概率及其计算
高中数学概率公式
高中数学概率公式概率的基本概念概率是数学中一个重要的分支，它研究随机事件发生的可能性。
在高中数学中，我们经常会遇到与概率相关的问题。
概率的计算需要用到一些基本的公式和方法。
本文将介绍高中数学中常用的概率公式。
古典概率公式古典概率是指在一次试验中，所有可能结果出现的机会是均等的，也就是说每个结果出现的概率是相同的。
在古典概率中，我们可以使用以下公式来计算概率：P(A) = m / n其中，P(A) 表示事件 A 发生的概率，m 表示事件 A 发生的次数，n 表示总的试验次数。
条件概率公式条件概率是指在已知某个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率。
条件概率可以使用以下公式计算：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A|B) 表示在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率，P(A ∩ B) 表示事件 A 与事件 B 同时发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
互斥事件概率公式互斥事件是指两个事件不可能同时发生的情况。
在互斥事件中，我们可以使用以下公式计算概率：P(A ∪ B) = P(A) + P(B)其中，P(A ∪ B) 表示事件 A 或事件 B 发生的概率，P(A) 表示事件 A 发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
独立事件概率公式独立事件是指两个事件之间没有影响，一个事件的发生不会影响到另一个事件的发生。
在独立事件中，我们可以使用以下公式计算概率：P(A ∩ B) = P(A) * P(B)其中，P(A ∩ B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A) 表示事件 A 发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
总概率公式总概率公式是指在多种互斥事件中，每个事件发生的概率与其发生的条件及其对应的概率的乘积之和等于某个事件发生的概率。
总概率公式可以使用以下公式计算：P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) + ... + P(A|Bn) * P(Bn)其中，P(A) 表示事件 A 发生的概率，P(A|B1) 表示在事件B1 发生的条件下事件 A 发生的概率，P(B1) 表示事件 B1 发生的概率，P(A|B2) 表示在事件 B2 发生的条件下事件 A 发生的概率，P(B2) 表示事件 B2 发生的概率，依此类推。
第二讲随机事件的概率及其计算
所以事件B的概率为 3 4 5 6 P( B) B n 0.5. 10 9 8
8
例2 设有10只灯炮，其中有2只是坏的。现从中任取3只灯 泡，求恰有1只灯泡是坏的概率。 解 从10只灯泡中任取3只，共有 C10 种等可能的取法。
3
设A表示事件“取出的3只灯泡中恰有1只坏灯泡”，所以A 中 1 A C2C82 . 于是，由公式（1）得： 所包含的基本事件数为
若事件A发生,即所取的3个球都是白球,则 A 6 5 4, 所以事件A的概率为 65 4 0.167 A A n 10 9 8 若事件B发生,即所取的3个球中有1个红球2 个白球,考虑到红球抽取的次序,则有
1 B C3 4 6 5 3 4 5 6,
称此概率为古典概率。
4
例1 袋中有10个球,其中4个红球6个白球.今按下面两种方法 从袋中任取3个球，求下列事件A：“3个球都是白球”和B： “1个红球2个白球”的概率。 方法(1) 有放回抽样：每次抽取一个，观后放回再抽下一个。
。
方法(2) 无放回抽样：每次抽取一个，观后不放回抽下一个。
5
解 (1)有放回抽样
从10个小球中有放回地任取3个球的所有可能的取法 10 3种 ， 即样本空间中元素个数 n 10 。
3
A 63 若事件A发生，即所取的3个球都是白球,则
所以由公式(1)知，事件A的概率为
。
A A n 6 1个红球2个白球,考 虑到红球抽取的次序, 则
1 B C3 4 6 2 2 6 3
(1) (2) (3)
所以事件B概率为
B B n 2 6 3 / 10 3 0.432
概率及其计算
概率及其计算概率是数学中一个重要的概念，用于描述事件发生的可能性。
在现实生活中，我们经常会面临各种概率问题，比如抛硬币的结果、摇骰子的点数、购彩中奖的可能性等等。
因此，了解概率的定义、性质以及计算方法是非常重要的。
一、概率的定义和性质概率可以用来衡量事件发生的可能性大小，通常用一个介于0到1之间的数值表示。
其中，0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
下面是概率的一些基本性质：1. 对于任何事件A，0 ≤ P(A) ≤ 1。
2. 如果事件A发生的概率为P(A)，那么事件A不发生的概率为1 - P(A)。
3. 对于必然事件，其概率为1；对于不可能事件，其概率为0。
4. 如果两个事件A和B互斥（即不可能同时发生），那么它们的概率之和为P(A∪B) = P(A) + P(B)。
二、概率的计算方法在计算概率时，我们可以采用多种方法，根据实际情况选择合适的方法进行计算。
下面是一些常见的概率计算方法：1. 经典概率计算：对于有限个等可能的结果，概率可以通过计算有利结果的数量与总结果数量之比得到。
比如抛一枚硬币，正反两面各有一个，因此正面朝上的概率为1/2。
2. 相对频率概率计算：通过实验或观察，统计事件发生的次数与总次数之比，作为概率的估计值。
比如抛硬币100次，正面朝上的次数为50次，因此正面朝上的概率估计为50/100=1/2。
3. 条件概率计算：当已知事件B发生的前提下，事件A发生的概率。
条件概率可以通过P(A|B) = P(A∩B) / P(B) 计算得到。
4. 独立事件概率计算：当事件A和事件B相互独立（即事件A的发生不影响事件B的发生）时，可以通过P(A∩B) = P(A) * P(B)计算两个事件同时发生的概率。
三、概率的应用领域概率的应用领域非常广泛，几乎涵盖了生活的方方面面。
举几个例子来说明一下：1. 在金融领域，概率可以用于计算投资的风险和回报，并帮助投资者做出决策。
2. 在医学领域，概率可以用于计算疾病的发病率和治愈率，指导医生进行诊断和治疗。
概率论公式
