第4章刚体平面运动(陆)讲解
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显然，只需确定平面图形的位置，即可确定整个刚体的运动状态.
注意：平面图形的形状和尺寸并不重 要，需要的话，可以扩展为整个平面。
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
3
二、运动方程
在x1o1y1平面上，要确定平面图形的位置， 只需确定任一直线的位置。故运动方程可以
表示为：
xO f1 (t ), yO f2 (t ), f3 (t )
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
12
三、速度瞬心法 vB vA vBA
假如在平面图形内或其延伸部分上能找到速度为零的一个点，
并以它为基点，计算其它各点的速度就相当简单了。从计算效果 看，整个刚体此时仿佛“绕此基点作定轴转动”。
证明:一般情形下，刚体作平面运动时速度瞬心确实是存在
的，并且唯一。这里只给出一个图形，您不妨证明一下。
yO
f2 (t)
f3(t)
运动方程
平面图形的位置
O取在刚体上的不同位置，其运动方程不同。
但是平面图形转过的角度 与基点的选取无关！
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
5
平面图形转过的角度与基点的选取无关！
以D为基点
A
B
D来自百度文库
C
先平移
A
B
D
A
C 再定轴转动
以A为基点
A
B
D
C
先平移
但刚体都是 转过900
(１) 已知图形上任意两点速度方位
14
vA
A vB
IB
(２) 已知图形上Ａ、Ｂ两点
的速度平行，且垂直于两点
vA
连线
vB
A B
I
vA
A
I
vB
B
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
15
(３) 已知图形上两点的速度平行，但 两点连线与速度方位不垂直
瞬时平动
(４) 平面图形S沿某一固定面作纯滚 动（只滚动不滑动），如图所示。 则每一瞬时图形与固定面相接触的
O
v0
R
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
9
§4-2 刚体上各点的速度
一、速度基点法
应用点的合成运动方法
1.以基点A为原点建立动系x’Ay’, 动系 随A一起运动，但两轴的方向保持不 变。这样此动系的运动为平行移动。
2.以平面图形上任意一点B为动点，它的运 动就可以由合成得到。
y
vBA
y`
vB
vA
B
A
vA
x`
ω
O
x
绝对运动：B点相对定系xoy的运动，速度vB待求 相对运动： B点相对动系x`Ay`的圆周运动，速度vBA
牵连运动：动系x`Ay`相 对定系xoy的平动，速度ve=vA vB vA vBA
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
10
结果说明
vB vA vBA
1. A点为基点，可以任意选择，一般 我们选择速度已知的点。
φ对时间的导数就是刚体的转动角速度，
故而：
平面图形的位置
平面运动刚体的角速度和角加速度与基点的选择无关！
d / dt 平面运动的角速度 d / dt 平面运动的角加速度
图表示？正负规定？
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
8
y
B
l
C
l
l
o
已知θ=kt，试求AB杆的平面运动方 程。
Ax
已知轮心速度v0=kt，轮只滚不滑。 试求轮的平面运动方程。
讨论：
平面图形的位置
1.φ为常数
刚体作平动
2.(xO,yO)为常数
定轴转动
3.O点位置和φ 均变化
平面运动
由此看出，平面运动可以分解为“平动”和“定轴转动”
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
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三、运动分解
平面运动 =“随基点的平动”+“绕基点的转动”
所谓基点，是在平面图形上任意取定的那点。
xO f1(t)
C
B
A A
D
C
B
B 再C定轴转动
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
6
A
B
D
C 再定轴转动
D
A
先平移
C
B
刚才预设了刚体先平移，然后再转动。实际上，根本不
管它是先移再转，还是“移转同时进行”，刚体由第一状态 到第二状态，都是转过900。
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
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平面图形转过的角度与基点的选取无关！
vA
A
d
速度
I
v IA
瞬心
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
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我们称某瞬时速度为零的点为平面图形在此瞬时的速度中心， 简称“速度瞬心”，一般用I表示之。
以I为基点，则有
vA vAI vB vBI vC vCI
即 vA AI vB BI vC CI
相当于定轴转动的计算.
