《正比例函数与一次函数》知识点归纳

《正比例函数与一次函数》知识点归纳

《正比例函数》知识点

一、表达式：y=kx （k≠0的常数）

二、图像：正比例函数y=kx的图像是：一条经过（0,0）和（1，k）的直线；

说明：正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kx”；

三、性质特征：

1、图像经过的象限:

k>0时，直线过原点，在一、三象限；

k<0时，直线过原点，在二、四象限；

2、增减性及图像走向：

k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低；

k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高；

四、成正比例关系的几种表达形式:

1、y与x成正比例：y=kx (k≠0);

2、y与x＋a成正比例：y=k(x＋a) (k≠0);

3、y＋a与x成正比例：y＋a=kx (k≠0);

4、y＋a与x＋b成正比例：y＋a= k(x＋b) (k≠0);

《一次函数》知识点

一、表达式：y=kx+b（k≠0, k, b为常数）

注意：（1）k≠0,自变量x的最高次项的系数为1；

（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。

二、图像：

一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像是：一条经过（-，0）和（0，b）的直线。

说明：（1）一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像也叫做“直线y=kx+b”；

（2）直线y=kx+b与x轴的交点坐标是：（-，0）；

直线y=kx+b与y轴的交点坐标是：（0，b）.

三、性质特征：

1、图像经过的象限：

（1）、k>0，b>0时，直线经过一、二、三象限；

（2）、k>0，b﹤0时，直线经过一、三、四象限；

（3）、k﹤0,b>0时，直线经过一、二、四象限；

（4）、k﹤0, b﹤0时，直线经过二、三、四象限；

2、增减性及图像走向：

k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低；

k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高；

3、一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）中“k和b的作用”：

（1） k的作用：k决定函数的增减性和图像的走向

k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低；

k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高；

（2）∣k∣的作用：∣k∣决定直线的倾斜程度

∣k∣越大，直线越陡，直线越靠近y轴，与x轴的夹角越大；

∣k ∣越小，直线越平缓，直线越远离y 轴，与x 轴的夹角越小；

(3) b 的作用：b 决定直线与y 轴的交点位置

b>0时，直线与y 轴正半轴相交(或与y 轴的交点在x 轴的上方)；

b ﹤0时，直线与y 轴负半轴相交（或与y 轴的交点在x 轴的下方）；

（4）k 和b 的共同作用：k 和b 共同决定直线所经过的象限

四、直线的平移规律：直线y=kx+b 可以由直线y=kx 平移得到

当b>0时，将直线y=kx ：向上平移b 个单位得到直线y=kx+b ；

当b ﹤0时，将直线y=kx ：向下平移∣b ∣个单位得到直线y=kx+b ；

五、两条直线平行和垂直： 直线m ：y=ax+b; 直线n: y=cx+d

（1）当a=c ，b ≠d 时，直线m ∥直线n,反之也成立；

例如：直线y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x 平行。

（2）当ac=-1时，直线m ⊥直线n 。反之也成立；

例如：直线y=x+2与直线y=-2x+3互相垂直

六、直线y=kx+b 与坐标轴围成的三角形的面积公式: S=b 22∣k∣

七、求一次函数解析式的方法 ：求函数解析式的方法主要有三种

(1)由已知函数推导或推证 ；

(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系；

(3)用待定系数法求函数解析式：

“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：

①利用一次函数的定义 构造方程组。

②利用一次函数y=kx+b 中常数项b 恰为函数图象与y 轴交点的纵坐标，即由b 来定点；直线y=kx+b 平行于y=kx ，即由k 来定方向 。

③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。

④利用题目已知条件直接构造方程 。

八、例题举例：

例1．已知y=，其中=(k≠0的常数)，与成正比例，求证：y与x也成正比例。

证明：∵与成正比例，

设=a(a≠0的常数),

∵y=, =(k≠0的常数),

∴y=·a=akx，

其中ak≠0的常数，

∴y与x也成正比例。

例2．直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。

分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。例 y=2x,y=2x+3的图象平行。

解：∵y=kx+b与y=5-4x平行，

∴k=-4,

∵y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴，

∴b=18，

∴y=-4x+18。

说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。