第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes 公式：从结果找原因第二章二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)泊松分布——X~P(λ)概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b)指数分布X~Exp (θ))()()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==nk k k B A P B P A P 1)|()()(∑==nk k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)1,0(!)(===-k e k k X P k，λλ1)(=⎰+∞∞-dx x f )(b X a P ≤≤⎰=≤≤badxx f b X a P )()(1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=)(1)(b x a ab x f ≤≤-=分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法联合密度函数 联合分布函数联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义● E(a)=a ，其中a 为常数● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数)0(1)(/≥=-x e x f x θθ∑≤==≤=x k k X P x X P x F )()()(⎰∞-=≤=x dtt f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 0),(≥y x f 1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ⎰+∞∞-=dyy x f x f X ),()(⎰+∞∞-=dxy x f y f Y ),()(}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞-∞=⋅=k k kP xX E )(⎰+∞∞-⋅=dxx f x X E )()()()('x f x F =E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式方差 定义式常用计算式常用公式当X 、Y 相互独立时：方差的性质D(a)=0，其中a 为常数D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数∑=kkk p x g X g E )())((∑∑=ijiji p x X E )(dxdyy x xf X E ⎰⎰=),()()()()(Y E X E Y X E +=+∑∑=ijijj i p y x XY E )(dxdyy x xyf XY E ⎰⎰=),()()()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()⎰+∞∞-⋅-=dxx f X E x X D )()()(2[]22)()()(X E X E X D -=))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=)()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ[][]{})()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--协方差的性质独立与相关 独立必定不相关 相关必定不独立 不相关不一定独立 第四章正态分布标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式第五章())()()(),(22X D X E X E X X Cov =-=),(),(Y X abCov bY aX Cov =),(),(),(Z Y Cov Z X Cov Z Y X Cov +=+),(~2σμN X 222)(21)(σμσπ--=x e x f 2)(,)(σμ==X D X E )(1)(a a -Φ-=Φ)1,0(~),(~2N X Z N X σμσμ-=⇔)()()(σμ-Φ=<=≤a a X P a X P )(1)()(σμ-Φ-=>=≥a a X P a X P ()()(σμσμ-Φ--Φ=≤≤a b b X a P卡方分布t 分布F 分布正态总体条件下 样本均值的分布：样本方差的分布：两个正态总体的方差之比第六章点估计：参数的估计值为一个常数 矩估计最大似然估计 似然函数均值的区间估计——大样本结果)(~)1,0(~212n X N X ni i χ∑=，则若())(~1),,(~21222n Y N Y ni iχμσσμ∑=-则若),(~//),(~),(~21212212n n F n V n U n V n U 则若χχ),(~2n N X σμ)1,0(~/N n X σμ-)1(~)1(222--n S n χσ)1(~/--n t n s X μ)1,1(~//2122212221--n n F S S σσ);(1θi ni x f L ∏==);(1θi ni x p L ∏==⎪⎭⎫ ⎝⎛±n z x σα2/正态分布的分位点—大样本要求样本容量—代替准差通常未知，可用样本标标准差—样本均值—2/)50()(ασz n ns x >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±n p p z p )1(2/α正态分布的分位点—大样本要求样本容量—样本比例—2/)50(αz n np >则若),(~),1,0(~2n Y N X χ)(~/n t nY X正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间大样本或正态小样本且方差已知 两个正态总体方差比的置信区间第七章假设检验的步骤① 根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1 ② 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值③ 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
