勾股定理16种证明方法

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勾股定理的证明

【证法1】(课本的证明)

做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b ,斜边长为c ,再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b ,所以面积相等. 即

ab

c ab b a 21

4214222⨯+=⨯++, 整理得 222c b a =+.

【证法2】(邹元治证明)

以a 、b 为直角边,以c 为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积

等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A 、E 、B 三点在一条直线上,B 、F 、

C 三点在一条直线上,C 、G 、

D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHA

E ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BE

F .

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2.

∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,

∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形,它的面积等于()2

b a +.

()2

22

14c ab b a +⨯=+. ∴ 2

22c b a =+.

【证法3】(赵爽证明) 以a 、b 为直角边(b>a ), 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形,则每个直角

三角形的面积等于ab

21. 把这四个直角三

角形拼成如图所示形状.

∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE,

∴ ∠HDA = ∠EAB .

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º, ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º,

∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形,它的面积等于c 2.

∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.

∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形,它的面积等于()2

a b -.

∴ ()2

2

214c a b ab =-+⨯.

∴ 2

22c b a =+. 【证法4】(1876年美国总统Garfield 证明)

以a 、b 为直角边,以c 为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面

积等于ab

21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A 、E 、B 三点在一条直线上.

∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC .

∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,

∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.

∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形,

它的面积等于221c

.

又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .

∴ ABCD 是一个直角梯形,它的面积等于()2

21

b a +. ∴ ()2

2212122

1

c ab b a +⨯=+. ∴ 2

22c b a =+.

【证法5】(梅文鼎证明)

做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b ,斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .

∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ,

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,

∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.

又∵ AB = BE = EG = GA = c , ∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD .

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.

又∵ ∠BDE = 90º,∠BCP = 90º,

BC = BD = a .

∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理,HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ,则

ab

S c 21

22⨯+=,

∴ 2

22c b a =+. 【证法6】(项明达证明)

做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b (b>a ) ,斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E 、A 、C 三点在一条

直线上.

过点Q 作QP ∥BC ,交AC 于点P . 过点B 作BM ⊥PQ ,垂足为M ;再过点 F 作FN ⊥PQ ,垂足为N . ∵ ∠BCA = 90º,QP ∥BC , ∴ ∠MPC = 90º, ∵ BM ⊥PQ , ∴ ∠BMP = 90º, ∴ BCPM 是一个矩形,即∠MBC = 90∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º,

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º, ∴ ∠QBM = ∠ABC ,

又∵ ∠BMP = 90º,∠BCA = 90º,BQ = BA = c , ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .

同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】(梅文鼎证明). 【证法7】(欧几里得证明)

做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H 、C 、B 三点

在一条直线上,连结

BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE , 交AB 于点M ,交DE 于点

L . ∵ AF = AC ,AB = AD , ∠FAB = ∠GAD , ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ,

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