适用于分析刚体在平面内定轴转动的情况 。 考虑了刚体的转动惯量对运动的影响。
特点
刚体上任意一点的速度方 向都与该固定轴线平行， 且各点的速度大小相等。
应用
许多机械的运动可以简化 为刚体的定轴转动，如车
轮、电机转子等。
刚体的平面运动
定义
刚体在平面内既有平动又有定轴转动的运 动。
特点
刚体的运动轨迹是一个平面曲线，同时具 有平动和定轴转动的特征。
应用
许多复杂的机械运动可以简化为刚体的平 面运动，如曲柄连杆机构、凸轮机构等。
刚体的平面运动的运动学方程
平面运动定义
刚体在平面内既有平动又有定轴转动 。
运动学方程
解释
该方程描述了刚体在平面内既有平动 又有定轴转动的复杂运动，需要综合 考虑平动和定轴转动的运动学方程来 描述其运动轨迹。
需要将平动和定轴转动的运动学方程 结合起来，描述刚体在平面内的运动 轨迹。
第四章陀螺和刚体平面运动
地球的进动与“岁差”
地球为扁平球体 日、月力不共线
地球的岁差（进动）
岁 差 导 致 北 极 星 的 变 化
[例4-14]如图（a）所示，一简易杠杆回转仪，A是
质量为mA的回转体，绕自转轴的角动量为L=Lj，B
为平衡块。在自转轴O′O的中点以悬绳垂直悬吊，
A、B距悬线距离均为l。现该装置以进动角速度Ω在
mr
2
圆柱：J c
1 2
mr2
圆筒：J c
1 2
m ( r内2
r 2）
练习：长2l，质量m，均匀刚性棒，放在光滑水平面上， 下端与水平面接触。棒的运动方程为_____。
受力分析
y
质心运动方程 Fex maC
mac N mg
定轴转动定理 C JC Jc Nl sin
Jc
1 3
ml 2
p
d =0 时，β =0，刚体只有平动没有转动。
【例4-17】讨论如图所示的拉线轴问题。 线轴的两端是半径为R的圆柱体，中间 是半径为r的同轴圆柱体。设线轴的质量 为m，绕对称轴的转动惯量为JC。设在
图示的拉力F与水平面成角(0< <p/2)。
C•
f
mg
N
A
F
aC
解： 受力分析如图。设线轴受到的摩擦力为f，先来判 断摩擦力的真实方向。若f不存在时，线轴的动力
4.3 陀螺的运动
讨论刚体的定点转动。
当物体（如陀螺）不转动时，由于受到重力矩的作用，便倾倒下来。 但当陀螺急速旋转时，尽管同样也受到重力矩的作用，却不会到下来。
这时陀螺在绕本身对称轴线转动的同时，对称轴还将绕竖
直轴回转，这种回转现象称为进动。
陀螺
陀螺
第4章 刚体的运动
角动量的时间变化率。
非相对论情况d下L ， 转I d动惯量II为常量：
dt dt 所以，经典力学中刚体的转动定理可表示为：
M I
➢当外力矩一定时，转动惯量越大，则角加速度越小。说明 转动惯量I是刚体转动惯性大小的量度。
例题 4-5
设 m1 > m2，定滑轮可看作匀质圆盘，其质量为M 而半径为r 。绳的质量不计且与滑轮无相对滑动，
Li ri pi
对时间求导： dLi
dt
d dt ( ri pi
)
dri dt
pi
ri
dpi dt
vi mivi ri fi ri fi Mi
其中：
fi
dpi dt
Mi ri fi
为第i个质元所受的作用力； 为fi对转轴的力矩。
对整个刚体： dL d
外力矩持续作用一段时间后，刚体的角速度才会改变。
由转动定理： Mdt dL
t2
Mdt
t1
L2dL
L1
L2
L1
I 2
I 1
式中
t2 t1
Mdt
称为合外力矩在
Δt
=
t2-t1内的冲量矩(N·m
·s)。
角动量定理：刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体在同一
时间内角动量的增量。
➢角动量定理对非刚体也成立，此时：
由平行轴定理：
z
I
Ic
Mh 2
1 12
ML2
Mh 2
当h=L/2时，与(1)的情况相同，由上式：
zc h
C
L、M
I 1 ML2 Mh 2 1 ML2 M( 1 L )2 1 ML2
12
12
2
第4章 刚体的转动
d2t
v rω
at r
at r
an
ra
an rω2
a r 2 rω2 2
et
at v
(3) 角速度矢量
O’
O
简化 加速
减速 转动平面
4.2 刚体的定轴转动定律
4.2.1 力对转轴的力矩
v M
rv
v F
大小: M rF sin
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律
电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
例1 如图所示，一竖直悬挂的木杆，可绕杆端O处的水平
固定轴转动. 开始时，木杆竖直下垂. 质量m1=50g的小球 以v0=30m·s-1的水平速度与木杆的下端相碰，碰后小球以 v1=10m·s-1的速度向反方向弹回. 杆长l=40cm ，木杆质量 m2=600g. 设碰撞时间极短，求碰撞后木杆获得的角速度.