概率的计算及其应用
概率的计算及其应用概率是数学中的一个重要概念，用于衡量事件发生的可能性。
在现实生活中，概率计算常常被用来解决各种问题，包括风险评估、数据分析等等。
本文将介绍概率的计算方法及其在实际应用中的一些常见场景。
一、概率的计算方法在概率计算中，我们通常使用以下几种方法来确定一个事件的发生概率：1. 经典概率法经典概率法适用于所有可能结果等概率出现的情况，即每个结果都具有相同的概率。
这种情况下，事件A的概率可以通过事件A中有利结果的个数除以所有可能结果的个数来计算。
2. 频率概率法频率概率法是通过观察事件在大量重复试验中发生的频率来估计事件的概率。
当试验次数足够多时，事件A发生的频率将逼近事件A的概率。
3. 主观概率法主观概率法是基于主观判断和经验来估计事件的概率。
在主观概率法中，我们根据以往的经验或个人观点来估计事件发生的可能性。
二、概率的应用场景概率计算在各个领域都有广泛的应用，下面列举一些常见的应用场景：1. 金融风险评估在金融领域中，概率计算可以用于评估各种风险，例如股票市场的波动性、信用风险等。
通过分析历史数据和市场走势，我们可以计算不同事件发生的概率，帮助投资者做出更明智的投资决策。
2. 医学诊断医学诊断中常常需要考虑到不同疾病的发生概率。
医生可以根据患者的症状和各种检测结果来计算不同疾病的概率，从而帮助确定最可能的疾病并制定相应的治疗方案。
3. 数据分析在数据分析领域中，概率计算被广泛应用于统计推断、模式识别和机器学习等领域。
通过概率模型和统计方法，我们可以从大量数据中提取有用的信息和规律，帮助做出准确的预测和决策。
4. 游戏理论概率计算在游戏理论中有着重要的应用。
例如，在扑克牌游戏中，通过计算自己和对手的牌型概率，玩家可以制定出最佳的决策策略。
5. 工程设计在工程设计中，概率计算可用于评估各种风险，例如结构物的承载能力、材料的耐久性等。
通过对不同事件发生的概率进行分析和计算，可以为工程师提供科学的依据，确保设计的可靠性和安全性。
1-2 概率及其计算
为事件A发生的统计概率， 该频率的稳定值p为事件A发生的统计概率，即P(A)=p。 实际应用中
mA P ( A) ≈ n
例4 某市卫生管理部门对该市60岁以上老人患高血压的 某市卫生管理部门对该市60 60岁以上老人患高血压的
其中至少两人的生日是在同一月的概率。 其中至少两人的生日是在同一月的概率。 表示至少两人生日同月， 用A 表示至少两人生日同月，k i 表示有 i 个人生日同月
4 至少两人生日同月有： 分析 基本事件总数 n = 12 = 20736 至少两人生日同月有：
2 3 ⑴ 两人生日同月： k 2 = C4 × A12 = 7920 两人生日同月：
简单概率的计算
50张考签 编号为1 张考签， 例 2 有50张考签，编号为1～50 。 ⑴ 任抽一张考试，求事件"抽到前10号考签"的概率 任抽一张考试，求事件"抽到前10号考签 号考签" ⑵ 任抽两张考试，求"抽到两张都是前10号考签"的概率 任抽两张考试， 抽到两张都是前10号考签 号考签" ⑶ 无放回地抽取2次，每次1张，求"抽到两张都是前10号 无放回地抽取2 每次1 抽到两张都是前10号 考签" 考签"的概率 ⑷ 无放回地抽取5次，每次1张，求事件"最后一次抽到的 无放回地抽取5 每次1 求事件" 是双号考签" 是双号考签"的概率 解 A 表示所发生的事件，则 表示所发生的事件， ⑴ n＝50，k＝10 ； 故 P(A)＝k / n＝1 / 5＝0. 2 50， P(A)＝ n＝ 5＝ ⑵ n = C 50 = 1225 ; k = C 10 = 45 ； P(A)＝k / n＝ 0. 037 P(A)＝ n＝
概率的加法定理与乘法定理
概率的加法定理与乘法定理概率是数学中一个重要的概念，用于描述某个事件发生的可能性。
在概率的研究中，加法定理和乘法定理是两个基本的规则，它们可以帮助我们计算复杂事件的概率。
本文将详细介绍概率的加法定理和乘法定理的概念、公式及其应用。
一、概率的加法定理概率的加法定理是指当事件A和事件B互斥（即两个事件不可能同时发生）时，事件A或事件B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。
其数学表示为：P(A 或 B) = P(A) + P(B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A 或 B)表示事件A或事件B发生的概率。
应用概率的加法定理时，需要满足两个条件：事件A和事件B是互斥的，即两个事件不可能同时发生；事件A和事件B是独立的，即事件A的发生不会影响事件B的发生，反之亦然。
举例来说，假设某班级有30个男生和20个女生，如果从班级中随机选出一个学生，那么选中的学生是男生或女生的概率如何计算呢？解答：由于男生和女生是互斥的，即一个学生不可能既是男生又是女生，因此可以使用概率的加法定理来计算。
设事件A为选中的学生是男生，事件B为选中的学生是女生。
根据题目给出的信息，我们可以得到P(A) = 30/50，P(B) = 20/50。
根据概率的加法定理，我们有P(A 或 B) = P(A) + P(B) = 30/50 +20/50 = 50/50 = 1。
所以，选中的学生是男生或女生的概率为1，即100%。
二、概率的乘法定理概率的乘法定理是指当事件A和事件B是独立事件（即事件A的发生不会影响事件B的发生，反之亦然）时，事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
其数学表示为：P(A 且 B) = P(A) × P(B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A 且 B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
应用概率的乘法定理时，需要满足两个条件：事件A和事件B是独立的，即事件A的发生不会影响事件B的发生，反之亦然；事件A和事件B同时发生的可能性大于零，即事件A和事件B不能同时为不可能事件。
概率与统计的基本概念和计算方法
概率与统计的基本概念和计算方法概率与统计是一门研究随机现象规律的数学学科，它在科学研究、工程技术和社会经济等领域起到重要的作用。
本文将介绍概率与统计的基本概念和计算方法，帮助读者更好地理解和应用这门学科。
一、概率的基本概念及其计算方法概率是描述随机事件发生可能性的数值，一般用百分比、分数或小数表示。
在概率理论中，有三种常见的概率计算方法：古典概率、几何概率和统计概率。
