上海阳光外国语学校数学三角形解答题专题练习(解析版)

上海阳光外国语学校数学三角形解答题专题练习（解析版）

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补.

(1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由.

(2)如图2，BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH EG ⊥，求证：//PF GH .

(3)如图3，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使PHK HPK ∠=∠，作PQ 平分

EPK ∠，求HPQ ∠的度数.

【答案】(1)AB//CD ，理由见解析；(2)证明见解析；(3)45HPQ ∠=. 【解析】 【分析】

（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，即可证明； （2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，再结合GH ⊥EG ，即可证明;

（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-1

2

∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解. 【详解】 (1)//AB CD ， 理由如下：如图1，

图1

∵1∠与2∠互补， ∴12180∠+∠=︒，

又∵1AEF ∠=∠，2CFE ∠=∠， ∴180AEF CFE ∠+∠=︒， ∴//AB CD ；

(2)如图2，由(1)知，//AB CD ，

图2

∴180BEF EFD ∠+∠=︒．

又∵BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ， ∴1

(2

)90FEP EFP BEF EFD ∠+∠=

∠+∠=︒， ∴90EPF ∠=︒，即EG PF ⊥． ∵GH EG ⊥， ∴//PF GH ； (3)如图3，

∵PHK HPK ∠=∠，

2PKG HPK ∴∠=∠. 又∵GH EG ⊥，

∴90902KPG PKG HPK ∠=-∠=-∠． ∴180902EPK KPG HPK ∠=-∠=+∠． ∵PQ 平分EPK ∠， ∴1

452

QPK EPK HPK ∠=

∠=+∠． ∴45HPQ QPK HPK ∠=∠-∠=．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识.解题过程关注中“数形结合”思想是解答本题的关键.

2．（1）如图1．在△ABC 中，∠B =60°，∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，则∠O = °，

（2）如图2，若∠B =α，其他条件与（1）相同，请用含α的代数式表示∠O 的大小； （3）如图3，若∠B =α，11

,PAC DAC PCA E n n

AC ∠=∠∠=∠，则∠P = （用含α的代数式表示）．

【答案】（1）∠O =60°；（2）90°－12α；（3）11(1)180P n n

α∠=-⨯- 【解析】 【分析】

（1）由题意利用角平分线的性质和三角形内角和为180°进行分析求解；

（2）根据题意设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180°，利用角平分线性质和外角定义找等量关系，用含α的代数式表示∠O 的大小；

（3）利用（2）的条件可知n=2时，∠P=

1

11-1802

2

α︒

⨯-（），再将2替换成n 即可分析求解. 【详解】

解：（1）因为∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，且∠B=60°， 所以18060120OAC OCA οοο∠+∠=-=， 有∠O=180120οο-=60°.

（2）设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180° ∵∠ACE 是△ABC 的外角， ∴∠ACE=∠B+∠BAC=α+β ∵CO 平分∠ACE

11

()22

ACO ACE αβ∴∠=

∠=+ 同理可得：1

()2

CAO αγ∠=

+ ∵∠O+∠ACO+∠CAO=180°，

∴11

180180()()22

O ACO CAO αβαγ︒︒

∠=-∠-∠=-

+-+ 1180()2αβαγ︒=-+++111

180()1809090222

αβααα︒︒︒︒=-++=--=-；

（3）∵∠B=α，11

,PAC DAC PCA E n n

AC ∠=

∠∠=∠， 由（2）可知n=2时，有∠P=1

180902α︒

︒

--=

111-1802

2

α︒

⨯-（），将2替换成n 即可， ∴11(1)180P n n

α∠=-⨯-. 【点睛】

本题考查用代数式表示角，熟练掌握并综合利用角平分线定义和三角形内角和为180°以及等量替换技巧与数形结合思维分析是解题的关键.

3．如图，△ABC 的三条角平分线相交于点I ，过点I 作DI ⊥IC ，交AC 于点D ． (1)如图①，求证：∠AIB ＝∠ADI ；

(2)如图②，延长BI ，交外角∠ACE 的平分线于点F. ①判断DI 与CF 的位置关系，并说明理由； ②若∠BAC ＝70°，求∠F 的度数．

【答案】(1)证明见解析；(2)解：①结论：DI ∥CF ，②35°. 【解析】

分析：（1）只要证明∠AIB=90°+

12∠ACB ，∠ADI=90°+1

2

∠ACB 即可； （2）①只要证明∠IDC=∠DCF 即可；

②首先求出∠ACE-∠ABC=∠BAC=70°，再证明∠F=12∠ACE-12∠ABC=1

2

（∠ACE-∠ABC ）即可解决问题；

详解：(1)证明：∵AI ，BI 分别平分∠BAC ，∠ABC ， ∴∠BAI ＝

12∠BAC ，∠ABI ＝1

2

∠ABC ， ∴∠BAI ＋∠ABI ＝

12 (∠BAC ＋∠ABC)＝12 (180°－∠ACB)＝90°－1

2

∠ACB. 在△ABI 中，∠AIB ＝180°－(∠BAI ＋∠ABI)＝180°－(90°－

12∠ACB)＝90°＋1

2

∠ACB.