4.2.3 转动惯量
J miri2 i
J r2dm
转动惯量的单位：kg·m2
转动惯量的物理意义：转动惯性的量度
(1) 转动惯量的计算
质量离散体
i3
J miri2 m1r12 m2r22 m3r32 i 1
质量连续体 J r2dm
线分布 质量为线分布
面分布
体分布
——质量线密度
质量为面分布 质量为体分布
——质量面密度 ——质量体密度
(2) 转动惯量与下列因素有关：
A 刚体的质量；B 刚体的质量分布；C 定轴的位置。
(3) 计算转动惯量的两个定理
平行轴定理
物体绕某一转轴的转动惯量 J 等于绕过质心并与该轴平行的
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该瞬时的速度瞬心。
速度瞬心
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
16
例题4-1 在下图所示的曲柄连杆机构中，已知曲柄OA
长0.2m，连杆AB长1m，OA以匀角速ω=10rad/s绕O点
转动。求在图示位置滑块B的速度及AB杆的角速度。
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
vA
B
A
vA
x`
ω
O
x
绝对运动：B点相对定系xoy的运动，速度vB待求 相对运动： B点相对动系x`Ay`的圆周运动，速度vBA
牵连运动：动系x`Ay`相 对定系xoy的平动，速度ve=vA vB vA vBA
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
10
结果说明
vB vA vBA
1. A点为基点，可以任意选择，一般 我们选择速度已知的点。
17
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
18
例题4-2 车轮沿直线轨道滚动而不滑动，轮心O的速度等
于vo，如图所示。设车轮半径为r，求车轮的角速度和轮
边上A、B、C诸点的速度。
O
v0
R
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
9
§4-2 刚体上各点的速度
一、速度基点法
应用点的合成运动方法
1.以基点A为原点建立动系x’Ay’, 动系 随A一起运动，但两轴的方向保持不 变。这样此动系的运动为平行移动。
2.以平面图形上任意一点B为动点，它的运 动就可以由合成得到。
y
vBA
y`
vB
vA
A
d
速度
I
v IA
瞬心
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
13
我们称某瞬时速度为零的点为平面图形在此瞬时的速度中心， 简称“速度瞬心”，一般用I表示之。
以I为基点，则有
vA vAI vB vBI vC vCI
即 vA AI vB BI vC CI
相当于定轴转动的计算.
显然，只需确定平面图形的位置，即可确定整个刚体的运动状态.