1. 古典概率古典概率又称为理论概率，是基于等可能性假设进行计算的概率。
当随机事件的样本空间中的所有基本事件等可能发生时，可以使用古典概率进行计算。
计算公式为：事件A发生的概率P(A) = A的基本事件数/样本空间中的基本事件总数。
2. 几何概率几何概率是根据几何形状和空间位置关系计算的概率。
它常用于描述连续随机变量的概率。
几何概率的计算方法是通过计算事件A在样本空间中的面积或体积与样本空间总面积或总体积之比得到。
计算公式为：事件A发生的概率P(A) = A的几何形状的面积或体积/样本空间的几何形状的面积或体积。
3. 统计概率统计概率是根据实际观察到的频率计算的概率。
当无法直接使用古典概率或几何概率进行计算时，可以通过实际观测数据进行统计概率的计算。
统计概率的计算方法是事件A的发生频数除以样本空间试验次数的比值。
计算公式为：事件A发生的概率P(A) = 频数A/n。
二、统计的基本概念及其计算方法统计是通过收集、整理、分析数据并进行推断和预测的一门学科。
在统计学中，有两种常见的统计算法：描述统计和推断统计。
1. 描述统计描述统计是通过对已有数据进行总结和描述来了解数据分布和变化规律的统计方法。
常用的描述统计指标包括均值、中位数、众数、标准差等。
计算描述统计指标时，需要先收集数据，然后对数据进行计算和分析。
2. 推断统计推断统计是通过对样本数据进行推断和预测来做出总体特征的统计方法。
推断统计的核心思想是基于样本数据对总体进行推断。
常用的推断统计方法包括假设检验、置信区间估计和回归分析等。
高中数学 概率与统计知识点总结
高中数学概率与统计知识点总结概率与统计一、概率及随机变量的分布列、期望与方差1.概率及其计算概率是指某个事件发生的可能性大小，可以用数值表示。
计算概率时，可以采用几个互斥事件和事件概率的加法公式。
如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)。
如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则事件A1+A2+…+An发生的概率等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。
如果事件B与事件A互为对立事件，则P(A)=1-P(B)。
2.随机变量的分布列、期望与方差随机变量是指在随机试验中可能出现的各种结果所对应的变量。
常用的离散型随机变量的分布列包括二项分布和超几何分布。
二项分布指在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为X~B(n,p)。
超几何分布指在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品的概率为C(M,k)C(N-M,n-k)/C(N,n)，其中m=min(M,n)，且n,N,M,N∈N*，称随机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从超几何分布。
2.条件概率及相互独立事件同时发生的概率条件概率是指在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
一般地，设A,B为两个事件，且P(A)>0，则P(B|A)=P(AB)/P(A)。
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)=n(AB)/n(A)。
相互独立事件是指两个或多个事件之间互不影响，即其中一个事件的发生不会影响其他事件的发生。
如果A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)。
如果A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立。
3.独立重复试验与二项分布独立重复试验是指在一系列相互独立的试验中，每个试验的结果只有两种可能，即成功或失败。
在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为X~B(n,p)。
概率论公式总结
概率公式整理1．随机事件及其概率吸收律：AAB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)(AB A A A A A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==-反演律：BA B A =⋃BA AB ⋃=n i ini iA A11===ni ini iA A11===2．概率的定义及其计算：)(1)(A P A P -= 若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒ 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ )()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i k j inj i j ini ini i A A A P A A AP A AP AP A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率 ()=A B P)()(A P AB P 乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P全概率公式∑==ni i AB P A P 1)()()()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k =∑==ni i ik k B AP B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布 分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P kk (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p nk p pC k X P kn kk n,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理 0lim >=∞→λn n np有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nk n n λλ(3) Poisson 分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ6．