v AI vBI B
但请注意：I点仅仅此时刻速度为零，一般 情况下，速度瞬心的加速度不等于零，下一瞬 时I的速度也就不再为零了。因此，速度瞬心 在图形本身上和在固定平面上的位置都是随时 间而变的，在不同的瞬时，图形具有不同的速 度瞬心。
A
vCI
C I
★动力学电子教案
四、瞬心的确定
第4章 刚体平面运动
2. B点为刚体上任意一点，此公式给出了 刚体上任意两点间的速度关系，以后直接 应用，不必再应用合成运动方法。
y
vBA
y`
vB
vA
B
A
vA
x`
ω
O
x
3. 在动系x`Ay`中，整个平面图形绕A点定轴 转动，角速度ω。所以
vBA BA
且垂直于A、B连线
基点法
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
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★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
18
例题4-2 车轮沿直线轨道滚动而不滑动，轮心O的速度等
于vo，如图所示。设车轮半径为r，求车轮的角速度和轮
边上A、B、C诸点的速度。
11
二、速度投影定理
vB vA vBA
y
vBA
y`
vB
vA
B
A
vA
x`
ω
O
x
如将右式投影到A、B两点的
连线上，并注意到vAB垂直于AB 连线，在连线上的投影为零，可
得:
[vB ]AB [vA ]AB
平面图形上任意两点的速度 在这两点连线上的投影相等，这 称为速度投影定理。
问：此定理直观的力学意义是 什么？
一点Ｉ的速度为零，这接触点就是
该瞬时的速度瞬心。
速度瞬心
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例题4-1 在下图所示的曲柄连杆机构中，已知曲柄OA
长0.2m，连杆AB长1m，OA以匀角速ω=10rad/s绕O点
转动。求在图示位置滑块B的速度及AB杆的角速度。
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
1
第四章 刚体平面运动
★动力学电子教案
第4章 刚体平面运动
§4-1 运动方程
一、运动特征
平面运动：刚体在运动过程中， 其上各点都始终保持在与某一 固定平面相平行的平面内运动。
曲柄连杆机构
2
行星机构
平面图形：刚体上任一个与固 定平面平行的截面。
刚体作平面运动 平面图形的位置
注意：平面图形的形状和尺寸并不重 要，需要的话，可以扩展为整个平面。
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二、运动方程
在x1o1y1平面上，要确定平面图形的位置， 只需确定任一直线的位置。故运动方程可以
表示为：
xO f1 (t ), yO f2 (t ), f3 (t )
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12
三、速度瞬心法 vB vA vBA
假如在平面图形内或其延伸部分上能找到速度为零的一个点，
并以它为基点，计算其它各点的速度就相当简单了。从计算效果 看，整个刚体此时仿佛“绕此基点作定轴转动”。
证明:一般情形下，刚体作平面运动时速度瞬心确实是存在
的，并且唯一。这里只给出一个图形，您不妨证明一下。
yO
f2 (t)
f3(t)
运动方程
平面图形的位置
O取在刚体上的不同位置，其运动方程不同。
但是平面图形转过的角度 与基点的选取无关！
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平面图形转过的角度与基点的选取无关！
以D为基点
A
B
D来自百度文库
C
先平移
A
B
D
A
C 再定轴转动
以A为基点
A
B
D
C
先平移
但刚体都是 转过900
(１) 已知图形上任意两点速度方位
14
vA
A vB
IB
(２) 已知图形上Ａ、Ｂ两点
的速度平行，且垂直于两点
vA
连线
vB
A B
I
vA
A
I
vB
B
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15
(３) 已知图形上两点的速度平行，但 两点连线与速度方位不垂直
瞬时平动
(４) 平面图形S沿某一固定面作纯滚 动（只滚动不滑动），如图所示。 则每一瞬时图形与固定面相接触的
O
v0
R
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9
§4-2 刚体上各点的速度
一、速度基点法
应用点的合成运动方法
1.以基点A为原点建立动系x’Ay’, 动系 随A一起运动，但两轴的方向保持不 变。这样此动系的运动为平行移动。
2.以平面图形上任意一点B为动点，它的运 动就可以由合成得到。
y
vBA
y`
vB
vA
B
A
vA
x`
ω
O
x
绝对运动：B点相对定系xoy的运动，速度vB待求 相对运动： B点相对动系x`Ay`的圆周运动，速度vBA
