大学数学二向量空间

(0,
)
4. 向量的投影性质.
定理1.2. (投影定理) 设向量AB与轴u的夹角为
则
ProjuAB = || AB ||·cos
A
A
B
B1
B
u
定理1.3 两个向量的和在轴u上的投影等于两上向量
在该轴上的投影的和。
即 Proju (a1 a2 ) Projua1 Pr ojua2
A a1
a1 a2
和MD.
=
b
其中, M是平行四边形对角线的交点.
解:
由a
b=
AC
=
2MC
有MC
=
1 2
(a
b)
MA = MC
1 2
(a
b)
又
b
a
=
BD
=
2MD
D
b
A
a
有MD
=
1 2
(b
MB = MD
a)
1 2
(b
a)
1 2
(a
b)
C M
B
四. 向量在轴上的投影
1. 点在轴上投影
设有空间一点 A 及轴 u, 过 A 作 u 轴的垂直平 面 π,平面 π 与 u 轴的交点 A' 叫做点 A 在轴 u 上的 投影.
1. 定义1.2: 实数与向量 a的乘积a为一个向量.
其中: || a|| | | || a||
当 > 0时, a与a同向;
当 < 0时, a与a反向;
a
a
a
( >0) ( <0)
当 = 0时, a o,它的方向可以是任意的.
2. 数与向量的乘积的运算规律:
(1) 结合律: (a) (a) ()a
III
II
IV x VIII
I 0
VII V
y VI
二、空间向量的表示
1. 点在空间直角坐标系中的坐标表示.
z zR
O x
P x
M < > (x, y, z)
M y y 记: 点M为M (x, y, z)
Q
特别:
(1) 若点M在yz面上, 则 x = 0; 在zx面上, 则 y = 0; 在xy面上, 则 z = 0.
(2) 若点M在 x 轴上, 则 y = z = 0 在 y 轴上, 则 x = z = 0 在 z 轴上, 则 x = y = 0
2. 空间向量的坐标表示
(1). 起点在原点的向量OM
z zC
设点 M (x, y, z)
以 i, j, k 分别表示沿 x, y, z 轴正向的单位向量, 称为基本单 位向量.
量. 具有在空间中可以任意平移的性质.
二、向量的加减法
1. 定义1.1. 向量加法
(1) 平行四边形法则
可平设移有至a重、合b()若. 作起以点a不、重b合为,
邻边的平行四边形, 对角线
向量,
称为
a与b的和,
记作
a
b.
a
a
b
b
(2) 三角形法则
ab为的 的a起起将点点ba.与 到、bba之的 的一终终平点点行所重移引合动的, 则,向使由量
C
B
a2
A
B
C
u
推论:
Pr ju (a1 a2 an ) Pr ojua1 Pr ojua2 Pr ojuan
定理1.4: 实数与向量 a的乘积在轴u上的投影，
等于乘以向量 a在该轴上的投影。
即
Pr oju (a) Pr ojua
§2 空间直角坐标系与空间向量的 坐标表示
一、空间直角坐标系的建立
k o
xi A x
j
M
B y
y
N
OM = OA + AN +NM
= OA + OB + OC = xi + yj + zk
x, y, z,分别是OM 在三坐标轴上的投影, 称为OM 的坐标.
§1 空间向量及其线性运算
一、向量概念
1. 向量: 既有大小, 又有方向的量, 称为 向量.(或矢量)
2. 向量的几何表示法:
用一条有方向的线段来表示向量.
以线段的长度表示向量的大 小, 有向线段的方向表示向量
B
a
的方向.
A
以A为始点，B为终点的向量，记为
AB, a , .
向量AB的大小叫做向量的模. 记为
b
a
a
b
2. 向量加法的运算规律.
(1) 交换律:
a
a
b
b
a
b
a
b
b
b
a
a
(2) 结合律:
(a
b)
c
a
(b
c)
a
b
c
a
b
a
b
cc
b
例如:
s a1 a2 a3 a4
a4
s
a3
a2
a1
3. 向量减法.
(1) 负向量: 与a模相同而方向相反的向量,
称为 a的负向量.记作 a.
即
Pr oju AB x
3. 两向量的夹角
设有非零向量 a,b(起点同).
规定：
b (a,b)
a
a, b正向间位于0到之间的那个夹角为a, b的夹角,
记为 (a,b) 或
(b ,
a)
(1)
若
a ,
b
同向，则
(a,b)
0
(2)
若
a ,
b
反向，则
(a,b)
(3)
若
a ,
b
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不平行，则
(a,b)
A
u A'
π
2. 向量在轴上的投影.
定义1.3: 设有向线段AB的起点A和终点B在轴u
上的投影分别为点A 和B . 称有向线段A B 为
向量AB在轴u上的投影向量或射影向量.
B A
A'
B'
u
如果向量e为与轴u
B
A
的正方向的单位向量，
e
则向量 AB 的投影向量
A'
B'
u
A'B' 有：
AB xe
则称 x 为向量 AB 在轴u上的投影，记作 Pr oju AB
|| AB ||, || a ||, || ||,或者| AB|, | a |, | | .
特别
➢模为1的向量称为单位向量.
➢模为0的向量称为零向量， 它的方向可以看作是任意的.
当向量a与b, 大小相等且方向相同,
称a与b相等.
记作 a
b
a
b
3. 自由向量
自由向量: 只有大小、方向, 而无特定起点的向
1. 空间直角坐标系
z
y
o
y
o
x
x
z
x轴(横轴)、 y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个 空间直角坐标系, 又称笛卡尔(Descartes)坐标系，点 O叫做坐标原点.
2. 坐标面.
由三条坐标轴的任意两条确定的平面, 称为
坐标面, 分别叫x y面. y z面、z x面, 它们将空间分
成八个卦限.
z
a a
(2) 向量减法.
规定:
a
b
a
(b )
（a） 平行四边形法则.
点重将合a,、作b以之a和一平b移为,邻使边起
的平行四边形, 对角线向量,
为
a
b.
a
b
b
a
b
a
b
（b）三角形法则.
将a、b之一平移, 使
起点重合, 由b的终点向 a
的终点作一向量,
即为
a
b.
a
a
b
b
三、数与向量的乘法
(2) 分配律: ((ab)a)aaba
定理1.1: 两个非零向量 a与b平行
存在唯一实数，使得
a
b.
结论: 设 a表示与非零向量a同向的单位向量.
则 a|| a|| a
或
a
||
1 a||
a
||
a a||
例1.1试:用在a平和行b四表边示形向A量BCMDA中, M, B设, AMBC=,
a, AD