连续型随机变量 (1) 均匀分布),(b a U ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b ax x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f xλλ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=x t t ex F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x ex x2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x t ex xtd 21)(22π7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()( ⎰+∞∞-=dv v x f x f X),()(⎰⎰∞-+∞∞-=yYdudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞-=du y u f y f Y),()(8. 连续型二维随机变量 (1) 区域G 上的均匀分布，U( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(G y x Ay x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------y x ey x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9. 二维随机变量的 条件分布0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X XYX0)()()(>=y f y x f y f YYX Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dyy f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dxx f x y f dx y x f y f X XYY )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y =)()()(y f x f x y f Y X XY =)(x y f XY)(),(x f y x f X =)()()(x f y f y x f X Y Y X =10.随机变量的数字特征 数学期望∑+∞==1)(k kkp xX E⎰+∞∞-=dxx xf X E )()(随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 )(kX E X 的 k 阶绝对原点矩 )|(|kX EX 的 k 阶中心矩 )))(((kX E X E - X 的 方差 )()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 )(lkY X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 ()lkY E Y X E X E ))(())((--X ,Y 的 二阶混合原点矩 )(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E --X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())(((X 的方差D (X ) = E ((X - E (X ))2) )()()(22X E X E X D -=协方差 ()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --= )()()(Y E X E XY E -=())()()(21Y D X D Y X D --±±=相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ。
概率论计算公式
概率论计算公式概率论是一门研究随机现象及其规律的学科，涉及到了许多计算公式。
概率论中的公式包括概率公式、条件概率公式、贝叶斯公式等等。
本文将对这些公式进行详细的展开和解释，帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、概率公式概率公式是计算某个事件发生概率的公式，通常表示为P(A)，其中A为某个事件。
概率公式包括基本概率公式和加法公式。
1. 基本概率公式基本概率公式是计算事件发生概率的最基本公式，其公式如下：P(A) = n(A) / n(S)其中，n(A)是事件A发生的可能性数量，n(S)是所有可能性数量。
例如，从一副扑克牌中随机抽取一张牌，事件A为抽到红桃牌，事件A发生的可能性数量是13（因为有13张红桃牌），所有可能性数量是52（因为有52张牌），因此P(A) = 13/52= 0.25。
2. 加法公式加法公式是计算两个事件任意一个事件发生概率的公式，其公式如下：P(A 或 B) = P(A) + P(B) - P(A 且 B)其中，A和B为两个事件，P(A 或 B)是事件A和事件B中至少一个事件发生的概率，P(A 且 B)是事件A和事件B同时发生的概率。
例如，从一副扑克牌中随机抽取一张牌，事件A为抽到红桃牌，事件B为抽到黑桃牌，P(A) = 13/52 = 0.25，P(B) = 13/52 = 0.25，P(A 且 B) = 0（因为一张牌不可能同时是黑桃牌和红桃牌），因此P(A 或 B) = 0.25 + 0.25 - 0 = 0.5。
二、条件概率公式条件概率公式是用于计算在另一个事件发生的前提下一个事件发生的概率，其公式如下：P(A|B) = P(A 且 B) / P(B)其中，A和B为两个事件，P(A|B)是在事件B发生的前提下事件A发生的概率，P(A 且 B)是事件A和事件B同时发生的概率，P(B)是事件B发生的概率。
例如，从一副扑克牌中随机抽取两张牌，事件A为两张牌都是红桃牌，事件B为第一张牌是红桃牌，因此P(B) = 13/52 = 0.25。
42概率及其计算课件
2.事件发生的可能性有哪些？ 它们的概率是多少？
1.概率是什么？ 如何求出一个事件A发生的概率？
在数学中，我们把事件发生的可能性的 大小也称为事件发生的概率,一般用P来表 示,事件A发生的概率也记为P(A).