牵连运动：动系x`Ay`相 对定系xoy的平动，速度ve=vA vB vA vBA
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结果说明
vB vA vBA
1. A点为基点，可以任意选择，一般 我们选择速度已知的点。
φ对时间的导数就是刚体的转动角速度，
故而：
平面图形的位置
平面运动刚体的角速度和角加速度与基点的选择无关！
d / dt 平面运动的角速度 d / dt 平面运动的角加速度
图表示？正负规定？
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8
y
B
l
C
l
l
o
已知θ=kt，试求AB杆的平面运动方 程。
Ax
已知轮心速度v0=kt，轮只滚不滑。 试求轮的平面运动方程。
讨论：
平面图形的位置
1.φ为常数
刚体作平动
2.(xO,yO)为常数
定轴转动
3.O点位置和φ 均变化
平面运动
由此看出，平面运动可以分解为“平动”和“定轴转动”
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三、运动分解
平面运动 =“随基点的平动”+“绕基点的转动”
所谓基点，是在平面图形上任意取定的那点。
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C
B
A A
D
C
B
B 再C定轴转动
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6
A
B
D
C 再定轴转动
D
A
先平移
C
B
刚才预设了刚体先平移，然后再转动。实际上，根本不
管它是先移再转，还是“移转同时进行”，刚体由第一状态 到第二状态，都是转过900。
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平面图形转过的角度与基点的选取无关！
vA
A
d
速度
I
v IA
瞬心
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13
我们称某瞬时速度为零的点为平面图形在此瞬时的速度中心， 简称“速度瞬心”，一般用I表示之。
以I为基点，则有
vA vAI vB vBI vC vCI
即 vA AI vB BI vC CI
相当于定轴转动的计算.
v AI vBI B
但请注意：I点仅仅此时刻速度为零，一般 情况下，速度瞬心的加速度不等于零，下一瞬 时I的速度也就不再为零了。因此，速度瞬心 在图形本身上和在固定平面上的位置都是随时 间而变的，在不同的瞬时，图形具有不同的速 度瞬心。
A
vCI
C I
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四、瞬心的确定
第4章 刚体平面运动
2. B点为刚体上任意一点，此公式给出了 刚体上任意两点间的速度关系，以后直接 应用，不必再应用合成运动方法。
y
vBA
y`
vB
vA
B
A
vA
x`
ω
O
x
3. 在动系x`Ay`中，整个平面图形绕A点定轴 转动，角速度ω。所以
vBA BA
且垂直于A、B连线
基点法
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第4章 刚体平面运动
18
例题4-2 车轮沿直线轨道滚动而不滑动，轮心O的速度等
于vo，如图所示。设车轮半径为r，求车轮的角速度和轮
边上A、B、C诸点的速度。
11
二、速度投影定理
vB vA vBA
y
vBA
y`
vB
vA
B
A
vA
x`
ω
O
x
如将右式投影到A、B两点的
连线上，并注意到vAB垂直于AB 连线，在连线上的投影为零，可
得:
[vB ]AB [vA ]AB
平面图形上任意两点的速度 在这两点连线上的投影相等，这 称为速度投影定理。
问：此定理直观的力学意义是 什么？
一点Ｉ的速度为零，这接触点就是
该瞬时的速度瞬心。
速度瞬心
★动力学电子教案
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16
例题4-1 在下图所示的曲柄连杆机构中，已知曲柄OA
长0.2m，连杆AB长1m，OA以匀角速ω=10rad/s绕O点
转动。求在图示位置滑块B的速度及AB杆的角速度。
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第4章 刚体平面运动
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第4章 刚体平面运动
1
第四章 刚体平面运动
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§4-1 运动方程
一、运动特征
平面运动：刚体在运动过程中， 其上各点都始终保持在与某一 固定平面相平行的平面内运动。
曲柄连杆机构
2
行星机构
平面图形：刚体上任一个与固 定平面平行的截面。
刚体作平面运动 平面图形的位置