注意：平面图形的形状和尺寸并不重 要，需要的话，可以扩展为整个平面。
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
3
二、运动方程
在x1o1y1平面上，要确定平面图形的位置， 只需确定任一直线的位置。故运动方程可以
表示为：
xO f1 (t ), yO f2 (t ), f3 (t )
C
B
A A
D
C
B
B 再C定轴转动
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
6
A
B
D
C 再定轴转动
D
A
先平移
C
B
刚才预设了刚体先平移，然后再转动。实际上，根本不
管它是先移再转，还是“移转同时进行”，刚体由第一状态 到第二状态，都是转过900。
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
7
平面图形转过的角度与基点的选取无关！
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
12
三、速度瞬心法 vB vA vBA
假如在平面图形内或其延伸部分上能找到速度为零的一个点，
并以它为基点，计算其它各点的速度就相当简单了。从计算效果 看，整个刚体此时仿佛“绕此基点作定轴转动”。
证明:一般情形下，刚体作平面运动时速度瞬心确实是存在
的，并且唯一。这里只给出一个图形，您不妨证明一下。
φ对时间的导数就是刚体的转动角速度，
故而：
平面图形的位置
平面运动刚体的角速度和角加速度与基点的选择无关！
d / dt 平面运动的角速度 d / dt 平面运动的角加速度
图表示？正负规定？
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
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y
B
l
C
l
l
o
已知θ=kt，试求AB杆的平面运动方 程。
Ax
已知轮心速度v0=kt，轮只滚不滑。 试求轮的平面运动方程。
(１) 已知图形上任意两点速度方位
14
vA
A vB
IB
(２) 已知图形上Ａ、Ｂ两点
的速度平行，且垂直于两点
vA
连线
vB
A B
I
vA
A
I
vB
B
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
15
(３) 已知图形上两点的速度平行，但 两点连线与速度方位不垂直
瞬时平动
(４) 平面图形S沿某一固定面作纯滚 动（只滚动不滑动），
1.φ为常数
刚体作平动
2.(xO,yO)为常数
定轴转动
3.O点位置和φ 均变化
平面运动
由此看出，平面运动可以分解为“平动”和“定轴转动”
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
4
三、运动分解
平面运动 =“随基点的平动”+“绕基点的转动”
所谓基点，是在平面图形上任意取定的那点。
xO f1(t)
v AI vBI B
但请注意：I点仅仅此时刻速度为零，一般 情况下，速度瞬心的加速度不等于零，下一瞬 时I的速度也就不再为零了。因此，速度瞬心 在图形本身上和在固定平面上的位置都是随时 间而变的，在不同的瞬时，图形具有不同的速 度瞬心。
A
vCI
C I
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四、瞬心的确定
第4章 刚体平面运动
11
二、速度投影定理
vB vA vBA
y
vBA
y`
vB
vA
B
A
vA
x`
ω
O
x
如将右式投影到A、B两点的
连线上，并注意到vAB垂直于AB 连线，在连线上的投影为零，可
得:
[vB ]AB [vA ]AB
平面图形上任意两点的速度 在这两点连线上的投影相等，这 称为速度投影定理。
问：此定理直观的力学意义是 什么？
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
1
第四章 刚体平面运动
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
§4-1 运动方程
一、运动特征
平面运动：刚体在运动过程中， 其上各点都始终保持在与某一 固定平面相平行的平面内运动。
曲柄连杆机构
2
行星机构
平面图形：刚体上任一个与固 定平面平行的截面。
刚体作平面运动 平面图形的位置
yO
f2 (t)
f3(t)
运动方程
平面图形的位置
O取在刚体上的不同位置，其运动方程不同。
但是平面图形转过的角度 与基点的选取无关！
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
5
平面图形转过的角度与基点的选取无关！
以D为基点
A
B
D
C
先平移
A
B
D
A
C 再定轴转动
以A为基点
A
B
D
C
先平移
但刚体都是 转过900
2. B点为刚体上任意一点，此公式给出了 刚体上任意两点间的速度关系，以后直接 应用，不必再应用合成运动方法。
y
vBA
y`
vB
vA
B
A
vA
x`
ω
O
x
3. 在动系x`Ay`中，整个平面图形绕A点定轴 转动，角速度ω。所以
vBA BA
且垂直于A、B连线
基点法
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动