如果事件发生的各种结果的可能性相同， 那么一个事件A发生的概率:
P(A)
3 9
1 3
（3，3）
2.探究问题，寻找方法
问题：你能否找到更简便的方法把可能出现的 结果不重不漏的列出来吗?
（分组实验，探究交流。）
方法2 树形图法
第一组牌 第二组牌
（1，1） （1，2） （1，3） （2，1） （2，2） （2，3） （3，1） （3，2） （3，3）
方法3
列表法
书房
议一议
随意抛出的乒乓球落在如 图所示地板的某块方砖上， 它停落在黑色方砖的概率 是多少？
此图中的地板由16块方砖组成，其中有4块黑色方砖，这些 方砖除颜色外完全相同。乒乓球停留在任何一块方砖上的 可能性都相等，
因此，
P（乒乓球停落在黑色方砖上）=
4 1 16 4
想一想
❖（1）随意抛出的乒乓 球落在图中的地板上， 它停落在白色方砖上 的概率是多少？
发生概率为3/8的事件：
事例1： 在一个不透明的袋子中装有4个红球， 1个白球， 3个黑球，这些球除了颜色外完全相同，随意从中 摸出一个球，摸到黑球的概率为3/8。
事例2：九年级（3）班有8名班干部，其中男生3名，女 生5名，现从中抽一名去参加学生代表会议，抽到 男生去的概率是3/8。
事例3：小亮随意从3本语文，6本数学，7本英语书中拿 出一本，则拿到数学书的概率是3/8。
概率计算公式加例子职高
概率计算公式加例子职高概率计算公式及其应用在职业高中。
概率是数学中一个非常重要的概念，它可以帮助我们预测事情发生的可能性。
在职业高中的学习中，概率的计算公式和应用是非常重要的，它可以帮助学生更好地理解各种事件的发生可能性，并且在日常生活中也能够帮助他们做出更加合理的决策。
首先，让我们来了解一下概率的基本概念。
概率是指某一事件发生的可能性，通常用一个介于0到1之间的数值来表示，其中0表示不可能发生，1表示一定会发生。
在概率的计算中，最常用的公式就是事件发生的次数除以总的实验次数，即概率=事件发生的次数/总的实验次数。
例如，如果我们掷一枚硬币，想要知道正面朝上的概率，我们可以进行多次实验，记录正面朝上的次数，然后除以总的实验次数。
假设我们进行了100次实验，其中有55次是正面朝上，那么正面朝上的概率就是55/100=0.55。
在职业高中的数学课程中，概率的计算公式和应用是一个非常重要的内容。
通过学习概率，学生可以更好地理解随机事件的发生规律，提高他们的逻辑思维能力和数学分析能力。
同时，在职业高中的实践教学中，概率的应用也是非常广泛的。
比如在物理实验中，学生可以通过概率的计算来预测某一事件发生的可能性；在化学实验中，概率的计算可以帮助学生更好地理解化学反应的发生规律；在生物实验中，概率的计算可以帮助学生预测某一基因型的出现概率等等。
除了在学科实践中的应用，概率的计算公式和应用在职业高中的日常生活中也是非常有用的。
比如在学生社团活动中，通过概率的计算可以帮助学生更好地安排活动的时间和资源；在学生的职业规划中，概率的计算可以帮助他们更好地选择适合自己的职业方向；在学生的生活决策中，概率的计算可以帮助他们更好地权衡利弊，做出更加合理的选择。
总的来说，概率的计算公式和应用在职业高中的学习和生活中都是非常重要的。
通过学习概率，学生可以提高他们的数学分析能力和逻辑思维能力，更好地理解各种事件的发生规律，从而更好地适应未来的学习和生活。
概率论公式总结
概率论公式总结概率论是数学中重要的分支，研究随机事件发生的概率及其规律。
在实际应用中，概率论经常被用于风险评估、统计分析、决策制定等领域。
本文将总结概率论中一些常用的公式，帮助读者更好地理解和应用概率论的知识。
1. 基本概率公式基本概率公式是概率论的基础，它描述了某个事件发生的概率。
对于某个事件A，其概率可以通过如下公式计算：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A所包含的样本点个数，n(S)表示样本空间S中的样本点个数。
2. 互补事件概率公式互补事件是指两个事件中至少有一个发生的情况。
对于事件A的互补事件的概率公式如下：P(A') = 1 - P(A)其中，P(A')表示事件A的互补事件发生的概率。
3. 加法公式加法公式用于计算两个事件中至少有一个发生的概率。
对于两个事件A和B，加法公式可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。
对于两个事件A和B，乘法公式可以表示为：P(A∩B) = P(A) * P(B|A)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
5. 独立事件公式当两个事件A和B相互独立时，它们的乘法公式可以简化为：P(A∩B) = P(A) * P(B)这意味着两个独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
6. 条件概率公式条件概率公式用于计算在某个条件下，另一个事件发生的概率。
对于事件A和事件B，条件概率公式可以表示为：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
7. 全概率公式全概率公式用于计算某个条件下的事件发生的总概率。
概率公式总结
一、随机事件和概率1、随机事件及其概率、随机变量及其分布1、分布函数性质P(X Eb)二F(b) P(a ：：： X <b)二F(b) — F(a)2、散型随机变量3三、多维随机变量及其分布1、 离散型二维随机变量边缘分布 P i.=P(X=X j )=' P(X=X i ,Y=y j )=' pjP j=P(丫 = yj)=' P(X=X j ,Y=yj)=' pjjji i2、 离散型二维随机变量条件分布x y3、 连续型二维随机变量(X ,Y )的分布函数F (x, y)=匕打二f (u,v)dvdu4、 连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数x ■: : ■::分布函数： Fx (x) f (u,v)dvdu y -beF Y (y) f (u,v)dudv5、二维随机变量的条件分布 s(yx)—XY (xy)fyp —四、随机变量的数字特征1、 数学期望■bo 鈕离散型随机变量： E(X) X k P k连续型随机变量： E(X ) = xf (x)dxk=1一北2、 数学期望的性质(1) E(C) =C,C 为常数 E[E(X)] =E(X) E(CX) =CE(X)pi j= P(X=xi 丫= yj)史二二上,i”P(Y =y j)P j.pj i= P(Y = yjX =x i)7 丫知P(X =X i )P i .密度函数：fx (x)二 f(x,v)dv_f?0■ho fY(y)二 f(u, y)du⑵ E(X _Y) =E(X) -E(Y) E(aX —b)二aE(X) _b EGX1 C n X n) ^汨*) C n E(X n)⑶若XY相互独立则：E(XY) =E(X)E(Y) (4)[E(XY)]2空 E2(X)E2(Y)3、方差：D(X) =E(X2) —E2(X)4、方差的性质2 2(1)D(C) =0 D[D(X)] =0 D(aX _b) =a2D(X) D(X) :：: E(X _C)2(2)D(X _Y) =D(X) D(Y) _2Cov(X,Y) 若 XY 相互独立则： D(X 二丫)= D(X) D(Y)5、协方差：Cov(X,Y) =E(X,Y) -E(X)E(Y) 若 XY 相互独立则： Cov(X,Y)=06、相关系数：P XY = P(X，丫) = Cov(X,Y)若XY相互独立则：P XY =0即XY不相关W(X)jD(Y)7、协方差和相关系数的性质(1) Cov(X,X) =D(X) Co VX,Y) =Co VY,X) ⑵ Cov(X i X2,Y) =Cov(X i,Y) C OV(X2,Y) Cov(aX c,bY d) =abCo%,Y) 8、常见数学分布的期望和方差五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若 E(X) ==D(X) =；「2,对于任意0 有 P{X -E(X) 一 } 一卫孚或 P{X -E(X) ：： } 一1-卫冷91n1nXT X n相互独立且n T旳时，丄瓦Xi ― 丄瓦E(X i) n y nid2、大数定律：若⑸样本k 阶中心距：n1 _— k B k 二M k (X i -X)k,k =2,3…⑹次序统计量：设样本 (人必2…X n )的观察值 区也…冷)，将“X ?…冷按照由小到大的次序重新排列，得到X (1)岂乂⑵乞…岂Xg ，记取值为X(Q 的样本分量为X(Q ，则称X (1)岂X (2) <<X (n)为样本以皿 X .)的次序统计 量。
(完整版),概率论公式总结,推荐文档
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An )
i 1
i 1
1i jn
1i jk n
3．条件概率 PB A P(AB) 乘法公式 P(AB) P(A)PB A (P(A) 0) P( A)
P( A1 A2 An ) P( A1 )P A2 A1 P An A1 A2 An1
(P( A1 A2 An1 ) 0)
n
全概率公式 P(A) P(ABi ) i 1
n
P(Bi ) P( A
i 1
Bi ) Bayes 公式 P(Bk
A) P( ABk ) P( A)
P(Bk )P( A Bk ) n P(Bi )P( A Bi ) i 1
4．随机变量及其分布
分布函数计算 P(a X b) P(X b) P(X a)
f (x, y)dx
fY X ( y x) f X (x)dx
fX Y (x y)
f (x, y) fY ( y)
fY X ( y x) fX (x) fY ( y)
fY X ( y x)
f (x, y) fX (x)
fX Y (x y) fY ( y) fX (x)
10. 随机变量的数字特征
E ( X E( X ))k (Y E(Y ))l
E(X kY l )
X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
X ,Y 的 二阶混合原点矩 E(XY ) X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 E( X E( X ))(Y E(Y ))
X ,Y 的相关系数
E
(X
E( X ))(Y E(Y D( X ) D(Y )
f (x, v)dv
8. 连续型二维随机变量 (1) 区域 G 上的均匀分布，U ( G )
高中数学公式大全概率计算与统计分析的实例公式
高中数学公式大全概率计算与统计分析的实例公式高中数学公式大全：概率计算与统计分析的实例公式一、概率计算公式1. 事件的概率计算公式：P(A) = (事件A的样本点数) / (样本空间的样本点数)2. 加法法则：对于两个互斥事件A和B，有P(A或B) = P(A) + P(B)3. 减法法则：对于事件A和B，有P(A且B的补集) = P(A的补集) - P(A且B)4. 乘法法则：对于两个独立事件A和B，有P(A且B) = P(A) × P(B)5. 条件概率公式：对于事件A和B，有P(A|B) = P(A且B) / P(B)6. 全概率公式：对于事件A和B1、B2、...、Bn构成的样本空间分割，有P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)二、统计分析的实例公式1. 平均数（均值）公式：对于一组数据x1、x2、...、xn，均值（平均数）为平均数 = (x1 + x2 + ... + xn) / n2. 加权平均数公式：对于一组数据x1、x2、...、xn及其对应的权重w1、w2、...、wn，加权平均数为加权平均数 = (x1w1 + x2w2 + ... + xnwn) / (w1 + w2 + ... + wn)3. 中位数公式：对于一组有序数据，中位数为若数据个数为奇数，中位数为第(n+1)/2个数据；若数据个数为偶数，中位数为第n/2个数据和第(n/2+1)个数据的平均数。
4. 众数公式：对于一组数据，众数为数据中出现次数最多的值。
5. 方差公式：对于一组数据x1、x2、...、xn，均值为μ，方差为方差 = ( (x1 - μ)^2 + (x2 - μ)^2 + ... + (xn - μ)^2 ) / n6. 标准差公式：对于一组数据x1、x2、...、xn，均值为μ，标准差为标准差= √方差7. 相关系数公式：对于两组数据x1、x2、...、xn和y1、y2、...、yn，其相关系数为相关系数 = (协方差) / (x的标准差 × y的标准差)其中，协方差的计算公式为协方差 = ( (x1 - μx)(y1 - μy) + ... + (xn - μx)(yn - μy) ) / n8. 样本方差公式：对于一组数据x1、x2、...、xn，样本均值为x，样本方差为样本方差 = ( (x1 - x)^2 + (x2 - x)^2 + ... + (xn - x)^2 ) / (n - 1)9. 样本标准差公式：对于一组数据x1、x2、...、xn，样本均值为x，样本标准差为样本标准差= √样本方差综上所述，以上是高中数学中概率计算和统计分析的常用公式。
概率的证明计算公式
概率的证明计算公式概率是描述随机事件发生可能性的一种数学工具，它在现代统计学、金融学、工程学等领域有着广泛的应用。
概率的计算公式是概率论中的基础知识，通过这些公式可以计算出各种随机事件发生的可能性。
在本文中，我们将介绍概率的计算公式，并通过一些例子来说明如何使用这些公式进行概率计算。
概率的计算公式包括了基本概率公式、条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式等。
下面我们将分别介绍这些公式及其证明。
1. 基本概率公式。
基本概率公式是描述一个事件发生的可能性的最基本的公式。
如果事件A发生的可能性为P(A)，那么事件A不发生的可能性为1-P(A)。
这可以表示为：P(A) + P(A') = 1。
其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(A')表示事件A不发生的概率。
这个公式可以通过逻辑推理进行证明，因为事件A和事件A'是互斥的，它们的概率之和必然等于1。
2. 条件概率公式。
条件概率公式描述了在已知事件B发生的条件下，事件A发生的可能性。
它可以表示为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
这个公式可以通过概率的定义进行证明，即事件A和事件B同时发生的概率等于事件B发生的概率乘以在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
3. 全概率公式。
全概率公式描述了在一组互斥事件发生的情况下，另一个事件发生的可能性。
假设事件B1、B2、...、Bn构成一个完备事件组，即它们两两互斥且它们的并集为样本空间Ω，那么事件A发生的概率可以表示为：P(A) = Σ P(A|Bi) P(Bi)。
其中，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。
这个公式可以通过条件概率公式和全概率的定义进行证明，即事件A发生的概率等于在每个事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率的加权平均。